ELEMENTI DI TERMODINAMICA

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1 Corso di Fisica tecnica e ambientale a.a. 0/0 - Docente: Prof. Carlo Isetti ELEMENTI DI TERMODINAMICA 7. GENERALITÀ La scienza della termodinamica si siluppò a partire dagli inizi del secolo scorso soprattutto in conseguenza dell'esigenza di precisare le modalità mediante le quali risulta possibile conertire in laoro meccanico parte del calore ottenuto da un processo di combustione. I dispositii inentati dall'uomo per realizzare tale conersione, o macchine termiche, sono dienuti col trascorrere del tempo ia ia sempre più efficienti e affidabili grazie anche allo siluppo della scienza della termodinamica. La termodinamica può definirsi come quella parte della fisica che si occupa delle relazioni che intercorrono tra scambi di energia nelle sue arie forme (principalmente calore e laoro) e le proprietà fisiche di corpi e sistemi senza alcuna limitazione a priori, siano essi solidi, liquidi o gassosi, omogenei o eterogenei. La termodinamica classica, contrariamente alla termodinamica statistica, considera i sistemi sotto l'aspetto macroscopico, senza considerare che essi sono costituiti in ultima analisi da particelle discrete (atomi e molecole). Sulla base di questa impostazione engono quindi considerate significatie, per lo studio dei sistemi termodinamici, grandezze fisiche globali, fra le quali riestono grande importanza pressione, olume e temperatura, in quanto facilmente misurabili. 7. SISTEMA ED ESTERNO È opportuno precisare subito cosa si intenda per sistema termodinamico. In termodinamica per sistema si intende un insieme di materia determinata e limitata nello spazio. Tutto ciò che non fa parte del sistema suddetto è considerato come sistema esterno, o semplicemente esterno. La superficie di separazione tra il sistema oggetto di studio e l'esterno è detta confine o contorno del sistema. Esso può coincidere con una superficie materiale oppure essere solo ideale. Un sistema si dice: - aperto quando scambia attraerso il suo contorno materia ed energia con l'esterno (sistema esterno); - chiuso quando attraerso il contorno del sistema non scambia materia ma solo energia. Infine, un sistema chiuso è isolato se non scambia nè materia nè energia.

2 7.. Esempi Un tipico sistema aperto: tubazione percorsa da acqua (il tratteggio indica i confini del sistema). Un tipico sistema chiuso: una sostanza aeriforme all'interno di un recipiente munito di un pistone mobile (il tratteggio indica i confini del sistema). 7.3 GRANDEZZE DI STATO Lo studi termodinamico di un sistema termodinamico fa riferimento a grandezze fisiche globali atte a definire, ossia a descriere compiutamente, il suo stato fisico (grandezze di stato). Alcune di queste, come ad esempio pressione e temperatura, potranno essere facilmente misurate con strumenti adeguati, mentre altre, come energia interna, entalpia, doranno essere alutate in base ad opportune relazioni termodinamiche. Da un punto di ista generale, si opera distinzione tra grandezze estensie e grandezze intensie: le prime, come la massa di un sistema o il olume, dipendono dalla quantità di materia presente nel sistema, mentre le seconde non dipendono dalla quantità di materia presente. Ad esempio, se un serbatoio contenente una massa di aeriforme m in un olume V iene idealmente suddiiso due parti eguali (sottosistemi), per ciascuno di questi le proprietà estensie assumeranno alori dimezzati (V/,m/), a differenza di quanto si erifica nel caso di proprietà intensie, quali pressione, temperatura. Da una ariabile estensia, ad esempio il olume occupato dal sistema, si può deriare la ariabile intensia, olume specifico, riferendo il olume alla all'unità di massa: = V/m [m 3 /kg] Infatti si ossera immediatamente come a alle della suddiisione il olume specifico, essendo definito come rapporto delle grandezze V/ e m/, rimane inariato. Anche la densità = /, definita come l'inerso del olume specifico, è una grandezza intensia.

