TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT) [Cap. 5] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 1

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1 TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT) [Cap. 5] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali

2 TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT) Definita per sequenze periodiche (o finite) periodo (o durata) di x[n], n =,,..., - DFT : X n = [ k ] = x[ n] e j2π nk / k =,, L, = n = [] n / x ( j2 π W = e ) n k W IDFT : x j π nk / [] n = X [ k ] e = X [ k ] k = 2 k = W nk E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 2

3 X[k] e x[n] sono due sequenze (generalmente complesse) periodiche di periodo [ k] = X[ k p] X + [ n] = x[ n p] x + p intero qualsiasi Valori significativi: n k E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 3

4 Se x[n] è una sequenza di durata finita essa va considerata come un periodo di una sequenza periodica = + [ ] x[ n m] x~ n m m intero E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 4

5 Relazione utile ± e n = j 2 π np =, p = m m intero =, altrimenti E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 5

6 Dimostrazione IDFT x k= [] n = X [] k e 2π j nk moltiplicando entrambi i membri per e, sommando da n= a -, si ha e 2π j nr n= 2π j nr [] e = X[] k x n n= k= e 2π j n( k r) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 6

7 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 7 Scambiando l ordine della sommatoria [] [] = = = = ) ( 2 2 k n r k n j nr j n e k X e n x π π ed essendo = = = altrimenti r k per e n r k n j,, ) ( 2π si ha [] [] = = 2 n nk j e n x k X π periodica con periodo

8 ota Per semplicità di notazione continuiamo ad usare lo stesso simbolo X per denotare la trasformata discreta di Fourier X[k], la trasformata di Fourier X(F) e la trasformata Z X(z) di una stessa sequenza x[n] [ nel caso ovviamente esistano ]. Esse sono distinte senza ambiguità dal tipo del loro argomento: Intero k DFT Reale F TF Complesso z TZ E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 8

9 RELAZIOE DELLA DFT CO LE TF E TZ PER SEQUEZE FIITE TF =8 DFT F La DFT èla TF calcolata per frequenze equispaziate di Δ f = f c / ovvero Δ F = / [ k] X(F) X = E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 9 F = k

10 Piano z =8 2π Èla TZ calcolata in punti equispaziati sulla circonferenza unitaria [ k] X(z) X = 2π j k E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali z = e

11 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali Per sequenze finite ( di durata campioni) è possibile ottenere X(z) a partire da X[k] [ ] = = 2 ) ( k k j z e k X z z X π

12 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 2 Dimostrazione: [] = = = ) ( n n z n x z X [] = = = 2 n k n kn j z e k X π [] = = = = 2 k n n k j z e k X π

13 2π j k e z = X 2π j k k = e z [] k = = [ k ] z X 2π j k k = e z Esprime X(z) di una sequenza finita di durata campioni, in funzione di campioni equidistanti di X(z) presi sulla circonferenza unitaria ( f c campioni in frequenza spaziati di = ) T E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 3

14 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 4 [ ] = = ) ( k F j k j F j e e k X e F X π π π Per sequenze finite ( di durata campioni) è possibile ottenere X(F) a partire da X[k]

15 Per sequenze finite (di durata campioni) X(z) X(F) Z x[n] X[k] DFT TF E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 5

16 Data la TZ X(z) di una sequenza x[n], il campionamento di X(z) sulla circonferenza unitaria in punti equispaziati [] k X (z) X = ovvero data la sua TF X(F), il campionamento di X(F) in frequenze equispaziate z = e 2π j k [] k X (F) X = corrisponde alla DFT della sequenza periodica: x~ [] n = x[ n + m ] + m = E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 6 F = k

17 Dimostrazione: k = La DFT inversa ~ x[] n = X [ k ] e 2π j kn m = Sostituendo X [] k = x[ m ] e 2π j km invertendo le sommatorie e tenendo conto delle proprietà degli esponenziali, si ottiene x~ [] n = x[ n + m ] + m = E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 7

18 Osservazione: solo se [ n] = x[ n] n ~ x x[ n] è di durata finita E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 8

19 Esempio di applicazione Calcolo della antitrasformata Z di una X(z) (supponendo che x[n] per n ). Si determina la X[k] per valori crescenti di fino a verificare che la IDFT dia valori trascurabili (inferiori ad una prefissata soglia) per i valori n Si possono determinare numericamente (e con buona approssimazione) i campioni della sequenza x[n], che ha per trasformata Z X(z), e la sua durata. (Es. applicaz.: Teoria delle code) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 9

