S.Barbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici. Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno 1993

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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno ) Esercizio n del 30/1/1993 Un onda piana di frequenza f =300MHz si propaga in un certo materiale Conoscendo che la lunghezza d onda nel mezzo è λ = 047m, la costante di attenuazione è α = 1Np/m e l impedenza intrinseca del mezzo Z = 195Ω, calcolare le costanti µ r, ǫ r e σ del materiale Ricordiamo che valgono le relazioni: β α = µǫω αβ = µσω µ Z = ǫ (a) (b) (c) Dalla (a) si ha: dalla (c) segue che: ǫ = β α µω (a ) µ = ǫz (c ) Sostituendo la (c ) nella (a ) si ha: ǫ = β α Z ω Dalla (b) ricaviamo la conducibilità σ; sostituendo la (c ) e l ultima espressione di ǫ, otteniamo: σ = αβ µω = αβzω ωz β α = αβ Z β α In definitiva, dalle precedenti equazioni, ricordando le note relazioni ǫ = ǫ 0 ǫ r, µ = µ 0 µ r, ESCAM93-1

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici si ha: ǫ r = β α ǫ 0 ωz µ r = ǫ 0ǫ r Z µ 0 σ = αβ Z β α dove β = π λ = 1331rad/m Ne segue: ǫ r = 4078, µ r = 1093 e σ = 00108S/m 93-) Esercizio n 3 del 30/1/1993 Sia data una guida rettangolare di dimensioni a = cm e b = 1cm La guida è eccitata nel modo TE 10 Se due segnali di frequenza 10GHz e 1006GHz vengono inviati nella guida, calcolare il ritardo temporale fra i due segnali dopo un percorso l = 1m Il tempo impiegato da un segnale è lo spazio percorso diviso la velocità di gruppo: t 1 = s t = s (a) v g1 v g con s = 1m, dove v g1 corrisponde a f = 10GHz e v g corrisponde a f = 1006GHz Si ha: v g = c 1 f c f Nel caso TE 10 : ( c ) fc = = fc = 7495GHz a Nota f c dalla (b) si ricavano le due velocità di gruppo: Dalle (a) si ha: v g1 = m/s t 1 = s e in definitiva il ritardo temporale richiesto è: v g = m/s t = s t = t t 1 = s Il segnale a frequenza piú elevata ha una velocitá di gruppo maggiore e, quindi, impiega un tempo minore ESCAM93 - (b)

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-3) Esercizio n 4 del 30/1/1993 Un sistema uniforme di antenne a mezz onda è composto da 5 elementi distanziati d = 04λ 0 Calcolare la fase delle correnti di eccitazione affinchè il massimo della radiazione emessa si trovi nella direzione formante un angolo di 45 0 con l asse del sistema Tracciare il diagramma di radiazione Si ha dalla teoria: [ ] n(kdcos ψ + γ) K(ψ) = 1 sin n [ ] (kdcos ψ + γ) sin (a) Il massimo si ha quando kdcos ψ + γ = 0, cioè: γ = kdcos ψ Nel nostro caso: kd = π 0,4 =,51 < π e ψ = 45 0 = γ = π 0,4 1 = rad Grafichiamo la (a): K(ψ) ψ K(ψ) ψ K(ψ) ψ K(ψ) ψ ESCAM93-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ESCAM93-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-4) Esercizio n 1 del 7//1993 Una guida d onda a sezione rettangolare, di dimensioni a = 5cm e b = 1cm, viene eccitata nel modo TE 10 alla frequenza di 10 GHz Se la potenza di eccitazione è 1 W, calcolare il massimo valore del campo elettrico all interno della guida, nell ipotesi che essa sia vuota Per il modo TE in guida rettangolare si ha: Per il modo TE 10 risulta Ne segue: H z = N cos pπx a H z = N cos πx a E z = 0 E t = iωµ ( h Nẑ x cos qπy b πx cos a H t = iβ ( ) h N πx cos x x a ) x In definitiva, effettuando le derivate e ricordando che ẑ x = ŷ, si ha: A questo punto E t = iωµ h ŷn π πx sin a a e iβz H t = iβ h xn π πx sin a a e iβz E t = ω µ π MAX h 4 a N si tratta quindi di calcolare N dal valore della potenza di eccitazione Si ha: a 0 sin πx a a dx = 0 E t H t = ωµβ π πx N sin h4 a a ẑ P = 1 ωµβ π πx N sin h4 a a dxdy σ 1 cos πx a dx = 1 a 1 ESCAM93-5 [ a sin πx ] a = 1 π a 0 a

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Quindi e in definitiva Ne segue che P = π ωµ 0 β h 4 a N 1 ab N = 4a h 4 P π µ 0 ωβab E t = 4ωµ 0 MAX βab P dove β = ω ǫ 0 µ 0 h 10 ma h10 = π a, quindi E t = MAX 4ωµ 0 4ωµ P = 0 P ab ω ǫ 0 µ 0 π ω a ab c π a Per P = 1W, ω = π rad/sec, µ 0 = 4π 10 7, a = 5cm, b = 1cm si ha: β = 1561 rad m E t MAX = E tmax = 3000V/m ESCAM93-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-5) Esercizio n del 7//1993 Calcolare l intensità massima di corrente di eccitazione di un dipolo a mezz onda perchè la potenza da esso irradiata in tutto lo spazio (vuoto) sia 100 W Calcolare, altresí, la potenza irradiata da un antenna rettilinea di lunghezza l = 3 λ, se essa viene eccitata con codesta intensità di corrente Dalla teoria si ha: P = + µ0 I0 ǫ 0 4π cos kl P = 4π 0 S r (r,θ,φ)r dω { C + ln kl C i kl + sinkl ( ) } C + lnkl + C i 4kl C i kl dove C = Nel caso di dipolo a mezz onda kl = π, ne segue: ( ) S i 4kl S i kl + P (kl= π ) = µ0 I { lnπ C i π 1 [ ln π ] } ǫ 0 4π + C iπ C i π Analogamente per l = 3 λ si ha: kl = π λ l = π λ 3 4 λ = 3 π P (kl= 3π ) = µ0 I { ln3π C i 3π 1 [ ln 3 ]} ǫ 0 4π π + C i6π C i 3π Esplicitiamo il calcolo dei coefficienti C i π, C i π, C i 3π, C i 6π: C i π = = C i π = = C i 3π = = C i 6π = = ESCAM93-7

