Elettrodinamica classica

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1 Elettrodinamica classica

2 Kurt Lechner Elettrodinamica classica Teoria e applicazioni ~ Springer

3 Kurt Lechner Dipartimento di Fisica e Astronomia Galileo Galilei Università degli Studi di Padova UNITEXT- Collana di Fisica e Astronomia ISSN versione cartacea: ISSN elettronico: ISBN DOI / ISBN (ebook) Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York c Springer-Verlag Italia 2014 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione anche parziale è ammessa esclusivamente nei limiti della stessa. Tutti i diritti, in particolare i diritti di traduzione, ristampa, riutilizzo di illustrazioni, recitazione, trasmissione radiotelevisiva, riproduzione su microfilm o altri supporti, inclusione in database o software, adattamento elettronico, o con altri mezzi oggi conosciuti o sviluppati in futuro, rimangono riservati. Sono esclusi brevi stralci utilizzati a fini didattici e materiale fornito ad uso esclusivo dell acquirente dell opera per utilizzazione su computer. I permessi di riproduzione devono essere autorizzati da Springer e possono essere richiesti attraverso RightsLink (Copyright Clearance Center). La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dalla legge, mentre quelle per finalit di carattere professionale, economico o commerciale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, autorizzazioni@clearedi.org e sito web L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Le informazioni contenute nel libro sono da ritenersi veritiere ed esatte al momento della pubblicazione; tuttavia, gli autori, i curatori e l editore declinano ogni responsabilit legale per qualsiasi involontario errore od omissione. L editore non pu quindi fornire alcuna garanzia circa i contenuti dell opera. Layout di copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Configni (RI) Stampa: Grafiche Porpora, Segrate (MI) Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (

4 Prefazione In base alle conoscenze teoriche e sperimentali acquisite a tutt oggi sul comportamento della materia a livello microscopico, la totalità dei fenomeni fisici microscopici può essere spiegata assumendo che tutta la materia sia costituita da particelle elementari soggette a quattro tipi di interazioni fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, debole, forte. Tali interazioni non avvengono in modo diretto, essendo mediate a loro volta da un particolare tipo di particelle elementari chiamate bosoni intermedi. L interazione gravitazionale è quella nota da più tempo, mentre l interazione elettromagnetica è quella studiata e compresa più a fondo, avendo trovato una solida formulazione teorica nell Elettrodinamica Quantistica ancora a metà del secolo scorso. La quasi totalità dei fenomeni fisici quotidiani dalla stabilità della materia alla globalità dei fenomeni luminosi è, infatti, riconducibile a questa teoria. Le interazioni deboli e forti, che a differenza di quelle elettromagnetica e gravitazionale si manifestano solo a distanze microscopiche, hanno trovato una formulazione analoga nell ambito del Modello Standard delle particelle elementari che include la stessa Elettrodinamica Quantistica mentre l interazione gravitazionale appare tuttora in conflitto con le leggi della fisica quantistica, malgrado i recenti progressi maturati nell ambito delle teorie di superstringa. Nonostante il ruolo comune di mediatrici dell azione reciproca tra i costituenti elementari della natura, ciascuna interazione fondamentale è contrassegnata da proprietà esclusive che comportano fenomeni fisici peculiari. Così l interazione forte, mediata da particelle chiamate gluoni, è la sola a dar luogo al fenomeno del confinamento, che imprigiona i quark e gli stessi gluoni all interno dei nucleoni, mentre l interazione debole è l unica a essere mediata da particelle massive,lew ± elaz 0. D altro canto l interazione elettromagnetica è l unica a essere mediata da particelle ifotoni le quali, non essendo dotate di carica elettrica, non sono soggette a loro volta a un interazione elettromagnetica reciproca. E infine, l interazione gravitazionale è l unica a esercitarsi tra tutte le particelle elementari, compresi i bosoni intermedi, e a essere mediata da particelle di spin due igravitoni mentre le rimanenti tre interazioni sono mediate da particelle di spin uno.

