- S.Barbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Cap. 14. Teoria dei sistemi di antenne rettilinee

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1 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Cap 14 Teoria dei sistemi di antenne rettilinee Una grande varietá di diagrammi di radiazione puó essere realizzata ordinando nello spazio un insieme di antenne operanti alla stessa frequenza I campi irradiati dalle singole antenne interferiscono costruttivamente in certe direzioni e distruttivamente in altre, e cosí producono un diagramma di radiazione direzionale La conoscenza della posizione di ciascuna antenna, l orientazione e la distribuzione di corrente, insieme ad una completa descrizione delle sorgenti monocromatiche di corrente, determina univocamente il diagramma di radiazione risultante Il problema inverso di trovare un insieme di antenne che produrrebbero un diagramma di radiazione assegnato non ha una soluzione unica Un importante esempio di tale insieme di antenne é la configurazione che in inglese prende il nome di array ed in italiano di schiera o cortina, che per definizione é composto di un numero finito di antenne identiche, identicamente orientate, ed eccitate in modo tale che le distribuzioni di corrente sulle singole antenne sono le stesse in forma ma possono differire in fase ed ampiezza Segue da questa definizione che il diagramma di radiazione di un array é sempre il prodotto di due funzioni, una rappresentante il diagramma di radiazione di una singola antenna nell array e l altra chiamata array factor o fattore spaziale, che puó essere interpretata come il diagramma di radiazione di un simile sistema di antenne non direttive (isotrope) Di tutti i possibili arrays il sistema costituito da un insieme di antenne rettilinee é il piú semplice da studiare matematicamente e quindi costituisce una base naturale per una discussione sui sistemi di antenne Limiteremo la nostra attenzione a sistemi di antenne rettilinee Array di antenne a mezz onda parallele Consideriamo un sistema di antenne rettilinee che per definizione consiste di n dipoli a mezz onda eccitati nel centro ed orientati parallelamente all asse z con i centri nei punti x p (p = 0, 1, n 1) sull asse x Ogni dipolo é alimentato indipendentemente, ha una lunghezza l ed é risonante cioé kl = π Assumendo l approssimazione che la vicinanza dei dipoli non modifica le correnti in essi circolanti o, equivalentemente che i dipoli non interagiscono fra di loro, la densitá di corrente lungo il dipolo p-esimo é quella di un dipolo isolato: J (p) = ẑa p δ(x x p )δ(y) cos kz ( l z l) (1411) dove A p denota l ampiezza complessa della corrente Quindi la densitá di corrente risultante per l intero insieme di antenne é la somma: J = n 1 n 1 J (p) = ẑδ(y) cos kz A p δ(x x p ) (141) 14-1

2 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - N: Questa densitá di corrente dá luogo alla seguente espressione per il vettore radiazione N = V e ikê [ r r J( r )d 3 r = ẑ e iky sin θ sin φ δ(y )dy ] [ ] [ +l n 1 ] e ikz cos θ cos kz dz A p e ikx (1413) sin θ cos φ δ(x x p )dx l essendo: e, quindi: Effettuando l integrazione si ha: ê r = x sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ (1414) ê r r = x sin θ cos φ + y sin θ sin φ + z cos θ (1415) N = ẑ k ( ) cos π cos θ sin θ n 1 A p e ikx p sin θ cos φ (1416) Il secondo integrale della (1413) é lo stesso di quello competente ad una singola antenna rettilinea e si ottiene ponendo kl = π nella (175) Poiché ẑ = ê r cos θ ê θ sin θ, dalla (1416) segue: N φ = 0 e N θ = k ( ) cos π cos θ sin θ n 1 A p e ikx p sin θ cos φ Quindi, il vettore di Poynting risulta radiale e, per la (117) risulta: S r = µ ɛ (1417) 1 8π r F (θ)a (θ, φ) (1418) essendo: F (θ) = ( ) cos π cos θ sin θ e A(θ, φ) = n 1 A p e ikx p sin θ cos φ (1419) F (θ) é il fattore di forma di ciascun dipolo come se fosse solo nello spazio, A(θ, φ) rappresenta il fattore di forma di tutto il sistema e prende il nome di array factor Il diagramma di radiazione di tutto il sistema é quindi rappresentato dalla funzione: U(θ, φ) = F (θ)a(θ, φ) = F (θ) A(θ, φ) (14110) 14 -