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Quindi: P (kl= π ) = µ0 I { ǫ 0 4π } = ( ) = µ0 ǫ 0 I 0 4π 1 P (kl= 3π ) = µ0 I { ( ǫ 0 4π )} 0014 = µ0 I0 = { } ǫ 0 4π = µ0 I0 = ǫ 0 4π 1758 µ0 Dalla ( ) ricordando che = 377, si ha: ǫ 0 I 0 = 1 4πP µ0 ǫ 0 = 73 = I 0 = 165A ed anche 377,73 1,758 P (kl= 3π ) = 4π = 144Watt ESCAM93-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-6) Esercizio n 3 del 7//1993 Un onda elettromagnetica piana viaggia in un mezzo dielettrico omogeneo la cui costante dielettrica relativa è ǫ r = 4 e la permeabilità magnetica relativa è µ r = 1 Essa passa da tale mezzo al libero spazio (ǫ r = 1, µ r = 1) Se il campo elettrico incidente è dato da E i = ŷ 10 3 e iβz e l onda incide normalmente alla superficie di separazione, calcolare: a) il corrispondente campo magnetico incidente; b) i campi elettrici e magnetici riflessi e trasmessi; c) le densità di potenze riflesse e trasmesse La situazione è quella schematizzata in figura: ǫ r1 = 4 µ r1 = 1 1 ǫ r = 1 µ r = 1 E i = ŷe 0 e iβ 1z z dove E 0 = 10 3 V/m; β 1 = ω ǫ 1 µ 1 ; valgono inoltre le relazioni: Si ha per il campo magnetico incidente: H i = β 1 ωµ 1 ẑ E i = = Z 0 xe 0 e iβ 1z Calcoliamo la densità di potenza come ẑ ŷ = x ŷ x = ẑ ǫ1 µ 1 ẑ ŷe 0 e iβ 1z = S = 1 E H ǫr1 Z 0 xe 0 e iβ 1z = ESCAM93-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici si ha: L onda trasmessa è: S i n = 1 E 8 Watt 0 = Z 0 m E t = β 1 β + β 1 E 0 ŷe iβ z = 4 3 E 0ŷe iβ z H t = ǫ µ ẑ ŷ 4 3 E 0e iβ z = 1 Z 0 x 4 3 E 0e iβ z S t n = 1 8 Z 0 9 E 9 Watt 0 = m L onda riflessa è: E r = β β 1 β + β 1 E 0 ŷe iβ 1z = 1 3 E 0ŷe iβ 1z H r = β 1 ωµ 1 ẑ ŷ 1 3 E 0e iβ 1z = 1 Z 0 x 1 3 E 0e iβ 1z S r n = 1 1 Z 0 9 E 9 Watt 0 = m ESCAM93-10

11 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-7) Esercizio n 4 del 7//1993 Un onda elettromagnetica piana polarizzata linearmente, di frequenza f = 10 M Hz, si propaga nella ionosfera percorrendo una distanza di 00 Km nella stessa direzione di un campo magnetico uniforme La densità media degli elettroni è m 3 e il valore assoluto della frequenza giromagnetica dell elettrone è ω g = rad/sec Nell ipotesi di potere trascurare le collisioni, calcolare l angolo di rotazione del piano di polarizzazione dell onda all uscita della ionosfera L angolo di rotazione per un metro percorso è dato da : τ = 1 ω c [ 1 ω p ω(ω ω g ) 1 ω p ω(ω + ω g ) ] ( ) ω g = rad/sec Ma ω g per gli elettroni è negativo, quindi ω g = rad/sec, mentre ω = π 10 7, per ω p si ha: Sostituendo nella ( ) si ha: τ = 1 π [ ωp = nq = (1, ) mǫ 0 9, = 1, , , π 10 7 (π ) 1 4 rad = 01047( ) = m Dopo un percorso di 00Km l angolo di rotazione è τl = = rad τl gradi = π = ] 1, π 10 7 (π = ) Il piano di polarizzazione compie giri, cioè 177 giri ossia 17 giri completi 360 e una rotazione di = nel senso orario ESCAM93-11

12 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-8) Esercizio n 1 del 5/4/1993 Un antenna rettilinea a mezz onda, eccitata ad una frequenza di 100 MHz, irradia nello spazio libero una potenza di 100 W Calcolare il modulo del campo elettrico e del campo magnetico ad una distanza di 300 m in direzione ortogonale alla direzione dell antenna Poichè la lunghezza d onda è λ = c ν = = 3m e l = λ (risonanza a mezz onda kl = π/)=15 m, per R = 300m si è in condizione di applicare le formule per campi nella far zone Si ha: ) E rad = iωµ (ê eikr θ N θ + ê φ N φ 4πr H rad = ik ) 4πr eikr( N θ ê φ N φ ê θ Nel nostro caso, per θ = π e kl = π si ha: µ e ikr E θ = i ǫ πr I 0 H φ = i eikr πr I 0 = E θ ( ) 1 µ ǫ ed anche: E θ = µ ǫ I0 µ 4π r ǫ H φ = ǫ µ E θ Esprimiamo E θ e H φ in funzione della potenza irradiata Si ha: P = µ ǫ I 0 4π 1, Quindi E θ = P 1 µ 1, πr ǫ = 989 P r P E θ = 99 r H φ = 3, = = 3, V m = 8, A m ESCAM93-1