5 vi Prefazione Di fronte a queste importanti distinzioni appare alquanto sorprendente che le quattro interazioni fondamentali siano rette da un impalcatura teorica comune, che ne determina fortemente la struttura generale impalcatura matematicamente solida ed elegante nella forma, le cui profonde origini fisiche sono in parte ancora da scoprire. Tra i pilastri principali di questa impalcatura unificante ricordiamo i seguenti: tutte le interazioni fondamentali soddisfano il principio di relatività einsteiniana e ammettono una formulazione covariante a vista, con conseguente conservazione del quadrimomento e del momento angolare quadridimensionale totali. Inoltre ciascuna interazione si trasmette attraverso lo scambio di una o più particelle bosoniche i bosoni intermedi nominati sopra che sono rappresentate da campi vettoriali o tensoriali la cui dinamica è controllata da una invarianza di gauge locale. Il teorema di Nöther associa poi a ciascuna invarianza, e quindi a ciascun bosone intermedio, una grandezza fisica conservata. Infine il pilastro forse più misterioso, ma non per questo meno fondante, è rappresentato dal fatto che la dinamica di tutte e quattro le interazioni fondamentali discenda da un principio variazionale. Il presente testo è un trattato di Elettrodinamica classica ed è stato costruito sulla base degli argomenti svolti nel corso Campi Elettromagnetici da me tenuto negli anni accademici 2004/ /11 per la Laurea Magistrale in Fisica, presso l Università degli Studi di Padova. Nella sua stesura ha avuto preminenza l intento di enucleare gli aspetti che accomunano l Elettrodinamica alle altre interazioni fondamentali, tra cui i pilastri sopra menzionati, e di mettere in evidenza, ove possibile, analogie e differenze. La rinuncia più pesante dovuta a questa impostazione consiste nell aver trascurato quasi completamente l importante argomento dei campi elettromagnetici nella materia. L Elettrodinamica classica viene presentata come una teoria basata su un sistema di postulati essenzialmente il principio di relatività einsteiniana e le equazioni di Maxwell e di Lorentz da cui l intera e ricca fenomenologia delle interazioni elettromagnetiche può essere derivata in modo stringente. Conseguentemente si è dedicata particolare attenzione alle proprietà di consistenza interna, oltre che fisica, di questa teoria. In linea con questa impostazione si evidenziano fin dall inizio le tracce lasciate dalle divergenze che accompagnano inevitabilmente l Elettrodinamica classica di particelle cariche puntiformi, rendendola così in ultima analisi una teoria internamente inconsistente. Le inconsistenze interne dell Elettrodinamica classica come teoria fondamentale sono codificate nella cosiddetta reazione di radiazione, fenomeno di importanza fisica basilare che viola esplicitamente l invarianza sotto inversione temporale. Questa simmetria discreta dell Elettrodinamica, e la sua evoluzione da una simmetria intatta a una simmetria violata spontaneamente prima ed esplicitamente poi, attraverserà dunque la nostra esposizione della teoria come un filo rosso. Le inconsistenze interne dell Elettrodinamica sono in apparente contraddizione con il fatto che da un punto di vista sperimentale questa teoria descriva tutti i fenomeni elettromagnetici classici con estrema precisione. A questa contraddizione è stata riservata particolare attenzione e si presenta una sua soluzione pragmatica nei Capitoli 14 e 15, la soluzione definitiva potendo essere trovata solo nell ambito dell Elettrodinamica Quantistica. Infine, sempre per un motivo di consistenza interna,

