Numero aureo e pentagono Il pentagono regolare

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1 Numero aureo e pentagono Il pentagono regolare - Gli assiri probabilmente lo scoprirono in modo casuale (rappresentato dall impronta di 5 dita sull argilla. - Per i greci il pentagono rappresentò un problema: per la loro mentalità razionale l unico modo per costruire figure geometriche era l utilizzo di riga e compasso, ma con tali strumenti non si riesce a disegnare immediatamente un pentagono. - Il metodo di costruzione con riga e compasso è un metodo che comporta diverse limitazioni: consiste di tracciare punti, segmenti o archi mediante una riga (priva di segni) ed un compasso. Con questo metodo è possibile tracciare la mediana di un segmento, la bisettrice di un angolo, il punto simmetrico da un altro, la retta parallela o perpendicolare ad una retta, dividere un segmento in parti uguali, ecc. - Esistono un serie di problemi che non possono essere risolti con riga e compasso. Ad esempio la quadratura del cerchio (disegnare un quadrato con la stessa area di un cerchio), la duplicazione di un cubo (trovare lo spigolo di un cubo, il cui volume sia doppio di quello originale), la trisezione di un angolo (dividere un angolo in tre parti uguali). Tramite il procedimento diretto con riga e compasso non si possono costruire nemmeno alcuni poligoni regolari, come l ettagono o il pentagono. - Il pentagono regolare può essere disegnato con riga e compasso in modo indiretto, avvalendosi di Φ: fu in questo modo che il numero aureo fece il suo ingresso nel campo della geometria greca. page 1 / 15

2 - Nel pentagono regolare si realizza la relazione EB/ED = Φ. - Le diagonali formano la stella pentagonale. - La ragione Φ si trova anche nei rapporti dei lati dei 3 tipi di triangoli isosceli - Karl Friederih Gauss ( ). Il principe dei matematici. Ha dimostrato che l eptadecagono regolare (17 lati) può essere costruito con riga e compasso. Questa scoperta segnò l inizio della sua carriera. - Il teorema di Morley ( ). Se si trisecano gli angoli interni di un qualunque triangolo per mezzo di semirette che partono da ciascun vertice, le coppie di semirette adiacenti ad ogni lato risultano secate in tre punti che, uniti, individuano sempre un triangolo equilatero. A differenza della maggior parte dei teoremi sui triangoli, già noti ai greci, questo teorema ha poco più di 100 anni (1904): page 2 / 15

3 Il triangolo aureo - Il pentagono e le sue diagonali formano due tipi di triangoli isosceli, con i seguenti angoli: 36, 36, 108 e 36, 72, 72, in entrambi i casi il rapporto tra il lato maggiore e lato minore è Φ, per questo vengono chiamati triangoli aurei (TA). - Il pentagono regolare che compare al centro è circondato da TA. - Per mezzo di un TA si può costruire un pentagono regolare con riga e compasso. Nella procedura di creazione si passa attraverso un decagono (unendo i vertici dispari si ottiene il pentagono). - Le dimensioni di un RA sono definite dal lato del decagono regolare iscritto in una circonferenza e dal raggio delle stessa. - Anche da un TA con angoli di 36, 72 e 72 è possibile ricavare una spirale logaritmica, bisecando l angolo di 72. page 3 / 15

4 La simbologia della stella pentagonale - Il senso comune ci fa pensare che la rappresentazione delle stelle derivi dal fatto che queste scintillano e che noi percepiamo questo scintillio come le punte della stella pentagonale. - Questa rappresentazione (stelle derivate dal pentagono) è molto antica (si trovano in tavolette mesopotamiche e geroglifici egizi). - La stella pentagonale è anche detta pentacolo o pentagramma Questa era anche il simbolo del gruppo dei pitagorici. Per loro la pentade (ovvero il 5) era il numero dell armonia nella salute e nella bellezza. - Matila Ghyka ( ) principe rumeno, scrittore e professore di estetica negli USA, diceva che il pentacolo è stato di volta in volta simbolo dell Amore creatore e della Bellezza vivente, come pure dell equilibrio nella salute del corpo umano. Matila Ghyka si occupò della proporzione aurea. Scrisse Estetica delle proporzioni nella natura e nelle arti e il numero d oro, con cui riportò la sezione aurea nuovamente in auge nell ambito della moderna cultura europea. Secondo lui gli artisti greci dell antichità classica usavano la proporzione aurea in modo conscio e consapevole, tesi però poco considerata nel mondo accademico. - Il pentacolo ha una lunga storia come simbolo di società segrete. Appare nell emblema dei Rosacroce e nelle logge massoniche. page 4 / 15