13 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-9) Esercizio n del 5/4/1993 Un onda elettromagnetica piana incide normalmente su un lamierino di rame di spessore s = 01mm Se la conduttività del rame è σ = S/m e la frequenza dell onda è f = 1 M Hz, calcolare la percentuale dell effettiva potenza entrante che viene dissipata nel conduttore Se P è l effettiva potenza entrante nel lamierino, è la potenza dissipata nel metallo Pertanto: Nel nostro caso, (ǫ rrame = 1), si ha: P = P Pe αs = P (1 e αs) P P = ( 1 e αs) σ ωµσ ǫ ω = = α = = 1513m 1 In definitiva ( 1 e αs) = = P = 9515%P ESCAM93-13

14 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-10) Esercizio n 3 del 5/4/1993 Un onda elettromagnetica piana, di frequenza f = 10 M Hz, entra in una atmosfera 1 elettroni ionizzata con densità di elettroni di 10 Trascurando le collisioni fra le particelle, calcolare il tempo impiegato per attraversare 00Km di atmosfera m 3 La formula risolutiva è: t = s v g Dobbiamo calcolare la velocità di gruppo dell onda nella ionosfera Si ha: Dal momento che ω > ω p si ha: ω p = nq mǫ 0 = 318,97 n = (rad/sec) ω p = 5, rad sec ω = πf = 6, rad sec ω > ω p = v f = c 1 ω p ω = 6, m s La velocità di gruppo è: v g = c 1 ω p ω = 1,3 108 m s Il tempo impiegato per percorrere 00Km di atmosfera è: t = 105 = 15 ms 1,3 108 ESCAM93-14

15 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-11) Esercizio n 4 del 5/4/1993 Una guida rettangolare è riempita di materiale dielettrico con ǫ r = 9 Le dimensioni della guida sono: a = 7cm e b = 35cm Se la guida è eccitata nel modo TE 10 ad una frequenza di GHz, calcolare la frequenza di cutoff, la velocità di fase, la velocità di gruppo e la lunghezza d onda guidata Le formule risolutive per le quattro grandezze richieste sono: ω c = h c ǫr v f = v g = c ǫr 1 ω c ω c 1 ω c ǫr ω λ g = λ 0/n 1 ω c ω Quindi, ricordando che per il modo TE 10 h = π, si ha: a 1 ω c ω = 1 π c a ǫ r ω = 0934 e in definitiva f c = h π c ǫr c a ǫ r = 071GHz v f = 1, m s v g = 9, m s λ g = 015/ = 0053m ESCAM93-15

16 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-1) Esercizio n 1 del 17/4/1993 Una radio ricevente situata su un veicolo mobile si trova all interno di una lunga galleria rettilinea di sezione circolare Se il diametro della galleria è d = 5 m, calcolare la minima frequenza che una radio trasmittente, posta all esterno, deve utilizzare per comunicare con il veicolo, supponendo nulle le attenuazioni Nell ipotesi che la radio esterna trasmetta ad una frequenza eguale a quella minima aumentata del 10%, calcolare la costante di propagazione dell onda e la sua velocità di fase Se il veicolo si muove verso la sorgente con velocità v = 100Km/h, valutare la frequenza ricevuta e la costante di propagazione relativa ad un osservatore solidale al veicolo Considerando la galleria come una guida d onda circolare si ha che la minima frequenza che si può propagare è quella immediatamente superiore alla frequenza di cutoff competente al modo dominante TE 11 Si ha, pertanto: ν = x 11c 1, c(te11 = = 3516MHz ) πa π,5 La frequenza di trasmissione della radio esterna è: ν = 35, %35, = 3868MHz che, lo osserviamo per inciso, è inferiore alla frequenza critica del modo successivo TM 01, infatti:, ν c(tm01 = = 4593MHz ) π,5 Per ν = 3868MHz si ha: β (TE11 ) = ω c ( ) x 11 = = rad a m ed anche v = ω f(t E11 ) β = 7, m 108 s Se il veicolo si muove verso la sorgente, si utilizza la formula per l effetto Doppler in avvicinamento, nel caso non relativistico ) f = (1 + vvf f = f f = v f = 15Hz v f quindi ed anche cioè: β = f = (f + 15) Hz ( 1 + vv ) f c β = β 8 rad β = 7,5 10 m β = (β + 7, ) rad m ESCAM93-16

17 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-13) Esercizio n del 17/4/1993 Un sistema di antenne Tchebyscheff è costituito da cinque elementi distanziati d = λ/ Calcolare le ampiezze delle correnti di eccitazione perchè l intensità massima dei lobi secondari sia il 10% (0 db) del massimo principale Graficare il diagramma di radiazione Siamo nelle condizioni di equidistanza degli elementi costituenti il sistema di antenne dunque possiamo porre nel caso di cinque elementi: A(ψ) = a 0 + a 1 cos α + a cos α dove si è posto α = kdcos ψ γ Scriviamo A(ψ) nella seguente maniera: A(ψ) = a 0 + a 1 cos α + a cos 4 α Si ha: A(ψ) = a 0 + a 1 (cos α ) ( 1 + a 8cos 4 α α ) 8cos + 1 = = a 0 + a 1 cos α a 1 + 8a cos 4 α 8a cos α + a = = 8a cos 4 α ( + cos α ) (a 1 8a ) + a 0 a 1 + a Consideriamo il polinomio di Tchebyscheff di grado 4: T 4 (x) = x(4x 3 3x) x + 1 = 8x 4 8x + 1 che si è ottenuto utilizzando la formula ricorrente Posto x = x 0 cos α, si ha: T n+1 (x) = xt n (x) T n 1 (x) T 4 (x) = 8x 4 0 cos 4 α 8x 0 cos α + 1 Imponiamo che A(ψ) = KT 4 (x) e cerchiamo di conseguenza i coefficienti a 0, a 1 e a ESCAM93-17