20 Principali proprietà della DFT [Cap. 5.4] Linearità [ n] X [ k] e x [ n] X [ k] Se x 2 2 [ n] + bx [ n] ax [ k] bx [ k] ax a, b costanti reali o complesse Inversione temporale x Coniugazione [ n] = x[ n] X [ k] = X [ k] x [ n] X [ k] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 2

21 Inversione temporale e coniugazione x [ ] n X [ k] Simmetrie per sequenze reali x[n] reale X[ k] = X [ k] x[n] reale e pari : x [ n] = x[ n] X[k] reale e pari : X [ k] = X[ k] x[n] reale e dispari : x[ n] = x[ n] X[k] immaginaria e dispari : X[ k] = X[ k] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 2

22 Sequenza x[n] Trasformata Discreta di Fourier X[k] Parte reale Parte immaginaria Proprietà della DFT: x[n] reale, = 2 Se x[n] è una sequenza reale: X[ k] = X* [k] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 22

23 Sequenza x[n] Proprietà della DFT Sequenza x[n] reale e pari Trasformata Discreta di Fourier X[k] X[k] reale e pari. Parte reale Parte immaginaria Sequenza x[n] = 2 Trasformata Discreta di Fourier X[k] Proprietà della DFT Sequenza x[n] reale e dispari X[k] immaginaria pura e dispari. Parte reale Parte immaginaria E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 23

24 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 24 Teorema di Parseval [] [] = = = 2 2 k n k X n x Energia di un periodo della sequenza [] [] = = = k n k X n x Potenza della sequenza

25 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 25 Dimostrazione [] [] []= = = = 2 * n n n x n x n x [] [] = = = = 2 * k kn j n e k X n x π [] [] = = = = 2 * n kn j k e x n k X π [ ] = = 2 k k X

26 Traslazione circolare x[n] = n x[n-2] 5 x n [ n m] X [ k ] rotazione di fase pari a: E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 26 e 2π j km 2πkm

27 Analogamente (in modo duale) X [ k l] x[ n] e 2π j nl modulazione con esponenziale complesso E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 27

28 Convoluzione circolare [Cap. 5.5] Proprietà molto importante per le implicazioni applicative e realizzative Definizione [ n] = x [ n] x [ n] y c 2 = = m x [ m] x [ n m] 2 Y [ k ] = X [ k ] X [ k ] c 2 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 28

29 Il prodotto X [k] X 2 [k] è la DFT di una convoluzione circolare di due sequenze (e non di una convoluzione discreta tradizionale, detta per distinzione lineare o aperiodica) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 29

30 Convoluzione lineare [] n = x [] n x [] n = x [ m] x [ n m] y l 2 2 m= Per es. per sequenze di durata : y c [n] è periodica con periodo y l [n] è aperiodica di durata L = 2- E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 3

31 In generale: se x [n] e x 2 [n] sono due sequenze rispettivamente di durata L e M (L > M), la loro convoluzione lineare ha una durata L + M Per la loro convoluzione circolare occorre definire un periodo (> L), allungandole rispettivamente con -L e -M campioni nulli. Caso Se > L +M, y l [n] = y c [n] per n=,,..,l+m-2 Caso 2 Se L < < L +M y l [n] = y c [n] per n=l+m--, L+M--+,,- ovvero per gli ultimi 2-(L+M-) della convoluzione circolare E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 3

32 Confronto fra Convoluzione Circolare e Lineare (o Aperiodica) Seq. Seq. 2 L= M=3 Convoluzione Circolare Convoluzione Lineare = L+M-=3 Convoluzione Circolare e Lineare (o Aperiodica) Le sequenze mostrate nella parte inferiore sono il risultato della convoluzione circolare e lineare tra le due sequenze mostrate nella parte superiore. otare quali sono i campioni identici e quelli differenti nelle due convoluzioni E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 32

33 Convoluzione Circolare IDFT del prodotto = Confronto della convoluzione circolare ottenuta direttamente e come IDFT Sopra: il risultato della convoluzione circolare tra due sequenze Sotto: la trasformata di Fourier inversa del prodotto delle loro DFT E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 33

34 Per poter utilizzare la DFT per il calcolo della convoluzione discreta lineare [p.es. y[n] = x[n] h[n] ], occorre usare tecniche opportune: Overlap and add Overlap and save E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 34

35 TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER (FFT) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 35