3 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Studio dell array factor nel caso di antenne equidistanziate Per studiare il diagramma di radiazione di un sistema di antenne a mezz onda, consideriamo il caso particolare in cui le antenne sono equidistanti, cioé per cui x p = pd, dove d é la distanza fra un antenna e l altra La figura (14-1) illustra un tale sistema di antenne orientate lungo l asse z ed il conveniente sistema di coordinate adatto a descrivere il diagramma di radiazione z Q θ Q ψ O φ x 0 x 1 x x 3 y x fig14-1 Sia ψ l angolo fra l asse x e la linea di osservazione OQ; si ha, ovviamente: cos ψ = ê r x = sin θ cos φ (141) L array factor diventa, pertanto, solo funzione di ψ come si puó dedurre dalla seconda formula delle (1419) e risulta: n 1 A(ψ) = A p e ikx p cos ψ Imponendo la restrizione di equidistanza nella (14) ed esprimendo A p come: (14) A p = a p e ipγ (143) che esplicitamente mostra attraverso il fattore e ipγ la variazione progressiva di fase γ delle correnti, otteniamo per A(ψ) l espressione: A(ψ) = n 1 a p e ip (kd cos ψ + γ) n 1 = a p e ipα (144) 14-3

4 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - dove: α = kd cos ψ γ (145) Allora, se introduciamo la variabile complessa ξ definita da: ξ = e iα (146) la funzione A(ψ) prende la forma di un polinomio di grado n 1 nella variabile complessa ξ: n 1 A(ψ) = a p ξ p (147) Quando i coefficienti a p del polinomio (147) sono uguali a una costante che possiamo porre eguale all unitá, il sistema di antenne é detto uniforme Ne segue che: n 1 A(ψ) = ξ p = ξn 1 ξ 1 sistema uniforme di antenne (148) Il risultato della (148) deriva dal fatto che il secondo membro di essa rappresenta una progressione geometrica Sostituendo a ξ la (146), la (148) diventa: A(ψ) = einα 1 e iα 1 = e +inα e inα e +iα 1 1 = e +inα e inα e inα e +iα e iα α = e i e inα ( i sin n α ) ( α ) = i sin (149) e iα [ = e i(n 1)α ] ( sin n α ) ( α ) sin e iα Ne segue che: ( sin n α ) A(ψ) = ( α ) sin = sin [n (kd cos ψ + γ) /] sin [(kd cos ψ + γ) /] (1410) Calcoliamo, adesso, il massimo valore della funzione A(ψ) Sviluppando esplicitamente la sommatoria che compare nella formula (148), si ha: A(ψ) = 1 + ξ + ξ + ξ ξ n ξ + ξ + ξ ξ n 1 (1411) 14-4

5 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - e poiché per la (146) risulta ξ = 1, ne segue: A(ψ) n (141) Osserviamo, ora, che dalla (1410), per α mπ con m intero, risulta: lim A(ψ) = α mπ lim α mπ ( sin n α ) ( α ) sin = lim α mπ ( n cos n α ) ( α ) cos = n (1413) Ne segue che n é il massimo valore della funzione A(ψ) raggiunto per valori di α multipli pari di π Per graficare i diagrammi di radiazione é conveniente introdurre la funzione K(ψ) cosí definita: K(ψ) = A(ψ) A(ψ) max = 1 n sin [n (kd cos ψ + γ) /] sin [(kd cos ψ + γ) /] (1414) che prende il nome di normalized array factor (fattore di cortina normalizzato), in modo cioé che il suo valore massimo é normalizzato all unitá Poiché la funzione (1410) é periodica di periodo π rispetto ad α, il suo studio potrá limitarsi all intervallo (0 α π); essa si annulla in tale intervallo se é: nα = rπ (1415) con r intero positivo diverso da zero e da n (per evitare che si annulli anche il denominatore) Poiché, data la variabilitá di α nell intervallo [0, π], deve essere (0 r n), si conclude che il fattore di cortina si annulla (n 1) volte Studio dell array factor nel caso di un sistema uniforme di antenne in fase Supponiamo, inizialmente, che le sorgenti siano in fase l una con l altra (cioé γ = 0) e che esse distino fra loro di una semilunghezza d onda Vogliamo studiare in questo caso il diagramma di radiazione orizzontale molto importante nella pratica Si ha, quindi: θ = π, d = λ, γ = 0, cos ψ = cos φ, kd = π Ne segue che: K(φ) = 1 sin (n π ) cos φ n ( ) sin π (1431) cos φ Poiché cambiando φ in (π ± φ), la (1431) resta invariata, il modulo del fattore di cortina é, in questo caso, una funzione simmetrica rispetto al punto O 14-5

