CARATTERIZZAZIONE STATICA E DINAMICA DEL COMPORTAMENTO VERTICALE DI PNEUMATICI DA COMPETIZIONE

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1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA CARATTERIZZAZIONE STATICA E DINAMICA DEL COMPORTAMENTO VERTICALE DI PNEUMATICI DA COMPETIZIONE Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. GIANNI NICOLETTO Correlatori: Chiar.mo Prof. Ing. MARCO AMABILI Ing. ANDREA BURZONI Tesi di Laurea di: LUCA COLLINI Anno Accademico 1999/2000

2 Introduzione e scopo del lavoro Il presente lavoro di tesi è stato sviluppato in collaborazione con Dallara Automobili S.p.A., azienda costruttrice di vetture da competizione da più di venti anni. In particolare è stata analizzata la dinamica verticale di una vettura da FORMULA 3, categoria con la quale si disputano combattuti campionati in molti paesi europei, tra cui l Italia. La necessità di una caratterizzazione del comportamento del pneumatico da FORMULA 3 è scaturita dall importanza che tale componente riveste nella progettazione e nella regolazione su pista della vettura, e al contempo dalla scarsità di dati e di notizie forniti a riguardo dalle Case Costruttrici. In una prima serie di prove è stata indagata la risposta verticale statica dei pneumatici anteriore e posteriore (di misure differenti) PIRELLI F3, con test non in rotolamento. Lo scopo del lavoro è stato la determinazione della rigidezza statica dei pneumatici e l influenza esercitata su di essa da parte dei parametri più significativi, tra cui la temperatura. Tale rigidezza riveste un ruolo fondamentale nella scelta dell assetto e nel bilanciamento della vettura. La caratterizzazione sperimentale della dinamica verticale del pneumatico si è avvalsa invece di uno degli strumenti più interessanti e sofisticati utilizzati nel mondo delle corse, ed ha avuto lo scopo di caratterizzare il comportamento di un sistema che presenta di norma una certa complessità, ed il cui ruolo nella dinamica dell intera vettura è tutt altro che trascurabile. Il lavoro qui presentato segue in qualche modo il filone delle due sperimentazioni: i due capitoli introduttivi sono di carattere teorico-descrittivo; in particolare nel Capitolo 1 viene presentato il pneumatico, le sue funzionalità e caratteristiche meccaniche, i possibili modelli adottabili per descriverne il comportamento. Nel Capitolo 2 viene introdotto il ruolo del pneumatico nella globalità della vettura, e la sua importanza dal punto di vista statico e dinamico. Viene analizzata quindi la dinamica verticale della vettura da competizione, e gli aspetti in cui essa si deve differenziare rispetto alle automobili di serie. I

3 Nel terzo capitolo viene descritto il banco di prova utilizzato alla Dallara Automobili per il test dinamico delle vetture da competizione, mentre nel Capitolo 4 sono contenuti i risultati delle prove sperimentali, le metodologie impiegate per ottenerli ed una loro analisi e discussione. Il Capitolo 5 presenta infine lo sviluppo di due modelli matematici di diversa complessità, in grado di simulare la dinamica verticale di una FORMULA 3, in cui viene sottolineato il ruolo attivo del pneumatico, avvalendosi dei risultati ottenuti nelle due campagne di prove. II

4 Indice Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico.. pag Funzioni del pneumatico Sistema di riferimento SAE La gomma: proprietà Cenni al meccanismo di aderenza e dipendenza dal carico Costruzione del pneumatico Pressioni di contatto e rigidezza statica del pneumatico Raggi caratteristici del pneumatico Modelli descrittivi del comportamento verticale del pneumatico non in rotolamento. 14 Capitolo 2. Il pneumatico nella dinamica verticale della vettura da competizione. pag Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico La ricerca delle massime prestazioni Il bilanciamento della vettura Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico Introduzione: il problema acustico-vibrazionale Le forzanti Risposta dinamica del veicolo Ruolo della massa non sospesa e del pneumatico nella vettura da competizione La sperimentazione al banco 58 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig. pag Introduzione Descrizione dell apparato sperimentale Il software di controllo DCS Utilizzo e funzionalità dello strumento 72 Capitolo 4. Prove sperimentali sui pneumatici PIRELLI F3. pag Prove di rigidezza verticale statica Introduzione Descrizione della procedura di prova Taratura della cella di carico 83 III

5 4.1.4 Risultati delle prove pag Analisi dei risultati Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Introduzione Descrizione della procedura di prova Acquisizione dei dati e costruzione della risposta in frequenza del sistema Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa kg Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 posteriore. Massa kg Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 67 kg Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 90 kg Analisi e discussione dei dati sperimentali Osservazioni Calcolo della rigidezza e dello smorzamento con modello a contatto Il metodo della larghezza di banda Risultati delle prove sperimentali 131 Capitolo 5. Sviluppo di un modello matematico a parametri concentrati per la vettura F3. pag. 141 Introduzione Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà Ipotesi semplificative e modello adottato Influenza dei parametri del modello sul comportamento dinamico della vettura Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà Il modello a quattro gradi di libertà: caratteristiche e potenzialità I movimenti verticale (bounce) e di beccheggio (pitch) della vettura Frequenze di bounce e di pitch Modello a quattro gradi di libertà Identificazione sperimentale dei parametri e taratura del modello Risultati della simulazione e confronto con i test reali 167 Conclusioni.. pag. 175 Allegati. 177 Riferimenti bibliografici IV

6 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 1 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico. 1.1 Funzioni del pneumatico La funzione di un pneumatico, stradale o da competizione, è essenzialmente quella di garantire il contatto tra il corpo del veicolo ed il terreno. Tutte le forze di controllo o di disturbo cui il veicolo è sottoposto, fatta eccezione per quelle di natura aerodinamica, sono infatti generate dall area di contatto tra battistrada e terreno, la cosiddetta contact patch, la cui estensione è paragonabile a quella del palmo di una mano. Figure 1.1 (a). Il pneumatico PIRELLI anteriore da FORMULA 3 (b). Forze e momenti cui è sottoposto un pneumatico in marcia. In generale un pneumatico viene progettato e dimensionato per essere in grado di: sopportare il carico verticale statico e dinamico F Z agente sul mozzo della ruota sviluppare le necessarie forze longitudinali (dirette cioè nel senso di marcia), le quali garantiscono l accelerazione e la decelerazione del veicolo (F X e M Y in Figura 1.1 (b)) sviluppare le adeguate forze laterali, generate nel moto curvilineo, che permettono di tenere in strada il veicolo (M X e M Z di Figura 1.1 (b)) garantire una bassa trasmissibilità al telaio delle irregolarità presenti sul manto stradale.

7 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 2 Nel mondo delle corse i primi tre concetti, soprattutto quello di aderenza, rivestono grande importanza, mentre quest ultimo aspetto, che definisce il comfort di un autoveicolo, viene perlopiù trascurato, in quanto altri sono gli obiettivi nel progetto di un auto sportiva; l assetto viene irrigidito a discapito del comfort, per ottenere la massima aderenza in ogni condizione di utilizzo e per ottimizzare l aerodinamica della vettura minimizzando la variazione di altezza da terra del telaio. 1.2 Sistema di riferimento SAE Figura 1.2. Il sistema di riferimento SAE J670. Il sistema di riferimento convenzionalmente adottato per descrivere la dinamica del veicolo e le forze agenti sul pneumatico è mostrato in Figura 1.2. Il sistema di assi cartesiani ha origine O nel centro dell impronta del battistrada (a ruota ferma), nel punto di intersezione tra l asse Z e il piano stradale, considerato una superficie piana. L asse X è data dall intersezione tra il suolo e il piano del

8 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 3 pneumatico, l asse Y è perpendicolare a X e Z e giace nel piano stradale. L angolo γ in figura definisce l inclinazione del pneumatico, vedi Figura 1.3 sopra, nel piano verticale (detta campanatura o angolo di camber), mentre α è l angolo di scorrimento (slip angle) o di deriva, tra l asse X e la direzione del moto del pneumatico, definito positivo per scorrimenti verso destra rispetto alla direzione di marcia. 1.3 La gomma: proprietà L uso della gomma come costituente principale del pneumatico si è mantenuto nel corso degli anni a causa delle sue caratteristiche meccaniche, le quali garantiscono aderenza, durata nel tempo e grande adattabilità alle più svariate condizioni di impiego. La gomma possiede una densità di circa 1100 kg/m 3, ed è presente nel pneumatico sempre in una mescola con altri componenti, come olio, zolfo, polvere di grafite, che conferiscono specifiche caratteristiche meccaniche. La mescola possiede spiccate proprietà viscoelastiche, e se sottoposta a caricamento la sua risposta dinamica varia al variare della frequenza con cui la forza viene applicata. Un modello elementare a parametri concentrati che descriva in modo semplice il comportamento meccanico viscoelastico della gomma è quello riportato a lato in Figura 1.4; esso è costituito dalla serie di una rigidezza con un gruppo rigidezza-smorzamento in parallelo. A basse frequenze l effetto dello smorzatore è trascurabile, e la rigidezza apparente del sistema è data dalla serie delle due molle. Eccitando l estremo A di figura a frequenze elevate lo smorzatore oppone invece una forte resistenza al moto, e la rigidezza globale del sistema risulta maggiore. Per ciascuna delle due situazioni estreme l energia che viene dissipata dallo smorzatore è piccola, e presenta un Figura 1.4. massimo ad una frequenza intermedia.

9 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico Cenni al meccanismo di aderenza e dipendenza dal carico Test di laboratorio condotti sopra superfici vetrose pulite mostrano che il coefficiente d attrito della gomma dipende dalla velocità di strisciamento e dalla temperatura di esercizio, come riportato dalla Figura 1.5, in cui è T 3 > T 2 > T 1. In particolare per una determinata temperatura si ha un andamento a campana del coefficiente d attrito in funzione della velocità espressa in scala logaritmica, ed aumentando la temperatura il picco della campana trasla verso velocità di strisciamento maggiori. Figura 1.5. Coefficiente d attrito delle gomma in funzione della velocità di scorrimento a diverse temperature. Dai semplici diagrammi sopra esposti si può intendere l importanza della temperatura di esercizio dei pneumatici nelle loro caratteristiche. In modo particolare nel mondo delle competizioni, in cui è Figura 1.6. Curve del tipo WLF per differenti superfici d attrito. costante la ricerca della massima aderenza, il pneumatico deve essere progettato con particolare cura per offrire le massime prestazioni.

10 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 5 Le curve coefficiente attrito-velocità a diversa temperatura possono essere rappresentate mediante una sola curva, detta di Williams-Landel-Ferry (WLF, vedi Figura 1.6), nell ipotesi di assumere un modello viscoelastico per descrivere il comportamento del materiale elastomerico. La stretta correlazione tra le equazioni che descrivono il comportamento viscoelastico e il meccanismo di attrito della gomma suggerisce una probabile origine comune dei due fenomeni, e la possibilità che proprio la viscoelaticità sia responsabile della capacità della gomma di aderire a diversi tipi di superficie. In Figura 1.6 vengono riportate curve del tipo WLF rappresentative di test su vetro e su superficie ruvida, nel caso specifico sopra del carburo di silicio. L evidente picco di forma acuminata è dovuto alla distorsione della gomma sulle asperità della superficie ruvida, mentre il fenomeno di adesione molecolare, presente a basse velocità di strisciamento, risulta molto meno evidente. L aggiunta di polvere di grafite oltre ad incrementare la rigidezza e la resistenza meccanica della mescola, abbassa drasticamente il valore di picco, che è scarsamente controllabile, e di conseguenza il valore medio del coefficiente d attrito. L aggiunta di olio nella mescola inoltre aumenta il valore massimo del coefficiente d attrito, traslandolo verso velocità di scorrimento minori. Per una più attenta analisi del fenomeno di aderenza al suolo, si considerino le Figure 1.7 e 1.8, in cui è rappresentato il contatto tra il battistrada di un pneumatico e un ideale superficie ruvida. Nell ipotesi che tale superficie sia lubrificata, essa non è in grado di generare forze di taglio sul battistrada; è comunque presente il fenomeno dell attrito a causa dalle differenti pressioni che agiscono sulle superfici inclinate per via dell isteresi di natura viscoelastica della gomma. Figura 1.7. Schema semplificato del contatto battistrada-suolo.