3 7.4 STATO DI UN SISTEMA Un sistema termodinamico si dice in condizioni di equilibrio quando i alori delle grandezze che indiiduano il suo stato fisico non ariano nel tempo. Nel caso di una sostanza pura, chimicamente definita, l'esperienza dimostra che lo stato fisico di tale sistema risulta uniocamente identificato dai alori assunti da due sole grandezze di stato, purché intensie ed indipendenti tra loro. Ad esempio, la conoscenza dei alori di proprietà intensie, quali la pressione ed il olume specifico, per una sostanza pura sono sufficienti ad indiiduarne lo stato, ed in conseguenza a determinare i alori di tutte le altre grandezze di stato. Per un sistema in equilibrio, si possono considerare funzioni delle grandezze di stato del tipo: T = f ( P, ) oppure: P = f' ( T, ) oppure: = f'' ( P, T ) che engono dette equazioni di stato. È oio che, ad esempio, in riferimento all'equazione di stato nella forma T = f (P, ) il alore della temperatura T del sistema risulta, in condizioni di equilibrio, completamente determinato dalla conoscenza delle grandezze P e. 7.5 TRASFORMAZIONE DI UN SISTEMA Quando un sistema, ad esempio chiuso, iene rimosso dal suo stato di equilibrio in conseguenza di scambi di energia, si dice che esso subisce una trasformazione durante la quale le grandezze di stato ariano fino al raggiungere le nuoe condizioni di equilibrio. Se il sistema eole in modo sufficientemente lento, i alori ia ia assunti dalle arie grandezze di stato durante il processo di trasformazione risultano molto prossimi (al limite identici) ai alori corrispondenti a stati intermedi di equilibrio. In questo caso si usa dire che il sistema subisce una trasformazione termodinamica reersibile. In altri termini una trasformazione reersibile può essere pensata come una successione di stati di equilibrio. In ogni punto di una trasformazione siffatta (sistema all'equilibrio) si può pensare di poter indifferentemente ariare le grandezze di stato del sistema di quantità infinitesime sia in un senso che in quello opposto tramite gli opportuni scambi di energia.

4 Se, durante una trasformazione finita di un sistema (ad esempio, un processo spontaneo erso un nuoo stato di equilibrio) si erificano inece deiazioni finite dalle condizioni di equilibrio il processo è detto trasformazione irreersibile. In realtà, nessuna trasformazione termodinamica è reersibile; affinché una trasformazione termodinamica possa essere considerata reersibile, dee essere infinitamente lenta e in assenza di fenomeni dissipatii (attrito, reazioni chimiche, etc.). Nelle figure a e b sono rappresentate due ipotetiche trasformazioni reersibili di un sistema chiuso: in ogni punto tra gli stati e (iniziale e finale) le proprietà P e assumono alori di equilibrio ben definiti. fig. a fig. b Se lo stato è dierso dallo stato, la trasformazione si dice aperta (fig. a); se lo stato coincide con, la trasformazione si dice chiusa o ciclica (fig. b). 7.6 CALORE E TEMPERATURA L'esperienza comune insegna che è possibile classificare sistemi diersi sulla base della sensazione di caldo e di freddo da noi aertita al loro contatto. Diciamo che dall'uno all'altro aria una certa grandezza, crescente dal più freddo al più caldo, detta temperatura. L'esperienza dimostra che se due corpi a temperatura diersa engono posti a contatto, il corpo più caldo si raffredderà e quello più freddo si riscalderà, fino a quando non iene raggiunta una temperatura intermedia di equilibrio. Si dice che i due corpi si sono scambiati calore. Come si edrà col termine scambio di calore si intende il passaggio, tra un sistema e l'altro, di una nuoa forma di energia (energia termica) che si erifica come conseguenza di una differenza di temperatura tra i due sistemi. In altri termini si può dire che se un sistema cede (scambia) calore ad un altro sistema la sua temperatura è maggiore. La temperatura di un sistema in confronto alla temperatura di altri sistemi indica quindi in quali casi il sistema in oggetto risulterà, con termine improprio, donatore o ricettore di energia termica. Non appena i due sistemi, posti a contatto, raggiungono l'equilibrio termico, cioè la stessa temperatura, cessa lo scambio di energia termica dall'uno all'altro.

5 Si può osserare che la presenza di una differenza di temperatura tra due sistemi non è sempre condizione sufficiente perché lo scambio termico si erifichi, il contorno di uno dei due sistemi infatti può essere in certi casi tale da impedire del tutto lo scambio termico. Un siffatto contorno è detto adiabatico. Un sistema con contorni perfettamente adiabatici è termicamente isolato, in altre parole non può essere influenzato dall'esterno mediante scambi di calore. La temperatura si misura con i termometri; per la costruzione di essi si sfruttano dierse proprietà di corpi sensibili alla temperatura. In genere si sfrutta la proprietà dei corpi di dilatarsi con l'aumentare della temperatura. Vi sono determinate sostanze, ad esempio il mercurio, il cui olume cresce in modo sufficientemente uniforme al crescere della temperatura. Pertanto, se una certa quantità di mercurio è racchiusa in un tubo di etro di piccolo diametro, il liello della colonna salirà quando la temperatura cresce e scenderà quando la temperatura decresce. Oiamente, è necessario introdurre e definire una scala di temperature: la scala in gradi centigradi (simbolo t) attribuisce il alore t 0 = 0 gradi alla temperatura del punto fisso acqua-ghiaccio, ed il alore t 00 = 00 gradi alla temperatura di ebollizione dell'acqua alla pressione atmosferica di 0300 [Pa]. L'unità di misura di temperatura è il grado centigrado (simbolo C) che corrisponde alla centesima parte della differenza tra i due suddetti punti fissi. Come si edrà, mentre non esiste un limite massimo per le temperature, esiste inece un limite minimo (denominato zero assoluto) corrispondente a - 73,5 [ C] nella scala centigrada. Risulterà, quindi, naturale introdurre una nuoa scala di temperatura detta scala assoluta, definita dalla relazione: T = t + 73,5 [ K] L'unità di misura è chiamata grado kelin (simbolo K). A questo punto, utilizzando un termometro, si può alutare un quantità di energia termica (calore) Q misurando l'aumento di temperatura subito da una massa m di un corpo campione: Q = c m T oe "c" è una costante di proporzionalità, detta calore specifico. Poiché in passato si è assunto conenzionalmente c = per l'acqua, l'unità di misura della quantità di calore Q, cioè la kilocaloria (simbolo kcal) era definita come la quantità di calore necessaria per eleare di un grado centigrado (da 4,5 [ C] a 5,5 [ C]) la temperatura di un kg d'acqua a pressione atmosferica (c = [kcal/kg C]). La precisazione dell'interallo di temperatura deria dal fatto che il calore specifico dell acqua c aria al ariare della temperatura. Poiché, anticipando quanto affermato dal I Principio della Termodinamica, il calore nulla altro è se non uno scambio di energia, nel sistema S.I. esso dorà essere espresso, per omogeneità, in joule [J]. Il fattore di conersione è dato da: [kcal] = 486 [J]. Dato che l'espressione che permette di calcolare il calore specifico è: c = Q/mT, l'unità di misura del calore specifico nel sistema SI sarà quindi: J/kg K