6 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - La funzione K(φ) é massima, per la formula (1413), quando π cos φ = 0 cioé quando cos φ = 0 ossia quando φ = π e φ = 3π ; cioé K(φ) é massima in entrambi i versi della direzione normale al piano su cui giacciono le antenne La funzione K(φ) si annulla per cos φ = r n Supposto, per fissare le idee, che n sia pari, r puó assumere i valori interi compresi fra n ed n (escluso lo zero); il diagramma presenta n lobi, sicché oltre ai massimi principali φ = π e φ = 3π esistono anche altri n 4 massimi relativi, i cui valori sono peraltro molto piú piccoli di quelli principali Passiamo a studiare l apertura ω del lobo che presenta il massimo principale, ossia l angolo fra le due direzioni di zero che lo comprendono Detto φ 0 l angolo di zero piú prossimo a quello del massimo principale (φ = π ) sia cosφ 0 = n ; ma é d altra parte, ω = π φ 0, sicché l apertura ω del lobo principale vale: ω = arcsin n (143) e diminuisce al crescere di n Ne segue che la direttivitá di un sistema di antenne come quella qui in esame é tanto piú accentuata, quanto maggiore é il numero delle antenne elementari che lo costituiscono Per generalizzare quanto precedentemente detto, anche nel caso in cui le antenne non distano di una semilunghezza d onda, valutiamo la (1414) per γ = 0, θ = π e diversi valori di kd Valori della funzione { K(φ) = A(φ) A(φ) max = 1 n sin [n (kd cos φ) /] sin [(kd cos φ) /] } per n = 5 d = λ d = λ d = 3λ d = λ φ kd = π kd = π kd = 3π kd = 4π

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8 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = π Broadside array Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = π fig φ φ 14-8

9 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = 3π Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = 4π fig φ φ 14-9

10 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE PROIETTATI 10 Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = 3π Sistema uniforme di 5 antenne in fase: kd = 4π

11 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Studio dell array factor nel caso di un sistema uniforme di antenne sfasate Supponiamo, ora, che le sorgenti siano sfasate progressivamente in modo tale che kd = γ o kd = γ, la radiazione é disposta principalmente nella direzione della linea delle sorgenti ed in questo caso si dice che il sistema opera come un end fire array Se la distanza é inferiore ad una mezza lunghezza d onda (kd < π) vi é un singolo lobo nella direzione ψ = π quando kd = γ Ma se la distanza é eguale a mezza lunghezza d onda (kd = π), esistono simultaneamente due lobi end fire, uno lungo ψ = 0 e l altro lungo ψ = π Quindi, quando kd < π, il sistema é unilateral end fire array e quando kd = π é bilateral end fire array Un aumento nella direttivitá di un unilateral end fire array é realizzata quando é soddisfatta la condizione di Hansen e Woodyard cioé: ( γ = kd + π ) n o γ = ( kd + π ) n (1441) Se si desidera che il lobo grande sia diretto in qualche direzione arbitraria ψ = ψ 1, allora la fase γ e la distanza d devono essere scelte in modo tale che kd cos ψ 1 + γ = 0 Valutiamo la (1414) per θ = π, n= e due diversi valori di kd e γ Valori della funzione { K(φ) = A(φ) A(φ) max = 1 n sin [n (kd cos φ + γ) /] sin [(kd cos φ + γ) /] } per n = φ kd = π d = λ 4 e γ = π d = λ e γ = ±π kd = π

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13 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema uniforme di antenne sfasate di π/: kd = π/ Cardioide (Unilateral end - fire array) Sistema uniforme di antenne sfasate di π: kd = π Bilateral end - fire array fig φ φ 14-13