11 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 6 Figura 1.8. Dettaglio di Figura 1.7. Aumentando il carico verticale F Z agente sul pneumatico (ad esempio durante il trasferimento di carico della vettura nel percorrere una curva), si ha un incremento, non lineare, dell area di contatto, ed un aumento della pressione media di contatto. Questo comporta l aumento della forza d attrito, ma il coefficiente d attrito, come l esperienza conferma, diminuisce, tipicamente in proporzione alla pressione media di contatto elevata alla potenza di (grafico di Figura 1.9). Figura 1.8 mostra inoltre che il coefficiente d attrito non dipende dall estensione delle superfici di contatto, bensì dalla loro inclinazione rispetto all orizzontale. 1 Friction coefficient 0,8 0,6 0,4 0,2 0 f = pm -0,15 Mean contact pressure Figura 1.9. Andamento qualitativo del coefficiente d attrito in funzione della pressione media di contatto. Un elemento la cui proiezione ha area A genera infatti la forza d attrito F A = P Asenϑ h diretta orizzontalmente, dove P h è la differenza di pressione data dall isteresi della gomma e ϑ l angolo in figura che le due superfici di contatto formano con l orizzontale. Da ciò ne deriva che una superficie con una microruvidità più accentuata (angoli ϑ più elevati), permette una maggiore aderenza.

12 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 7 Si spiega allora come il coefficiente d attrito sia, seppure indirettamente, dipendente dal carico applicato (esso diminuisce se il carico aumenta), e come una più estesa area di contatto, a parità di carico verticale, abbassando la pressione media permetta una più elevata forza di frizione in quanto è alto il coefficiente d attrito. La rigidezza verticale dei pneumatici, che ha un ruolo attivo nell assetto e nel bilanciamento della vettura e nei trasferimenti di carico, è quindi influente in modo non diretto anche sul fenomeno di microaderenza del pneumatico al terreno. Il secondo meccanismo di aderenza della gomma comporta la formazione di legami molecolari tra la mescola e la superficie stradale, e viene mostrato in Figura Figura I due meccanismi responsabili dell aderenza della gomma al suolo stradale. Per rompere questi legami è necessaria una certa quantità di energia, la cui dissipazione è causa della resistenza al rotolamento e allo strisciamento del pneumatico. Tale componente d attrito è significativa nel caso di manto stradale asciutto, mentre diventa preponderante il primo tipo di frizione dovuta all isteresi nella mescola, in condizioni di bagnato, dove molecole d acqua si possono interporre tra le due superfici di contatto ostacolando l adesione.

13 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 8 In Figura 1.10 vengono schematizzati entrambi i meccanismi responsabili dell aderenza del battistrada di un pneumatico al terreno, la frizione per differenza di pressione e l adesione a livello molecolare. 1.5 Costruzione del pneumatico Un pneumatico moderno è costituito essenzialmente da una carcassa in gomma rinforzata al suo interno da svariati fasci di cordami in nylon, rayon, poliestere o fibra di vetro, che possono essere sovrapposti con un certo angolo tra di loro o disposti radialmente (si parla in questo caso di pneumatico radiale), cioè a 90 rispetto alla direzione circonferenziale. Figura Costruzione dei pneumatici a tele incrociate e radiali. Le dimensioni tipiche che definiscono la struttura del pneumatico, Figura 1.12, sono il diametro del cerchio, l altezza della spalla, la sezione trasversale, la larghezza del battistrada. Figura Dimensioni caratteristiche del pneumatico.

14 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 9 Il battistrada, cui è affidato il contatto con il terreno, può essere intagliato (per permettere il drenaggio dell acqua e il raffreddamento della gomma) o liscio (ad uso delle competizioni), ed è generalmente rinforzato al suo interno da fili in acciaio. Nel pneumatico di tipo radiale, ormai universalmente adottato, per garantire una buona stabilità direzionale sono inoltre presenti delle fasciature di rinforzo sotto il battistrada che formano un angolo di circa 20 con le fasce della carcassa. Consistenza e rigidezza globali vengono conferite al pneumatico dal gonfiaggio con aria, ad una pressione variabile tipicamente tra 1.2 e 2.2 bar; i rinforzi annegati nella mescola, possedendo modulo elastico di gran lunga maggiore rispetto a quello della gomma, sopportano la tensione data dalla pressione interna, mentre la gomma della carcassa, di elevata resistenza a fatica, ha essenzialmente la funzione di recipiente per l aria. Dalla costruzione della carcassa e dalle sue dimensioni dipendono le caratteristiche meccaniche del pneumatico; in particolare la tendenza odierna è quella di ridurre il rapporto tra le dimensioni altezza spalla e larghezza battistrada per incrementare la rigidezza laterale della gomma e limitarne la deformazione ottenendo sensibili incrementi nelle proprietà di controllo del mezzo. Ovviamente nel campo delle competizioni viene spinta al massimo la ricerca delle prestazioni in fatto di aderenza e rigidezza, e vengono tralasciati necessariamente aspetti secondari, come durata o rumorosità del pneumatico. 1.6 Pressioni di contatto e rigidezza statica del pneumatico Il pneumatico non in rotolamento esercita sul suolo una pressione normale σ z la cui risultante è pari alla forza Z di contatto tra ruota e suolo, e le pressioni tangenziali τ x e τ y, le cui risultanti sono nulle nel caso in cui la ruota non eserciti forze in direzione longitudinale o trasversale. La distribuzione delle pressioni σ z, τ x e τ y non è costante; il suo andamento dipende dalla rigidezza del pneumatico oltre che da altri fattori, quali carico applicato e pressione di gonfiaggio.

15 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 10 In Figura 1.13 sono riportati gli andamenti tipici delle pressioni normali, longitudinali e trasversali σ z, τ x e τ y che la ruota, da ferma, esercita sul suolo. Figura Pressioni di contatto ruota-suolo σ z (a), τ x (b) e τ y (c) a ruota ferma. Le pressioni τ x sono dirette verso la mezzeria della zona di contatto; la ruota tende cioè a compattare, per così dire, il suolo in direzione longitudinale verso il centro dell orma. L effetto opposto si ha invece in direzione trasversale. Le caratteristiche elastiche statiche del pneumatico dipendono da molti fattori, quali la pressione, lo stato di usura, la velocità di rotolamento, l angolo di camber, la temperatura di esercizio. Inoltre notevoli differenze di comportamento si possono notare tra i pneumatici a tele incrociate e quelli radiali: a ruota ferma i pneumatici radiali possiedono minore rigidezza in tutte le direzioni. Se caricata sul mozzo la gomma si deforma, e tale deformazione assume tipicamente valori compresi tra il 18 e il 24 % dell altezza della spalla. La rigidezza verticale statica, come verrà mostrato ampiamente nei risultati delle prove sperimentali, per un pneumatico da competizione risulta praticamente costante all aumentare del carico applicato durante la prova, per cui si ha dipendenza lineare tra deformazione e carico. In Figura 1.14 sono riportate le curve forza normale Z in funzione della deformazione verticale z per un pneumatico di tipo radiale in rotolamento, relative ad un ciclo di applicazione e di rimozione del carico verticale.

16 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 11 Esse mettono in evidenza un vero e proprio ciclo di isteresi, che denota uno smorzamento dei moti verticali da parte del pneumatico, che è però particolarmente sensibile a ruota ferma in quanto l ampiezza del ciclo di isteresi generalmente diminuisce al crescere della velocità di rotolamento. Figura Caratteristica forza normale-deformazione verticale per un pneumatico radiale. Il coefficiente di smorzamento di un pneumatico è comunque un parametro non lineare, in quanto dipende dall ampiezza e dalla frequenza di applicazione del carico. Il comportamento verticale del pneumatico fermo, sottoposto a sollecitazioni anch esse in senso verticale, è schematizzabile quindi con una semplice molla di rigidezza opportuna e massa trascurabile. Le prove statiche condotte sul pneumatico hanno avuto lo scopo di trovare il valore di tale rigidezza e la sua variazione in funzione dei parametri fisici e ambientali. 1.7 Raggio del pneumatico Si consideri una ruota in rotolamento su strada piana senza che su di essa agisca alcuna coppia motrice o frenante. Vengono solitamente distinti tre diversi raggi del pneumatico: R u, raggio a pneumatico scarico, R l, raggio a pneumatico caricato non in movimento, e il raggio effettivo o in rotolamento R e. Quest ultimo è semplicemente definito dal rapporto tra la velocità V di traslazione del centro ruota e la velocità angolare Ω della ruota:

17 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 12 R = V e. Ω Tale definizione non è significativa se il pneumatico, bloccato, striscia solamente (R e infinito), o se ruota senza traslare (R e nullo). Dato che il contatto ruota-suolo non è puntiforme, il raggio di rotolamento non coincide con l altezza R l del centro ruota sul suolo ed il centro di istantanea rotazione non coincide con il centro della contact patch. Si può dimostrare che R l R e Ru. Ciò per il fatto che, a causa delle deformazioni a cui la fascia battistrada della ruota è soggetta, la velocità periferica di ciascun elemento esterno della ruota non è costante, ma varia ciclicamente. In Figura 1.15 di lato è schematizzata una ruota in rotolamento su strada piana a cui viene applicata una coppia motrice M T, con la configurazione della distribuzione di forza longitudinale e della velocità periferica della fascia battistrada (sliding velocity). Ogni elemento della fascia battistrada rallenta all approssimarsi del contatto con il suolo e di conseguenza risulta Figura compresso in direzione circonferenziale. Nella zona di contatto si hanno strisciamenti molto piccoli; la velocità periferica di tale zona, relativa al centro della ruota, coincide in modulo con la velocità assoluta del centro della ruota V.

18 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 13 Dopo aver lasciato la zona di contatto l elemento assume nuovamente la sua lunghezza iniziale e la sua velocità periferica ritorna al valore ΩR u. La velocità angolare di una ruota dotata di pneumatico risulta pertanto minore di quella propria di una ruota rigida con pari altezza del centro sul suolo e pari velocità di traslazione. Il raggio di rotolamento è influenzato da molti fattori, alcuni dipendenti dal pneumatico, quali il tipo di struttura della carcassa e delle tele, lo stato di usura del battistrada; altri dalle condizioni di impiego, quali pressione, carico, velocità ed altri ancora. Inoltre il raggio effettivo ha una leggera dipendenza, poco significativa nei pneumatici radiali a causa della loro costituzione, dalla velocità angolare, in quanto per effetto della forza centrifuga si ha una piccola deformazione della carcassa. I pneumatici a struttura radiale sono caratterizzati da un minore valore di R l rispetto a pneumatici a tele incrociate di pari raggio indeformato R u a causa della loro maggiore flessibilità radiale, ma, a causa della maggior rigidezza della fascia battistrada, dovuta alla presenza delle tele di cintura, il valore del raggio di rotolamento R e, risulta meno lontano dal valore di R u. Gli effetti di un aumento del carico verticale Z e di una diminuzione della pressione di gonfiaggio p sono simili e si manifestano in una diminuzione sia di R l che di R u. Al crescere della velocità il pneumatico tende ad espandersi sotto l azione della forza centrifuga, per cui si ha un aumento di tutti i raggi caratteristici. Tale aumento è notevole nel caso di pneumatici di struttura convenzionale mentre è molto contenuto, a causa della notevole rigidezza circonferenziale della cintura, nei pneumatici radiali. In Figura 1.16 si riportano, a titolo di esempio, gli andamenti del raggio di rotolamento in funzione della velocità ottenuti per un pneumatico 7,60-15 a tele incrociate e per un pneumatico 155 SR 15 di tipo radiale.