6 Prefazione vii onde poter formulare le equazioni di Maxwell in modo matematicamente rigoroso è risultato indispensabile ambientarle nello spazio delle distribuzioni. In generale ogni argomento teorico viene illustrato con una serie di esempi fisicamente rilevanti e svolti in dettaglio, così come l introduzione di ogni nuovo strumento matematico viene motivata e accompagnata da esemplificazioni pratiche. Similmente la soluzione dei problemi proposti a conclusione di ogni capitolo dovrebbe comportare una migliore comprensione di alcuni argomenti trattati nel testo, pur non condizionando la comprensione dei capitoli successivi. Organizzazione del materiale. A grandi linee gli argomenti del testo sono suddivisi in tre parti. La Parte I (Capitoli 1 4) espone le basi concettuali e matematiche su cui si fonda l Elettrodinamica di un sistema di particelle cariche puntiformi. Questa parte iniziale presenta in particolare gli strumenti matematici necessari per una formulazione precisa della teoria, vale a dire la teoria delle distribuzioni, strumento indispensabile per una trattazione corretta delle singolarità dovute alla natura puntiforme delle particelle cariche, e il calcolo tensoriale, sede naturale di una qualsiasi teoria relativistica. Nel Capitolo 2 si introducono le equazioni fondamentali dell Elettrodinamica le equazioni di Maxwell e di Lorentz si esegue una loro analisi strutturale e si analizzano le leggi di conservazione da esse implicate. Conclude la prima parte la presentazione del metodo variazionale nei Capitoli 3 e 4. Questo metodo viene introdotto come approccio alternativo per la formulazione di una generica teoria di campo, che ne codifica la dinamica in modo conciso ed elegante, e come presupposto fondamentale per la validità del teorema di Nöther. Lo stretto nesso esistente in generale tra questo teorema e il metodo variazionale viene poi esemplificato in dettaglio nel caso dell Elettrodinamica di particelle puntiformi. La Parte II (Capitoli 5 13) è dedicata alla derivazione delle previsioni fenomenologiche dell Elettrodinamica e inizia con la deduzione di una serie di soluzioni esatte delle equazioni di Maxwell. Questa parte comprende in particolare uno studio dettagliato delle proprietà del campo elettromagnetico nel vuoto, una trattazione sistematica dei campi elettromagnetici generati da una particella carica in moto arbitrario i fondamentali campi di Liénard-Wiechert e un analisi approfondita del fenomeno dell irraggiamento, sia nel limite non relativistico che in quello ultrarelativistico. Così si analizzano in dettaglio la distribuzione angolare e spettrale della radiazione emessa in alcuni sistemi fenomenologicamente rilevanti quali le antenne, gli acceleratori ultrarelativistici, le collisioni tra particelle cariche, l atomo di idrogeno classico e la diffusione Thomson. In questa parte vengono inoltre presentati per esteso alcuni argomenti che raramente ricevono trattazione sistematica nei libri di testo: il problema del campo elettromagnetico creato da una particella carica priva di massa, il confronto tra la radiazione elettromagnetica e quella gravitazionale, la deduzione delle variegate sfaccettature della radiazione di sincrotrone e una spiegazione teorica particolareggiata dell effetto Čerenkov. La Parte III (Capitoli 14 19) verte su argomenti di natura più speculativa o legati a sviluppi più recenti della fisica teorica delle particelle elementari. Il Capitolo 14 è dedicato alla reazione di radiazione e affronta con cura il problema delle divergenze ultraviolette che affiorano inevitabilmente nell equazione di Lorentz. Lo sco-

