Geometria. Rudimenti della Logica e della Matematica. Marzo Geometria Marzo / 18

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1 Geometria Rudimenti della Logica e della Matematica Marzo 2013 Geometria Marzo / 18

2 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto, delle aree di terreno. Geometria Marzo / 18

3 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto, delle aree di terreno. La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso: Geometria Marzo / 18

4 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto, delle aree di terreno. La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso: La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due punti dati A e B. Geometria Marzo / 18

5 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto, delle aree di terreno. La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso: La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due punti dati A e B. Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come un altro punto dato B. Geometria Marzo / 18

6 La geometria tratta delle figure e le forme nello spazio. Letteralmente della misura della terra o più in concreto, delle aree di terreno. La geometria classica ha un speciale interesse in certo tipo di figure, che sono i punti, le linee rette, e i cerchi. Questo è in parte dovuto al fatto che gli strumenti di studio della geometria erano la riga e il compasso: La riga è lo strumento che serve per disegnare la retta che passa per due punti dati A e B. Il compasso è lo strumento che serve per disegnare tutti i punti che equidistano di un punto dato A (chiamato centro del cerchio) tanto come un altro punto dato B. B A B A Geometria Marzo / 18

7 Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti, se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?) Geometria Marzo / 18

8 Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti, se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?) Due rette che no si intersecano si chiamano parallele. Geometria Marzo / 18

9 Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti, se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?) Due rette che no si intersecano si chiamano parallele. Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto d intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli delimitano. Geometria Marzo / 18

10 Due rette diverse si intersecano, e diciamo che sono secanti o incidenti, se hanno un punto in comune. (Questo punto è unico, per ché?) Due rette che no si intersecano si chiamano parallele. Due retti che si intersecano dividono il piano dove si trovano in quattro parti, e determinano quattro angoli. Il vertice di questi angoli è il punto d intersezione delle rette, e i lati degli angoli sono le semirette che gli delimitano. Geometria Marzo / 18

11 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Geometria Marzo / 18

12 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si chiamano perpendicolari. Geometria Marzo / 18

13 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si chiamano perpendicolari. Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto. Geometria Marzo / 18

14 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si chiamano perpendicolari. Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto. Un angolo piatto è un caso limite: è l angolo determinato per le due semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a la somma di due retti.) Geometria Marzo / 18

15 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si chiamano perpendicolari. Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto. Un angolo piatto è un caso limite: è l angolo determinato per le due semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a la somma di due retti.) Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo ottuso. Geometria Marzo / 18

16 L angolo retto è quello determinato per due rette secanti che dividono lo spazio in angoli uguali. Le rette che configurano un angolo retto si chiamano perpendicolari. Un angolo più piccolo di un retto è un angolo acuto. Un angolo piatto è un caso limite: è l angolo determinato per le due semirette diverse in cui un punto divide una retta. (È uguale a la somma di due retti.) Un angolo più grande di un retto e più piccolo di un piatto è un angolo ottuso. Geometria Marzo / 18

17 Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo. Geometria Marzo / 18

18 Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo. A C F G equilatero B D E scaleno H isoscele I Geometria Marzo / 18

19 Un triangolo è una figura piana determinata da tre punti non allineati, cioè che non stanno sopra la stessa retta. Questi punti si chiamano i vertici del triangolo; i tre segmenti determinati per questi punti si chiamano i lati del triangolo e gli angoli determinati per questi segmenti (quelli che sono più piccole di un piatto) si chiamano gli angoli del triangolo. A C F G C E D G A equilatero B I D H E scaleno isoscele I B rettangolo H F ottusangolo acutangolo Geometria Marzo / 18

20 Costruzione di un triangolo equilatero C A B Geometria Marzo / 18

21 Costruzione di un triangolo equilatero C A B No. Name Definition 1 Point A 2 Point B 3 Circle c Circle through A with center B 4 Circle d Circle through B with center A 5 Point C Intersection point of c, d 6 Triangle poly1 Polygon A, B, C Geometria Marzo / 18

22 Bisettrice di un angolo D E A B Geometria Marzo / 18

23 Bisettrice di un angolo D E Prendiamo B in un lato dell angolo, disegniamo il cerchio con centro A e che passa per B e troviamo la intersezione D con l altro lato. Così, AB è uguale a AD. A B Geometria Marzo / 18

24 Bisettrice di un angolo A D B E Prendiamo B in un lato dell angolo, disegniamo il cerchio con centro A e che passa per B e troviamo la intersezione D con l altro lato. Così, AB è uguale a AD. Costruiamo un triangolo equilatero BED. Così, BE è uguale a DE. Geometria Marzo / 18