5 - Ha diversi significati. E il simbolo delle stelle di Hollywood (Walk of Fame di Los Angeles) e simbolo di molti partiti rivoluzionari. I cinque vertici rappresentano l internazionalismo in quanto vengono associati ai cinque continenti. Abbinata al rosso, simboleggia la sofferenza degli oppressi nella lotta all emancipazione o il sangue versato per la libertà. - Il suo valore simbolico è protagonista in diverse bandiere (come quella del Marocco, dove rappresenta i 5 precetti dell Islam). Mosaici - Anche la forma delle piastrelle e dei mattoni che ci circondano hanno combinazioni ordinate che ci conducono al numero aureo: i mosaici. - Un mosaico è la copertura di un piano realizzata attraverso l uso di tessere ed effettuata in modo che non ci siano spazi vuoti, ne sovrapposizioni. - I mosaici d interesse sono quelli realizzati con tessere poligonali. Studiarli è un impresa ardua. - La difficoltà nel concepire un mosaico consiste nel trovare un mosaico minimo che si possa ripetere in definitivamente fino a ricoprire un intero piano. Questo motivo minimo può essere costituito anche da una sola tessera destinato a ripetersi sempre uguale a se stesso. Con questa operazione otteniamo quello che viene chiamato mosaico periodico. I mosaici non periodici, invece, sono quelli che non si basano su un motivo minimo per ottenere questo genere di rivestimento. In tutti i mosaici però si trova la proporzione aurea. - Non tutti i poligoni regolari possono essere usati per creare un mosaico secondo la definizione. Ad esempio, l uso di pentagoni regolari crea spazi vuoti, quindi non è possibile piastrellare con pentagoni regolari. L angolo interno di un pentagono regolare è 108. Unendo tre pentagoni la somma degli angoli è di 108 *3=324. Lo spazio si riempie solo se la somma risultante degli angoli interni del poligono usato più volte risulta multiplo di 360. In altre page 5 / 15

6 parole l'angolo interno del poligono deve essere un divisore di Si deduce che gli unici poligoni regolari che possono essere usati per fare un mosaico periodico sono: l esagono (120 ), il quadrato (90 ) e il triangolo equilatero (60 ). Siccome l esagono è formato da 6 triangoli equilateri si può semplificare dicendo che esistono solo due possibilità per coprire un piano mediante poligono regolari: attraverso quadrati o triangoli equilateri. - E possibile utilizzare anche dei poligoni non regolari. Ad esempio il pentagono i figura è un poligono equilatero, ma non regolare in quanto i suoi angoli non sono uguali. Attraverso di esso però è possibile fare un mosaico periodico. - Esistono altri 13 tipi di pentagoni non regolari adatti ai mosaici (anche se esteticamente poco gradevoli). - Il palazzo reale della dinastia Nasride di Granada, l Alhambra, è un importante monumento all arte geometrica. Qui vi sono mosaici dappertutto. Si nota come la base di questi sia molto semplice, infatti si basano su tre tipi di tessere: la disposizione ed il disegno in base a cui questa si ripete assurgono a risultati sorprendenti. I monumenti dell arte mussulmana o mudéjar presentano moltissimi mosaici. - Tessera a osso (1) - Tessera pajarita o uccellino (2) - Tessera a chiodo (3) page 6 / 15