18 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Si ha: 16a = K8x 4 0 4a 1 16a = 8Kx 0 a 0 a 1 + a = K Dalla teoria si ha che x 0 = 1 ( b + ) 1 b ( b ) 1 b 4 1 Per b = 10,cioè lobo principale pari a 10 volte i lobi secondari (questi ultimi aventi tutti lo stesso livello) = x 0 = 1933 Risolvendo il sistema otteniamo: a 0 = K7 a 1 = K5 a = K13988 Si ha pure: a a 0 = a 1 a 0 = 08 3 Poniamo K = 1, per d = λ π cos ϕ, grafichiamo A(ϕ) : e γ = 0 segue α = π cos ψ e per θ = π/ = α = A(ϕ) ϕ A(ϕ) ϕ ESCAM93-18

19 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ESCAM93-19

20 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-14) Esercizio n 3 del 17/4/1993 Si vuole stabilire una trasmissione ad onde corte, fra due stazioni terrestri distanti 6000 Km, attraverso la ionosfera mediante tre riflessioni successive, ciascuna delle quali arriva al suolo ogni 000 Km Nell ipotesi che la riflessione avvenga in una zona in cui vi è una densità di elettroni di elettroni/m 3 e assumendo una altezza equivalente di 50 Km, calcolare l angolo che il fascio di radiazione deve formare con la verticale e la frequenza della trasmittente La situazione può essere schematizzata come in figura: dove d = 1000Km Si ha: i 0 h e d 6000 Km tani 0 = d h e = = 4 = i 0 = 75 o,9637 La frequenza della trasmittente si può trovare dalla formula: sin i 0 = 1 kn(h) ω 11 elettroni dove N(h) = 5 10, mentre k è dato da: m 3 di conseguenza otteniamo: sin i 0 = ω kn(h) ω k = q mǫ 0 = = ω (sin i 0 1) = kn(h) ω = kn(h) sin i 0 1 = = ν = ω π = 6177MHz ESCAM93-0

21 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-15) Esercizio n 4 del 17/4/1993 Un onda elettromagnetica piana di frequenza f = 1 M Hz, polarizzata linearmente, incide normalmente alla superficie terrestre (supposta piana) Il modulo del campo elettrico ad essa associato è E = 10 3 V/m I parametri costitutivi della terra sono: ǫ = 9ǫ 0, µ = µ 0 e σ = 10 1 S/m Calcolare: a) la profondità di penetrazione dell onda trasmessa nella terra; b) i coefficienti di riflessione e di trasmissione (relativi alla densità di potenza) Calcoliamo il rapporto σ ω ǫ Si ha: σ ω ǫ = Pertanto δ = = 159m ωµ σ Per l onda riflessa si ha: R = ρ e R = ρ Se l incidenza è normale R = R = R Nel caso σ ω ǫ dove Quindi 1 e µ = µ 0 e θ 0 = 0 si ha: ρ = ρ = β 1 = ω ǫ 0 µ 0 ωµσ β = [ 1 β 1 β [ 1 + β 1 β ] + 1 ] + 1 = β 1 ωǫ0 = = 0033 β σ ρ = ρ = 0936 Nell ipotesi di onda parallela: R = 0936 e T = 0064 ESCAM93-1

22 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-16) Esercizio n 1 del 10/5/1993 Un onda elettromagnetica piana, linearmente polarizzata, incide, normalmente, su una superficie piana perfettamente conduttrice Se la densità di potenza dell onda (mediata in un periodo) è 10W/m, calcolare la pressione meccanica esercitata sul piano La pressione di radiazione dovuta ad un onda elettromagnetica piana è: t = 1 ǫ 0E oẑ dove ẑ è il versore della direzione di propagazione Se la superficie è perfettamente conduttrice, bisogna considerare l onda riflessa la cui pressione di radiazione è la stessa dell onda incidente, quindi: t = ǫ 0 E 0ẑ (superficie perfettamente conduttrice) Si ha anche che la densità di potenza è: Ne segue: t = ǫ 0 P ǫ0 P = < S > = 1 ǫ0 E0 µ 0 µ 0 = P c = = 6, N m Si può anche verificare che la pressione di radiazione è la variazione nell unità di tempo della quantità di moto associata all onda cioè: dove g = 1 c E H F = t V g dv Nell unità di tempo il volume V è V = Sc, quindi nell unità di tempo: F = Q = g V = 1 ǫ0 F c E µ 0Scẑ = = 1 ǫ0 E 0 S c µ 0ẑ = ǫ 0 E0 ẑ 0 ESCAM93 -

23 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-17) Esercizio n del 10/5/1993 Un sottomarino, con la sua antenna posta sul livello del mare (ǫ r = 7, µ r = 1, σ = 4 S/m), riceve un segnale di frequenza f = 1KHz il cui livello di potenza è 100 volte il livello di rumore Calcolare la massima profondità di immersione perchè il sottomarino possa ancora ricevere il segnale non confuso con il rumore Se l antenna ricevente del sottomarino è un dipolo a mezz onda, calcolare la lunghezza 0dB significa che la potenza sul livello del mare è 100 volte quella di rumore, cioè: La quantità σ ǫ ω è pari a Pertanto P segnale P rumore = 100 σ ǫ ω = 16 (8, ) (7) (π 10 3 ) = 9, ωµσ α = β = A questo punto: = π 103 4π = 016 [m 1 ], [ rad m ] P rumore = P segnale e αz = e αz = αz = ln100 = z ln 100 = α = 187m Essendo la lunghezza d onda λ pari a: λ = π β = 4987m la lunghezza del dipolo risulta l = λ = 496m ESCAM93-3

