Fisica in tasca. area tecnico-scientifica PK 23/1 II EDIZIONE. Chiara Pranteda

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1 Chiara Pranteda PK 3/1 II EDIZIONE Fisica in tasca area tecnico-scientifica Vettori Forze Cinematica Dinamica Lavoro ed energia Gravitazione universale EDIZIONI SIMONE Gruppo Editoriale Esselibri - Simone

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3 Copyright 007 Esselibri S.p.A. Via F. Russo 33/D 8013 Napoli Tutti i diritti riservati È vietata la riproduzione anche parziale e con qualsiasi mezzo senza l autorizzazione scritta dell editore. Azienda certificata dal 003 con sistema qualità ISO : 004 Per citazioni e illustrazioni di competenza altrui, riprodotte in questo libro, l editore è a disposizione degli aventi diritto. L editore provvederà, altresì, alle opportune correzioni nel caso di errori e/o omissioni a seguito della segnalazione degli interessati. Seconda edizione: febbraio 007 Prima edizione: dicembre 004 PK3/1 - Fisica 1 ISBN Ristampe Questo volume è stato stampato presso Officina Grafica Iride - Via Prov.le Arzano-Casandrino, VII Trav., 4 - Arzano (NA) Per informazioni, suggerimenti, proposte: info@simone.it Redazione: Grafica e copertina: Impaginazione e grafici: Carla Iodice Gianfranco De Angelis Raffaella Molino

4 Presentazione A Stefano per la sua pazienza Spesso la Fisica è vista come una materia astratta, noiosa e difficile da studiare. Niente di più falso. Ogni nostro movimento deve sottostare a precise leggi fisiche, ogni fenomeno della natura ha una ben determinata spiegazione fisica. Non potremmo camminare senza la forza di gravità, il sangue non potrebbe scorrere nelle nostre vene senza la legge di Bernoulli, non potremmo parlare o ascoltare senza le onde sonore, le navi non potrebbero galleggiare senza la legge di Archimede. Questo non significa che le cose accadono soltanto quando se ne conoscono le leggi fisiche associate. La natura continua ad applicare le sue leggi indipendentemente dalla comprensione dell uomo. I temi trattati in questo volume sono: i vettori; le forze; la cinematica; la dinamica; il lavoro e l energia; la gravitazione universale. Il volume può essere utilizzato sia dagli studenti delle superiori che da quelli universitari e, a tale scopo, le spiegazioni matematiche che accompagnano le definizioni sono trattate su due livelli a seconda della matematica utilizzata. Ogni capitolo contiene diversi esempi che guidano il lettore nella soluzione di un problema di Fisica. Egli potrà poi valutare il suo stato di apprendimento risolvendo gli esercizi posti a fine capitolo i quali non contengono una spiegazione ma soltanto il risultato.

5 Α α alfa Β β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε epsilon Ζ ζ zeta Η η eta Θ θ ϑ theta ALFABETO GRECO Ι ι iota Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mi Ν ν ni Ξ ξ xi Ο ο òmicron Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigma Τ τ tau Υ υ ipsilon Φ ϕ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ω ω òmega INDICE DEI SIMBOLI > maggiore < minore maggiore o uguale minore o uguale diverso da infinito tende a per ogni circa uguale a ± più o meno sen α seno dell angolo α cos α coseno dell angolo α tan α tangente dell angolo α cotan α cotangente dell angolo α arctan α arcotangente dell angolo α log logaritmo in base 10 ln logaritmo neperiano lim limite derivata parziale integrale sommatoria produttoria cost costante per il biennio della scuola superiore per il triennio della scuola superiore

6 1. Sistemi di unità di misura Di cosa parleremo Per misurare una qualsiasi grandezza fisica è necessario disporre di un Sistema di Unità di misura standard atto a garantire la riproducibilità dei risultati sperimentali. Inizialmente, i sistemi di unità di misura sono stati introdotti per fini commerciali, per mettere d accordo venditori e compratori sulla quantità di merci trattate. Nel corso della storia sono state introdotte diverse unità di misura più o meno facilmente riproducibili. In questo capitolo daremo una descrizione dei sistemi di misura attualmente in uso. 1) Grandezze fondamentali e grandezze derivate Un problema di notevole importanza in metrologia è la scelta dei sistemi di unità di misura nei quali vengono definite le unità di un numero limitato di grandezze fondamentali indipendenti tra di loro da cui vengono poi ricavate, in base a relazioni fisiche, le altre grandezze, dette derivate, nell ambito a cui si intende riferito il sistema di unità considerato. La distinzione tra grandezze fisiche fondamentali e derivate è del tutto arbitraria in quanto ogni grandezza può essere considerata fondamentale o derivata a seconda che si faccia riferimento all una o all altra relazione fisica. Una volta stabilito il sistema delle grandezze fondamentali è necessario scegliere le unità di misura da adottare per ognuna di queste grandezze; tale scelta viene effettuata tenendo conto che le unità fondamentali devono possedere le caratteristiche di precisione, accessibilità, riproducibilità e invariabilità. 1. Sistemi di unità di misura 5