7 viii Prefazione po di questo capitolo è duplice. Da un lato si vogliono evidenziare le motivazioni concettuali che costringono a sostituire l equazione di Lorentz un dogma dell Elettrodinamica classica con l equazione di Lorentz-Dirac, equazione che viola esplicitamente l invarianza per inversione temporale. Dall altro si vuole illustrare come proprio a causa di questa sostituzione l Elettrodinamica soffra di un inconsistenza interna incurabile, che si presenta in vesti diverse a seconda del punto di vista pragmatico di volta in volta considerato e che, come accennato sopra, in ultima analisi può essere sanata solamente nell ambito di una teoria quantistica. Il capitolo successivo è dedicato al secondo problema classico dell Elettrodinamica, ovvero quello dell energia infinita del campo elettromagnetico generato da una particella puntiforme. Sorprendentemente questo problema, che minava la stessa legge di conservazione dell energia, è stato risolto in modo definitivo solo una trentina di anni fa. Nel Capitolo 15 si presenta la soluzione di questo problema in una veste moderna nell ambito della teoria delle distribuzioni chiarendo il legame inestricabile esistente tra l equazione di Lorentz-Dirac e la conservazione del quadrimomento totale. Il Capitolo 16 è dedicato ai campi elettromagnetici massivi. L importanza di questi campi risiede nel fatto che a livello quantistico essi descrivono particelle massive di spin uno una specie di fotoni con massa diversa da zero quali i mediatori W ± e Z 0 delle interazioni deboli. Sebbene diversi aspetti caratteristici di queste particelle, come la loro vita media finita, siano di natura genuinamente quantistica, l analisi classica è comunque in grado di rivelare alcune fondamentali differenze che intercorrono tra l interazione elettromagnetica vera e propria e quella mediata da campi massivi. Il Capitolo 17 costituisce un introduzione all Elettrodinamica di oggetti carichi estesi in volumi p-dimensionali, le cosiddette p-brane. Lapiù semplice p-brana non banale è una stringa, corrispondente a p =1, mentre la particella corrisponde a p = 0. La scelta di questo argomento è motivata dal fatto che le p-brane costituiscano le eccitazioni elementari delle recenti teorie di superstringa teorie candidate a unificare la Relatività Generale con la Meccanica Quantistica e con le altre interazioni fondamentali. Scopo del capitolo è mostrare come i paradigmi fondanti dell Elettrodinamica delle particelle, quali l invarianza relativistica, le equazioni di Maxwell e di Lorentz e le principali leggi di conservazione, si estendano in modo naturale all Elettrodinamica degli oggetti estesi. In particolare nel linguaggio delle forme differenziali, a cui è dedicata la prima parte del capitolo, la generalizzazione delle equazioni di Maxwell dalle particelle alle p-brane risulta immediata. I due capitoli finali del testo sono dedicati ai monopoli magnetici. Nel Capitolo 18 si mostra come l Elettrodinamica classica pur essendo basata su un sistema di postulati molto rigidi sia perfettamente compatibile con l esistenza in natura di questo esotico tipo di particelle. Nel Capitolo 19 si illustra, invece, come l Elettrodinamica quantistica dei monopoli magnetici fornisca una soluzione al problema antico della quantizzazione della carica elettrica, rappresentato dal dato osservativo che tutte le cariche elettriche presenti in natura siano multiple intere di una carica fondamentale. Prerequisiti. Si suppone che il lettore di questo testo possegga conoscenze di base di elettromagnetismo classico e di cinematica relativistica, quali le equazioni di

8 Prefazione ix Maxwell e le trasformazioni di Lorentz speciali. È utile, ma non indispensabile, un minimo di familiarità con le equazioni di Maxwell in forma covariante a vista ein generale con i tensori quadridimensionali. L origine fisica e gli elementi fondamentali del calcolo tensoriale sono comunque esposti in dettaglio nel Capitolo 1. Possono risultare utili nozioni elementari della teoria delle distribuzioni, quali il concetto della distribuzione-δ di Dirac. Le proprietà principali delle distribuzioni utilizzate nel testo sono comunque riportate in maniera autoconsistente nel Capitolo 2. Infine è utile, ma di nuovo non indispensabile, conoscere il metodo variazionale relativo a un sistema lagrangiano con un numero finito di gradi di libertà. Ringraziamenti. L autore ringrazia l amico e collega Pieralberto Marchetti per le preziose conversazioni nel corso della stesura del testo. Padova, settembre 2013 Kurt Lechner

9 Indice Parte I Fondamenti teorici 1 I fondamenti della Relatività Ristretta Postulati della Relatività Trasformazioni di Lorentz e di Poincaré Linearità delle trasformazioni Invarianza dell intervallo Leggi fisiche covarianti a vista Calcolo tensoriale Struttura del gruppo di Lorentz Gruppo di Lorentz proprio Trasformazioni di Lorentz proprie finite e infinitesime Parità, inversione temporale e pseudotensori Problemi Le equazioni fondamentali dell Elettrodinamica Cinematica di una particella relativistica Elettrodinamica di particelle puntiformi Equazioni fondamentali Parità e inversione temporale Equazione di Lorentz Identità di Bianchi Equazione di Maxwell Natura distribuzionale del campo elettromagnetico Elementi di teoria delle distribuzioni Equazioni di Maxwell nello spazio delle distribuzioni Campo elettromagnetico della particella statica Costanti del moto Conservazione e invarianza della carica elettrica Tensore energia-impulso e conservazione del quadrimomento Tensore energia-impulso in Elettrodinamica... 63