6 7.7 I PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA L'esperienza insegna che lo stato termodinamico di un sistema chiuso può cambiare in conseguenza di scambi di energia nelle sue arie forme con l'esterno. Ai fini del presente studio si ipotizza che possano erificarsi solo due modalità dierse di scambio di energia attraerso i confini del sistema e cioè: energia termica o calore Q; energia meccanica o laoro L. È opportuno a questo punto chiarire quale conenzione dei segni è generalmente adottata in termodinamica. Si assume: Q > 0 quando il calore iene fornito al sistema L > 0 quando il laoro iene compiuto dal sistema. Ad esempio, il sistema rappresentato in figura ha eseguito un laoro, solleando la massa m. Il laoro eseguito è: L = m g h > 0 In quest'altro caso, laoro esterno L' < 0 è stato speso all'interno del sistema: L' = m g h* < 0 Si consideri ora un sistema chiuso che, soggetto a scambi di calore e laoro, subisca una trasformazione termodinamica. Si supponga che il baricentro del sistema non ari la sua posizione e che sia possibile escludere a priori il erificarsi di ariazioni di energia potenziale o cinetica del sistema stesso.

7 Se si opera mediante una successione opportuna di scambi Q i e L i, in modo tale da far si che il sistema riassuma alla fine delle operazioni uno stato termodinamico identico a quello che lo caratterizzaa all'inizio, si erificherà sempre che: Q i L i oe: - sta a indicare una sommatoria su una trasformazione ciclica. Modificando l ordine e l entità degli scambi ma sempre operando per ottenere realizzare una trasformazione ciclica (in riferimento alla figura ritornando allo stesso stato iniziale) l esperienza dimostra che per qualunque sistema si ottiene sempre lo stesso risultato. Q i L i Ipotizzando di scambiare calore e laoro con continuità e quindi che si possa esprimere scambi complessii Q e L come: i i Q dq i e Li dl si ha: dq dl dq dl 0 Da un punto di ista matematico quando si erifica questa condizione dee esistere una funzione potenziale U tale che risulti: du = dq - dl [J] oe: - U funzione dello stato termodinamico del sistema. Questo risultato è importante perché gli scambi elementari dq e dl non godono della suddetta proprietà. Poiché gli scambi dl e dq sono termini energetici, per omogeneità anche du dee essere un termine energetico, il cui significato non può che essere quello di rappresentare la ariazione globale del contenuto energetico del sistema.