19 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 14 Figura Raggio di rotolamento R e in unzione della velocità di rotolamento V. 1.8 Modelli descrittivi del comportamento verticale del pneumatico non in rotolamento Lo scopo del lavoro qui proposto è quello di trovare un modello comportamentale del pneumatico, non in rotolamento, in grado di caratterizzarne e descriverne la dinamica verticale, sulla base di prove condotte sperimentalmente. Il pneumatico si presenta come un sistema continuo, complesso nella costruzione e vario nelle proprietà meccaniche dei materiali impiegati; lo studio del suo comportamento dinamico è a priori molto complesso da analizzare e da inquadrare in modo globale, e in aggiunta le condizioni di utilizzo reali e le sollecitazioni cui un pneumatico da competizione è sottoposto sono difficilmente quantificabili e riproducibili. Nonostante ciò può essere adottato un modello a parametri concentrati del tipo ingresso-uscita ; l idea fondamentale di tale assunzione consiste nel modellare solo la reazione che intercorre tra l ingresso al sistema dinamico e l uscita, senza introdurre tutte le variabili indipendenti che definiscono il moto del sistema in esame ma solo quelle del comportamento delle grandezze esterne al sistema stesso.

20 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 15 Ad esempio, per quantificare la rigidezza verticale globale, si può analizzare la deformazione tra un punto di riferimento e il suolo senza condurre l analisi particolareggiata dei contributi a tale rigidezza da parte di tutti i costituenti del sistema. Si parla poi di sistema lineare tempo invariante (LTI) per poterne descrivere il comportamento dinamico con una o più equazioni differenziali ordinarie o tramite il concetto di funzione di risposta in frequenza (FRF). Nel primo caso si parla di dominio del tempo, nel secondo di dominio delle frequenze. La descrizione della dinamica in senso verticale del pneumatico mediante un modello del tipo ingresso-uscita basato sul concetto di funzione di risposta in frequenza, presenta il notevole vantaggio che tale funzione è facilmente valutabile sperimentalmente, a differenza dell equazione (o delle equazioni) differenziale descrittiva che per essere caratterizzata necessita oltre ad una fase sperimentale anche spesso di complesse metodologie di identificazione dei parametri. Come già specificato nelle prove di rigidezza verticale statica si è assunto semplicemente un modello costituito da una molla di rigidezza incognita. Figura Deformata FEM del pneumatico e modello adottato per il comportamento statico. Le prove hanno avuto lo scopo di calcolare tale rigidezza al variare dei parametri fisici del pneumatico normalmente modificati in pista, e di verificarne la linearità nella risposta di schiacciamento (quantità d in Figura 1.17) al caricamento verticale (F v ).

21 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 16 Dalla letteratura (Szilard) la rigidezza verticale dinamica risulta un parametro non lineare, in quanto risente del carico applicato, dell ampiezza di deformazione, della frequenza. Analogo discorso vale per lo smorzamento interno del sistema. Un tipico modello utilizzato per lo studio del comportamento dinamico verticale del pneumatico è quello riportato in Figura 1.18 (a); esso si adatta a descrivere la dinamica della gomma su superficie liscia o scarsamente corrugata, comunque priva di ostacoli o bruschi avvallamenti. Figura Due tipici modelli di pneumatico per superfici lisce. (a) Massa, molla, smorzatore. (b) Modello di Maxwell. l equazione differenziale relativa al primo modello è: + m z c z+ Kz = F(t). Nel modello di Maxwell lo smorzamento è posto in serie alla rigidezza K 2 per tenere conto del fatto che alle basse frequenze si ha la massima dissipazione di energia da parte dell elemento smorzante, mentre per le sollecitazioni ad alta frequenza l energia assorbita viene limitata dal movimento della seconda rigidezza in serie. In questo caso è necessario introdurre un secondo grado di libertà per rappresentare la forza sullo smorzatore: m z1+ K1( z1 F( t)) + K 2 ( z1 z c( z 2 F'( t)) K 2 ( z1 z2 ) = 0. 2 ) = 0

22 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 17 Uno degli svantaggi dei modelli mostrati è quello di non poter considerare la deformazione del pneumatico nel superamento di ostacoli o avvallamenti, in quanto si presuppone un contatto puntuale; tali modelli possono comunque dare buoni risultati se vengono soddisfatte in buona misura le condizioni: a) nessun gradino nella superficie contatto b) lunghezza d onda dell avvallamento superficiale maggiore di tre volte la lunghezza di contatto c) il piano di appoggio definisce adeguatamente la superficie di contatto. Modelli più evoluti, come quelli mostrati di seguito in Figura 1.19, sono stati sviluppati per tenere conto della deformazione del battistrada e della curvatura del pneumatico. Figura Modelli di pneumatico che tengono conto del contatto non puntuale. In tutti questi modelli il punto di contatto genera, assieme alla forza verticale, una reazione laterale che si scarica sul mozzo della gomma; nel primo si ha contatto puntuale, nel secondo è presente una ruota rigida che segue l andamento del profilo stradale, nel terzo il battistrada è rappresentato da un numero finito e fissato di elementi elastici e smorzanti, il quarto è costituito da un insieme di molle disposte radialmente ognuna delle quali viene compressa/stirata localmente dal suolo.

23 Capitolo 1. Il pneumatico: funzioni, struttura, modelli statico e dinamico 18 In generale l uso di modelli a parametri concentrati è preferibile, in quanto consente una semplificazione radicale del problema di caratterizzazione, e permette al contempo, per le basse frequenze, una buona descrizione della dinamica verticale e radiale del pneumatico. In accordo con Bakker e altri, risultati ottenuti sperimentalmente possono venire rappresentati in tre modi: 1. rappresentazione con tabelle 2. rappresentazione con grafici 3. rappresentazione con formule. La rappresentazione mediante modello a parametri concentrati può essere considerata una speciale esposizione con formule, ma con l ulteriore vantaggio di una significativa interpretazione e fisica del sistema. Spesso in passato si è assunto che il comportamento del pneumatico fosse lineare, cioè che i parametri del modello adottato fossero invarianti. In questo caso tali parametri si possono ottenere operando un FIT lineare dei risultati sperimentali di risposta dinamica. Tuttavia, conducendo una più attenta analisi, si può affermare che generalmente, anche per le basse frequenze (fino a 50 Hz), il comportamento della gomma non sia lineare, e che quindi i parametri modali caratteristici siano funzione della frequenza e di altri parametri del pneumatico. Avendo condotto le prove a pneumatico fermo, i parametri considerati influenti in questa sede sono stati il precarico L dato al pneumatico, la frequenza ω, l ampiezza A in dell eccitazione, la pressione p di gonfiaggio, la temperatura di esercizio T. Pur mantenendo un modello a parametri concentrati, i parametri identificativi vengono in tale caso descritti non più da una funzione lineare, bensì da funzioni G e H polinomiali in più variabili: K = G c = H ( L, ω, Ain, p, T ) ( L, ω, A, p, T ) in.

24 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 19 Capitolo 2. Il pneumatico nella dinamica verticale della vettura da competizione 2.1 Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico La ricerca delle massime prestazioni Nella storia delle corse, per qualunque categoria di competizioni, si è assistito alla costante e incessante ricerca delle massime prestazioni ottenibili, alla luce delle conoscenze tecniche e dei metodi di analisi e di progettazione disponibili. I fattori che determinano le prestazioni di un auto da corsa non sono certo cambiati nel corso degli anni; e non è mutata la passione e la forza che ha mosso e muove l uomo verso la ricerca di limiti sempre più spinti, e verso la comprensione totale dei fenomeni fisici, delle proprietà dei materiali, delle tecnologie, che accompagnano l ideazione e la progettazione di una vettura destinata alle competizioni. Sono molteplici e interdipendenti i fattori che rendono un auto da corsa veloce e vincente; tuttavia, volendo riassumere i concetti decisivi per ottenere le massime prestazioni su pista, si possono fissare due principi fondamentali. Per ottenere i risultati attesi da una vettura da competizione è necessario: 1. Disporre della massima velocità possibile alla fine dei rettilinei 2. Disporre di un elevata velocità nei tratti curvilinei. Questi due concetti sembrerebbero banali e quasi scontati, tuttavia essi rivestono grande importanza nel processo di analisi dei fattori il cui miglioramento garantisce la progressione nelle prestazioni dell auto su un dato circuito. Volendo analizzare da vicino tali fattori, la velocità in rettilineo è determinata da: 1.1 Potenza del motore 1.2 Resistenza (drag) all avanzamento (rotolamento + aerodinamica) 1.3 Velocità massima di uscita dalla curva che precede il rettilineo.

25 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 20 La velocità in curva è invece determinata da: 2.1 Aderenza (il grip in gergo) della vettura, data dalla combinazione pneumatico + asfalto e dal carico verticale presente 2.2 Carico aerodinamico 2.3 Bilanciamento, o assetto, della vettura. Una rappresentazione a blocchi riassuntiva dei concetti esposti, risulta significativa nella comprensione dei principi che regolano le prestazioni di un auto da corsa e nei fattori decisivi per il loro miglioramento. Figura Diagramma a blocchi dei fattori che definiscono le prestazioni di un auto da corsa.

26 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 21 Dal diagramma riportato si intende chiaramente come tali fattori si possano influenzare tra loro (concetto di interdipendenza), e che spesso la macchina vincente è quella per cui si ha un ottimo compromesso, nell ipotesi che tutti i piloti siano veloci, tra carico aerodinamico e resistenza all avanzamento, tra bilanciamento della vettura e aderenza al suolo. Se viene fissata la potenza massima fornita dal motore, la velocità in rettilineo risulta sensibilmente influenzata dalla resistenza R A all avanzamento, data dalla somma della resistenza al rotolamento dei pneumatici R R e della resistenza aerodinamica R W : R = R + R. A R W Se si trascura la portanza aerodinamica si può scrivere R A ( f0 + Kv ) + ρ v SC X = mg (2.1-1) 2 in cui m = massa totale della vettura f 0 = coefficiente di rotolamento a velocità nulla K = coefficiente della resistenza al rotolamento v = velocità di avanzamento (velocità dell aria nulla) ρ = densità dell aria S = superficie frontale della vettura C x = coefficiente di resistenza aerodinamica. La resistenza di rotolamento è preponderante alle basse velocità, mentre la resistenza aerodinamica diviene importante a velocità elevate, come quelle raggiunte nei rettilinei di un circuito. La (2.1-1) è valida solamente fino alla velocità critica dei pneumatici, al di sopra della quale la resistenza al rotolamento cresce tanto bruscamente da poter divenire anche maggiore della resistenza aerodinamica. Nel progetto del pneumatico da competizione viene tenuto conto anche di questo. La massima velocità ottenibile in rettilineo è funzione anche della velocità di uscita dalla curva che lo precede, e qui entra in gioco in grande misura l abilità e la sensibilità del pilota.