7 Un campione ideale deve essere, innanzi tutto, preciso in modo da poter costituire un riferimento perfetto per ogni sperimentatore che ad esso volesse eventualmente ricorrere per controllare la taratura dei propri strumenti di laboratorio o l esattezza delle unità usate; deve essere facilmente disponibile per chiunque intenda accedervi per motivi scientifici; deve essere riproducibile qualora dovesse andare accidentalmente distrutto e quindi devono essere precisati nei minimi dettagli i principi costruttivi; infine deve mantenere costante il proprio valore senza risentire minimamente dell azione di fattori esterni quali la temperatura, la pressione, l umidità, la corrosione e l ossidazione. Attualmente, in sede internazionale, la sperimentazione di nuovi metodi atti a migliorare la precisione con cui sono realizzati i campioni primari, i confronti internazionali, il coordinamento delle tecniche di misura adottate dai vari laboratori sono affidate al Bureau Internationale des Poids et Mesures (B.I.P.M). Tale organo è controllato dalla Conference Generale des Poids et Mesures (C.G.P.M.) convocata a Sevres di norma ogni quattro anni. ) Sistema internazionale (S.I.) Il Sistema Internazionale di unità di misura (S.I.) è stato introdotto nel 1960 dalla XI Conferenza Generale dei Pesi e Misure e perfezionato dalle Conferenze successive..1 Grandezze fondamentali Il S.I. prevede 7 grandezze fondamentali e ne definisce le unità di misura. 1. Sistemi di unità di misura 6

8 Grandezza Unità Definizione Simbolo di misura Intervallo di tempo secondo durata di s periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra i livelli iperfini dello stato fondamentale dell atomo di cesio -133 Lunghezza metro tragitto percorso dalla lu- m ce nel vuoto in un tempo di 1/ di secondo Massa kilogrammo massa del campione pla- kg tino-iridio, conservato nel Museo Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres (Parigi) Temperatura kelvin valore corrispondente a K 1/73,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell acqua Quantità di sostanza mole quantità di materia di una mol sostanza tale da contenere tante particelle elementari quante ne contengono 0,01kg di carbonio -1. Tale valore corrisponde al numero di Avogadro 1. Sistemi di unità di misura 7

9 Intensità di corrente ampere quantità di corrente che A elettrica scorre all interno di due fili paralleli e rettilinei, di lunghezza infinita e sezione trascurabile, immersi nel vuoto ad una distanza di un metro, induce in loro una forza di attrazione o repulsione di 10-7 N per ogni metro di lunghezza Intensità luminosa candela intensità luminosa di cd una sorgente che emette una radiazione monocromatica con frequenza Hz e intensità energetica di 1/683W/sr.. Grandezze derivate In tabella sono riassunte le unità di misura dotate di nome proprio: Grandezza Unità Simbolo Conversione 1. Sistemi di unità di misura Angolo piano radiante rad Angolo solido steradiante sr Frequenza hertz Hz 1Hz = 1s -1 Forza newton N 1N = 1kgms - Pressione pascal Pa 1Pa = 1Nm - Lavoro, energia joule J 1J = 1Nm Potenza watt W 1W = 1Js -1 Temperatura Celsius grado Celsius C T ( C) = T (K)+73,15 8

10 Carica elettrica coulomb C Differenza di volt V potenziale elettrico Capacità elettrica farad F 1F = 1CV -1 Resistenza elettrica ohm Ω 1Ω = 1VA -1 Conduttanza elettrica siemens S 1S = 1W -1 Flusso d induzione weber Wb 1Wb = 1Vs magnetica Induzione magnetica tesla T 1T = 1Wbm - Induttanza henry H 1H = 1WbA -1 Flusso luminoso lumen lm 1lm = 1cdsr Illuminamento lux lx 1lx = 1lmm - Attività (di un becquerel Bq 1Bq = 1s -1 radionuclide) -1 Dose assorbita, gray Gy 1Gy = 1Jkg kerma -1 Dose equivalente sievert Sv 1Sv = 1Jkg Vediamo più in dettaglio quali sono le grandezze derivate nei vari ambiti della fisica. Angoli Grandezza Unità Definizione Simbolo Angolo piano radiante angolo al centro di una 1rad circonferenza che sottende un arco di lunghezza pari al raggio. 1rad=180 /π 1. Sistemi di unità di misura 9