10 xii Indice Conservazione del momento angolare quadridimensionale Problemi Il metodo variazionale in teoria di campo Principio di minima azione in meccanica Principio di minima azione in teoria di campo Ipersuperfici nello spazio-tempo di Minkowski Invarianza relativistica Lagrangiana dell equazione di Maxwell Mediatori delle interazioni deboli e forti Teorema di Nöther Trasformazioni di Poincaré infinitesime Teorema di Nöther per il gruppo di Poincaré Tensore energia-impulso canonico del campo elettromagnetico Tensore energia-impulso simmetrico Tensore energia-impulso simmetrico del campo elettromagnetico Densità di momento angolare standard Problemi Il metodo variazionale in Elettrodinamica Azione della particella libera Azione dell Elettrodinamica Teorema di Nöther Invarianza di gauge e conservazione della carica elettrica Problemi Parte II Applicazioni 5 Le onde elettromagnetiche Gradi di libertà del campo elettromagnetico Gradi di libertà in Meccanica Newtoniana Gradi di libertà in teoria di campo Problema di Cauchy per le equazioni di Maxwell Equazione delle onde Onde elementari Problema alle condizioni iniziali Formula risolutiva manifestamente invariante Soluzione generale delle equazioni di Maxwell nel vuoto Onde elettromagnetiche elementari Onde gravitazionali elementari Elicità Problema di Cauchy per il campo di radiazione Campo di radiazione e invarianza di gauge manifesta

11 Indice xiii Problema di Cauchy e formule risolutive Effetto Doppler relativistico Problemi La generazione di campi elettromagnetici Metodo della funzione di Green: equazione di Poisson Soluzione particolare Soluzione generale ed equazione di Laplace Campo generato da una corrente generica Funzione di Green ritardata Potenziale vettore ritardato Violazione spontanea dell invarianza per inversione temporale Validità della soluzione e trasformata di Fourier Campo di una particella in moto rettilineo uniforme Campo di una particella massiva Campo di una particella di massa nulla Problemi I campi di Liénard-Wiechert Linee di universo e condizioni asintotiche Quadripotenziale di Liénard-Wiechert Zeri della funzione f(s) Campi di Liénard-Wiechert Campi di velocità e campi di accelerazione Campi elettrici e campi magnetici Emissione di radiazione da cariche accelerate Limite non relativistico e formula di Larmor Espansione non relativistica di potenziali e campi Problemi L irraggiamento Campo elettromagnetico nella zona delle onde Emissione di quadrimomento Correnti monocromatiche e onde elementari Radiazione dell antenna lineare Irraggiamento nel limite non relativistico Sviluppo in multipoli Radiazione di dipolo Radiazione di un antenna lineare corta Diffusione Thomson Bremsstrahlung dall interazione coulombiana Radiazione dell atomo di idrogeno classico Radiazione di quadrupolo e di dipolo magnetico Potenziale all ordine 1/c

12 xiv Indice Potenza totale Problemi La radiazione gravitazionale Onde gravitazionali e onde elettromagnetiche Equazioni del campo gravitazionale debole Relazione con le equazioni di Einstein Irraggiamento gravitazionale Argomento euristico per la formula di quadrupolo Potenza della radiazione di quadrupolo Annullamento della radiazione di dipolo La pulsar binaria PSR B Diminuzione del periodo Problemi L irraggiamento nel limite ultrarelativistico Generalizzazione relativistica della formula di Larmor Argomento di covarianza Derivazione della formula di Larmor relativistica Perdita di energia negli acceleratori Acceleratori lineari Acceleratori circolari Distribuzione angolare nel limite ultrarelativistico Problemi L analisi spettrale Analisi di Fourier e risultati generali Polarizzazione Limite non relativistico Bremsstrahlung a spettro continuo e catastrofe infrarossa Funzioni di Bessel e Neumann Bremsstrahlung a spettro discreto: un esempio Analisi spettrale relativistica Spettro di una particella in moto arbitrario Frequenze caratteristiche nel limite ultrarelativistico Basse frequenze Spettro di una corrente generica Corrente periodica Corrente aperiodica Problemi La radiazione di sincrotrone Radiazione di sincrotrone non relativistica Analisi spettrale Spettro nel limite ultrarelativistico Distribuzione angolare