8 In altre parole, la somma degli scambi energetici elementari dl e dq misura la complessia ariazione del contenuto energetico del sistema du in una trasformazione elementare. Da un punto di ista microscopico, l'energia interna può essere interpretata come somma di tutte le forme di energia cinetica e potenziale associate al moimento disordinato delle particelle costitutie ed alle forze che tra loro si esercitano. In genere è consuetudine riferire gli scambi di calore e laoro dq e dl non al sistema globale ma all'unità di massa [kg]. Secondo tale conenzione, che da questo momento adotteremo sempre, errà considerata anziché l'energia totale interna U del sistema [J], l'energia interna per unità di massa del sistema che si indicherà con la lettera minuscola u [J/kg]; le dimensioni di Q, L ed u saranno quindi nel sistema S.I. [J/kg]. Nel caso di fluidi termodinamici (sostanze chimicamente pure), come già detto, lo stato di un sistema è definito dalla conoscenza di due sole grandezze, per cui, ad esempio il differenziale dell'energia interna U risulta, in relazione alla coppia di ariabili T e esprimibile da: u u u = u (T,) du dt d T Fino a questo punto si è esclusa la possibilità di ariazioni di energia cinetica e potenziale interessanti l'intero sistema: abbiamo supposto cioè che il sistema in esame fosse sempre fermo. Nel caso più generale, quando cioè possono erificarsi ariazioni di energia cinetica de c e di energia potenziale de p del sistema il primo principio può essere scritto nella forma: dq - dl = du + de c + de p [J/kg] T 7.8 PRECISAZIONI SULLO SCAMBIO DI LAVORO Quando un sistema termodinamico interagisce con l'esterno, ad esempio quando una porzione del suo contorno muoendosi sposta il punto di applicazione di una forza esterna, il sistema scambia laoro meccanico. Si consideri il sistema rappresentato in figura e costituito da una massa m di un aeriforme all'interno di un cilindro munito di pistone di superficie A. Si supponga che il pistone possa muoersi senza attrito e che il sistema sia in equilibrio con grandezze di stato, uniformemente distribuite in tutto il sistema.

9 In queste condizioni, la pressione interna del sistema P è pari alla pressione esterna P e = F e /A sul lato esterno del pistone. Se i fosse una differenza di pressione dp > 0 tra la pressione interna P ed quella esterna P e ed il pistone si muoerebbe destra di una quantità dx raggiungendo, in questa posizione, una nuoa condizione di equilibrio. Il laoro compiuto dal sistema contro la forza esterna F e è esprimibile mediante la pressione interna del sistema e cioè in termini della grandezza di stato P: dl s = - F e dx = F i dx = P A dx = P dv [J] Un siffatto processo elementare si può erificare solo in assenza di attrito. Riferendosi all'unità di massa del sistema si può scriere: dl = dl s /m = P dv/ m = P d [J/kg] Si noti che il segno di dl dipende dal alore di d: il laoro è positio in corrispondenza di una dilatazione del sistema (d > 0) e negatio nel caso contrario (d < 0). Nel caso di una trasformazione finita, tra uno stato e uno stato, intesa come una successione stati di equilibrio del sistema e cioè reersibile, il laoro specifico scambiato con l'esterno è, quindi: L = Pd [J/kg] L'integrale, oiamente, può alutarsi solo se si conosce la funzione P= P(), e cioè se engono precisate le modalità della trasformazione. E' oio che una trasformazione siffatta (sistema sempre all'equilibrio) può essere approssimatiamente realizzata lasciando eolere il sistema molto lentamente e cioè controllando la trasformazione al fine di far sì che nel corso del processo la pressione esterna P e differisca sempre di molto poco dalla P del sistema. Se si immagina di passare da uno stato ad uno stato mediante due trasformazioni dierse I e II (edi figura), il laoro scambiato è rappresentato dall'area sottesa dalle cure I e II, e quindi dipende dalle modalità con cui aiene la relatia trasformazione -. Il laoro L, come già isto in precedenza, non è una funzione di stato. Nel caso di una trasformazione reale non reersibile l'espressione seguente: Pd non rappresenta più lo scambio effettio di laoro tra il sistema e l'esterno.

10 In questi casi, infatti, a causa di attriti e/o di squilibri tra la pressione interna ed esterna la pressione interna non è più eguale a quella esterna (P P e ). Durante una trasformazione reale non reersibile si determinano, ad esempio, differenze di P tra un punto e l'altro del sistema con moimenti interni di fluido per cui lo scambio di laoro con l'esterno potrà essere alutato solo in riferimento allo spostamento subito dalla forza esterna e cioè sulla base della P e e quindi, si noti, non più in funzione della grandezza di stato del sistema P. In generale, non è possibile sapere quali alori abbia effettiamente assunto la pressione interna P del sistema nel corso di un processo non reersibile. 7.9 PROCESSI A VOLUME COSTANTE ED A PRESSIONE COSTANTE 7.9. Processi a olume costante Se un sistema termodinamico si trasforma mantenendo costante il suo olume perché contenuto in un recipiente a pareti rigide, non può, erificarsi una scambio di laoro meccanico dl, e cioè: d = 0 => dl = 0 In questo caso ( = cost.) il primo principio comporta: dq = du oe: - l'indice indica che la quantità di calore dq è scambiata a olume costante. In termini finiti, per un processo isocoro (a olume costante) che porti il sistema dallo stato allo stato, risulta: Q, = u - u In una trasformazione isocora, lo scambio termico tra sistema ed esterno eguaglia la ariazione della funzione di stato energia interna Processi a pressione costante Si consideri un processo a pressione costante: il sistema, rappresentato in figura, nella condizione iniziale si troa a pressione P = P e, mentre nello stato, giunge a P = P = P e.