24 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-18) Esercizio n 3 del 10/5/1993 Una guida d onda rettangolare è riempita d aria Le sue dimensioni sono: a = 86 cm e b = 1016cm Se la guida è eccitata nel modo TE 10 ad una frequenza f = 9GHz, calcolare la massima potenza che può essere sostenuta dal dielettrico La rigidità dielettrica dell aria è V/m Dobbiamo imporre che il massimo campo elettrico nella guida sia uguale al valore della rigidità dielettrica dell aria cioè V/m Il modulo del campo elettrico massimo competente al modo TE 10 è (vedi Esercizio n 1 del 7//1993): E y MAX = ωµ π h 10 a N h 10 = π a quindi da cui per N otteniamo: dove β = E y MAX = ωµa π N = V/m N = π ωµa = La massima potenza che può sostenere il dielettrico è: P MAX = π ωµβ 1 h 4 a N ab ω ǫ 0 µ 0 h 10 = 19rad/m In definitiva P MAX = 95019KW ESCAM93-4

25 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-19) Esercizio n 4 del 10/5/1993 In un sistema di riferimento O x y z vi è un campo elettrico di modulo E = 1000V/m, giacente nel piano xy e formante un angolo di 30 0 con l asse x Trovare il modulo e la direzione del campo elettrico in un sistema di riferimento che si muove lungo la direzione positiva dell asse x con velocità v = 06c, e che ha gli assi paralleli a quelli del sistema di riferimento O x y z con le origini coincidenti all istante t = 0 y O 30 0 x z Sia E 0 il modulo in S, si ha: E x = E 0 cos 30 0 = E y = E 0 sin30 0 = 500 E z = 0 B x = 0 B y = 0 B z = 0 dove γ = Il modulo di E 0 è: 1 1 (06) E x = E x E y = γ[e y vb z ] E z = γ[e z + vb y ] E 0 = E x = E 0 cos 30 0 = E y = γe 0 sin30 0 = 65 E z = 0 E 0 cos γ E 0 sin 30 0 = 1068V/m = 15 In definitiva: E y = E x tanα = tanα = E y E x La direzione del campo elettrico è data da: α = 35 0,81 = ESCAM93-5

26 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-0) Esercizio n 1 del 6/6/1993 Un largo ed uniforme fascio di microonde linearmente polarizzato, viaggiante in aria, avente la densità di potenza di 1KW/m e la frequenza ν = 1GHz, incide normalmente su un metro quadrato di lastra di rame (ǫ r = 1, µ r = 1, σ = 5, S/m) di 10µ di spessore Calcolare la potenza emergente dalla lastra Calcoliamo, al solito, la quantità σ ǫω : σ ǫω = 5, , π Supponiamo che la radiazione incidente sia polarizzata parallelamente al piano di incidenza (o indifferentemente ortogonale) La potenza incidente sulla lastra è P i = 1KW Poichè σ 1, il coefficiente di riflessione per la potenza si scrive: ǫω dove x = µ β 1 ωǫ1 µ = µ 1 β µ 1 σ x = Sostituendo nella precedente ricaviamo R : R = ρ 1 x { 1 1 o mezzo (aria) o mezzo (rame) π , , R = 1 4, = P r = W P i P r = 884mW La potenza emergente è data da: P e = (P i P r )e αs dove s è lo spessore della lastra e α è il coefficiente di attenuazione dato da: α = ωµσ π 109 4π 10 = 7 5, Per s = m si ha: P e = 675µW = 4, Np/m ESCAM93-6

27 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-1) Esercizio n del 6/6/1993 Un onda elettromagnetica TEM si propaga in un cavo coassiale Ricavare l espressione della densità di carica indotta sulla superficie del conduttore interno e verificare esplicitamente la validità dell equazione di continuità b a ê r In un cavo coassiale si ha: E t = ê r V 0 Per le condizioni al contorno si ha: D altra parte sappiamo che: η = D n = ǫ V 0 ǫ J s = µ ln a b V 0 ln a b ln a b η t = iωǫ V 0 ln a b J ǫ = iβ µ 1 r e iβz e iωt 1 a e iβz e iωt (r = a) ẑ a e iβz e iωt (r = a) V 0 ln a b 1 a e iβz e iωt ESCAM a e iβz e iωt

28 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Ma β = ω ǫ ǫµ e quindi β µ = ωǫ Ne segue: J + η t = 0 93-) Esercizio n 3 del 6/6/1993 Due dipoli a mezz onda, paralleli e distanti λ/, sono alimentati con correnti uguali in modulo Graficare i diagrammi di radiazione nel piano ortogonale alla direzione delle correnti e dare una spiegazione fisica dei risultati ottenuti nei seguenti due casi: a) le correnti sono in fase; b) le correnti sono opposte in fase; Calcolare, altresì, la direttività del sistema in entrambe le situazioni Correnti opposte in fase (γ = ±π kd = π) Il diagramma di radiazione è del tipo bilateral end-fire array ed è graficato negli appunti P O O λ P Siano le direzioni dei dipoli ortogonali al piano della pagina E chiaro che in un punto P in direzione ortogonale alla direzione che congiunge i centri dei dipoli, le due onde ESCAM93-8