25 Bisettrice di un angolo A D B E Prendiamo B in un lato dell angolo, disegniamo il cerchio con centro A e che passa per B e troviamo la intersezione D con l altro lato. Così, AB è uguale a AD. Costruiamo un triangolo equilatero BED. Così, BE è uguale a DE. La bisettrice è la retta che passa per A ed E. Geometria Marzo / 18

26 Bisettrice di un angolo A D B E Prendiamo B in un lato dell angolo, disegniamo il cerchio con centro A e che passa per B e troviamo la intersezione D con l altro lato. Così, AB è uguale a AD. Costruiamo un triangolo equilatero BED. Così, BE è uguale a DE. La bisettrice è la retta che passa per A ed E. Qua stiamo usando il seguente criterio di uguaglianza: Se due triangoli hanno i suoi tre lati uguali, uno a uno, allora hanno i suoi tre angoli uguali, uno a uno. Geometria Marzo / 18

27 I tre problemi classici Geometria Marzo / 18

28 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: Geometria Marzo / 18

29 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: La trisezione dell angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un qualsiasi angolo assegnato. Geometria Marzo / 18

30 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: La trisezione dell angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un qualsiasi angolo assegnato. La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a un cerchi assegnato. Geometria Marzo / 18

31 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: La trisezione dell angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un qualsiasi angolo assegnato. La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a un cerchi assegnato. La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato. Geometria Marzo / 18

32 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: La trisezione dell angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un qualsiasi angolo assegnato. La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a un cerchi assegnato. La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato. Questi problemi classici non hanno soluzione. Geometria Marzo / 18

33 I tre problemi classici I seguenti sono conosciuti come i tre problemi classici della geometria, e si chiede in ogni caso di trovare una costruzione geometrica usando soltanto la riga e il compasso: La trisezione dell angolo generico: la divisione in tre parti uguali di un qualsiasi angolo assegnato. La quadratura del cerchio: la costruzione di un quadrato equiesteso a un cerchi assegnato. La duplicazione del cubo: la costruzione del lato di un cubo avente il volume doppio di quello di un cubo con lato assegnato. Questi problemi classici non hanno soluzione. Il gran trionfo della matematica su questi tre problemi classici è stato, non il trovarne una soluzione, ma riuscire a dimostrare che queste costruzioni (soltanto con riga e compasso) non possono esistere. Geometria Marzo / 18

34 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Geometria Marzo / 18

35 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Sia AB la retta terminata data. Geometria Marzo / 18

36 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Sia AB la retta terminata data. Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC, Geometria Marzo / 18

37 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Sia AB la retta terminata data. Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC, e l angolo ÂCB sia diviso per metà dalla retta CD; Geometria Marzo / 18

38 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Sia AB la retta terminata data. Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC, e l angolo ÂCB sia diviso per metà dalla retta CD; dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D. Geometria Marzo / 18

39 Proposizione 10 Dividere per la metà una retta terminata data. Sia AB la retta terminata data. Si costruisca su essa il triangolo equilatero ABC, e l angolo ÂCB sia diviso per metà dalla retta CD; dico che la retta AB è stata divisa per metà nel punto D. C A D B Geometria Marzo / 18

40 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Geometria Marzo / 18

41 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Geometria Marzo / 18

42 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, Geometria Marzo / 18

43 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, si ponga CE uguale a CD, Geometria Marzo / 18

44 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, si ponga CE uguale a CD, su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE, Geometria Marzo / 18

45 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, si ponga CE uguale a CD, su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE, e si tracci la congiungente F C; Geometria Marzo / 18

46 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, si ponga CE uguale a CD, su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE, e si tracci la congiungente F C; dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la linea retta perpendicolare F C. Geometria Marzo / 18

47 Proposizione 11 Su una retta data, da un punto dato su essa, innalzare una linea retta perpendicolare. Sia AB la retta data e C i punto dato su essa; si deve dunque innalzare sulla retta AB dal punto C una linea retta perpendicolare. Si prenda su AC un punto a piacere D, si ponga CE uguale a CD, su DE si costruisca il triangolo equilatero F DE, e si tracci la congiungente F C; dico che sulla retta data AB dal punto C dato su essa è stata innalzata la linea retta perpendicolare F C. F A D C E B Geometria Marzo / 18

48 Proposizione 15 Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro uguali. γ β α Geometria Marzo / 18

49 Proposizione 15 Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro uguali. γ β α α + γ = 2 retti = β + γ α = β. Geometria Marzo / 18