11 Pe Pe Supponendo il pistone senza attrito il laoro compiuto dal sistema contro la pressione esterna P e, può essere facilmente alutato. Si può osserare infatti che il pistone, passando dallo stato allo stato, ha spostato di un tratto x il piano su cui è applicata la forza esterna F e. Si può scriere: L, = -F e x = P e ( - ) > 0 Possiamo scriere il primo principio come: Q, = u - u + L, Oppure, essendo P e = P = P, anche: Q, = u - u + P - P Se si definisce la funzione di stato entalpia h = u + P, somma di u e del prodotto P, si può scriere: h - h = u + P - u - P Per una trasformazione a pressione costante oe i sia unicamente laoro contro la pressione esterna il I Principio può essere scritto nella forma: h - h = Q, ([J/kg) oero, in questa trasformazione isobara, lo scambio termico tra il sistema e l'esterno eguaglia la ariazione della funzione di stato entalpia. 7.0 CALORI SPECIFICI FONDAMENTALI c E c p In generale il calore specifico di un sistema dipende dalle modalità con cui iene scambiato calore. Il calore specifico è definito dalla relazione: c = dq/dt [J/kg K] e rappresenta quindi la quantità di calore dq che bisogna fornire all'unità di massa del sistema per innalzare la sua temperatura di dt gradi lungo la particolare trasformazione in esame. In termini finiti, si può oiamente scriere: c = Q/ T [J/kg K]. opportuno ricordare che, se un sistema si trasforma ad esempio da uno stato ad uno stato, la quantità di calore scambiata Q, dipende dalla particolare trasformazione eseguita non essendo Q, una funzione di stato, e quindi in conseguenza anche il calore specifico dipende

12 dalla trasformazione. Supponiamo ad esempio di considerare un fluido contenuto in un recipiente rigido. Supponiamo che, attraerso i confini del sistema enga scambiata una quantità di calore dq. Sulla base di quanto precedentemente isto, per un processo a olume costante, si può scriere: dq = du diidendo entrambi i membri per la corrispondente ariazione di temperatura dt subita dal sistema risulta: c = dq /dt = du/dt oe: c iene detto calore specifico del fluido a olume costante. In generale essendo l'energia interna u esprimibile come u = u (T,) si può scriere: u u du d dt T T ed essendo nel nostro caso d = 0 risulta: u du dt T per cui : dq du u c dt dt T Si può scriere anche: dq = c dt = du Nel caso di un processo isobaro risulta analogamente: dq p dh h cp dt dt T e si può scriere: dq P = c P dt = dh p In generale per fluidi allo stato aeriforme, c p differisce da c in modo significatio, mentre per sostanze liquide e solide risulta: c c P c 7.0. Esempio Un boiler contiene 50 litri di acqua alla temperatura di 7[ C]: determinare l'energia termica necessaria per portare la temperatura dell'acqua a 80 [ C] (c = 4.86 [kj/kg K]). Si supponga che le pareti del recipiente siano adiabatiche (termicamente isolate).

13 Soluzione Si può applicare al contenitore il I Principio della termodinamica, considerando come sistema l'acqua contenuta al suo interno. La trasformazione (riscaldamento dell'acqua) può essere considerata a olume costante, in quanto un liquido non cambia il suo olume in modo apprezzabile. Si può quindi scriere: du = dq - dl [J/kg] In questo caso non i sono scambi di laoro con l'esterno, quindi dl = 0, integrando si ha allora, per unità di massa: Q = u - u = c t = c (t - t ) [J/kg] la quantità di calore complessia da fornire al sistema sarà, quindi: Q' = m Q Il boiler contiene V = 50 [dm3] = = 0.05 [m3] per cui la massa d acqua contenuta è: m = V = 000 [kg/m3] [m3] = 50 [kg] L energia termica necessaria è: ' Q m Q m c ( t t ) ( ) kj 7. I PRINCIPIO PER I SISTEMI APERTI Dopo aer trattato alcuni aspetti della termodinamica dei sistemi chiusi, è ora opportuno ricaare un'espressione del I principio che particolarmente si presta allo studio dei sistemi con deflusso di massa (sistemi aperti). Si consideri un sistema aperto del tipo rappresentato in figura. Il sistema è delimitato da pareti rigide ed indeformabili e da una sezione di ingresso e una di uscita attraerso le quali si muoe un fluido. Attraerso i confini del sistema può essere scambiato laoro meccanico mediante un albero di trasmissione collegato a pale mobili. Si supponga che la quantità di fluido che attraersa il sistema non ari nel tempo e così pure aenga per lo stato termodinamico del fluido sia all'ingresso che all'uscita del sistema. Siano w, P e w e P, la elocità e la pressione alutate nelle sezioni e. Sia Q, la quantità di calore scambiata con l'esterno e L', il laoro meccanico scambiato con l'esterno mediante l'albero di trasmissione. Poiché in questo caso sono da considerarsi anche