29 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici percorrono uguale cammino, ma sono sfasate di π, pertanto il campo è nullo: Viceversa in un punto P sulla retta OO, l onda emessa da O raggiunge O dopo avere percorso un cammino uguale a λ/, cioè con un ritardo di π, quindi nel punto P le due onde giungono in fase e si sommano; pertanto in P si ha un massimo Ovviamente succede il contrario se le due sorgenti sono in fase Grafico antenne in fase (γ = 0, kd = π) (Broadside array) cos ψ = sinθ cos φ per θ = 90 0 = cos ψ = cos φ K(φ) = 1 n sin[n(kdcos φ + γ)/] sin[kdcos φ + γ]/ per n =, kd = π, γ = 0 si ha: K(φ) φ K(φ) φ ESCAM93-9

30 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici In definitiva la situazione è la seguente, in cui tratteggiata è la sovrapposizione del diagramma per γ = 0: ESCAM93-30

31 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Calcolo delle direttività a) Correnti in fase (γ = 0): Utilizziamo la formula: D = 4πn n 1 8πn 3 + 8π ( sinu (n q) cos(qγ) u q=1 sinu u 3 + cos u ) u dove u = qkd Per n =, γ = 0, kd = π e q = 1 si ha: D = 16π 16π ( 3 + 8π 1π ) = 3537 b) Correnti in opposizione di fase (γ = ±π): D = 16π 16π ( 3 8π 1π ) = 6 ESCAM93-31

32 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-3) Esercizio n 4 del 6/6/1993 Una guida d onda rettangolare riempita d aria, eccitata nel modo TE 10, ha dimensioni a = 10cm e b = 5cm Fissata l ampiezza massima del campo elettrico, calcolare e graficare l espressione della potenza trasmessa nella guida in funzione della frequenza, nell intervallo compreso fra la frequenza di cutoff del modo considerato e quella di cutoff nel modo successivo Calcolo delle frequenze di cutoff ν c10 = c a = 1,5 109 Hz ; ν c01 = c b = Hz L espressione della potenza (vedi compito 7//1993) è: P 10 = E t MAXab La funzione da calcolare e graficare è: ω c π a 4ωµ 0 (πν ) π c πν a = (ν c ) 1 a ν = f(ν) ν/10 9 f(ν) ν/10 9 f(ν) ESCAM93-3

33 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici f(ν)/ ν/10 9 ESCAM93-33

34 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-4) Esercizio n 1 del 17/7/1993 Una fibra ottica eccitata con radiazione infrarossa di lunghezza d onda λ = 1µ (nel vuoto) è costituita da un nucleo con indice di rifrazione n 1 = 153 e da un rivestimento con indice di rifrazione n = 15 Trovare la dimensione massima del diametro del nucleo perchè si abbia un singolo modo di propagazione L intervallo di frequenza per operazione a singolo modo è dato da: 0 < f < 405 πa (ǫ 1 ǫ )µ 0 Nel nostro caso si conosce f che è: f = c λ = , 10 6 =, Hz radiazione infrarossa Pertanto perchè si propaghi singolo modo, si deve avere: a < 405 π, (n 1 n )ǫ 0µ 0 essendo n 1 = 153 e n = 15 Quindi: a < 4, (n 1 n ) = 63µ d = a < 56µ ESCAM93-34

35 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-5) Esercizio n del 17/7/1993 Un onda elettromagnetica piana, viaggiante in acqua (ǫ r = 81, µ r = 1, σ = 0), è incidente sulla superficie di separazione acqua-aria con un angolo di 45 0 Calcolare il rapporto fra i moduli del campo elettrico, in aria, sulla superficie di separazione e ad una distanza di λ 4 da essa Poichè l onda passa da un mezzo più rifrangente ad un mezzo meno rifrangente, verifichiamo se l angolo di incidenza è maggiore o minore dell angolo limite Si ha: sin θ L = n = θ L = arcsin n n 1 n 1 Poichè n = 1 ed n 1 = 81 = 9 si ha θ L = 6 0,38 Nel nostro caso θ i = 45 0 pertanto siamo in presenza di riflessione totale e nel secondo mezzo (aria) avremo onde evanescenti x ˆn 0 ˆn 1 1 θ 0 onda evanescente z Nel secondo mezzo si ha, quindi: E t = E e β 1x e iαz E t = E e β 1x dove β 1 = ω ǫ 1 µ 1 sin θ 0 ( n n 1 ) ESCAM93-35

36 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Indicando con λ la lunghezza d onda in aria si ha: ω = π c λ 0 con c = 1 ǫ0 µ 0 Pertanto Ne segue che: β 1 = π n 1 λ 0 sin θ 0 ( n n 1 E t x=0 = E ) = 3949 λ 0 N p /m Il rapporto fra i due campi è: 3949 E t λ x= 0 = E e 4 4 E t x=0 E = t λ x= 0 4 ESCAM93-36

37 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-6) Esercizio n 3 del 17/7/1993 Sia dato un sistema piano di antenne molto largo (rectangular array), dotato di riflettore, che abbia un valore di direttività D = 1000 La frequenza di eccitazione è f = 600MHz Calcolare: a) l area della superficie dell antenna; b) la lunghezza di ciascuna dimensione, nell ipotesi che il sistema sia quadrato; c) il numero di dipoli contenuti nel sistema se i loro centri distano l un l altro mezza lunghezza d onda in entrambe le dimensioni Poichè il sistema di antenne è molto largo, possiamo usare la formula (con riflettore) D = 4π A λ = A = λ D 4π = c f D 4π = 1989m Se il sistema è quadrato L x = L z = 446m Il numero di dipoli è dato da n m Si ha nd x md z = L x L z Nel nostro caso nm λ 4 = L = nm = 4L λ 318 In realtà la ( ) si dovrebbe scrivere: ( ) e poichè n = m dalla precedente ottengo: (n 1)(m 1) = 4L λ (n 1) = 4L = 318 = n 1 18 λ da cui n = 19 ed n = 361 (numero di dipoli) ESCAM93-37