14 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema uniforme di 5 antenne sfasate di π/: kd = π/ Unilateral end - fire array φ Sistema uniforme di 5 antenne sfasate di π/: kd = π φ 14-14

15 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Diagrammi di radiazione normalizzati di due antenne a mezz onda verticali in funzione della differenza di fase γ e della distanza d φ d γ d = 1 8 λ d = 1 4 λ d = 3 8 λ d = 1 λ d = 5 8 λ d = 1λ fig

16 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Sistema di antenne rettilinee con distribuzione disuniforme di correnti Quando il sistema di antenne é eccitato con distribuzione uniforme di corrente, nel diagramma di radiazione compaiono dei lobi laterali che talvolta hanno un elevato livello di potenza Per ridurre questi lobi si utilizza l eccitazione non uniforme delle singole antenne dell array; cioé i coefficienti a p sono diversi l uno dall altro Un modo di scegliere questi coefficienti a p, peró di non facile realizzazione pratica, é quello di assumerli eguali ai coefficienti della serie binomiale cioé a: a p = ( ) n 1 = p (n 1)! (n 1 p)!p! (1451) cioé i valori delle ampiezze della corrente che scorre nelle antenne sono rappresentati dalla seguente tabella: n p = 0 p = 1 p = p = 3 p = 4 p = Un dispositivo di tale tipo prende il nome di sistema binomiale di antenne In questo caso il fattore di forma (l array factor) dato dalla (147) si scrive: n 1 A(ψ) = ( ) n 1 ξ p = (1 + ξ) n 1 (145) p Sostituendo al posto di ξ la sua definizione (146), ξ = e iα con α = kd cos ψ γ, si ha: α n 1 ( A(ψ) = 1 + ei e iα = e iα )n 1 cos α (1453) il cui modulo é: A(ψ) = n 1 cos n 1 [(kd cos ψ + γ) /] (1454) La (1454) rappresenta il fattore di forma del diagramma di radiazione di un sistema binomiale di antenne É importante osservare che la (1454) rappresenta il prodotto dei fattori di forma (array factors) di n 1 coppie di antenne distanti d e percorse da correnti eguali 14-16

17 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Infatti, applicando la (1410) per una coppia di antenne cioé per n =, si ha: sin α [A(ψ)] n= = sin ( ) α (1455) Tenendo conto che: ( α ) ( α ) sin α = sin cos cioé sin α ( α ) ( α ) = cos sin (1456) la (1455) si puó scrivere: ( α ) [A(ψ)] n= = cos (1457) Resta cosí dimostrata l affermazione che il fattore di forma di un sistema binomiale di antenne é eguale al prodotto dei fattori di forma di (n 1) coppie di antenne distanti d e percorse dalla stessa corrente É evidente che il valore massimo della (1454) é n 1 ; quindi il fattore di forma normalizzato nel caso di un sistema binomiale di antenne é: K(ψ) = cos n 1 [(kd cos ψ + γ) /] (1458) Dalla (1458) segue immediatamente che K(ψ) si annulla per α = π ed ha il valore massimo per α = 0 e α = π Nel caso in cui γ = 0, kd = π e θ = π, la (1458) diventa: ( K(φ) = cos n 1 π ) cos φ (1459) che si annulla per φ = 0 0 e φ = ed ha il valore massimo per φ = 90 0 e φ = 70 0 Questo sistema é, quindi, broadside array e si distingue da quello uniforme perché é privo di lobi secondari Tuttavia osserviamo che, a paritá di numero di radiatori, il lobo del sistema uniforme é piú stretto di quello relativo al sistema binomiale Cosí variando opportunamente l intensitá di corrente nelle singole antenne, possiamo eliminare i lobi secondari ma risulta allargato il lobo trasversale Tuttavia, é possibile scegliere i coefficienti a p in modo tale che la larghezza del lobo broadside é minimizzata per un fissato livello dei lobi secondari, o viceversa, il livello dei lobi secondari é minimizzato per una fissata larghezza del lobo broadside 14-17

18 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema binomiale di 5 antenne in fase: kd = π Sistema binomiale di 5 antenne in fase: kd = π fig φ φ 14-18