13 Indice xv 12.4 Polarizzazione Polarizzazione a frequenza fissata Polarizzazione complessiva Luce di sincrotrone L effetto Čerenkov Equazioni di Maxwell in un mezzo non dispersivo Campo di una particella in moto rettilineo uniforme Campo per v<c/n Analisi in frequenza e onde evanescenti La funzione K(x) Campo per v>c/n Campo elettromagnetico e cono di Mach Angolo di Čerenkov e analisi in frequenza Mezzi dispersivi Equazioni di Maxwell in un mezzo dispersivo Campo di una particella in moto rettilineo uniforme Assenza di singolarità, campi coulombiani e campi di radiazione Irraggiamento e formula di Frank e Tamm Argomento euristico Derivazione della formula di Frank e Tamm Rivelatori Čerenkov Problemi Parte III Argomenti scelti 14 La reazione di radiazione Forze di frenamento: analisi qualitativa Derivazione euristica dell equazione di Lorentz-Dirac Equazione di Lorentz-Dirac Regolarizzazione e rinormalizzazione Derivazione dell equazione di Lorentz-Dirac Espansione dell autocampo regolarizzato Caratteristiche dell equazione Particella libera Moto unidimensionale: preaccelerazione Equazione integro-differenziale di Rohrlich Preaccelerazione e violazione della causalità Problema a due corpi relativistico Scattering relativistico e non relativistico Espansione in potenze di 1/c Bilancio della quantità di moto Bilancio dell energia...419

14 xvi Indice Lagrangiana all ordine 1/c Problemi Un tensore energia-impulso privo di singolarità Singolarità del tensore energia-impulso Costruzione rigorosa: rinormalizzazione e regolarizzazione Costruzione euristica di T μν em Costruzione di T μν em per la particella libera Esistenza di T μν em Equazione di continuità per T μν em Energia finita del campo elettromagnetico Costruzione generale ed equazione di Lorentz-Dirac Problemi I campi vettoriali massivi Lagrangiana e dinamica Equazioni del moto e gradi di libertà Tensore energia-impulso Soluzioni di onda piana Onde elementari e pacchetti d onda Generazione di campi Sorgente statica e potenziale di Yukawa Funzione di Green ritardata Unicità Rappresentazioni della funzione di Green Derivazione delle rappresentazioni Irraggiamento Campo nella zona delle onde Analisi spettrale Spettro di una particella singola Effetti quantistici Problemi L Elettrodinamica delle p-brane Introduzione operativa alle forme differenziali Differenziale esterno e lemma di Poincaré Equazioni di Maxwell nel formalismo delle forme differenziali Equazioni di Maxwell per p-brane Elettrodinamica di una particella in D dimensioni Volume di universo e riparametrizzazioni Corrente conservata Equazioni di Maxwell generalizzate Equazione di Lorentz e metodo variazionale Azione del campo elettromagnetico

15 Indice xvii Azione della p-brana libera Equazione di Lorentz Tensore energia-impulso Problemi I monopoli magnetici in Elettrodinamica classica Dualità elettromagnetica Elettrodinamica di dioni Equazioni di Maxwell generalizzate Dualità SO(2) e dualità Z Equazione di Lorentz generalizzata e leggi di conservazione Problema a due corpi Moto relativo e forza dionica Leggi di conservazione Condizione di quantizzazione di Dirac: argomento semiclassico Scattering asintotico tra due dioni Quantizzazione delle cariche e implicazioni fisiche I monopoli magnetici in Meccanica Quantistica Invarianza di gauge in Meccanica Quantistica Trasformazioni di gauge e simmetrie fisiche Spazio di Hilbert generalizzato Funzione di transizione e prodotto scalare Un potenziale vettore per il monopolo magnetico Potenziale e stringa di Dirac Cambiamento della stringa di Dirac La funzione di gauge Un esempio Potenziale di Dirac nello spazio delle distribuzioni Differenziale distribuzionale del potenziale di Dirac Cambiamento della stringa di Dirac Hamiltoniana dei dioni nello spazio di Hilbert generalizzato Funzione di transizione e quantizzazione di Dirac Dioni nella quantizzazione di Feynman Propagatore di Feynman Cambiamento della stringa di Dirac nel propagatore di Feynman Problemi Riferimenti bibliografici Indice analitico...565