27 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 22 La velocità di percorrenza in curva è uno dei fattori più delicati da ottimizzare nel progetto e nella messa a punto di una vettura da competizione. Si è visto che essa è essenzialmente funzione, in ordine crescente per importanza, della massima aderenza che i pneumatici possono garantire, dell assetto o bilanciamento della vettura, dell abilità del pilota. Si pensi di trascurare il fattore umano, che è nella maggior parte dei casi il fattore di gran lunga più determinante. La forza laterale F Y di aderenza che un pneumatico può offrire nel moto curvilineo, nell ipotesi di angolo α di scorrimento costante e quindi di coefficiente di attrito µ costante, è esprimibile nella semplice forma Y Z ( W F ) F = µ F = µ + (2.1-2) in cui W è il peso della vettura che si scarica sul pneumatico e F A la componente verticale del carico aerodinamico. Si può comprendere allora, almeno qualitativamente, come un aumento del carico aerodinamico comporti questa volta un miglioramento delle prestazioni. L ultimo aspetto che caratterizza il comportamento e le prestazioni della vettura in curva è il suo bilanciamento (o assetto o setup), che definisce la distribuzione e la ripartizione dei carichi. È importante sottolineare a questo punto l importanza del ruolo del pneumatico, unico tramite tra la vettura e il terreno, nel diagramma a blocchi esposto: esso è presente praticamente in tutti i fattori che determinano le prestazioni su pista. Infatti è decisivo disporre di un elevata potenza, e lo è altrettanto poterla scaricare senza perdita di trazione; una bassa resistenza al rotolamento del pneumatico favorisce le velocità di punta, mentre l aderenza al suolo determina tutte le prestazioni nei tratti curvilinei. Essa è molto importante anche nella frenata del veicolo. Il processo di usura inoltre che subisce la mescola del battistrada durante la competizione è decisivo per il degradamento della performance su pista. Nella scelta del bilanciamento da adottare e nella messa a punto della vettura, assume un ruolo attivo anche la rigidezza verticale statica del pneumatico. A

28 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico Il bilanciamento della vettura Per comprendere il concetto di bilanciamento, o assetto, della vettura, viene introdotto il modello dinamico a due assi, di cui uno, in figura sia l anteriore, sterzante (Figura sotto). Figura Modello cinematico a due assi (modello bicicletta). Con riferimento allo schema sopra riportato, le velocità V a e V p del centro di ciascuna ruota (anteriore e posteriore) siano contenute nel piano medio delle ruote stesse; la velocità del baricentro G sia V G, diretta perpendicolarmente al raggio di curvatura R, considerato costante con centro in O. Il baricentro dista la quantità a dall asse anteriore, e b da quello posteriore, e sia L = a + b il passo del veicolo. L angolo δ compreso tra l orientamento della ruota sterzante e la congiungente i due centri ruota è definito angolo di sterzo, mentre β è l angolo tra la direzione della velocità baricentrica V G e la congiungente i due centri ruota. Gli angoli α a e α p sono i cosiddetti angoli di deriva (o scorrimento o slip angle) dei pneumatici, e sono compresi tra l asse longitudinale del pneumatico e la sua direzione di moto.

29 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 24 Come verrà esposto più avanti, essi permettono il meccanismo di aderenza e la comparsa di una forza laterale in grado di tenere in strada la vettura in curva. Con semplici considerazioni geometriche si può scrivere b Rsen β = tgα p Rcos β (2.1-3) e se α p e β sono piccoli: β 0 α p 0 b R β α β p b R α p (2.1-4) Inoltre, essendo valida la a + Rsen β = tg Rcos β ( δ α ) a (2.1-5) nell ipotesi che anche α a sia piccolo, si può scrivere che se β 0 α a 0 a R a b β α p R + β δ α a R a b δ + β α p + α a R R + β δ α a L δ + α R (2.1-6) in cui α = α a α è la differenza, maggiore, uguale o minore di zero, tra le derive anteriore e p posteriore. Se si verifica la condizione α a = α p L α = 0 δ =. (2.1-7) R L angolo δ trovato viene detto in questo particolare caso angolo di sterzo teorico, o angolo di sterzo di Ackermann, e il moto del veicolo si definisce sterzata cinematica su una traiettoria curva, determinata dal puro rotolamento delle ruote.

30 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 25 Calcolato l angolo di sterzo in funzione del passo del veicolo L, del raggio di istantanea curvatura R, della differenza tra le due derive anteriore e posteriore, può essere definito il comportamento stradale della vettura in funzione dell angolo di sterzo δ. Per un data geometria della macchina e un dato raggio di curvatura R, si possono avere tre distinte condizioni: α = α a - α p ANGOLO δ VETTURA = 0 = L/R (teorico) NEUTRA > 0 > L/R SOTTOSTERZANTE < 0 < L/R SOVRASTERZANTE Il comportamento della vettura in curva è stato così definito e classificato in funzione dei parametri geometrici e teorici che descrivono la geometria e la direzione delle forze agenti nel moto curvilineo del veicolo. Nella realtà si possono avere delle discrepanze più o meno marcate dal modello comportamentale teorico, ed il carattere della vettura può essere in gran parte oggetto del giudizio e delle sensazioni personali del pilota. Per questo non esiste un univocità di giudizio nel classificare una vettura sottosterzante o sovrasterzante. Tuttavia esistono criteri, nel bilanciare la vettura, generalmente adottati dalla maggior parte dei piloti, la cui tendenza è evitare un comportamento su strada estremo, che si tradurrebbe in una perdita nelle prestazioni. I problemi legati al bilanciamento della macchina sono: ECCESSIVO SOTTOSTERZO: La macchina fatica ad inserirsi in curva, il pilota è costretto ad aumentare l angolo di sterzo più del dovuto. Si perde la traiettoria ideale, le gomme si sporcano e cala il grip disponibile, aumenta la tyre drag (resistenza all avanzamento del pneumatico) a causa dell aumento dello scorrimento (angolo α), in uscita dalla curva il pilota non può spalancare repentinamente il gas per non andare in testa-coda. ECCESSIVO SOVRASTERZO: La macchina, nell inserimento in curva, ha una spiccata tendenza ad accentuare la sterzata più di quanto il pilota abbia impostato, perdendo il posteriore, soprattutto alla fine di una brusca staccata, e costringendo ad una repentina correzione.

31 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 26 Il sovrasterzo in uscita è un fenomeno presente invece anche per una macchina ben bilanciata nel centro curva: aprendo bruscamente l acceleratore in uscita di curva, ai pneumatici in trazione, già al limite del grip laterale, viene richiesta una brusca tenuta longitudinale data dalla coppia motrice applicatagli: il punto di lavoro delle gomme esce dall ellisse d attrito (mostrato in Figura 2.1.3) e la macchina perde di aderenza. Figura Semi-ellisse d attrito per un pneumatico da competizione nella sterzata verso destra. In ascissa è riportata la forza laterale F Y sviluppata, in ordinate quella longitudinale, positiva (trazione) o negativa (frenata). In genere la macchina preferita è NEUTRA con leggero sottosterzo, pur rimanendo il bilanciamento oggetto del giudizio e delle preferenze di ogni singolo pilota. Vengono ora analizzati i fattori che definiscono e modificano il bilanciamento della vettura su strada. Essi vengono riassunti in un diagramma a blocchi.

32 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 27 Figura Diagramma a blocchi dei fattori che influenzano il bilanciamento della vettura. Il bilanciamento della vettura da competizione, che ne definisce il comportamento su strada, è influenzato fondamentalmente da quattro fattori; in ordine decrescente si può elencare: 1. PILOTA. La situazione in cui si trova la macchina a centro curva dipende da ciò che è successo dal punto di massima velocità nel rettilineo precedente in poi, e cioè dalla guida e dalla traiettoria impostata dal pilota, che agisce su sterzo, acceleratore, freni. Una stessa traiettoria può essere infatti percorsa con differenti posizioni di questi comandi. 2. DISTRIBUZIONE DEI PESI. Il rapporto W W a p = (Peso sull anteriore)/(peso sul posteriore)

33 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 28 risulta decisivo in quanto influenza il comportamento dei pneumatici. Infatti gli angoli di deriva α a e α p dipendono dalle distanze a e b degli assali anteriore e posteriore dal baricentro. Se ad esempio si avverte un eccessivo sottosterzo, per diminuire la quantità α si può diminuire la deriva anteriore e/o aumentare quella posteriore. E ciò è possibile diminuendo la distanza a dell asse anteriore dal baricentro e/o aumentando quella b dell asse posteriore, e cambiando quindi la distribuzione dei pesi e il rapporto W a. Di seguito viene riportato l andamento teorico W p approssimato degli angoli di deriva dei pneumatici anteriore e posteriore, riferito al modello bicicletta di Figura 2.1.2, per un angolo δ di sterzo fissato, R costante par a 12 metri, L = a + b = metri e β fissato (si trascuri C α ), in funzione del rapporto b/l. 6 5 Angolo di deriva a [deg] alfa a alfa p d costante, b costante R = 12 m. 0 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 b/l Figura Andamento di α a e α p in funzione del rapporto b/l. Per un angolo di sterzo δ fissato ed un dato raggio di curvatura, all aumentare del rapporto b/l si ha l aumento della deriva posteriore e la diminuzione di quella anteriore. Viene quindi incrementata la tenuta sul pneumatico anteriore, in grado di offrire una maggiore forza laterale, e diminuita quella sul posteriore, andando a correggere l eccessivo sottosterzo. Per una migliore comprensione di

34 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 29 questo concetto si rimanda al punto successivo, in cui si presentano nel dettaglio le caratteristiche di tenuta del pneumatico da competizione. 3. CARICO VERTICALE SULL ASSALE. La forza laterale che un pneumatico da competizione caricato con una forza verticale F Z è in grado di sviluppare, è funzione del suo angolo α di deriva, come mostrato in Figura Figura diagramma di F Y in funzione dell angolo di deriva a carico fissato. Per piccoli angoli di deriva si ha un comportamento lineare, e si può definire la cornering stiffness: C α dfl = dα che rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva di F Y nell origine. Per angoli di scorrimento maggiori si ha una zona di transizione in cui si perde la linearità, che conduce fino al punto di massima aderenza. Per un ulteriore aumento di α si giunge alla condizione per cui tutta la

35 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 30 zona di contatto del battistrada striscia sul suolo, le prestazioni subiscono un calo repentino e si giunge velocemente alla mancanza di aderenza. Il valore della rigidezza C α è determinato della costruzione del pneumatico (in particolare dal rapporto spalla/larghezza battistrada, molto basso per l uso su pista), dalla pressione di gonfiaggio e dal carico verticale F Z. In Figura (a) riportata sotto è evidenziato quest ultimo aspetto, la dipendenza della cornering stiffness dal carico verticale applicato alla gomma. Figure (a) Forza laterale in funzione dell angolo di deriva per diversi carichi. (b) Forza laterale normalizzata rispetto al carico in funzione di α per diversi carichi. Si vede facilmente come C α aumenti all aumentare del carico verticale applicato, e come il picco nella curva di F Y in funzione di α trasli verso angoli di deriva maggiori. In Figura (b) viene invece riportato l andamento del coefficiente d attrito laterale che lega forza laterale e carico verticale: Lateral force FY µ = = = Lateral Force Coefficient Load on tyre F Z

36 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 31 in funzione dell angolo di deriva per tre differenti carichi verticali. Si assiste questa volta ad un abbassamento del coefficiente d attrito all aumentare del carico, e tale effetto, molto importante nelle competizioni, rappresenta la cosiddetta tyre load sensitivity. Ora, tornando all effetto del carico verticale sull assale sul bilanciamento della vettura, si può comprendere come, ragionando a F Y necessaria fissata, la variazione del carico influisca sul valore degli angoli di scorrimento. In particolare, a parità di forza laterale sviluppata, una maggiore C α, data da un maggiore carico sull assale, permette al pneumatico un minore slip angle, mentre si ha l esatto opposto nel caso vi sia una diminuzione di carico verticale. In questo modo viene modificato il bilanciamento della vettura, che è in stretta dipendenza con gli angoli di deriva dei pneumatici anteriori e posteriori. 4. RIPARTIZIONE DEL MOMENTO DI ROLLIO. Figura Semplice modello della vettura per il calcolo della ripartizione del momento di rollio.