38 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-7) Esercizio n 4 del 17/7/1993 Graficare il diagramma di radiazione del sistema di antenne, descritto dal precedente problema, in un piano ortogonale al piano dell array Consideriamo n = m = 18; per θ = π/ si ha: ( π ) U,φ sin[n(π cos φ)/] = m sin[(π cos φ)/] avendo posto d = λ e I 0 = 1 Normalizzando a 1 si ha: ( π ) U,φ = 1 sin(9π cos φ) ( 18 π ) sin cos φ Poiché il sistema é dotato di riflettore, tutto il diagramma é proiettato in avanti ed il fattore di forma deve essere moltiplicato per Essendo interessati al diagramma normalizzato, grafichiamo la funzione U ( π,φ) φ U(φ) φ U(φ) ESCAM93-38

39 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ESCAM93-39

40 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-8) Esercizio n 1 del 5/9/1993 Un onda piana polarizzata ellitticamente, in aria, ha le seguenti componenti del campo elettrico: E x = E 0 cos(ωt βz), E y = E 0 cos(ωt βz π/4), E z = 0 Determinare il vettore campo magnetico e l equazione dell ellisse di polarizzazione Graficare l ellisse per punti e determinare il verso di rotazione del vettore E Il vettore campo magnetico ha le seguenti componenti: ǫ ( H x = E0 cos ωt βz π ) µ 4 ǫ H y = µ E 0 cos(ωt βz) H z = 0 L equazione dell ellisse di polarizzazione è: E x E 0 + E y E 0 E xe y cos π E 0 4 = π sin 4 E x E 0 + E y E 0 E xe y E 0 = 1 Grafico di E E x = E 0 cos(ωt βz) = E 0 cos (π tt ) βz E y = ( E 0 cos ωt βz π ) = ( E 0 cos π t 4 T βz π ) 4 ESCAM93-40

41 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Nel piano z = 0 poniamo E 0 = 4 unità t/t E x E y t/t E x E y Ellisse di polarizzazione E y E t = 0 verso vettore E E x t = T ESCAM93-41

42 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-9) Esercizio n del 5/9/1993 Una guida d onda costituita da due lastre conduttrici parallele (x = 0 e x = 10cm) è eccitata nel modo TE 1 alla frequenza f = GHz Se il dielettrico interno è aria, calcolare il valore massimo del campo elettrico se la potenza di eccitazione è 100 W e la larghezza b lungo la direzione ŷ è 50 cm La situazione è quella schematizzata in figura: a b x y z I campi trasversali competenti al modo TE sono: E t = i ωµ h ŷdpπ a sin pπ a xe iβz H t = i β h ˆxDpπ a sin pπ a xe iβz La potenza trasportata nella direzione dell asse z e confinata fra le lastre è: P = 1 Re S ( Et H t ) ẑ da = 1 Re S ωµβ h 4 p π a D sin pπ a xda Nel nostro caso h 1 = π a e p = 1, quindi: P = 1 b 0 a 0 ωµβa π D sin πx a dxdy dove β = ω ǫµ π a, ne segue: P = 1 ωµβa b π D a 0 sin π a xdx ESCAM93-4

43 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ne segue: Dal momento che P = 1 4 a Il valore massimo del campo elettrico è: 0 sin π a xdx = 1 a ωµβa 3 b π D = D = 4π P ωµβa 3 b E MAX = ωµ h Dπ a = ωµ π π P h a ωµβa3 b = ωµa π P π a ωµβab = = ωµ P ωµβab = ωµp βab Il valore di β è: β = ω ǫµ π a = ω c π rad = 7706 a m In definitiva il valore richiesto è: E MAX = 1353 V m ESCAM93-43

44 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-30) Esercizio n 3 del 5/9/1993 La lunghezza di una antenna rettilinea è un numero intero di mezze lunghezze d onda Scrivere l espressione della resistenza di radiazione e calcolare il valore massimo della corrente di eccitazione perchè la potenza irradiata sia 50W nel caso di n = 1,,3 Calcolare, altresì, la direttività dell antenna nei tre casi La resistenza di radiazione è definita da: R a = P r I dove P r è la potenza irradiata dall antenna Sostituendo l espressione di P r si ha: R a = 1 { µ C + ln kl C i kl + sinkl ( ) S i 4kl S i kl + π ǫ cos kl ( ) } + C + lnkl + C i 4kl C i kl Poichè l = nλ si ha: kl = /π λ/ nλ/ / = nπ (n = 1,,3) Essendo quindi sin kl = sin nπ = 0 si ha: R a = 1 { µ C + lnkl C i kl + 1 ( C + lnkl + C i 4kl C i kl) } = π ǫ = 1 { µ 3 π ǫ C + 3 ln kl C ikl + 1 C i4kl 1 } ln R a(n=1) = 1 { µ 3 π ǫ C + 3 ln π C iπ + 1 C i4π 1 } ln R a(n=) = 1 { µ 3 π ǫ C + 3 ln 4π C i4π + 1 C i8π 1 } ln R a(n=3) = 1 { µ 3 π ǫ C + 3 ln 6π C i6π + 1 C i1π 1 } ln dove C = C i π = C + lnπ + ln = ln = 0056 C i 4π = C + lnπ + ln = ln = C i 6π = C + lnπ + ln = ln = C i 8π = C + lnπ + ln = ln = C i 1π = non c é nelle tavole, quindi escludiamo n = 3 ESCAM93-44