19 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - DIAGRAMMI DI RADIAZIONE NORMALIZZATI Sistema binomiale di 5 antenne in fase: kd = 3π Sistema binomiale di 5 antenne in fase: kd = 4π fig φ φ 14-19

20 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Sistema di antenne Dolph - Chebychev I radiatori di tale sistema sono eccitati in modo simmetrico rispetto ad un radiatore centrale; dimostreremo che se i radiatori sono eccitati con correnti le cui ampiezze sono determinate dai coefficienti dei polinomi di Chebychev (o Tchebyscheff), il sistema mostra una minima larghezza del lobo di radiazione, fissato il livello dei lobi secondari che sono tutti eguali Si abbiano n+1 antenne con centri nei punti O, O 1, O n Consideriamo l espressione (147) che ci fornisce il fattore di forma del diagramma di radiazione: n 1 A(ψ) = a p ξ p (1461) In questo specifico caso é conveniente scrivere la (1461) nella seguente maniera: Supponiamo, inoltre, che sia: La (146) si scrive: A(ψ) = n p= n a p ξ p (146) a n = a +n, a n+1 = a n 1,, ecc (1463) A(ψ) = a n ξ n + a n+1 ξ n a a n 1 ξ n 1 + a n ξ n (1464) che per la (1463) diventa: A(ψ) = a n ξ n + a n 1 ξ n a a n 1 ξ n 1 + a n ξ n (1465) Sostituendo a ξ l espressione ξ = e iα con α = kd cos ψ γ, si ha: A(ψ) = a 0 + a 1 cos α + + a n cos nα (1466) Il sistema or ora considerato comprende un numero dispari di antenne; per un sistema costituito da un numero pari di antenne n con centri nei punti O, O 1, O,O n 1 si ha: A(ψ) = Analogamente al caso precedente si ha: n 1 p= n a p ξ p (1467) a n = a n 1, a n+1 = a n,, ecc (1468) 14-0

21 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - La (1467) unitamente alla (1468) comporta: A(ψ) = a n 1 ξ n + a n ξ n a n ξ n + a n 1 ξ n 1 (1469) Moltiplicando e dividendo la (1469) per ξ 1 si ha: [ A(ψ) = ξ 1 a n 1 ξ (n 1 ) + + an ξ (n 1 1 ) + an 1 ξ (n 1 ) ] (14610) Sostituendo a ξ l espressione e iα e tenendo conto che il modulo di ξ 1 é 1, si ha: A(ψ) = a 0 cos α + a 1 cos 3 α + +a n cos n 3 α + a n 1 cos n 1 α (14611) Vediamo, adesso, di esprimere la (14611) e la (1466) in funzione di particolari polinomi chiamati polinomi di Chebychev Polinomi di Chebychev Per prima cosa vediamo come si costruiscono tali polinomi Detto m un numero intero, si ha: cos(m + 1)δ = cos mδ cos δ sin mδ sin δ = cos mδ cos δ (cos mδ cos δ + sin mδ sin δ) = cos mδ cos δ cos(m 1)δ (1471) dalla quale si possono dedurre le seguenti relazioni: cos δ = cos δ cos δ = cos δ 1 cos 3δ = 4 cos 3 δ 3 cos δ cos 4δ = 8 cos 4 δ 8 cos δ + 1 cos 5δ = 16 cos 5 δ 0 cos 3 δ + 5 cos δ (147) e cosí via La (147) esprime cos(m + 1)δ mediante un polinomio di grado m + 1 nella variabile cos δ Posto cos δ = x, i polinomi al secondo membro delle (147) prendono il nome di polinomi di Chebychev e si indicano con il simbolo T n (x) Pertanto, posto δ = arccos x, si ha la relazione: cos(n arccos x) = T n (x) ( x < 1) (1473) Dalla (1471) si ha subito la relazione ricorrente: T n+1 (x) = xt n (x) T n 1 (x) (1474) 14-1