37 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 32 La ripartizione del momento di rollio agente sulla vettura nel percorrere una traiettoria curvilinea è l ultimo fattore che influenza e definisce il bilanciamento su pista. Si consideri a tale proposito il semplice modello di veicolo riportato in Figura 2.1.8, in cui viene schematizzata la geometria della vettura sottoposta ad un momento totale di rollio M T lungo l asse longitudinale. Il momento di rollio si genera nella percorrenza della curva poiché il baricentro della macchina è posto ad una certa altezza d da terra, ed esso vale: M T = m C a Y d in cui m C è la massa della vettura e a Y l accelerazione laterale baricentrica. Si consideri ora lo schema semplificativo sotto riportato in Figura Figura Schema semplificato della ripartizione dei momenti di rollio. Il momento totale di rollio M T si ripartisce sugli assi anteriore e posteriore nei contributi M F e M R, per cui si può scrivere: M = M + M (2.1-8). T F R Gli angoli di rollio ϕ di ciascun assale possono inoltre essere espressi in funzione dei rispettivi momenti dalle relazioni:

38 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 33 ϕ F = M F k F = M ϕ R R. k R Figura Ripartizione del momenti totale di rollio. Definite le rigidezze di rollio k F k R k T asse anteriore asse posteriore rigidezza del telaio dall asse anteriore all asse posteriore, la relazione che lega le rotazioni sugli assi è b L 1 M R 1 M F ϕ F = ϕ R + dx dx (2.1-9). L k L k 0 T Assumendo ora che M F/R e k T siano delle costanti nel dominio di integrazione, la (2.1-9) diviene M b M L b = + = ϕ b R F R F ϕ F ϕ R R (2.1-10) kt L kt L ktr ktf T M + M dove k L L b L b TF = k T k TR = kt sono le rigidezze torsionali della vettura all avantreno e sul posteriore. Ricordando che vale ϕ = M/k, la relazione che intercorre tra gli angoli di rollio anteriore e posteriore e la rigidezza torsionale globale, (2.1-10), fornisce:

39 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 34 M F 1 k F 1 + k TF = M R 1 k R 1 + k TR ovvero M M = (2.1-11) k k F * F R * R in cui 1 k 1 = + * F k F 1 k TF k 1 1 = + * R k R 1 k TR rappresentano delle rigidezze equivalenti. Sostituendo la (2.1-11) nell equazione (2.1-8) dell equilibrio dei momenti si trova in definitiva: k k =. * * F R M F = M * * T M R M * * T k F + k R k F + k R Volendo ora considerare anche il contributo dei pneumatici alla rigidezza torsionale, le espressioni di * k F e * k R divengono: 1 1 = k 1 + k + k 1 * k F F TF F, TIRE = + +, k k k * k R R TR R, TIRE espressioni in cui compaiono le rigidezze torsionali statiche dei pneumatici anteriori e posteriori, k F, TIRE e k R, TIRE. È molto importante evidenziare il fatto che tra tutte le rigidezze presenti nelle espressioni sopra riportate, quella del pneumatico è nettamente la minore. Ciò significa che, nella serie delle rigidezze, la più cedevole è quella della gomma, ed è quindi quella che maggiormente influenza il valore della rigidezza torsionale equivalente. Anche piccole variazioni nella rigidezza verticale statica del pneumatico, causate da sbalzi di temperatura o variazioni nella pressione di gonfiaggio o nell angolo di camber, vengono in definitiva avvertite dalla rigidezza globale, e, più globalmente, dal bilanciamento della vettura. La ripartizione del momento totale di rollio tra anteriore e posteriore può infatti influire il bilanciamento globale; per comprenderlo si definisca, con riferimento questa volta al modello cinematico di veicolo a quattro ruote, un angolo di deriva dell assale, dato in prima

40 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 35 approssimazione dalla media delle derive della ruota interna alla curva (α int ) e di quella esterna (α ext ), le quali sono necessariamente diverse in quanto esse vengono sollecitate da carichi diversi: α ASSALE αint + α ext = (2.1-12). 2 Figura Influenza del momento di rollio sulla deriva dell assale. Facendo riferimento alla Figura sopra riportata, si supponga che l assale (anteriore o posteriore), sia sollecitato da un certo momento di rollio M R1. Sia F * Y la forza laterale richiesta ai pneumatici per tenere in strada il veicolo; la ruota interna alla curva, meno caricata, risponde con la caratteristica di figura e il pneumatico ha deriva α int, quella esterna, con maggior carico, ha deriva α ext. La caratteristica dell assale, data in qualche modo dalla somma delle caratteristiche delle due ruote che lo costituiscono, interseca quindi la F * Y nel punto di lavoro, che individua una certa deriva α ASSALE. Si supponga ora che avvenga una diversa ripartizione del momento di rollio totale tra i due assali, in modo che sull assale in esame si ritrovi un momento di rollio M R2 < M R1.

41 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 36 È dimostrabile che l angolo di deriva dell assale diminuisce, ovvero che la curva caratteristica (F Y, α) aumenta la sua pendenza (curva in rosso di Figura )). Traslando il punto di lavoro, cambia quindi la quantità nella (2.1-12), la differenza tra le derive dei due assali, e in definitiva il bilanciamento della vettura. Se ad esempio il pilota avverte eccessivo sottosterzo, se la temperatura delle gomme è quella di esercizio, sarà necessario ripartire il momento di rollio in modo da alleggerire l avantreno abbassando M F ; ed è possibile ottenere tale effetto montando barre antirollio più morbide sull anteriore, abbassando la pressione delle gomme anteriori in modo da abbassarne la rigidezza, o effettuando le regolazioni opposte al retrotreno. Si è dimostrato quindi con una serie di passaggi come la rigidezza verticale statica del pneumatico influenzi il comportamento su pista della vettura attraverso il suo bilanciamento. La rigidezza del pneumatico è un parametro che riveste grande importanza anche nella fase di progetto della vettura. Viene ora riportato un esempio pratico del calcolo della ripartizione tra anteriore e posteriore del momento totale di rollio. In particolare si mette in evidenza il parametro rigidezza verticale dei pneumatici e la sua notevole influenza sulla rigidezza torsionale dell assale. I dati indicati sono molto vicini a quelli relativi ad una vettura Dallara FORMULA 3: Esempio Rigidezza torsionale asse anteriore (da misura sperimentale) k F = rigidezza barra antirollio + rigidezza molle ammortizzatori + rigidezza bracci sospensioni + cedimenti attacchi = [N/deg] Rigidezza torsionale asse posteriore (da misura sperimentale) k R = 7060 [N/deg] Rigidezza torsionale telaio F3 (da misura sperimentale) k T = [N/deg]

42 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 37 Ripartizione pesi b/l = 0.42 (42 % sull anteriore, 58% sul posteriore) Ripartizione rigidezza torsionale telaio k TF = 31300/(1-0.42) = [N/deg] k TR = 31300/0.42 = [N/deg] Per il calcolo della rigidezza torsionale dei pneumatici anteriori e posteriori si può procedere considerando lo schema dell assale sollecitato dal momento di rollio M riportato sotto: Figura Schema di assale per il calcolo del contributo alla rigidezza torsionale dei pneumatici. Sia z lo spostamento dei due mozzi delle ruote (si considera infinita la rigidezza dell assale), e ψ la rotazione di rollio dell assale; schematizzando il pneumatico come una molla, la forza che è in grado di opporre vale F TYRE = k, V TYRE z in cui k V,TYRE è la rigidezza verticale statica del pneumatico, ed il corrispondente momento di rollio di reazione vale M = F DX t + F 2 SX t = F t. 2 Per piccoli angoli ψ si può scrivere ψ 2 z t in cui t è la carreggiata dell assale. La rigidezza torsionale equivalente cercata vale quindi

43 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 38 k T, TYRE M k z t 2 z t 1 2 V, TYRE 2 = = = kv, TYRE t (2.1-13). ψ Tornando al calcolo della ripartizione del momento di rollio dell esempio, assumendo t = 1500 [mm] k V,TYRE ant = 17 [kg/mm] = [N/m] k V,TYRE post = 18 [kg/mm] = [N/m] si ottengono le rigidezze torsionali dei pneumatici: k T,TYRE ant = 3273 [N/deg] k T,TYRE post = 3465 [N/deg]. Le rigidezze torsionali equivalenti valgono quindi k * F k * R = = = 2484 [N/deg] = 2254 [N/deg] e la ripartizione del momento di rollio cercata vale M M F T = k * F * k F + k * R 2484 = = 52.4 % M R M F = 1 = 47.6 %. M M T Tale ripartizione del momento tra anteriore (52.4 %) e posteriore (47.6 %) implica determinati angoli di deriva e quindi un determinato bilanciamento della vettura in curva. Supponiamo ora che il pilota lamenti un eccessivo sovrasterzo; ciò significa che va ridotta la deriva dell assale posteriore e/o aumentata quella dell anteriore. L ingegnere di pista decide allora di intervenire sui pneumatici anteriori innalzando la loro pressione di gonfiaggio in modo da portare il valore di rigidezza verticale statica da 17 a 17.6 [kg/mm]. Il contributo alla rigidezza torsionale dell assale anteriore da parte dei pneumatici passa allora da 3273 a 3390 [N/deg], e la nuova rigidezza torsionale varrà: T

44 Capitolo 2.1. Importanza della rigidezza verticale statica del pneumatico 39 k * F = = 2552 [N/deg]. La ripartizione del momento di rollio assumerà i nuovi valori M M F T = k * F * k F + k * R 2552 = = 53.1 % M R M F = 1 = 46.9 %. M M T Una lieve variazione della rigidezza dei pneumatici anteriori ha decisamente modificato la ripartizione tra i due assali, alleggerendo il posteriore e caricando l anteriore. L assale posteriore risponderà con un valore di α ASSALE minore, andando ad incrementare il valore di α. La regolazione effettuata si è dimostrata efficace. Di seguito viene riportato l andamento della ripartizione del momento di rollio inerente all esempio considerato, in cui si agisce sulla pressione di gonfiaggio dei pneumatici anteriori per modificare il bilanciamento del veicolo. Si può vedere come irrigidendo i pneumatici in seguito a gonfiaggio a pressione maggiore, si ripartisca significativamente il momento di rollio sull assale anteriore. T 60 Ripartizione Momento di Rollio 55 % Momento sull'assale Mf/Mt Mr/Mt 30 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 Pressione pneumatico anteriore [bar] Figura Andamento della ripartizione del momenti di rollio per l esempio considerato.