14 ariazioni di energia cinetica e potenziale, tra ingresso e uscita del fluido, è necessario fare riferimento al I principio nella sua forma più generale: w w Q, L, u u gz z J / kg Si osseri infatti che l'utilizzo di questa espressione è necessario per tener conto del fatto che l'unità di massa del fluido ( kg) può essere caratterizzata da E c = (w - w )/ e da E p = g (z - z ) diersi da zero. Il termine L, che però compare in questa espressione rappresenta il laoro totale scambiato con l'esterno per unità di massa di fluido. E' opportuno osserare che esso risulta pari alla somma del laoro meccanico scambiato con l'esterno mediante l'albero di trasmissione L', o laoro esterno netto più un termine L p detto laoro di pulsione che tiene conto del laoro speso per spingere l'unità di massa del fluido attraerso le sezioni e. Si può scriere: L, = L', + L p Per alutare il termine L p si può considerare una massa di fluido dm in procinto di attraersare la sezione, di area A. Le forze esterne al sistema deono spingere l'elemento dm attraerso la sezione compiendo laoro contro quelle interne. In riferimento a queste ultime il laoro risulta: dl p = - F dx = - P A dx = - P dv = - P dm / =- P dm essendo la densità = dm / dv. Integrando, si ottiene: L m p P dm P m0 Per la sezione, analogamente si ottiene: L p = P > 0 0 Il laoro totale risulta, quindi: L, = L', + P - P Ricordando la definizione di entalpia h = u + p, si può scriere : e, cioè: h = u + (P) h - h = u - u + P - P

15 Sostituendo nell'equazione di bilancio si ottiene infine: w w Q, L, h h g / z z J kg Tale equazione è detta equazione di bilancio dei sistemi aperti e rieste particolare importanza nelle applicazioni impiantistiche. Se poi Q, = L', = 0 e E c = E c = 0 è anche h = h e cioè il processo è isoentalpico. Moltiplicando per la portata di fluido q m e tenendo conto che nel nostro caso, oiamente è anche q m = q m = q m ; si può scriere: q m h = q m h Questa equazione di bilancio entalpico può essere generalizzata, nelle stesse ipotesi, a sistemi caratterizzati da più ingressi e/o più uscite. Si consideri ad esempio un sistema del tipo rappresentato in figura, oe aenga un processo di miscelazione adiabatica (Q, = 0) in cui si ha anche L', = 0 q m h q m3 h 3 q m h Si può dimostrare che, a regime risulta: q m h + q m h = q m3 h 3 oe, oiamente: q m3 = q m + q m 7.. Esempio Dell'aria percorre una tubazione erticale lunga 3 metri, in cui le iene fornito del calore pari a 8 [kj/kg]. Calcolare la temperatura dell'aria all'uscita del canale sapendo che la sua elocità all'ingresso è w = 3 [m/s] e all'uscita è w = 8 [m/s] e che la temperatura all'ingresso è pari a t = 7 (dh = c P dt, c P = [kj/kg]. Soluzione. Dall'equazione di bilancio dei sistemi aperti: considerando i dati: Q + L' = h - h + (w w )/ + g (z - z )

16 Q = 8000 (J/kg) ; L' = 0; (z - z ) = 3 [m]; w = 3 [m/s] ; w = 8 [m/s]; g = 9.8 [m/s ] si ottiene: h - h = 783. [J/kg] h - h = c P (t - t ) t = t + (h - h ) / c P e la temperatura dell'aria all'uscita della tubazione è: t = 34.8 [ C]. 7. Il GAS PERFETTO L'esperienza insegna che qualunque sostanza aeriforme, sufficientemente rarefatta, si dilata a pressione costante linearmente con la temperatura, in modo del tutto indipendente dalla sua natura chimica. Tale comportamento è noto sotto il nome di legge di Gay Lussac. Ogni aeriforme che segua rigorosamente queste legge è detto gas perfetto o ideale. Si può scriere la legge di Gay Lussac nella forma: V = V 0 ( + t) (P = cost.) oe : - V 0 è il olume occupato a t = 0 [ C]; - t è la temperatura [ C]; - è una costante di proporzionalità (/ [ C]). Come è eidente, un fluido siffatto risulta essere la sostanza termodinamica ideale per misurare la temperatura (aria con essa in modo rigorosamente lineare, secondo le espressioni qui sopra). A questo scopo si può misurare con precisione il olume occupato dal gas in corrispondenza dei due punti fissi 0 [ C] e 00 [ C].