36 TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER (FFT) [Cap. 5.6] La DFT X [] [] nk k x n, = n= W W = e j 2π richiede 2 moltiplicazioni complesse [ 4 2 m. reali s. reali ] (-) somme complesse [ 2 (-) s. reali ] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 36

37 Algoritmi FFT Radice - 2 decimazione nel tempo Radice - 2 decimazione in frequenza Estensioni di questi algoritmi base E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 37

38 FFT RADICE- 2 DECIMAZIOE EL TEMPO = 2 v [] = x[ n] W nk + x[ n] X k n pari n dispari W nk = 2 p= x [ 2p] W 2 pk + W k x[ 2p + ] 2 p= W 2 pk E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 38

39 2 j 2 = π 2 ( W e = W ) 2 / = 2 p= x 2 [ 2p] W pk + W k x[ 2p + ] / 2 p= W pk /2 = [ ] + W k B[ k] A k ( k =,..., ) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 39

40 A[k], B[k] sono DFT /2 camp. pari DFT /2 A[k] W k X[k] camp. dispari DFT /2 W /2+k = - W k X +k 2 k=,,/2 - B[k] stadio /2 m.c. + s.c. (farfalle) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 4

41 Il procedimento può essere iterato fino ad arrivare a DFT 2. Il numero di stadi : v = log 2 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 4

42 Grafo Esempio: = 8 x[] X[] x[4] x[2] x[6] x[] x[5] x[3] x[7] W W W W W W 2 W W W W - W 2 W X[] X[2] X[3] X[4] X[5] X[6] X[7] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 42

43 Complessità finale 2 log 2 moltiplicazioni complesse 2 log 2 2 m.c. eliminando le moltiplicazioni del primo stadio ] log2 somme complesse E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 43

44 Ingressi: bit-reversed order (ordine a bit invertiti) Gli ingressi non sono in sequenza. Devono essere ordinati come nell esempio ( = 8): Posizione = = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = Campione x[] = x[] x[4] = x[] x[2] = x[] x[6] = x[] x[] = x[] x[5] = x[] x[3] = x[] x[7] = x[] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 44

45 Calcolo in-place Gli ingressi e le uscite di ogni farfalla stanno sulla stessa linea orizzontale. Bastano locazioni di memoria (complesse), perché a coppie subiscono una trasformazione e il risultato può essere rimemorizzato nelle stesse locazioni degli ingressi. [p] [p] decim. nel tempo [q] W r - [q] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 45

46 DFT FFT m.c. s.c. m.c. s.c E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 46

47 FFT RADICE - 2 DECIMAZIOE I FREQUEZA [Cap. 5.7] = 2 v Algoritmo duale Scompone la sequenza di uscita X[k] in due parti, la prima relativa agli indici pari (k=2r), la seconda relativa agli indici dispari (k=2r+), r =,,.,/2-. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 47

48 x[] x[] Grafo x[2] - x[3] W - x[4] - W x[5] - W 2 x[6] - W 3 - x[7] Uscite: bit-reversed order - Calcolo: in place. W W 2 W W 2 =8 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali W W W W X[] X[4] X[2] X[6] X[] X[5] X[5] X[7]

49 Complessità finale 2 log 2 moltiplicazioni complesse 2 log 2 2 m.c. eliminando le moltiplicazioni dell ultimo stadio ] log2 somme complesse E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 49

50 Relazione fra i due algoritmi FFT radice-2 Struttura delle farfalle decim. nel tempo decim. in frequenza [p] [p] [p] [p ] [q] [q] [q] W r - - W r [q] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 5

51 Sono scambiati ingressi e uscite e invertito il senso del flusso dei segnali. Ciascuna delle due strutture può essere ottenuta dall altra applicando queste regole (regole di trasposizione di grafi lineari): - scambiare ingressi e uscite - invertire il flusso dei segnali - scambiare i punti di diramazione e i punti di somma E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 5

52 FFT: VARIAZIOI ED ESTESIOI [Cap. 5.8 e 5.9] Si possono modificare i grafi in modo che ingressi e uscite siano nell ordine naturale (crescente). Si perde la proprietà di calcolo in place. Algoritmi radice-4 ( = 4 v ) log 4 log4 m. c. s. c. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 52

53 Altri algoritmi Winograd (fattori primi) Mixed-radix Split-radix (radice diversa per ogni stadio) (mescolanza di radice-2 e radice-4) Fattore composito (mescolanza di radici con fattori primi) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 53