45 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico Introduzione: il problema acustico-vibrazionale Il comfort acustico e vibrazionale rappresenta in genere uno degli aspetti principali della qualità di un veicolo, in quanto riguarda la capacità di isolare i passeggeri dalle vibrazioni e dal rumore che si generano durante la marcia su strada. Migliorare il comfort vibrazionale significa quindi ridurre le vibrazioni e il rumore trasmessi ai passeggeri e da essi percepiti. Lo studio del comfort acustico e vibrazionale si occupa di analizzare le forzanti che causano le vibrazioni, la dinamica vibrazionale del veicolo, la sua risposta a tali sollecitazioni, e la risposta dell uomo alle vibrazioni, secondo quanto riportato dal diagramma sotto. Figura Diagramma dello studio alle vibrazioni del veicolo. I disturbi acustico-vibrazionali del veicolo vengono solitamente suddivisi in quattro categorie. Ride: vibrazioni di bassa frequenza (fino a 5 Hz) del corpo vettura come corpo rigido Shake (scuotimento): vibrazioni di media frequenza (5 25 Hz) del corpo vettura come corpo flessibile Harshness (ruvidezza): vibrazioni di più alta frequenza ( Hz) della struttura e/o dei componenti, percepite come sensazioni tattili e/o acustiche

46 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 41 Noise (rumore): tutti i fenomeni vibro-acustici del veicolo al di sopra dei 100 Hz, percepiti quasi esclusivamente dall udito. Figura Disturbi acustico-vibrazionali della vettura. Nell ambito delle competizioni l aspetto comfort vibrazionale o acustico viene perlopiù trascurato; l attenzione è focalizzata sulla risposta dinamica del veicolo non tanto per valutare quali sollecitazioni il pilota deve subire, quanto per analizzare la tenuta di strada della vettura e le forze che si scambia con il terreno attraverso i pneumatici. Questo principalmente è il ruolo del pneumatico, il quale funzionalmente deve garantire una bassa trasmissibilità al telaio delle sollecitazioni esterne per evitare oscillazioni eccessive, e mantenere costante l assetto. Ciò ha una duplice importanza: da una parte tende a non variare la configurazione aerodinamica studiata in galleria del vento, dall altra ha il compito di mantenere il più costante possibile il valore della forza di contatto a terra, di grande rilevanza nella conduzione del veicolo Le forzanti Le forzanti che agiscono sulla vettura rappresentano la causa di vibrazioni e rumori; tutte le tipologie di forzanti, riassunte nello schema di Figura 2.2.1, vedono il coinvolgimento diretto o indiretto del pneumatico in quanto unico elemento interposto tra il veicolo e la strada. FORZANTI DOVUTE ALLA STRADA Sono le forze scambiate con il terreno attraverso i pneumatici, dovute alle irregolarità della superficie stradale, le quali in genere sono di tipo random. È possibile tuttavia operare una classificazione delle irregolarità stradali:

47 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 42 Lunghe ondulazioni: variazioni altimetriche del profilo stradale aventi lunghezza d onda non inferiore al passo del veicolo. Il profilo varia in modo progressivo e in genere simmetrico (uguale profilo tra lato destro e lato sinistro). Asperità: variazioni altimetriche isolate del profilo stradale aventi dimensioni longitudinali confrontabili con il raggio delle ruote. Il profilo varia in modo brusco e spesso non simmetrico. Sono dovute a giunzioni, riporti o danneggiamenti del manto stradale. L asperità tipica della vettura da competizione in pista è il cordolo, il cui profilo dipende dalla traiettoria impostata dal pilota. Si raggiungono altezze dell ordine di 60 mm, e vengono generate bruscamente forze verticali, longitudinali e trasversali. Sconnesso: variazioni continue del profilo stradale aventi dimensioni inferiori alla lunghezza dell orma di contatto pneumatico-terreno. Il profilo varia in modo brusco e casuale, anche se si possono presentare delle regolarità. Sono dovute a danneggiamenti superficiali del manto di asfalto o alla presenza di superfici non asfaltate. Gli spettri dei vari profili stradali variano, ma presentano in media un andamento simile. Per questo motivo sono stati introdotti modelli matematici che descrivono l andamento medio dello spettro stradale utilizzando un numero ristretto di parametri. Ad esempio la PSD (contenuto energetico) del profilo stradale può essere descritto con buona approssimazione (vedi Figura a lato) dalla funzione G n ( ) = C υ υ 0 con ν = wavenumber [cicli/m] oppure G ( υ) = G 0 υ + υ 1 0 ( 2πυ ) n con n e C 0 costanti opportune. n

48 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 43 FORZANTI DOVUTE AL ROTOLAMENTO Sono forze e momenti generati dalla presenza di non uniformità del gruppo ruota (pneumatico + cerchio-ruota + mozzo + freno) variabili periodicamente nel tempo (armoniche multiplo del giro ruota). Le non uniformità sono dovute principalmente a squilibri di massa, irregolarità geometriche anche lievi e irregolarità nella distribuzione di rigidezza. Figura Modi di vibrare del pneumatico causa la presenza di irregolarità. Un irregolarità geometrica causa di un imperfetta cilindricità del pneumatico e del cerchione, può provocare ad esempio la vibrazione nel piano longitudinale del pneumatico, come mostrato in Figura Figura Variazione della forza radiale nel pneumatico causa la presenza di irregolarità.

49 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 44 L effetto di tale eccentricità è sostanzialmente l insorgere di forze verticali (Figura 2.2.5) la cui ampiezza dipende dalla rigidezza dinamica del pneumatico, longitudinali e trasversali. Per tutte la frequenza è quella corrispondente alla rotazione della ruota più le varie armoniche. Il pneumatico in sé è inoltre un elemento strutturale dotato di dinamiche proprie evidenti già a media frequenza (a partire da Hz in direzione laterale e longitudinale). In Figura viene riportata, a titolo di esempio, un possibile andamento in frequenza della rigidezza verticale del pneumatico, con un picco marcato alla frequenza di risonanza della struttura in senso verticale e le tipiche oscillazioni di minore entità dovute alle varie armoniche. Figura Esempio di rigidezza verticale dinamica del pneumatico. FORZANTI DOVUTE AL PROPULSORE Le forzanti dovute al propulsore sono rappresentate da coppie e forze generate per effetto della combustione nei cilindri e del moto alternativo del manovellismo. La frequenza delle varie armoniche della velocità di rotazione del motore si ottiene tramite la semplice relazione RPM f n = n 60 in cui n è l armonica di interesse e RPM i giri dell albero motore al minuto.

50 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 45 Il campo di frequenza delle armoniche del II ordine, le più importanti nei motori 4 cilindri 4 tempi, è compreso tra Hz con motore al minimo e Hz al regime di massima rotazione. FORZANTI DOVUTE ALL AERODINAMICA È noto che il distacco di vortici dalle superfici lambite dall aria può provocare forti vibrazioni nelle strutture, soprattutto nelle appendici aerodinamiche. Inoltre le oscillazioni delle superfici dovute ad altri tipi di input possono combinarsi con il vento incidente dando origine ad oscillazioni autoeccitate (flutter). Su vetture da competizione sono stati messi in evidenza fenomeni vibratori caratterizzati da oscillazioni scarsamente smorzate probabilmente legate all interazione dei moti di cassa con il vento incidente, come mostrato nella figura di seguito. Figura Oscillazioni del carico aerodinamico posteriore per una vettura da competizione Risposta dinamica del veicolo Le varie forze dinamiche a cui è soggetta la vettura durante la marcia su strada produrrebbero accelerazioni e sollecitazioni insopportabili per i passeggeri e la struttura se agissero direttamente sulla cassa del veicolo senza alcun tipo di attenuazione. A questo scopo sono previste le sospensioni, cioè dei sistemi elastici e smorzanti che isolano il telaio dalle principali fonti di eccitazione.

51 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 46 Le sospensioni, tramite i bracci che collegano le ruote alla cassa, devono sopportare i carichi sviluppati nel contatto ruota-terreno assicurare precisi movimenti relativi ruota-telaio per sfruttare in modo ottimale l aderenza ruota-terreno e per evitare un usura prematura dei pneumatici. Per l isolamento delle vibrazioni le vetture da competizione sono dotate di elementi elastici (molle, barre di torsione, pneumatici) che fungono da isolanti veri e propri, e di elementi smorzanti (ammortizzatori) che hanno lo scopo di limitare le escursioni dinamiche che si creano per la presenza delle elasticità. Mentre il comportamento delle molle e delle barre antirollio è perfettamente lineare nella curva forza-deformazione, gli ammortizzatori, di cui viene riportato uno schema costruttivo in Figura 2.2.8, sono caratterizzati da una specifica curva di risposta forza-velocità di applicazione del carico. In figura viene riportata la costruzione degli ammortizzatori mono e doppio-tubo, che differiscono per il numero di camere e di valvole a disposizione dell olio; nel doppiotubo si ha una camera per i grandi movimenti (interna) ed una per i piccoli movimenti (esterna), e si riesce ad ottenere una maggiore precisione nella risposta. Ogni tipo di ammortizzatore viene scelto in base alla sua caratteristica; in Figura si riporta una curva forza-velocità BR per un Figura Ammortizzatore mono e bi-tubo. ammortizzatore KONI del tipo B1R1 impiegato nella vettura Dallara da FORMULA 3. Tale curva è stata ottenuta sperimentalmente su apposito banco di prova per ammortizzatori. Nella caratterizzazione degli ammortizzatori vengono solitamente riportate due curve sullo stesso

52 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 47 diagramma, una relativa alla risposta di schiacciamento (bound), l altra a quella di stiramento (rebound); i segni della forza che l ammortizzatore oppone sono necessariamente opposti BOUND F = -0,0009v 2 + 2,8973v Forza [N] Velocità [mm/s] REBOUND F = 0,0013v 2-3,0656v Figura Caratteristica di un ammortizzatore KONI per FORMULA 3. Volendo esprimere con c il coefficiente di smorzamento dell ammortizzatore, sarà FB,R c = [Ns/m] v in cui F B,R è la forza di bound o rebound e v la sua velocità di applicazione. Poiché i dati ottenuti dalle prove sperimentali sono interpolabili molto bene con una curva di secondo grado nella forma 2 FB, R = c1b, Rv + c2b, Rv + K il coefficiente di smorzamento c si può considerare come somma di due termini di smorzamento, c 1B,R proporzionale al quadrato della velocità, c 2B,R lineare con la velocità. La sospensione filtra le vibrazioni assorbendo arte dell energia immessa dalla sorgente sotto forma di energia elastica, energia cinetica delle masse non sospese (ruote + parte delle sospensioni stesse) ed energia termica.

53 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 48 Tale effetto si verifica su vibrazioni di a frequenza superiore alla prima frequenza propria di corpo rigido della massa sospesa (corpo della vettura). In termini molto semplificati e qualitativi si può affermare che la risposta del veicolo (output) prodotta da una data eccitazione (input) sia espressa dalla relazione: Eccitazione x Trasmissibilità della sospensione = Risposta. Figura Spettro di profilo stradale (input), trasmissibilità del veicolo, risposta (output). Nel caso illustrato, relativo ad una eccitazione di tipo random, lo spettro della risposta è qualitativamente simile alla trasmissibilità del veicolo. Per comprendere meglio l azione di isolamento dalle vibrazioni è possibile fare riferimento a modelli interpretativi molto semplificati della dinamica verticale del veicolo. L espressione della trasmissibilità per il sistema ad un grado di libertà di Figura vale Y X 0 0 = ω 1+ 2ζ ω n 2 ω 1 ω n 2 2 ω + 2ζ ω n 2 (2.2-1) in cui x = movimento della base

54 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 49 y = movimento della massa sospesa m = massa sospesa K = rigidezza della molla c = smorzamento della sospensione ω = 2πf = pulsazione del sistema K ω n = = pulsazione naturale o di risonanza m c ζ = = coefficiente di smorzamento. Figura Modello di sospensione a 1 g.l. 2 Km Un grafico della trasmissibilità in funzione della frequenza al variare del parametro adimensionale ζ viene riportato di seguito; è importante sottolineare il fatto che valori più alti del coefficiente di smorzamento riducono l ampiezza del picco alla frequenza di risonanza, ma garantiscono meno attenuazione alle alte frequenze. Figura Trasmissibilità per il modello a 1 g.l. a diversi ζ. Progettare l isolamento dalle vibrazioni significa quindi posizionare correttamente le frequenze proprie, specialmente la prima, ed assicurare uno smorzamento sufficiente ad impedire livelli

55 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 50 eccessivi di vibrazione in condizione di risonanza (condizione in cui l eccitazione ha frequenza uguale a quella propria della massa sospesa). Considerazioni analoghe si possono fare per la funzione di trasferimento carico a terra/input di spostamento. Si nota in questo caso che lo smorzamento controlla l ampiezza di forza in condizioni di risonanza ma aumenta notevolmente i livelli di forza in alta frequenza. L evoluzione del modello a 1 grado di libertà di Figura per lo studio della dinamica verticale del veicolo, è rappresentata dal modello De Carbon a due gradi di libertà detto modello del quarto di macchina. Il modello schematizza una massa sospesa M connessa tramite la sospensione di rigidezza K S e smorzamento c S alla massa non sospesa m dell asse. In prima approssimazione il pneumatico viene rappresentato solo dalla sua rigidezza dinamica K t. Figura Modello De Carbon. La rigidezza equivalente delle due rigidezze in serie è il cosiddetto parametro ride rate, determinato dalla relazione R R K K K + K S t =. S t In assenza di smorzamento c S la frequenza naturale di risonanza di ciascun quarto di macchina è facilmente determinabile dall espressione ω n = R R M mentre considerando lo smorzamento della sospensione la frequenza naturale smorzata (damped) è, in analogia al modello ad 1 grado di libertà, ω 2 d = ω n 1 ζ.