11 Angolo solido steradiante angolo che su di una sfe- sr ra con centro nel vertice dell angolo intercetta una calotta di area uguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa. Unità definite in meccanica Grandezza Unità Definizione Simb. Conversione Frequenza hertz La frequenza ν di un Hz 1Hz = 1s -1 fenomeno periodico è l inverso del suo periodo T: ν =1/T. La frequenza misura il numero di volte che un fenomeno periodico si ripete in un secondo Forza newton La forza unitaria di N 1N = 1kg ms - 1N è la forza che imprime alla massa di 1kg un accelerazione di 1ms - 1. Sistemi di unità di misura Pressione pascal La pressione unitaria Pa 1Pa = 1Nm - di 1Pa è la pressione esercitata su una superficie di 1m dalla forza di 1N esercitata perpendicolarmente alla superficie 10

12 Lavoro, ener- joule Il lavoro unitario di J 1J = 1N m gia, quantità di 1J è il lavoro della calore forza di 1N per uno spostamento di 1m nella direzione della forza Potenza watt La potenza unitaria W 1W = 1Js -1 di 1W corrisponde al lavoro di 1J svolto nell intervallo di tempo di 1s Temperatura Grandezza Unità Definizione Simb. Conversione Temperatura grado La scala Celsius è de- C T( C) = T(K) Celsius Celsius finita in modo che i va- -73,15 lori 0 e 100 corrispondano rispettivamente al punto di fusione e al punto di ebollizione dell acqua a pressione atmosferica. La scala Celsius corrisponde esattamente alla scala Kelvin a meno di un termine additivo pari a 73,15. Entrambe le scale Kelvin e Celsius sono centigrade, in quanto l intervallo tra punto di fusione e punto di ebollizione dell acqua è diviso in 100 parti uguali 1. Sistemi di unità di misura 11

13 Unità derivate dell elettromagnetismo Grandezza Unità Definizione Simb. Conversione 1. Sistemi di unità di misura Carica elettrica coulomb 1C è la carica elettri- C ca trasportata in 1s dalla corrente di 1A. Differenza di volt 1V è la differenza di V potenziale potenziale elettrico elettrico tra due punti di un conduttore che, percorso dalla corrente di 1A, dissipa per effetto Joule la potenza di 1W Capacità elet- farad 1F è la capacità di F 1F = 1CV -1 trica un condensatore su cui la carica di 1C provoca una differenza di potenziale di 1V Resistenza ohm 1Ω è la resistenza Ω 1Ω = 1VA -1 elettrica elettrica tra due punti di un conduttore ai quali è applicata la differenza di potenziale di 1V quando scorre la corrente di 1A Conduttanza siemens 1 S è la conduttanza S 1S = 1Ω -1 elettrica di un conduttore avente resistenza di 1Ω 1

14 Flusso d indu- weber 1Wb = 1Vs è il flus- Wb 1Wb = 1Vs zione magnetica so magnetico che, concatenato con una spira, induce una forza elettromotrice di 1V, annullandosi in 1s a velocità costante - Induzione tesla 1T è l induzione T 1T = 1Wbm magnetica magnetica che, attraversando una superficie piana di 1m, produce un flusso magnetico di 1Wb s Induttanza henry 1H è l induttanza di H 1H = 1WbA -1 una spira nella quale la variazione uniforme di intensità di corrente di 1A/s produce una forza elettromotrice di 1V. Unità definite in fotometria Grandezza Unità Simb. Conversione Flusso luminoso lumen lm 1lm = 1cdsr Illuminamento lux lx 1lx = 1lmm -.3 Prefissi moltiplicativi Il S.I. codifica l uso dei prefissi moltiplicativi secondo le potenze di Sono previsti anche i prefissi per multipli e sottomultipli per fattori 10 e Sistemi di unità di misura 13

