Geometria degli origami

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA TESI DI LAUREA Geometria degli origami Relatore Candidato Ch.ma Prof.ssa Mariacarmela Pinto Roberta Di Gennaro Matr. 565/572 ANNO ACCADEMICO 2008/2009

2 Introduzione Con la parola origami (dal giapponese ori, piegare, e kami, carta) si indica sia quell arte, tradizionalmete giapponese, di piegare la carta per ottenere, utilizzando uno o più fogli quadrati, oggetti di qualunque forma senza mai tagliarli nè incollarli, sia l oggetto ultimato. In generale, si pensa che la costruzione di origami abbia semplicemente scopi figurativi; tuttavia negli ultimi decenni il loro studio approfondito ha però portato a sorprendenti risultati in campo matematico: fino ad allora l uso degli origami in questo campo era limitato al perseguimento di obiettivi puramente didattici. Intuitivamente, si comprende che la disciplina matematica a cui gli origami si prestano maggiormente è la geometria, anche se è possibile fare in proposito considerazioni che invadono anche i campi dell analisi e dell algebra; tali considerazioni sono racchiuse in vere e proprie teorie. Tra queste, si è scelto di esporre una teoria geometrica, ideata dal matematico giapponese H. Huzita, il quale ha conferito agli origami una struttura propriamente assiomatica, in analogo alla più illustre, e palesemente più conosciuta, geometria euclidea. In particolare, si è cercato di fare un confronto tra le due geometrie ottenendo risultati abbastanza sorprendenti e mettendo così in luce i limiti, se così si può dire, delle costruzioni euclidee rispetto alle costruzioni fatte con gli origami. Si possono citare, a questo proposito, due dei tre problemi classici della matematica: la trisezione dell angolo e la duplicazione del cubo. Fin dall antichità si è cercato di risolvere, insieme al problema della quadratura del cerchio, tali questioni mediante costruzioni euclidee eseguite con riga e compasso; ciò si è dimostrato essere impossibile solo nel Ebbene, è possibile eseguire con gli origami delle costruzioni che permettono di dividere in tre sezioni uguali un angolo qualunque, o di trovare un segmento che, preso come spigolo di un cubo, dia la possibilità di costruire un altro cubo il cui volume sia doppio di quello del cubo dato. Ciò è dovuto al fatto che, come esposto nel seguito, con gli origami è possibile risolvere equazioni cubiche, mentre con riga e compasso si può dare la risoluzione al più di equazioni 2

3 quadratiche; in sostanza, la differenza tra le due geometrie sta proprio in questo aspetto, che rende la geometria degli origami non inferiore alla geometria euclidea, contrariamente a come si potrebbe inizialmente pensare, ma a dir poco più efficiente di quest ultima. Oltre a questi risultati esclusivamente matematici, sono proposte alcune applicazioni: verrà illustrato il metodo di trisezione di un angolo qualunque mediante gli origami, oppure come sia possibile suddividere un lato di un dato foglio quadrato secondo un preciso rapporto; spesso per ottenere quest ultimo risultato è abitudine diffusa procedere per tentativi, visto che ai più non è noto il fatto che esista una ben precisa sequenza di pieghe che fornisce gli stessi risultati. 3

4 Capitolo 1 Richiami di geometria euclidea 1.1 I postulati di Euclide Euclide (c.ca 300 a.c.), negli Elementi, è stato il primo matematico che ha cercato di dare una formulazione rigorosa dei principi della geometria fino a quel momento conosciuta. Per fare ciò, una volta definiti il punto e la retta come enti primitivi e i concetti di stare tra, giacere su e di congruenza, ha enunciato i cinque postulati, fondamenti della geometria che porta il suo nome. Postulato I Dati due punti distinti P e Q esiste ed è unica la retta r passante per P e Q. Figura 1.1: Postulato I Definizione Dati due punti distinti A e B, si definisce segmento l insieme dei punti C che giacciono sulla retta AB e stanno tra A e B. I punti A e B si dicono estremi del segmento. 4