22 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che permette di calcolare assai facilmente i polinomi di Chebychev che riscriviamo in funzione della variabile x: T 1 (x) = x, T (x) = x 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, (1475) Si vede subito dalle (1475) che ogni polinomio contiene, a seconda del suo grado, solo potenze pari o dispari di x Si ha ancora T n (x) = T n ( x) ed inoltre il numero dei coefficienti diversi da zero del polinomio é n + o n + 1, a seconda che n é pari o dispari Va notato, inoltre che i polinomi (1475) costruiti nell ipotesi x < 1, risultano definiti per qualunque valore di x e verificano sempre le (1474); ci si puó chiedere se anche per x > 1 possano darsi di essi espressioni del tipo (1473) La risposta, affermativa, a tale questione é immediata: si osservi, a tal proposito, che se nella relazione: x = cos δ = eiδ + e iδ (1476) poniamo δ = iδ con δ reale, risulta, come é noto: x = e δ + e δ = cosh δ (1477) con x > 1; ed é pertanto δ = arccosh x, ossia δ = i arccosh x Si ha, dunque, per x > 1: T n (x) = cos (in arccosh x) = cosh (n arccosh x) (1478) Si osservi che se x varia da 1 a +1, arccos x puó variare da π a +π e n arccos x da nπ a nπ T n (x) si annulla per quei valori di x che sono soluzione dell equazione: arccos x = (k + 1)π n (1479) dove k é un numero intero positivo variabile fra 0 e n 1 (in corrispondenza a valori negativi di k si ritroverebbero i medesimi valori di x, calcolati per k positivo) Il polinomio T n (x) ha dunque n radici (cioé tutte le sue radici) reali e comprese nell intervallo ( 1, +1); inoltre gli n 1 zeri della sua derivata T (x) (ciascuno dei quali, compreso fra due zeri consecutivi di T (x)) sono pure tutti interni all intervallo ( 1, +1) La derivata T (x) non puó dunque mutare di segno negli intervalli (, 1), (1, + ), in ciascuno dei quali, pertanto T n (x) risulterá sempre crescente o sempre decrescente Poiché d altra parte T n (x) tende all infinito per x ±, segue che T n (x) é sempre crescente con x in entrambi gli intervalli citati Notiamo infine che il massimo valore di T n (x) nell intervallo ( 1, +1) é l unitá 14 -

23 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Vogliamo adesso valutare il valore di x 0, positivo e tale che T n (x 0 ) = b > 1; dovendo, per quanto é stato or ora ricordato, essere x 0 > 1 e posto pertanto δ 0 = arccosh x 0, dalla (1478) si avrá: Moltiplicando per e nδ 0, si ha: b = cosh(nδ 0 ) = enδ 0 + e nδ 0 Ricordando, ora, che é e nδ 0 > 1, risulta: (14710) e nδ 0 be nδ = 0 (14711) e nδ 0 = b + b 1 (1471) Analogamente, moltiplicando la (14710) per e nδ 0, si ha: Ricordando, ora, che é e nδ 0 < 1, risulta: e, quindi: e nδ 0 be nδ = 0 (14713) e nδ 0 = b b 1 (14714) x 0 = cosh δ 0 = eδ 0 + e δ 0 = 1 ( b + ) 1/n b 1 ( 1 + b 1/n b 1) (14715) A questo punto, é bene ricordare che quando x varia da 1 a x 0 ( x 0 > 1) il valore massimo della funzione T n (x) (crescente con x ) é appunto b; mentre nell intervallo ( 1, +1) T n (x) vale al massimo 1 Si conclude perció che il valore massimo di T n (x) nell intervallo ( 1, x 0 ) vale appunto b (mentre esistono altri massimi relativi unitari) Applicazione dei polinomi di Chebychev ai sistemi di antenne rettilinee Ció premesso, riprendiamo la (1466) e la (14611); per quanto abbiamo detto le quantitá cos α, cos α, cos nα si possono esprimere come polinomi di grado n nella variabile cos α ricordando che cos nα = cos n α Poniamo allora: cos α = x x 0 (1481) Alla (1466) puó darsi la forma di un polinomio di grado n in x avente solo le potenze pari di x 14-3