45 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Quindi nei due casi (n = 1,) otteniamo per la resistenza di radiazione e per le correnti: R a(n=1) = 1 µ { } = 19893Ω π ǫ R a(n=) = 1 µ { } 437 = 5943Ω π ǫ (n = 1) I = P r = 100 R a 5943 = = I (n=1) = 06A (n = ) I = P r R a = = = I (n=) = 071A Quanto sopra è stato eseguito, per errore, per il caso l = nλ Lasciamo il calcolo già fatto e deriviamo le formule nel caso dell esercizio cioè l = n λ l = n λ = kl = π λ/ nλ/ 4 = nπ (n = 1,,3) Poichè, quindi: sin kl = sinnπ = 0 si ha: Quindi: R a = 1 µ π ǫ cos kl = cos nπ = { cos nπ C + ln(nπ) C i nπ + { 1 per n = 1 +1 per n = 1 per n = 3 [ ( C + ln n π ) ]} + C i nπ C i nπ } R a(n=1) = 1 { µ 1 π ǫ C + 1 lnπ + 1 ln 1 C iπ R a(n=) = 1 { µ 3 π ǫ C + 3 ln π 1 ln C iπ + 1 } C i4π R a(n=3) = 1 { µ 1 π ǫ C + 1 ln 3π + 1 ln 1 } C i6π C i 3π = ln = R a(n=1) = 1 µ π ǫ R a(n=) = 1 µ π ǫ R a(n=3) = 1 µ π ǫ { } 1188 = 7307Ω { } = 19893Ω { } 1758 = 10541Ω ESCAM93-45

46 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici (n = 1) I = P r R a = = 1368 = I (n=1) = 117A (n = ) I = P r R a = = 05 = I (n=) = 07A (n = 3) I = P r R a = = 095 = I (n=3) = 097A La direttività nei tre casi è: ( n = 1 kl = π ) n = (kl = π) ( n = 3 kl = 3 π ) (S r ) (S r ) (S r ) MAX MAX MAX = D = 4πr( S r )max P µ I0 µ ǫ 8π r ; P = I = D = 164 ǫ 4π µ I0 µ = ǫ 8π r 4; P = I = D = 41 ǫ 4π µ I0 µ = ǫ 8π r 1957; P = I = D = 6 ǫ 4π ESCAM93-46

47 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-31) Esercizio n 4 del 5/9/1993 La densità superficiale di potenza, mediata in un periodo, della luce solare sulla superficie terrestre è approssimativamente W/m In approssimazione di onda piana calcolare i moduli del campo elettrico e del campo magnetico nonchè la pressione di radiazione esercitata sulla superficie terrestre assumendola perfettamente assorbente Si ha: P = < S ˆn > = 1 ǫ0 E0 = E µ0 0 = P = 1, ,7 = µ 0 ǫ 0 E 0 = 107V/m ed anche Infine H 0 = E 0 Z = 7A/m Ne segue: t = 1 ǫ 0E 0 n (pressione di radiazione, mediata in un periodo, anche se l onda non è polarizzata) < t >= P c = N/m ESCAM93-47

48 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-3) Esercizio n 1 del 4/1/1993 Un onda elettromagnetica piana di frequenza f = 15MHz si propaga in un gas ionizzato caratterizzato da una frequenza di plasma ω p = π 14MHz La frequenza delle collisioni è ω eff = π 10 4 Hz Descrivendo il mezzo come dielettrico con perdite, calcolare la conducibilità, la costante dielettrica, il coefficiente di attenuazione e la costante di propagazione dell onda elettromagnetica Calcolare la frequenza al di sotto della quale l onda elettromagnetica non si propaga Il plasma (ionosfera) è equivalente ad un mezzo con: σ = ǫ 0ω eff ω p ω + ω eff ǫ r = ( ω p 1 ω + ωeff ) f = 15MHz Poichè σ ǫω σ = S/m ǫ r = = si ha: α = σ µ0 ǫ 0 ǫ r = N p /m β = ω µ 0 ǫ = rad/m f = MHz σ = S/m ǫ r = 051 α = N p /m β = 0099rad/m L onda non si propaga se β = 0 cioè ǫ r = 0 = ω = ωp ωeff = = f c = MHz ciò dalla formule generale ESCAM93-48

49 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 93-33) Esercizio n del 4/1/1993 Un piccolo avvolgimento costituito da N = 10 spire di raggio r 0 = 5cm viene utilizzato come antenna ricevente Esso dista 10 Km da un dipolo hertziano ed è orientato in modo tale che il flusso del campo magnetico, generato dal dipolo, attraverso la sua superficie risulti massimo Calcolare la fem massima indotta nell avvolgimento quando la potenza di eccitazione del dipolo è 5W e la frequenza è f = 7MHz θ = π spira IL campo elettromagnetico generato da un dipolo hertziano è: E = ê θ iωµil eikr 4πr sinθe iωt H = ê φ ikil eikr sin θe iωt 4πr dove ê φ è uscente dalla pagina La potenza emessa è P = 4 { } kil 3 πz 4π Per essere il flusso massimo deve essere θ = π La parte reale di H è Re( H) 1 = ê φ kil sinθ sin(ωt kr) 4πr B = µ H kil = ê φ 4π µ sinθ 0 sin(ωt kr) r ESCAM93-49

50 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Per θ = π si ha: ed anche Φ( B) = NBS = N kil 4π µ πr0 0 sin(ωt kr) r fem = Φ t kil = N 4π µ πr0ω 0 cos(ωt kr) r La formula del flusso è stata ottenuta considerando la spira piccola (r 0 r) cioè ritenendo B costante su S fem MAX = N kil 4π µ πr0ω 0 r Ma ne segue in definitiva: kil 4π = 3Pr 4πZ fem MAX = N 3Pr 4πZ µ πr0ω 0 r = V = 0094mV Fine Esercizi Campi em ESCAM93-50