5 Postulato II Per ciascun segmento AB e per ogni segmento CD esiste un unico punto E sulla retta AB tale che B si trova tra A ed E, e il segmento CD è congruente al segmento BE. Definizione Dati due punti distinti O ed A, l insieme dei punti P tali che il segmento OP è congruente al segmento OA si dice cerchio di centro O e raggio OA e lo si indica con c = {O; OA}. Postulato III Per ciascun punto O e per ogni punto A distinto da O, esiste un cerchio di centro O e raggio OA. Figura 1.2: Postulato III Definizione Dato un punto A, si definisce angolo di vertice A l insieme costituito dal vertice e da due semirette di vertice A non opposte; tali semirette verranno dette lati dell angolo. Figura 1.3: Esempio di angolo Definizione Due angoli si dicono supplementari se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati sono semirette opposte della stessa retta. Definizione Un angolo si dice retto se è congruente al proprio supplementare. Postulato IV Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro. 5

6 Definizione Due rette l ed m sono parallele se non esiste alcun punto P che giace su entrambe. Postulato V Date due rette l ed m e data una trasversale t, considerando due angoli interni α e β dallo stesso lato rispetto alla retta t, se la somma di α e β è minore di due angoli retti, allora l e m non sono parallele ed il punto d intersezione delle rette l ed m si trova dallo stesso lato di α e β rispetto a t. Figura 1.4: Postulato V di Euclide Di questi cinque postulati sono state fornite anche altre formulazioni, tutte equivalenti tra loro ed equivalenti ai postulati citati. 1.2 Alcuni risultati Dagli assiomi enunciati si possono facilmente ricavare i seguenti risultati che saranno utili nel seguito: Figura 1.5: Intersezione delle rette l e m - Date due rette l ed m non parallele, è possibile determinare il loro unico punto di intersezione P = l m. 6

7 - Dato un cerchio c = {M; r} e una retta l, se la distanza tra Med l non è maggiore di r, si possono determinare i punti di intersezione tra c ed l. In formule, In particolare, Figura 1.6: Intersezione tra una circonferenza e una retta ovvero la retta l è tangente a c. d(c, l) r = {P, Q} = c l. d(c, l) = r = P = Q, - Dati due cerchi c 1 = {M 1, r 1 } e c 2 = {M 2, r 2 } tali che * nessuno dei due contiene il centro dell altro, e la distanza tra i centri non è maggiore della somma dei raggi, in formule, (M i / c j, con i j, i, j = 1, 2) d(m 1 ; M 2 ) r 1 + r 2, oppure Figura 1.7: Intersezione tra due circonferenze 7

8 * uno dei due centri è un punto dell altro cerchio, e la distanza tra i centri non è minore della differenza dei raggi, in formule, (M i c j, con i j, i, j = 1, 2) d(m 1 ; M 2 ) r 1 r 2, si possono determinare i punti di intersezione tra c 1 e c 2, ovvero {P, Q} = c 1 c 2. In particolare, se d(m 1 ; M 2 ) = r 1 + r 2 d(m 1 ; M 2 ) = r 1 r 2 = P = Q, ovvero i cerchi c 1 e c 2 sono tangenti esternamente nel primo caso, internamente nel secondo caso. 1.3 Costruzioni con riga e compasso Ciascuno dei risultati riportati può essere visualizzato graficamente mediante una costruzione con riga e compasso. Per effettuare una procedura di questo tipo si utilizzano strumenti ideali: la riga (per tracciare rette) e il compasso (per tracciare circonferenze); inoltre tali strumenti, con i quali si affrontano problemi di tipo costruttivo, non sono strumenti metrici, ovvero non devono essere graduati e dunque ciascuna delle costruzioni deve essere effettuata utilizzando esclusivamente le operazioni consentite dai postulati. Come primo esempio di costruzione con riga e compasso, dato arbitrariamente un segmento AB, costruiamo il triangolo equilatero che ha per lato il segmento dato. 1. Fissiamo il segmento AB. 2. Disegniamo la circonferenza di centro A e raggio AB. 3. Disegniamo la circonferenza di centro B e raggio AB. 4. Indichiamo con C uno dei due punti di intersezione delle due circonferenze. 5. Congiungiamo A con C. 8