54 FFT: COSIDERAZIOI FIALI La IDFT x k = [] n = X [] k nk W può essere calcolata (a meno del fattore / ) da un algoritmo FFT sul quale si operi la sostituzione W W (FFT) (IFFT) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 54

55 La divisione per il fattore può essere eseguita mediante divisione per un fattore 2 ad ogni stadio. In pratica per il calcolo della DFT conviene sempre impiegare un algoritmo di FFT, a meno che non interessino pochi punti della DFT. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 55

56 Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB ( reperibili a: Confronto DFT-FFT E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 56

57 APPLICAZIOI DELLA DFT E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 57

58 APPLICAZIOI DELLA DFT Sono numerosissime. Qui vedremo alcune delle più importanti e significative: - Stime spettrali - Convoluzione di sequenze (convoluzione veloce) - Correlazione di sequenze (correlazione veloce) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 58

59 STIME SPETTRALI [Cap.5.] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 59

60 Si vuole stimare la densità spettrale di potenza (spettro di potenza) di un segnale con potenza finita a partire dalla sequenza generalmente di durata molto lunga ( infinita ) dei suoi campioni Utilizzando la DFT (FFT) si può effettuare la stima spettrale per qualunque tipo di segnale (stima non parametrica) e non si richiede l ipotesi di un modello del segnale (stima parametrica) Poiché la DFT ha dimensione finita, come può essere impiegata? Iniziamo a considerare un segnale (a energia finita) che abbia la TF E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 6

61 Come si modifica la Trasformata di Fourier di una sequenza infinita prendendo i suoi primi campioni? (es.: partendo da questo segnale analogico) x(t) t x( t) = a u( t),a < a= t X ( f ) = j2πf ln a 3 2 X(f) X(f) arg(x(f)) a= f - E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 6

62 Esempio x(n) x [] n n = a u[] n, a < a=.7 a e X ( F) = j2πf X(F) n X(F) arg(x(f)) a= F E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 62

63 x(n) x [] n n = a { u[] n u[ n ]} a=.7 = a e a e j2πf X( F) = j2πf X(F) n X(F) arg(x(f)) a=.7 = F E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 63

64 Esempio 2 x(t) t x( t) = a u( t),a < a= X(f) X(f) arg(x(f)) t X ( f ) = j2πf ln a 5 a= f E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 64

65 x(n) x [] n n = a u[] n, a < a=.9 a e X ( F) = j2πf X(F) n X(F) arg(x(f)) a= F E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 65

66 x(n) x [] n n = a { u[] n u[ n ]} a=.9 = n a e a e j2πf X( F) = j2πf X(F) X(F) arg(x(f)) a=.9 = F - E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 66

67 Operazione di modifica dello spettro (filtraggio) della DFT x[n] sequenza di durata molto lunga con TF X(F) La sua DFT (a punti), per esempio sui primi campioni, con w X [] n W + [] [] j2π Fn = x n w n e F= n= [] [] kn k x n = = n= n = altrove k (finestra rettangolare) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 67

68 che ha come TF W( F) = e e j2π F j2π F = e jπ F( ) sen( π sen( F) π F) con F = f T = f / f c frequenza normalizzata E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 68

69 X [] k è la TF calcolata alle frequenze normalizzate k = T E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 69 k (ovvero alle frequenze ) della sequenza [] n x[ n ] w[ n ], x = il cui spettro è X ( F) = X( F) W( F) = X( u) W( F u) du 2 2 f c k

70 Spettro di un segnale e della funzione finestra rettangolare centrato in F. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 7

71 in definitiva: [ k] X (F) X = F = k ovvero il coefficiente k-esimo della DFT è il valore mediato dello spettro X(F) di x[n] pesato dalla funzione W(F) centrata sulla frequenza normalizzata k/. Generalmente la DFT non coincide con i valori desiderati di X(F) alle frequenze k/. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 7

72 Esempio illustrativo [] j2πf n n = e x sia un esponenziale complesso (riga) ad una frequenza normalizzata F intermedia fra / e 2/. x[n] X(F) = F 2 F E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 72

73 considerato che: sen ( π F) = sen ( π F) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 73

74 si ottiene per X[k] k Compaiono righe spettrali per tutti i valori di k. (ell esempio per semplicità sono stati assunti valori reali invece che complessi per illustrare il meccanismo di generazione della DFT ) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 74