17 Una ariazione di olume pari a /00 di V = (V 00 - V 0 ) corrisponde ad un grado centigrado o Celsius ([ C]). Al crescere della temperatura, il olume aumenta illimitatamente, mentre al contrario, come edremo, le temperature più basse, negatie nella scala centigrada, hanno un limite. Diminuendo la temperatura le molecole di una qualunque sostanza aeriforme, in conseguenza delle forze di coesione esistenti tra loro, si possono raccogliere in un olume molto più piccolo e l'aeriforme si trasforma in liquido; un ulteriore raffreddamento può comportare infine la formazione di una fase solida. Nel caso di gas ideale, per il quale si ipotizza che le molecole non interagiscano tra loro e non abbiano un olume proprio significatio, l'abbassamento di temperatura può portare il gas ad un olume nullo. In realtà, è perfettamente possibile aicinarsi al comportamento ideale (e cioè in questo caso al olume nullo), basta riempire il recipiente, ad esempio il termometro, con quantità sempre più piccole di gas, ossia con gas sempre più rarefatto. 7.3 LA TEMPERATURA ASSOLUTA - SCALA KELVIN Se rappresentiamo la legge di Gay Lussac in un piano olume-temperatura, possiamo osserare che il coefficiente angolare della retta e cioè la tangente dell'angolo si può esprimere nel modo seguente: V = V 0 ( + t ) tg = dv/dt = V 0 In relazione al triangolo rettangolo ABC, risulta: oe: tg = V 0 = V 0 / t = / t - t = ariazione di temperatura al di sotto dei 0 [ C] corrispondente al raggiungimento di un olume limite V = 0. L'esperienza insegna che, per qualunque aeriforme sufficientemente rarefatto, ale /73.5, da cui: t = 73.5 [ C]. Come si può osserare, quando la temperatura (in gradi

18 centigradi) tende al alore -73.5, il olume di un gas sufficientemente rarefatto tende a zero. Poiché non hanno oiamente senso alori negatii di olume, esiste un limite alle più basse temperature raggiungibili, corrispondente al alore t = [ C], cioè zero assoluto. Poiché questa è la temperatura più bassa raggiungibile, è naturale che in fisica si utilizzi una scala delle temperature, che parta appunto dallo zero assoluto e che iene detta scala assoluta. Tale scala è definita dalla relazione: T = t + 73,5 (K) Si osseri che, oiamente, una ariazione di temperatura può essere espressa indifferentemente sia come gradi Celsius che Kelin: t ( C) = T (K) 7.4 EQUAZIONE DI STATO DEL GAS IDEALE Oltre alla legge di Gay Lussac che descrie il comportamento di un gas ideale a pressione costante è opportuno ricordare che, a temperatura costante, il olume occupato da un gas ideale, risulta essere inersamente proporzionale alla pressione cui il gas è sottoposto (legge di Boyle): P V = cost. (T = cost.) E' necessario, a questo punto, tenere in debito conto anche la quantità di gas che costituisce il sistema; ad esempio facendo riferimento alla mole. È opportuno a questo punto, aprire una bree parentesi per ricordare il concetto di mole. Come noto si definisce grammomole di una sostanza, un numero di grammi di questa pari alla sua massa molecolare relatia che, si ricorda, essere definita come il rapporto tra la massa della molecola in oggetto ed un / della massa dell'atomo di carbonio (C ). Una grammomole di qualunque sostanza contiene un egual numero di molecole N pari a 6, (numero di Aogadro). Spesso, inece, della grammomole si utilizza la kilomole o mole, ossia un numero di kilogrammi di sostanza pari alla massa molecolare relatia ; ad esempio per l ossigeno (O ) una kilomole e cioè n O = (kmole) corrisponde ad una massa di 3 [kg] di ossigeno. Orbene, quando è P o = 0300 [Pa] e T o = 73 [K] (condizioni normali) il olume occupato da kmole di qualunque gas o olume molare o è lo stesso. Risulta, cioè: o = V o / n =.4 [m 3 / kmole]

19 oe: - n = numero di kilomoli e V 0 olume complessio del sistema [m 3 ]. Quanto finora precisato può essere sintetizzato nella seguente relazione (equazione di stato dei gas perfetti): PV = n R T La costante R non dipendendo dalla natura del gas è detta costante uniersale dei gas ideali. Le dimensioni di R sono, oiamente, [J/kmole K]. Si può scriere, quindi: P = R T ed essendo il olume occupato da kmole (olume molare): = V/n [m 3 / kmole]. In riferimento alle citate condizioni normali, il alore numerico della costante R è: R = P o / T o = (0300 (Pa).3 (m 3 / kmole) / 73 (K) = 834 (J/kmole K) Spesso si preferisce scriere tale espressione introducendo il olume specifico [m 3 /kg]. Poiché se m (kg) è la massa di gas il numero di moli è: n = m/ oe: - = massa molecolare [kg/kmole] del gas; si ottiene, dall'espressione precedente: M P V = R T e, ponendo R i = R/, costante specifica della sostanza i, si può scriere anche: P V = M R i T P = R i T Le dimensioni di R i sono [J/kg K]. L'aria, miscela di ossigeno ed azoto, può essere considerata come una sostanza omogenea, purché caratterizzata da un peso molecolare a media tra O e N. Risulta a = 9 [kg/kmole], per cui R a = 834/9 = 86 [J/kg K] Esempio Una bombola contiene aria alla pressione P = 00 [bar] a temperatura ambiente 0 [ C]. Se la capacità della bombola è V = 5 l, qual'è la massa d'aria M contenuta nella bombola? Si consideri l'aria un gas perfetto con una massa molecolare pari a 9 [kg/kmole]. Soluzione Dall'equazione P = R a T, noti P, R a e T, si ricaa.