24 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Moltiplicando, ora, la (1466) per una costante opportuna é possibile rendere i coefficienti del polinomio in x uguali ai coefficienti dei corrispondenti polinomi di Chebychev di grado n Poiché é x = x 0 cos α, si ha: A(ψ) = k T n ( x 0 cos ) πd cos φ ( per θ = π ) λ (148) avendo posto tutte le antenne del sistema in fase cioé γ = 0 Il fattore A(ψ) é simmetrico rispetto alla retta dei centri delle antenne; basterá studiarlo nell intervallo 0 < φ < π d Supponiamo, ora, λ = 1 (kd = π), se φ varia da 0 a π, la x cresce da 0 a x 0, poi decresce da x 0 a 0 Se invece é d λ = 1, la funzione x πd cos φ 0 cos, crescente da x 0 a x 0 λ quando φ passa da 0 a π, decresce da x 0 a x 0 per φ crescente da π a π Se, piú in generale, é 1 < d λ < 1, il massimo di x πd cos φ 0 cos é x 0, il minimo x 0 cos πd ; e, al variare ( λ λ di φ fra 0 e π, x varia nell intervallo x 0 cos πd ) λ, x 0 Ora, supposto, per fissare le idee x 0 cos πd > 1, il massimo di A(φ) vale k b, gli altri massimi, corrispondenti a λ massimi relativi di T n (x) valgono k Dunque con la distribuzione Dolph - Tchebyscheff, si hanno per φ = π due lobi in verso opposto (lobi principali) la cui massima intensitá vale b volte l intensitá massima degli altri lobi In altre parole, col dispositivo in esame, si puó assegnare a priori il rapporto fra il massimo principale e i massimi secondari ed é possibile realizzare un notevole guadagno Esponiamo a titolo di esempio il calcolo di un sistema DT di 4 antenne Si ha, quindi, per n = : A(φ) = a 0 cos α + a 1 cos 3 α (1483) Sostituiamo al secondo termine del secondo membro il corrispondente polinomio di Chebychev, cioé: cos 3 ( α = T 3 cos α ) = 4 cos 3 α 3 cos α (1484) Ne segue: A(φ) = a 0 cos α + 4a 1 cos 3 α 3a 1 cos α (1485) cioé: A(φ) = (a 0 3a 1 ) cos α + 4a 1 cos 3 α (1486) Ricordiamo che a 1 rappresenta la corrente nella quarta e nella prima antenna, mentre a 0 é la corrente nella seconda e terza antenna 14-4

25 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Mettendo in evidenza nella (1486) a 1, si ha: ( ) a0 A(φ) = a 1 3 cos α a α cos3 (4x = k 3 0 cos 3 α 3x 0 cos α ) (1487) k a 1 = C, deve es- Perché l eguaglianza imposta dalla (1487) sia soddisfatta, posto sere: a 0 3 = 3Cx 0, 4 = 4Cx 3 0 a cioé C = 1 1 x 3 0 quindi: a 0 a 1 = 3 3 x 0 Ora, supposto, per esempio, b = 9, si ha: Ne segue: x 0 = 1 ( 9 + ) ( 9 ) (1488) (1489) 15 (14810) a 0 = 3 3 = 1667 (14811) a 1 (15) La prima e la quarta antenna del sistema dovranno quindi essere alimentate con correnti eguali ad I 0, la seconda e la terza con correnti eguali a 1667I

26 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Polinomi di Chebychev 5 T T T T Sistema di antenne DT a quattro elementi: kd = π, b= fig

27 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Considerazioni ulteriori e scanning elettronico Abbiamo, quindi, considerato il caso di antenne equidistanziate percorse da correnti o eguali oppure diverse secondo certi criteri Quando le sorgenti non sono equidistanti si deve necessariamente utilizzare la espressione generale di A(ψ) data dalla (14), la quale puó essere calcolata con l aiuto di computer specialmente se il numero di radiatori é elevato In generale, comunque si puó dire che un sistema di antenne non equidistanti presenta un diagramma di radiazione piú allargato rispetto a quello relativo ad un sistema di antenne equidistanti Ritorniamo al caso di un sistema di antenne uniformemente eccitate il cui diagramma di radiazione é dato dalla (1410) Come abbiamo visto, se n e kd ( π) sono fissati e γ viene variato da 0 a kd, il lobo maggiore ruota dalla direzione broadside alla direzione endfire Questo suggerisce che, variando con continuitá la fase γ, il fascio puó ruotare con continuitá nell intero settore É su questo principio che opera l antenna a scanning elettronico Le fasi delle singole antenne sono controllate elettronicamente per mezzo di phase-shifters Molti radars operano ancora sul principio dello scanning meccanico ma se si vuole una velocitá di scanning elevata occorre ottenerla con scanning elettronico 14-7