56 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 51 Le grandezze che generalmente interessano sono lo spostamento della massa sospesa rispetto all input stradale, e la forza scambiata con la sospensione e tra il terreno e il pneumatico. Alcune curve qualitative di risposta in frequenza del modello a due gradi di libertà vengono proposte in Figura Figura Trasmissibilità alla massa sospesa per il modello a 2 g.l. per diversi ζ. È evidente come lo smorzamento della sospensione vada ad attenuare notevolmente il picco di risonanza della massa sospesa, mentre rimane quasi invariata l ampiezza della risonanza delle ruote, e il guadagno del sistema addirittura aumenta nelle frequenze comprese tra le due risonanze. Scrivendo e manipolando le equazioni differenziali del moto per tale sistema, si possono esaminare le vibrazioni prodotte sulla massa sospesa a causa delle forzanti della strada, del rotolamento o di forze esterne, come quelle di natura aerodinamica. La risposta del sistema ad ogni tipo di forzante sarà funzione della frequenza (vedi Figura pagina seguente). Per le forzanti date dal profilo stradale il guadagno è il rapporto tra i parametri del moto della massa sospesa (accelerazione, velocità o spostamento) e l equivalente (Z r ) del manto stradale; in figura è rappresentato l andamento del rapporto dell eccitazione. Z Z r tra le accelerazioni al variare della frequenza

57 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 52 Figura Risposta del modello a forzanti stradali, di rotolamento ed esterne. Alle bassissime frequenze il guadagno è unitario, cioè la massa sospesa si muove seguendo il profilo stradale. Alla frequenza di 1 Hz si ha la risonanza, dove l input stradale viene amplificato, di un fattore che risente molto del coefficiente di smorzamento della sospensione. Dopo la risonanza le sconnessioni e le vibrazioni stradali vengono sempre più attenuate, e un lievissimo picco si riconosce a Hz a causa della risonanza della massa non sospesa. La risposta del sistema a forzanti derivate dal rotolamento del pneumatico vede come input la forza d eccitazione della ruota F W, come output l accelerazione della massa sospesa moltiplicata per la massa stessa per avere il rapporto adimensionale Z F W M. Tale rapporto vale zero per la frequenza nulla, cresce e mostra un picco alla frequenza di risonanza e raggiunge il massimo alla frequenza di risonanza della ruota, attorno ai 10 Hz. A questa frequenza il guadagno è unitario: la forza prodotta dalla non uniformità della ruota viene interamente trasmessa alla cassa del veicolo. La risposta della massa sospesa a forzanti esterne F B può essere espressa ancora con il rapporto adimensionale Z F B M ; la risposta in questo caso è simile, ma mostra una maggiore influenza della risonanza della massa sospesa. Alle alte frequenze il guadagno approssima l unità in quanto gli spostamenti diventano così piccoli che la forza trasmessa dalla sospensione non cambia e la forza

58 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 53 viene dissipata come accelerazione della massa M. Di conseguenza, almeno virtualmente, tutte le forze esterne agenti sul corpo del veicolo contribuiscono allo smorzamento delle vibrazioni Ruolo della massa non sospesa e del pneumatico nella vettura da competizione Dopo il corpo del veicolo, la massa degli assali, di parte delle sospensioni e delle ruote costituisce la seconda grande massa in grado di generare risonanza come corpo rigido. Ogni ruota possiede una frequenza di risonanza che può venire eccitata dalle forzanti del suolo stradale o dalle vibrazioni presenti sul veicolo, e in corrispondenza di tale frequenza le accelerazioni e le forze trasmesse al veicolo vengono amplificate, o, più precisamente, non vengono filtrate. La frequenza di risonanza della massa non sospesa è maggiore di quella del corpo del veicolo, ed una sua valutazione di massima può essere effettuata mediante la relazione: Kt + K S ω a =. m Il modello De Carbon di quarto di macchina può essere impiegato per indagare qualitativamente l influenza della massa non sospesa sulla trasmissibilità al corpo del veicolo delle asperità stradali; in Figura vengono diagrammati diversi andamenti del rapporto Z/Z r al variare del valore della massa non sospesa: quello nominale (Typical, circa il 10 % del totale), due volte il nominale (Heavy) e metà del valore indicativo (Light). Figura Effetto della massa non sospesa sull isolamento delle vibrazioni.

59 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 54 L incidenza della massa non sospesa sulla risonanza principale del corpo della vettura è pressoché nulla, mentre essa sposta la seconda risonanza verso frequenze minori o maggiori a seconda del maggiore o minore peso rispettivamente. In particolare un aumento della massa non sospesa amplifica la risposta del sistema, andando a peggiorare le qualità di conduzione del veicolo, mentre una massa minore oltre ad abbassare la trasmissibilità alle medie frequenze, genera la risonanza ad una frequenza più alta e quindi maggiormente controllabile e filtrabile. Nella dinamica verticale del veicolo da competizione riveste grande importanza la scelta del gruppo ammortizzatore della sospensione. L elevata rigidezza delle molle e dei pneumatici, unita al valore molto contenuto della massa sospesa e non sospesa, fanno si che tutte le frequenze di risonanza analizzate traslino vero valori più elevati. Anche le frequenze di eccitazione sono maggiori, a causa delle maggiori velocità raggiunte. Le molle vengono dimensionate in base alla rigidezza di cui necessità l assetto della vettura; più delicata è la scelta dello smorzamento. Nelle auto per passeggeri lo smorzamento viene ottimizzato in vista del comfort, valutato in base all accelerazione subita dai passeggeri stessi. Un compromesso viene raggiunto per evitare un eccessiva trasmissibilità nella frequenza di risonanza e per le alte frequenze. Un coefficiente di smorzamento ζ pari a 0.25 rappresenta ad esempio un buon compromesso tra le due esigenze. Per una vettura da competizione il coefficiente di smorzamento deve essere considerevolmente più alto, per limitare movimenti eccessivi del veicolo ed avere un buon controllo su pista. Questo va bene per le basse frequenze, ma alle alte frequenze un elevato coefficiente ζ implica uno smorzamento più basso, attenuando in minore misura le oscillazioni della massa non sospesa e in contrasto con l esigenza di mantenere le ruote incollate a terra. Si è visto che la trasmissibilità della massa non sospesa viene definita dal rapporto Z Z u r ; se tale rapporto vale 1 il movimento ruota uguaglia il profilo altimetrico della strada, e la forza scambiata

60 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 55 tra pneumatico e suolo è semplicemente il carico statico. Se invece assume valori elevati, la massa non sospesa trasmette delle forze al corpo del veicolo, e la forza di contatto con il terreno si riduce. Quindi una misura della tenuta di strada della vettura si può rifare alla trasmissibilità della massa non sospesa; in riferimento al modello dinamico del quarto di macchina si definisce il parametro di oscillazione del carico (load fluctuation rate) come Kt R = ( M + m) σ g in cui in cui σ = valore quadratico medio di Z u Z r. In modo analogo si può definire il parametro P che individua l accelerazione media del corpo della vettura e, tenendo conto della sensibilità dell uomo, fornisce una misura della bontà della guida. In Figura vengono diagrammati gli andamenti di P e R adimensionalizzati in funzione del coefficiente di smorzamento ζ per una vettura da competizione. Figura Andamenti dei parametri P e R in funzione di ζ. Come previsto un buon coefficiente di smorzamento per la tenuta di strada si aggira attorno al valore di 0.45, mentre per avere una bassa trasmissibilità al pilota ζ deve assumere valori decisamente più bassi, attorno a È interessante notare inoltre che il range di optimum per la

61 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 56 tenuta è decisamente più esteso di quello di ottimizzazione della guida in termini di sollecitazioni trasmesse al pilota. Un ulteriore modo di definire la tenuta di strada per il veicolo da competizione è quello di considerare in percentuale il contatto battistrada-terreno e la fluttuazione di carico sul pneumatico. Lo schema di lato mostra il calcolo del parametro η di contatto, definito come la percentuale della distanza coperta mantenendo il contatto con il terreno (T-ΣT i ) sul totale. La fluttuazione di carico è invece inteso come il rapporto tra il valore efficace dell oscillazione Figura Definizione di η. del carico sul pneumatico e il carico stesso. Valori di η e di oscillazione del carico sono stati sviluppati nell ambito della simulazione della dinamica della vettura e delle sospensioni, e di un generico profilo stradale. Le Figure (a) e (b) mostrano due diagrammi relativi al calcolo di questi parametri per strada liscia e sconnessa. Figure Oscillazioni nella forza di contatto a terra e accelerazioni del corpo del veicolo per superficie stradale liscia (a) e sconnessa (b).

62 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico 57 Nel caso di strada liscia il contatto battistrada-terreno è del 100 %, e la fluttuazione di carico approssima lo zero (figura (a)); la scelta del coefficiente di smorzamento ideale è indirizzata quindi verso l ottimizzazione delle accelerazioni del telaio, per ottenere un buon compromesso tra accelerazione anteriore e posteriore. Nel caso più probabile in cui il suolo presenti delle sconnessioni, il coefficiente η si avvicina al 100 % solo per alti valori dello smorzamento, fino a 20 volte quello lo smorzamento ideale per il primo caso (si noti il cambiamento di scala nella figura (b)). Lo smorzamento ideale, di 1 kns/m nel caso in figura (vetture da competizione possono arrivare a smorzamenti di 80 kns/m) è questa volta un compromesso tra le due esigenze. Da tutto quanto esposto in merito alla dinamica verticale del veicolo e ai parametri che ne regolano il comportamento vibratorio, risulta evidente l importanza del pneumatico, inteso come unico elemento di contatto tra il corpo della vettura ed il terreno. L esplorazione della dinamica del pneumatico trova quindi la sua ragione nella possibilità di Figura meglio comprendere quale sia il meccanismo di trasmissione delle forze e delle accelerazioni tra il terreno e la macchina (Figura ), essendo la gomma dotata di una dinamica propria e di una struttura in grado di variare le proprie caratteristiche meccaniche in funzione delle condizioni in cui si trova ad operare.