15 Fattore Prefisso Simbolo Fattore Prefisso Simbolo 10 4 yotta Y 10-4 yocto y 10 1 zetta Z 10-1 zepto z exa E atto a peta P femto f 10 1 tera T 10-1 pico p 10 9 giga G 10-9 nano n 10 6 mega M 10-6 micro μ 10 3 chilo k 10-3 milli m 10 etto h 10 - centi c 10 deca da 10-1 deci d 1. Sistemi di unità di misura.4 Regole di scrittura Il S.I. codifica le norme di scrittura dei nomi e dei simboli delle grandezze fisiche. Le più importanti sono: I nomi delle unità di misura vanno sempre scritti in carattere minuscolo, privi di accenti o altri segni grafici. Es: ampere, non Ampère. I nomi delle unità non hanno plurale. Es: 3 ampere, non 3 amperes. I simboli delle unità di misura vanno scritti con l iniziale minuscola, tranne quelli derivanti da nomi propri. Es: mol per la mole, K per il kelvin. I simboli non devono essere seguiti dal punto (salvo che si trovino a fine periodo). 14

16 I simboli devono sempre seguire i valori numerici. Es: 1kg, non kg 1. Il prodotto di due o più unità va indicato con un punto a metà altezza o con un piccolo spazio tra i simboli. Es: N m oppure Nm. Il quoziente tra due unità va indicato con una barra obliqua o con esponenti negativi. Es.: J/s oppure Js -1. 3) Sistema C.G.S. Nei sistemi c.g.s. le unità fondamentali della meccanica sono il centimetro, il grammo e il secondo. Per quanto riguarda la meccanica, quindi, la differenza tra S.I. e c.g.s. si limita a fattori potenze di 10 nei valori delle grandezze fondamentali e derivate. La differenza sostanziale tra i sistemi c.g.s. e il Sistema Internazionale riguarda le grandezze elettromagnetiche. Mentre il S.I. introduce una grandezza fondamentale per l elettromagnetismo (l intensità di corrente), nei sistemi c.g.s. le grandezze elettromagnetiche sono tutte derivate da quelle meccaniche. Nella Tabella seguente riportiamo un confronto tra alcune unità c.g.s. di Gauss e le corrispondenti unità S.I.: Grandezza Unità Simbolo Conversione S.I. Forza dina dyn 1dyn = 10-5 N Lavoro, energia erg erg 1erg = 10-7 J Carica elettrica statcoulomb statc 1statC = C Corrente elettrica statampere stata 1statA = A Potenziale elettrico statvolt statv 1statV = 300V Induzione magnetica B gauss G 1G = 10-4 T Campo magnetico H oersted Oe 1Oe = (1/4π) 10 3 A/m 1. Sistemi di unità di misura 15

17 . Vettori Di cosa parleremo In questo capitolo definiremo la differenza fra grandezze scalari e vettoriali e studieremo tutte le operazioni che possono essere fatte sui vettori. I vettori si possono sommare, scomporre e moltiplicare con delle regole ben precise. Il risultato di tali operazioni potrà essere sia un vettore sia uno scalare. La buona conoscenza di tali regole è fondamentale per la risoluzione di tutti i problemi di fisica in cui intervengono grandezze vettoriali. Vettori Versori Vettore opposto Operazioni Somma di vettori Differenza di vettori Metodo geometrico Metodo analitico Proprietà della somma Scomposizione di un vettore Somma di più vettori Metodo geometrico Metodo analitico Proprietà della differenza Prodotto scalare Proprietà del prodotto scalare Prodotto scalare di due vettori in funzione delle loro componenti. Vettori Prodotto vettoriale Proprietà del prodotto vettoriale Prodotto vettoriale di due vettori in funzione delle loro componenti 16

18 1) Vettori e scalari Scalare: Grandezza fisica totalmente determinata da un numero. Vettore: Grandezza fisica totalmente determinata da una lunghezza, da una direzione e da un verso. Un vettore si indica con V o con V ed è rappresentato graficamente da una freccia. La lunghezza del vettore, detta anche modulo, si indica con V o V. ) Versori V 0 A V; V Un versore è un vettore avente lunghezza unitaria. In figura è indicato il versore u del vettore V: V = V u = V u (Fig. 1) u V 0 A 1 V (Fig. ). Vettori 17

19 3) Vettore opposto Il vettore opposto di un vettore è un vettore avente lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore dato ma verso opposto. In figura il vettore V 1 è l opposto del vettore V. V 1 0 A (Fig. 3) 4) Somma di vettori Dati due vettori A e B la loro somma R è un vettore i cui parametri (modulo, direzione e verso) dipendono da quelli di A e B ma non sono la loro somma. 4.1 Metodo geometrico 1 metodo (metodo del parallelogramma) La somma di due vettori è rappresentata dalla diagonale maggiore del parallelogramma costruito sui due vettori. B B R =A +B A A. Vettori metodo (metodo punta-coda) (Fig. 4) Per calcolare la somma di due vettori con il metodo punta - coda si fa coincidere la coda del secondo vettore con la punta del primo. Il 18