7 - L artista/matematico Escher fu impressionato dai mosaici dell Alhambra: molte sue opere sono costruite con costrutti geometrici e non geometrici, ripetitivi - Si possono realizzare anche mosaici semiregolari i cui mattoncini sono una coppia di poligoni regolari diversi tra loro. L unica condizione è che la somma degli angoli della forma che ne risulta sia pari a Ci sono molte combinazioni grafiche di forme geometriche diverse che offrono la possibilità di ricoprire comunque una superficie con motivi ripetuti senza page 7 / 15

8 lasciare vuoti. Mosaici di Penrose - Sono mosaici non periodici, cioè dove non esiste un motivo minimo che riempie tutto il piano per ripetizione. Richiedono l impiego di molte tessere diverse. Fino agli anni 60-70, costituirono una grande sfida del pensiero matematico. Con il termine tassellatura si intende una qualsiasi ripartizione del piano in un certo numero di figure dette tasselli. Si definisce tassellatura periodica una tassellatura che consente traslazioni almeno in due direzioni non parallele. In caso contrario si dice non periodica. In questi caso non c è un motivo stabilito, che si ripeta all infinito, ma la composizione varia in modo imprevedibile, costruendo un arabesco imprevedibile e affascinante. - Una prima possibilità per ottenere tali mosaici consiste nel realizzare mosaici radiali. Ad esempio partendo da un triangolo isoscele page 8 / 15

9 - Una sfida fu cercare di trovare un insieme minimo di tessere in grado di produrre solo mosaici non periodici. Nel 1971 il matematico statunitense Raphael Mitchel Robinson disegnò un insieme che si basa solo su 6 tessere, ottenute aggiungendo sporgenze e rientranze a mattoncini quadrati, per effettuare gli incastri. - Nel 1973 Roger Penrose (1931) riuscì a ridurre a 4 questo numero di tessere, e un anno dopo riuscì a ridurle a 2 grazie alla proporzione aurea. Riuscì a costruire mosaici non periodici servendosi di sole 2 tessere che chiamò Cometa (ABED) e Freccia (CBED). Il poligono cometa è l unione di due TA. La somma degli angoli è 360 (72 *3+144 ) e (36 * ) page 9 / 15

10 - Con questi mattoncini, si possono realizzare anche tassellature periodiche dato che, disposte in forma di rombo, permettono una pavimentazione omogenea. Per evitarlo si procede in questo modo: si identificano i vertici con due lettere in modo alternato (vedi figura) e si impone che, unendo due lati, si possono mettere in contatto solo vertici con lo stesso nome. - Più espandiamo il mosaico di Penrose, più la relazione fra il numero di tasselli dei due tipi tende al numero aureo. La tendenza è che ci saranno Φ volte più comete che frecce. - Ci sono diverse combinazioni di tessere cometa e freccia che possono formare mosaici (non periodici) diversi. page 10 / 15

11 - Penrose sviluppò un altro tipo di mosaico composto sempre da due tessere costituiti entrambi da due rombi: uno formato da due TA e l altro da due gnomoni aurei (anche in questo caso la proporzione di numero tra le i due tipi di tessere sarà in una proporzione di Φ) page 11 / 15

12 - Un altro studioso di tessere fu Solomon W. Golomb. Partendo da un semplice quadrato definì i polimini, cioè tessere generate con l utilizzo di tale quadratino da cui nacque il gioco Tetrix. Giochi con il pentagono stellato e proporzione aurea - La stella pentagonale ha suggerito la forma di molte plance da gioco, fin dai tempi più remoti. - Il pentacolo fu utilizzato nell antico Egitto: nel tempio di Kurna sono state trovate iscrizioni riguardo un gioco con una tavola a forma di stella pentagonale (1700 a.c.). Si tratta del Pentalfa, un gioco praticato ancora oggi nell isola di Creta. - Il gioco di Nim (variante). Si basa sulla successione di Fibonacci e quindi a che fare con la proporzione aurea. Abbiamo N pedine: il gioco consiste nell eliminarle a turni alterni, vince il giocatore che riesce a rimane per primo senza. Nella prima mano non si possono togliere tutte le pedine, mentre negli altri turni si, rispettando però le seguenti regole: - In ogni mano bisogna eliminare almeno una pedina - Non è possibile eliminare più del doppio delle pedine eliminate dal gioco dal nostro avversario nel turno precedente. - Se N è un numero della successione di Fibonacci, il secondo giocatore può avvalersi di una strategia vincete, se non lo è il primo giocatore ad avere la strategia vincente. - Il pentacolo. Per un solo giocatore. Obiettivo è collocare 9 pedine sui vertici della stella e sul pentagono interno. Questi punti sono 10, per cui uno dovrà rimanere vuoto. Le pedine vengono collocate attraverso sequenze successive, ognuna composta da tre mosse: - Si pone la pedina su uno dei vertici liberi e si conta uno - Poi si muove la pedina verso un secondo vertice in linea retta (occupato o vuoto) e si conta due. - Infine si muove la pedina in un vertice vuoto e si conta tre. - Bisogna piazzare le pedine in questo modo: man mano che la plancia si riempie, il compito diventa sempre più difficile. page 12 / 15