50 Proposizione 15 Se due rette si tagliano fra loro, formano gli angoli opposti al vertice tra loro uguali. γ β α α + γ = 2 retti = β + γ α = β. Proposizione 20 In ogni triangolo la somma di due lati, comunque presi, è maggiore del lato rimanente. Geometria Marzo / 18

51 Proposizione 26 Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente ai lati rimanenti, e l angolo rimanente uguale all angolo rimanente. Geometria Marzo / 18

52 Proposizione 26 Se due triangoli hanno due angoli uguali rispettivamente a due angoli e un lato uguale a un lato, o quello [adiacente] agli angoli uguali o quello che è opposto a uno degli angoli uguali, essi avranno anche i lati rimanenti uguali rispettivamente ai lati rimanenti, e l angolo rimanente uguale all angolo rimanente. F A α b C e Se α = γ e β = δ e c β B a D γ f δ d E b = e o c = f o a = d, allora i due triangoli sono uguali. Geometria Marzo / 18

53 Proposizioni 27 e 29 Una retta che viene a cadere su altre due rette forma gli angoli alterni uguali fra loro se e soltanto se le due rette sono fra loro parallele. r s α β α = β r s. Geometria Marzo / 18

54 Proposizione 32 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti. A α ε ζ γ β C B δ Geometria Marzo / 18

55 Proposizione 32 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti. A A α γ α β ε ζ γ β C B γ β C B δ Geometria Marzo / 18

56 Proposizione 32 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni e opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti. A A α γ α β ε ζ γ β C B γ β C B δ Questa proposizione non si può dimostrare senza usare il postulato V (delle parallele). Geometria Marzo / 18

57 Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro. Geometria Marzo / 18

58 Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro. Proposizione 34 I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla diagonale in due parti uguali Geometria Marzo / 18

59 Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro. Proposizione 34 I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla diagonale in due parti uguali Proposizione 35 Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro [equiestesi]. A D E F B C Geometria Marzo / 18

60 Un parallelogrammo e un quadrilatero con i lati opposti paralleli fra loro. Proposizione 34 I parallelogrammi hanno lati e angoli opposti uguali fra loro, e sono divisi dalla diagonale in due parti uguali Proposizione 35 Parallelogrammi che siano [posti] sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro [equiestesi]. A D E F A D E F B C B C Geometria Marzo / 18

61 Proposizione 37 Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro [equiestesi]. C D A B Geometria Marzo / 18

62 Proposizione 37 Triangoli che siano posti sulla stessa base e fra le stesse parallele sono uguali fra loro [equiestesi]. C D A B Infatti, questa proposizione ci permette dimostrare che l area del triangolo è uguale alla metà della base moltiplicato per l alteza. Geometria Marzo / 18

63 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. Geometria Marzo / 18

64 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. D A F E B K C H J I Geometria Marzo / 18

65 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. D A F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. E B K C H J I Geometria Marzo / 18

66 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. E D A F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è uguale a BA, BC è uguale a BH, e ĈBE = 1 retto + ĈBA = ĈBA + 1 retto = ĤBA. B K C H J I Geometria Marzo / 18

67 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. E D B A K C F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è uguale a BA, BC è uguale a BH, e ĈBE = 1 retto + ĈBA = ĈBA + 1 retto = ĤBA. AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a BH. H J I Geometria Marzo / 18

68 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. E D B A K C F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è uguale a BA, BC è uguale a BH, e ĈBE = 1 retto + ĈBA = ĈBA + 1 retto = ĤBA. AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a BH. Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi. H J I Geometria Marzo / 18

69 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. E D B A K C F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è uguale a BA, BC è uguale a BH, e ĈBE = 1 retto + ĈBA = ĈBA + 1 retto = ĤBA. AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a BH. Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi. Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono tutti equiestesi. H J I Geometria Marzo / 18

70 Teorema di Pitagora Proposizione 47 Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. G D, A e C sono allineati, perché BAD e BAC sono retti. Quindi, DC e parallela a EB. E D B A K C F Quindi i triangoli BEA e BEC sono equiestesi. I triangoli BEC e BAH sono uguali, perché BE è uguale a BA, BC è uguale a BH, e ĈBE = 1 retto + ĈBA = ĈBA + 1 retto = ĤBA. AJ è perpendicolare a HI, e quindi parallela a BH. Quindi i triangoli BAH e BKH sono equiestesi. Quindi i triangoli BEA, BEC, BAH, BKH sono tutti equiestesi. H J I E quindi i quadrato ABED, che è il doppio di BEA, e uguale al rettangolo BKJH, che è il doppio di BKH. Geometria Marzo / 18

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