75 [ Esiste una condizione per la quale nella DFT ci sono tutte e sole le componenti presenti nel segnale di ingresso? ] La DFT effettua una operazione di modifica, con la funzione W(F), dello spettro del segnale di ingresso Si può cambiare l effetto di filtraggio cambiando W(F) e quindi w[n] E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 75

76 Per esempio: 2 2π n [] = ( cos ) w n [] wn 2π n =.54.46cos (Hanning) (Hamming) n (e molte altre) che hanno lobi laterali più piccoli E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 76

77 Finestra rettangolare Finestra di Hanning w(n) db n -5 w(n) n F db F Finestra di Hamming w(n) db n -5 Caratteristiche temporali e spettrali delle finestre e valore di picco del lobo secondario: - Rettangolare: - 3 db (.22) - di Hanning : - 3 db (.28) - di Hamming: - 4 db (.9) F E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 77

78 Risoluzione algoritmica e risoluzione spettrale Risoluzione algoritmica Tuttavia: Valori spaziati di ovvero di Δ Δ F = f c f = = T La risoluzione spettrale è la minima distanza di due componenti spettrali che possono essere risolte : dipende dall ampiezza del lobo principale della finestra. Generalmente si assume la risoluzione spettrale uguale all ampiezza del lobo principale. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 78

79 Finestra Risoluzione Picco lobo laterale spettrale ( F) (db) Δ Rettangolare 2/ - 3 Hanning 4/ - 3 Hamming 4/ - 4 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 79

80 Stime spettrali (Periodogramma) È uno dei metodi di stima spettrale per segnali a potenza finita. Impiega la DFT (FFT). x[n] segnale aleatorio discreto di durata molto lunga ( L ), supposto stazionario (in senso lato) per tutta la sua durata. Algoritmo si suddivide x[n] in M = L/ blocchi di campioni x i [] n = x[ n + i], n, i M E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 8

81 Si forma x' [ n] x [ n] w[ n], w[ n] opportuna finestra i = i Si calcola X [ k ] DFT { x '[ n] } i ' = i con A [] k X '[] k 2 i = W = W n = w 2 i [], n potenza della finestra E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 8

82 Si calcola la media P x M [] k = A [] k M i= Il valore P x [k] è la stima dello spettro di potenza del segnale x[n] alla frequenza F = k/ ovvero f = f c k/. Il fattore /W è introdotto per avere una stima non polarizzata (per ) Modifica possibile: i blocchi x i [n] possono essere anche parzialmente sovrapposti (in genere di /2 ) per migliorare le stime. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 82 i

83 Sequenza Ampiezza dello Spettro di Potenza (db) Frequenza normalizzata Stima della densità spettrale di potenza Metodo di Welch (periodogramma) Sequenza = somma di 3 segnali sinusoidali (F =.8, F 2 =.25, F 3 =.4) Finestra di Hamming, FFT =24 E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 83

84 Esempi di impiego Analizzatori di spettro (digitali) Cognitive Radio etworks uova funzionalità delle future reti wireless (4G e 5G) Lo spettro a RF è una risorsa preziosa e scarsa Conoscere dinamicamente le bande di frequenza occupate e libere può servire ad allocare nuovi servizi nelle bande disponibili (comunicazioni opportunistiche) Stime spettrali in tempo reale e ripetute periodicamente (Spectrum sensing) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 84

85 Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB ( reperibili a: Stime spettrali E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 85

86 COVOLUZIOE DISCRETA LIEARE [Cap. 5.] Convoluzione discreta lineare fra due sequenze (filtraggio FIR) effettuata mediante l impiego della DFT. x[n] h[n] y [ n] = x[ n] h[ n] X(z) H(z) Y(z)=X(z) H(z) h[n] di durata (FIR) x[n] di durata >> (generalmente) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 86

87 Due tecniche. Sovrapposizione e somma (Overlap and add) 2. Sovrapposizione e selezione (Overlap and save) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 87

88 Prima di descrivere queste due tecniche occorre considerare la convoluzione lineare mediante DFT di due sequenze di durata finita ( e M rispettivamente) per due motivi: quando le durate e M non sono troppo diverse essa realizza direttamente la loro convoluzione quando la durata del segnale di ingresso è >>, la convoluzione lineare può essere realizzata con DFT di dimensioni opportune. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 88

89 Convoluzione lineare fra sequenze finite Durata delle sequenze non troppo lunga h[n], durata x[n], durata M y [] n x[ n] h[ n], = durata L = + M - = [ n] h [ n] x E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 89