28 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Sistema di antenne ad alta direttivitá Il sistema di antenne che finora abbiamo considerato consiste di n dipoli a mezz onda eccitati nel centro ed orientati parallelamente all asse z con i centri nei punti x p (p = 0, 1,, n 1) sull asse x Un sistema di tale tipo viene chiamato sistema di antenne parallele Se facciamo ruotare i dipoli in modo che essi si orientano lungo l asse x il sistema viene chiamato sistema di antenne allineate (collinear array) z O x Sistema di antenne parallele z O x Sistema di antenne allineate fig É ovvio che in questo ultimo caso il diagramma di radiazione di ciascun dipolo 14-8

29 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - é dato da: ( ) cos π cos ψ F (ψ) = (14101) sin ψ che differisce dalla prima della (1419) per aver sostituito θ con ψ che rappresentano rispettivamente gli angoli che la direzione dell osservatore forma con le direzioni dei dipoli Ovviamente l array factor rimane lo stesso: n 1 A(ψ) = A p e ikx p cos ψ (1410) Quindi il diagramma di radiazione di un collinear array disposto come in figura , é: ( ) cos π cos ψ n 1 U(ψ) = F (ψ)a(ψ) = A p e ikx p cos ψ sin ψ (14103) z p Consideriamo, adesso, un insieme di dipoli allineati sull asse z con i centri nei punti z O x Sistema di antenne allineate sull asse z fig1410- Per tale sistema, il diagramma di radiazione si ottiene dalla (14103) sostituendo ψ con θ e x p con z p, cioé: ( ) cos π cos θ n 1 U(θ) = A p e ikz p cos θ sin θ (14104) 14-9

30 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Rectangular array Le considerazioni fatte ci servono per costruirci il diagramma di radiazione relativo ad una distribuzione bidimensionale di antenne a mezz onda situate, in particolare nel piano xz I radiatori sono orientati tutti secondo l asse z ed hanno i centri nei punti x = x p, z = z q (p = 0, 1,, n 1; q = 0, 1,, m 1) z O Rectangular array x fig Tale rectangular array puó essere considerato come un sistema composto, costituito cioé di sistemi di antenne allineate parallele fra loro Poiché per la (1418) e la (14110), la funzione spaziale che descrive il diagramma di radiazione di un sistema di antenne é il prodotto della funzione spaziale competente alla singola antenna per l array factor, nel nostro caso essa é data dal prodotto della (14104) che descrive il diagramma di radiazione del sistema di antenne allineate per la seconda della (1419) che é la solita espressione dell array factor competente ad un sistema di antenne parallele Si ha, pertanto, per il rectangular array: U(θ, φ) = ( ) cos π cos θ sin θ n 1 m 1 q=0 A pq e ikx p sin θ cos φ e ikz q cos θ (14111) dove A pq denota la corrente complessa nel dipolo situato nel punto x = x p, z = z q Se le correnti nei dipoli hanno la stessa ampiezza e fase, A pq sia cioé I 0, e se il sistema é un reticolo periodico di passo d x nella direzione dell asse x e d z nella direzione dell asse 14-30

31 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - z (x p = pd x, z q = qd z ), la (14111) si riduce a: ( cos π cos θ) U(θ, φ) = I 0 sin θ sin [n (kd x sin θ cos φ) /] sin [(kd x sin θ cos φ) /] sin [m (kd z cos θ) /] sin [(kd z cos θ) /] (1411) Per θ = π e φ = π il valore della (1411) é I 0nm; é evidente quindi che il diagramma di radiazione rappresentato dalla (1411) presenta un fascio molto piccato per θ = π Lungo l asse di questo fascio, alla distanza r = r 0 dall array, la componente radiale del vettore di Poynting é data da: S r = µ ɛ 1 ( π 8π r0 U, π ) µ I0 = n m ɛ 8π r0 (14113) La (14113) si puó scrivere: S r = µ ɛ I 0 8π r 0 (L x L z ) d x d z (14114) dove L x = nd x e L z = md z rappresentano le effettive dimensioni dell array Dall espressione (14114) si vede che S r aumenta con legge quadratica con l area L x L z dell array Fine del Cap