20 Dai dati: Risulta: T = = 93 [K]; P = 00 [bar] = [Pa]; R a = 86 [J/kg K]; V = 5 l = [m 3 ]. = R a T / P = [m 3 /kg] M = V/ = 3.58 [kg]. 7.5 TRASFORMAZIONI REVERSIBILI DI UN GAS PERFETTO Alcune trasformazioni termodinamiche di un gas perfetto presentano particolare interesse; si ricordano tra queste: trasformazione a costante (isocora) trasformazione a P costante (isobara) trasformazione a T costante (isoterma) nelle quali è mantenuta costante una grandezza di stato; trasformazione adiabatica in cui è nullo lo scambio di calore Trasformazione isocora: d = 0 ; dl = 0 - trasformazione Tale trasformazione reersibile è caratterizzata da = cost. e quindi anche da d = 0 per cui è anche dl = Pd = 0. Sulla base del primo principio si può scriere: dq = du oe il pedice indica che lo scambio di calore dq è effettuato con le modalità dette sopra (= cost). Deriando rispetto alla temperatura, si può scriere: dq du c dt dt Infatti, in genere il differenziale du, per un fluido termodinamico, può essere espresso come: u = f(t,) e quindi nella forma: u u du dt d T T Nel caso di un processo isocoro (d = 0), l'espressione si riduce alla forma seguente:

21 u du T Nel caso di un gas perfetto l esperienza dimostra che l'energia interna è solo funzione della dt u temperatura, e quindi u = f(t), per cui è 0 T e, quindi, sempre risulta che: du dt u T c du c dt Nel nostro caso si ottiene, per la trasformazione finita : Q, du c dt u u c T T (J/kg) 7.5. Trasformazione isobara: dp = 0 - trasformazione 3 che, nel caso dp = 0, si riduce a: per cui si può scriere: Sulla base del primo principio risulta: dq p = du + Pd oe il pedice p indica che lo scambio di calore dq p è effettuato a P = cost. Ricordando la definizione della grandezza di stato entalpia, si può scriere : dh = du + dp + Pd dh = du + Pd dh = dq p e, in perfetta analogia col caso precedente, anche: dq P dh c P dt dt Infatti, nel caso di un fluido termodinamico, si può porre h = f(t,p) e cioè : h dh T che, per un processo isobaro (dp = 0), si riduce a: h dh T P P h dt P dt T dp

22 Nel caso di gas perfetto poiché l'entalpia h è, in base alla sua definizione solo funzione della temperatura si ha anche: h P T 0 In questo caso è, oiamente, dp = 0 e si ottiene per la trasformazione finita 3 : Q 3 3,3 di c PdT I 3 I c P T3 T [J/kg] Trasformazione isoterma: dt = 0; du = 0 - trasformazione 4 Questa trasformazione, nel caso di gas ideale, è caratterizzata, oltre che da dt = 0, anche da du = c dt = 0. Applicando il primo principio si ottiene: dq T = Pd = dl in termini finiti si ha: Q R T 4 4 i 4,4 L,4 Pd d R it ln [J/kg] essendo (T = cost.) ed utilizzando l'equazione di stato, P = R i T /. Sul diagramma (P,) l'isoterma 4 è rappresentata da un tratto di iperbole equilatera, essendo P = R i T = cost Trasformazione adiabatica: dq = 0 - trasformazione 5 Sulla base del primo principio, essendo dq = 0, risulta: - Pd = du = c dt e differenziando l'equazione di stato si può scriere: si ottiene: Pd dp dt R i - R i P d = c (Pd + dp) per un gas perfetto dalla definizione di entalpia, h= u + P si può scriere: dh dt du dt P du dr T d dt dt i dt

23 e, quindi, si ha : c P = c + R i cp d dp c P ponendo k = c P / c >. k Pd dp Integrando, si ottiene per una trasformazione adiabatica la relazione: P k = cost. Si noti, in figura, come l'adiabatica 5 essendo k > sia caratterizzata da una pendenza dp/d = -k P/ maggiore dell'isoterma 4 per la quale è dp/d = - P/. In riferimento alla trasformazione adiabatica (trasformazione 5), si può scriere: d(p) Pd dp Pd k(pd) ( k) Pd Per cui si può anche scriere : d(p) Pd k Il laoro scambiato lungo la trasformazione 5 è: L,5 5 Pd L,5 P P 5 k 5