90 h x [] n [] n = h x = [ n] [ n] n n L n M M n L sequenze allungate con valori nulli (zeri) [] k X[ k] H[ k] Y = DFT a L punti La DFT dell uscita è il prodotto delle DFT delle due sequenze di partenza allungate con valori nulli. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 9

91 Schema realizzativo x[n] (M) Allungamento con - zeri x [n] (L) DFT L X[k] (L) Y[k] (L) IDFT L y[n] (L) L=+M- h[n] () Allungamento con M - zeri h [n] (L) DFT L H[k] (L) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 9

92 Osservazione La parte dello schema racchiusa nel rettangolo tratteggiato può essere calcolata una sola volta se la stessa h[n] è usata per filtrare successivamente sequenze diverse aventi durata M. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 92

93 Sovrapposizione e somma (Overlap and add) h[n] x[n] y i- [n] y i [n] y i+ [n] y [n] M x i- [n] L=+M- y + x i [n] x i+ [n] [] n = x [ n] h[ n] = y [ n] i i i i E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 93 +

94 Schema realizzativo x[n] Blocchi M camp. DFT L X i [k] Y i [k] IDFT L sovrap. e somma y[n] h[n] DFT L H[k] (RAM, ROM) Scelta di L : L + M - E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 94

95 Osservazione - Per semplicità nello schema l operazione di allungamento con zeri è inclusa nel blocco DFT - La parte racchiusa nel rettangolo tratteggiato è calcolata una sola volta. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 95

96 Overlap and add Complessità realizzativa (algoritmo FFT radice-2) L log 2 L + L m.c. L log 2 L + L m.c./campione L-+ 4L (log 2 L + ) L-+ ovvero m.r./campione da confrontare con (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 96

97 Sovrapposizione e selezione (Overlap and save) Osservazione: nella convoluzione circolare ad L punti di una sequenza di campioni con una di L ( > ) campioni, i primi - campioni sono diversi mentre i successivi L-+ sono identici a quelli della convoluzione lineare fra le stesse sequenze E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 97

98 h[n] x[n] x i- [n] L x i [n] x i+ [n] - A L-+ - B - C y[n] A B C E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 98

99 Schema realizzativo x[n] Blocchi L camp. DFT L X i [k] Y i [k] IDFT L sovrap. e selez. y[n] H[k] L campioni E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 99

100 Overlap and save Complessità realizzativa (algoritmo FFT radice-2) L log 2 L + L m.c. L log 2 L + L m.c./campione L-+ 4L (log 2 L + ) L-+ ovvero m.r./campione da confrontare con (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta. O&A e O&S hanno la stessa complessità E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali

101 CORRELAZIOE Data h[n] di durata e x[n] di durata >, sappiamo che la loro correlazione (lineare) può essere espressa mediante la convoluzione discreta (lineare) v [] n h[ m][ x n + m] = h[ n] x[] n = m= E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali

102 Si possono applicare tutte le tecniche precedenti (sequenze entrambe finite, sovrapposizione e somma, sovrapposizione e selezione): - usando h[-n] al posto di h[n], ovvero usando H[L k] al posto di H[k] (con L dimensione della DFT usata) E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 2

103 Convoluzione e correlazione veloce Si chiamano così quando si impiega un algoritmo FFT per il calcolo della DFT negli schemi precedenti. E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 3

104 Altre applicazioni della FFT Modem OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) Wi-fi TV digitale terrestre (DVB-T) TV sui cellulari (DVB-H) DVB satellitare e mobile (DVB-SH) DAB (Digital Audio Broadcasting) WiMAX (rete wireless geografica a larga banda) LTE (Long Term Evolution): future reti cellulari E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 4

105 TRASMETTITORE OFDM GEERATORE CASUALE DI DATI MODULAZIOE DIFFEREZIALE BPSK-QPSK-6PSK COVERSIOE SERIALE PARALLELO IFFT COVERSIOE PARALLELO SERIALE ISERZIOE ITERVALLO GUARDIA CAALE segnale modificato dal canale RUMORE AWG MULTIPATH FADIG segnale OFDM trasmesso RIMOZIOE ITERVALLO DI GUARDIA COVERSIOE SERIALE PARALLELO FFT COVERSIOE PARALLELO SERIALE DEMODULAZIOE DIFFEREZIALE flusso dati ricevuti RICEVITORE OFDM E. Del Re Fondamenti di Elaborazione umerica dei Segnali 5