13 - La dama aurea. Per due giocatori. Abbiamo 9 pedine da collocare liberamente sempre sulla stessa figura. Ogni giocatore muove a turno, mangiando le pedine avversarie come nel gioco della dama. L obiettivo è quello di lasciare sulla tavola una sola pedina. Poliedri e numero aureo - Un poliedro è una figura solida, delimitata da facce costituite da poligoni. Implicitamente noi ci riferiamo a poliedri convessi. Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. - Per ogni coppia di punti del solido, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido. - Per ogni coppia di vertici, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido - Il piano contenente ciascuna faccia divide lo spazio in due semispazi, ed il poliedro è interamente contenuto in ciascuno di questi. - Un poliedro non convesso è detto concavo. - Se in un poliedro convesso, chiamiamo F il numero delle facce, S il numero degli spigoli e V il numero dei vertici, si verificherà sempre la relazione di Euler F+V = S+2 page 13 / 15

14 - Un poliedro è detto regolare quando tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali e in ogni vertice insiste lo stesso numero di spigoli. Se non si verifica la seconda condizione avremo un poliedro irregolare, ad esempio il seguente poliedro a sinistra è irregolare in quanto abbiamo vertici con 3 e vertici con 4 spigoli, mentre quelli a destra sono regolari: page 14 / 15

15 - Gli antichi greci avevano già scoperto che esistono infiniti poligoni regolari, ma che esistono solo 5 poliedri regolari, chiamati anche poliedri platonici (quelli in figura a destra). Tre di questi hanno come facce i triangoli equilateri (tetraedro, ottaedro e icosaedro): - Tetraedro (4 facce triangolari, 6 spigoli, 4 vertici). Il fuoco. - Cubo (6 facce quadrate, 12 spigoli, 8 vertici). La terra. - Ottaedro (8 facce triangolari, 12 spigoli, 6 vertici). L aria - Dodecaedro (12 facce pentagonali, 30 pigoli, 20 vertici). Il cosmo, l universo nella sua totalità. - Icosaedro (20 facce triangolari, 30 spigoli, 12 vertici). L acqua. - Tutti i poliedri regolari possono essere inscritti in una sfera, nella quale tutti i vertici giacciono sulla superficie della sfera stessa. - Nella Grecia classica ognuno di questi 5 corpi veniva associato ad uno degli elementi natura. - La grande attenzione che gli antichi greci e pitagorici mostravano nei confronti dei poliedri derivava probabilmente dall osservazione dei minerali cristallizzati, come ad esempio i cristalli di pirite di forma di dodecaedro. - Nota: se uniamo i centri delle facce di un icosaedro, si ottiene un dodecaedro; analogamente se facciamo lo stesso a partire da un dodecaedro otteniamo un icosaedro. Per questa proprietà questi la coppia viene detta poligoni duali. - Non tutti i poliedri hanno la stessa relazione con Φ. Quelli che hanno una relazione con Φ sono il dodecaedro (dal momento che è formato da pentagoni) e il suo duale, l icosaedro. Consideriamo uno spigolo di 1, otteniamo i seguente risultati: page 15 / 15