20 vettore somma è il vettore che unisce la coda del primo vettore con la punta del secondo. B R =A +B B A A (Fig. 5) Come si può notare i due metodi sono del tutto equivalenti. 4. Metodo analitico Dopo aver tracciato il vettore R, somma dei vettori A e B, possiamo calcolarne la lunghezza e la direzione con il metodo analitico. R =A +B A B ϑ x y l l H l (Figg. 6.a e 6.b) Dalla figura 6.a.: ( ) + R = A + x y. Vettori 19

21 Ricordando le relazioni tra il lato e l altezza di un triangolo equilatero (Fig. 6.b), i valori di x e y della figura 6.a per particolari valori di ϑ sono riassunti in tabella: ϑ x y 0 B 0 30 B 3 B 45 B B 60 B B B 10 B B B 150 B 3 B B Tabella 1 In generale, dati due vettori A e B il vettore somma R ha modulo: R = A + B + ABcosϑ e direzione: R A B = = senϑ senβ senα. Vettori 0

22 Dimostrazione =A R +B A A B Bcosϑ B ϑ D C Bsenϑ (Fig. 7) MODULO DI R Dal triangolo ADC : R = AC = ( AD) + ( DC) Ma: AD = AB + BD = A + B cosϑe DC = B senϑ. Quindi: ( ) + ( ) = = R = A + B cosϑ B senϑ A B cos ϑ AB cosϑ B sen ϑ = A + B + ABcosϑ DIREZIONE DI R Dal triangolo ABC AB senα = BC senβe Asenα = B senβ. Da cui: (4.1) A B = senβ senα Dal triangolo ACD CD = AC senα = R senα. Dal triangolo BCD CD = BC senϑ = B senϑ. Da cui: R B (4.) = senϑ senα Confrontando la (4.1) e la (4.): A B R = = senβ senα senϑ. Vettori 1

23 4.3 Proprietà della somma (i) La somma di due vettori è indipendente dall ordine degli addendi: essa è quindi commutativa. (ii) Due vettori di uguale intensità e direzione ma con verso opposto hanno come risultante un vettore di lunghezza nulla, detto vettore nullo, per il quale è impossibile stabilire direzione e verso. (iii) Il vettore nullo sommato a qualunque altro vettore ha come risultante il vettore sommato. Per questo motivo è detto elemento neutro della somma. (iv) Due vettori con risultante nulla si dicono opposti. (v) La somma dei vettori è associativa: A+ B C A B C + = ) Differenza di vettori Come la somma anche la differenza D tra due vettori A e B è un vettore i cui parametri (modulo, direzione e verso) dipendono da quelli di A e B ma non sono la loro differenza. In particolare se: A = A; B = B; D = D a parte il caso in cui i vettori A e B sono paralleli non vale la relazione: D = A B 5.1 Metodo geometrico 1 metodo (metodo del parallelogramma) La differenza di due vettori è rappresentata dalla diagonale minore del parallelogramma costruito sui due vettori. B B = D A B. Vettori A A (Fig. 8)

24 metodo (metodo punta-coda) La differenza tra due vettori A e B può essere pensata come la somma di A con il vettore opposto di B : A B = A+ B Quindi possiamo applicare il metodo analitico già visto per la somma. A A B D = + A (-B ) Anche in questo caso i due metodi sono del tutto equivalenti. -B B (Fig. 9) 5. Metodo analitico Dopo aver tracciato il vettore D, differenza dei vettori A e B, possiamo calcolarne la lunghezza e la direzione con il metodo analitico. A-x A D = A - B y x ϑ ϑ-b x B y Dalla figura 10: (Fig. 10) R = ( A x) + y Ricordando le relazioni tra il lato e l altezza di un triangolo equilatero (Fig. 6.b) i valori di x e y sono riassunti in tabella 1.. Vettori 3

25 In generale, dati due vettori A e B il vettore differenza R ha modulo: R = A + B ABcosϑ e direzione: R A B = = senϑ senβ senα Dimostrazione D = - A B A ϑ B -B δ = π ϑ (Fig. 11) MODULO DI R Riprendiamo la formula della somma: R = A + B + ABcosδ ma δ = π ϑ, quindi: ( ) = + R = A + B + ABcos π ϑ A B ABcosϑ. Vettori DIREZIONE DI R Riprendiamo la formula della somma: A B R = = senβ senα senδ ma: R R R = senδ sen π ϑ senϑ ( ) = quindi vale ancora la relazione: A B R = = senβ senα senδ 4