63 Capitolo 2.2. Ruolo del comportamento dinamico verticale del pneumatico La sperimentazione al banco La sperimentazione al banco si colloca per alcuni versi in una posizione intermedia tra la sperimentazione su strada e la sperimentazione numerica. Viene infatti provata la vettura reale e non un suo modello matematico, e al contempo le condizioni di prova sono più controllate e ripetibili che durante la sperimentazione su strada. La sperimentazione al banco trova quindi la sua naturale collocazione quando non sia disponibile un modello di calcolo adatto per le prove che si intende effettuare, e nel caso in cui la sperimentazione su strada non consenta la misura di alcuni segnali ritenuti importanti. In particolare su strada non è possibile misurare i segnali di ingresso alle ruote e ciò non permette la valutazione delle funzioni di trasferimento. La possibilità di controllare le condizioni di eccitazione consente, oltre che di riprodurre le normali sollecitazioni stradali, anche di eccitare la struttura con i segnali più adatti per lo studio dinamico della vettura. Le prove al banco inoltre possono essere utilizzate per la verifica e la taratura dei modelli di calcolo o per il test di componenti isolati della vettura, come potrebbe essere il pneumatico. Nel capitolo a seguire viene presentato il banco di prova a sette assi verticali, detto Seven-Poster Rig, utilizzato dalla Dallara Automobili per le prove dinamiche sulle vetture da competizione. Lo stesso banco è stato poi utilizzato per l analisi e la caratterizzazione della dinamica dei pneumatici della vettura da FORMULA 3.

64 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 59 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 3.1 Introduzione Uno degli aspetti più delicati e decisivi nel mondo delle corse è rappresentato dal setup (o assetto) della macchina ad ogni corsa e per ogni diversa condizione del tracciato. Negli ultimi anni, accanto all indispensabile esperienza degli ingegneri di pista e dei meccanici e alle sensazioni di guida del pilota, si sono sviluppati strumenti di indagine e di affinamento basati sulla simulazione, in ambienti chiusi con banco di prova o via software mediante lo sviluppo di modelli matematici, del comportamento dinamico della vettura. Un prezioso strumento per testare i componenti attivi del veicolo (ammortizzatori, pneumatici, bilanciamento pesi) in vista di una ottimizzazione del comportamento globale su strada, è il banco di prova detto Four o Seven-Poster Rig. La dinamica verticale della vettura viene studiata riproducendo con il movimento di attuatori oleodinamici (quattro o sette) le eccitazioni del tracciato della pista fornite da rilevamenti telemetrici e i carichi aerodinamici agenti. Figura 3.1. Il banco di prova Seven-Poster Rig.

65 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 60 Attraverso un complesso sistema di sensori per l acquisizione dati e un insieme di software dedicati all elaborazione si ottengono una vasta serie di risultati da interpretare ed analizzare. Lo sviluppo di un modello matematico che caratterizzi il sistema e ne preveda il comportamento può essere un valido strumento, veloce ed economico, da affiancare al banco sperimentale. Poiché in molte categorie di corse le differenze tra una macchina vincente ed una di prestazioni medie sono attualmente assai ridotte in percentuale, un buon modello deve essere strutturato correttamente e contenere in sé i parametri del sistema in esame, come corpo macchina, sospensioni, gomme, caratterizzati con il minimo errore rispetto al reale. Da ciò può scaturire l esigenza e la possibilità di un utilizzo parallelo del Poster Rig per calibrare e validare i parametri in gioco mediante accurati test sperimentali. Il Seven-Poster Rig, con cui si sono condotte le prove dinamiche sui pneumatici, viene rappresentato in Figura 3.1; sono ben visibili i quattro attuatori principali su cui la vettura viene appoggiata per il test e gli altri tre pistoni oleodinamici disposti centralmente il cui azionamento, regolato da specifiche mappature, simula i carichi aerodinamici. 3.2 Descrizione dell apparato sperimentale Il banco di prova Seven-Poster Rig, realizzato dall inglese Servotest LTD per Dallara Automobili S.p.A., è costituito essenzialmente da quattro piccole piattaforme rivestite in teflon che fanno capo ai rispettivi pistoni (vedi Figura 3.2 pagina seguente) su cui il veicolo viene appoggiato. I pistoni sono fissati, mediante serraggio con bulloni, a quattro piastre in acciaio fissate a terra e munite di guide; in questo modo è possibile spostare ogni attuatore per la regolazione delle distanze di passo e carreggiata anteriore e posteriore adattando il banco a diversi tipi di vetture da corsa. Per simulare il profilo del tracciato stradale ogni pistone può essere mosso indipendentemente dagli altri nella sola direzione verticale, in controllo di spostamento o di accelerazione. Ciò avviene mediante la regolazione, da parte di un complesso sistema di controllo a retroazione, della pressione dell'olio che scorre all interno degli attuatori con l ausilio di servovalvole.

66 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 61

67 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 62 L olio che circola nel sistema è mandato in pressione da una pompa a pistoni munita di sistema di raffreddamento e valvole di controllo; le prestazioni del sistema in pressione sono alte, ma si riscontrano spesso problemi legati all insorgere di risonanze, vibrazioni e rumori. Due condotti ad alta pressione ed ampia sezione, uno di andata e uno di ritorno, collegano la pompa ad un distributore centrale, e da questo si diramano altri 14 condotti di andata e ritorno che alimentano i quattro attuatori principali e quelli aerodinamici. Le servovalvole che regolano l afflusso di olio nei pistoni sono montate a ridosso del corpo dei cilindri, per ottenere la massima precisione nella risposta evitando fenomeni di inerzia dell olio o di distorsione elastica dei condotti. Per ogni attuatore è presente un set di tre servovalvole Moog controllate via software, il quale può confrontare il segnale di posizione con quello desiderato tramite un sistema di retroazione e correggerlo in tempo reale indipendentemente dal carico applicato o da disturbi di natura termica o dinamica. Gli attuatori, in dettaglio in Figura 3.3, sono costituiti da servo-cilindri idraulici, muniti di sensori ad alta precisione (del tipo LVDT) montati all interno dei cilindri in una camera ad olio, in grado di fornire il segnale di posizione per il loop di retroazione. Tutti gli attuatori sono del tipo Double-Ended, nel senso che garantiscono uguale forza e velocità in entrambi i sensi di funzionamento. Sono presenti inoltre due accumulatori in pressione, uno di andata e uno sulla linea di ritorno, muniti di membrane, le quali evitano effetti di martellamento o di vibrazioni nel caso di improvvise e violente Figura 3.3. Attuatore oleodinamico. variazioni della portata del flusso d olio.

68 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 63 In Tabella 3.1 di seguito riportata si evidenziano le caratteristiche peculiari dei quattro attuatori principali per la simulazione del tracciato stradale. Attuatore Specifica Tipo di attuatore Diametro pistone Corsa Forza sviluppata Pressione di esercizio (HP) 080R mm ± 150 mm 25 kn 210 bar Servovalvole SV 75/760 Trasduttore di posizione LVDT: D5/6000 TMO367 Filtri HH9021 K12 DDT SWD ( ) Accumulatori Mandata: A (1 litro) Ritorno: HC0E-00A-17 (0,5 litri) Tabella 3.1. Specifiche dei componenti meccanici degli attuatori principali. Valvole di sicurezza di fondo corsa Per impedire il danneggiamento dei componenti o della vettura stessa oggetto del test, nel caso in cui ad uno o più attuatori venga richiesta la massima corsa ad elevata velocità, entrano in funzione Figura 3.4. Dispositivo per il fondo corsa.

69 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 64 delle valvole di sicurezza; il disegno del collettore che porta l olio in pressione nei cilindri prevede infatti una camera morta a fine corsa in cui l olio viene compresso senza via d uscita dal pistone, il quale è velocemente rallentato senza poter entrare in contatto con il fondo del cilindro. Si ritorna nelle normali condizioni di esercizio quando il sistema di controllo DCS (Digital Control System) riceve un appropriato segnale di fondo corsa e comanda lo svuotamento della camera opposta a quella con la funzione di cuscinetto. Tenute idrostatiche Ciascun attuatore è munito di tre gruppi di tenuta e guida del pistone; due sono ricavate all interno del cilindro, una è disposta sulla testa del corpo dell attuatore. Il suo principio di funzionamento viene schematizzato in Figura 3.5; l utilizzo di guide di tipo idrostatico è giustificato dal Figura 3.5. Schema del principio di funzionamento delle tenute idrostatiche. bassissimo attrito che esse offrono, dal fatto che si abbia il centraggio automatico del pistone e dalla possibilità di contenere efficacemente gli elevati carichi laterali che si sviluppano nei test di simulazione. Quando l olio viene mandato in pressione il pistone viene posto nella sua posizione

70 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 65 centrale dalle guide laterali (prima illustrazione, le dimensioni del gioco non sono in scala). L applicazione di un carico laterale tende a sbilanciare la distribuzione di pressione attorno al pistone (seconda illustrazione); si avrà una diminuzione di pressione dove il gioco dell accoppiamento aumenta, un aumento nei punti in cui il pistone si avvicina al cilindro. La distribuzione di pressioni che si è venuta a creare tenderà a riportare l attuatore nella posizione centrale. Condotti e servovalvole I condotti dell olio in pressione sono disegnati per garantire le minime perdite di carico e una bassissima deformabilità. Le servovalvole Moog SV65/760 sono montate direttamente sul corpo dell attuatore attraverso un collettore munito di tutte le entrate e le uscite necessarie per alimentare e svuotare il cilindro. La loro capacità è pari a 65 litri/min, e il loro disegno permette alte prestazioni. Il gruppo di alimentazione comprende anche i due accumulatori e un unità di filtraggio dell olio (capacità 15µm), per impedire pericolose contaminazioni del fluido all interno del cilindro. Figura 3.6. Il gruppo di alimentazione dell attuatore.

71 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 66 In Figura 3.6 è rappresentato il particolare del gruppo di alimentazione; sono visibili il corpo del collettore con i due condotti di andata e ritorno, le servovalvole (sviluppate in verticale), l unità di filtraggio (cilindro sulla linea di mandata), i due accumulatori (il più grosso sull alimentazione, il più piccolo sul ritorno). Accumulatori Gli accumulatori di cui è fornito ogni attuatore sono costituiti da piccoli recipienti cilindrici che contengono azoto in pressione separato dall olio da una membrana flessibile. Quando si avvia la pompa e il sistema viene mandato in pressione, l olio comprime il gas fino ad eguagliare le due pressioni nell interfaccia tra i due fluidi; nel caso si abbia un improvviso picco nella domanda di fluido da parte dell attuatore, la pressione nel condotto diminuisce, il gas può espandersi e l accumulatore fornisce una portata aggiuntiva di olio. L accumulatore funziona invece da smorzatore nel caso si abbia un picco di pressione nella mandata, prevenendo effetti di martellamento e regolarizzando la portata del fluido. Due grossi accumulatori da 50 litri ciascuno, contenenti questa volta olio in pressione, sono istallati inoltre sulle linee di mandata e di ritorno che collegano la pompa al banco di prova. La loro funzione è quella di far fronte a improvvisi cali di pressione per mantenere la stabilità del sistema; inoltre funzionano da polmoni e smorzatori delle onde pressorie dovute al naturale funzionamento a intermittenza del sistema di pompaggio e al rapido susseguirsi (le frequenze di funzionamento possono arrivare a 50 Hz) di apertura-chiusura delle servovalvole. Solenoid Control Manifold (SCM) Il distributore centrale è progettato per una portata massima di 450 litri/min per condotto; valvole a solenoide contenute in esso possono portare il fluido negli attuatori dalla pressione nulla a quella media (adottata nella fase di riscaldamento del sistema) a quella massima d esercizio pari a 210 bar. L SCM è inoltre in grado di pilotare, durante un test di simulazione, i quattro attuatori indipendentemente l uno dall altro pur provenendo il fluido in pressione da un unica sorgente, senza che vi sia reciproca interferenza.

72 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 67 Anche su questo componente sono presenti due accumulatori della capacità di 10 litri con la funzione di riserva di fluido in pressione nel caso di irregolarità nella portata di alimentazione. Attuatori aerodinamici Tre ulteriori attuatori disposti sotto la scocca della vettura (uno anteriormente, due posteriormente) hanno la funzione di simulare i carichi aerodinamici di cui la vettura, in funzione della sua velocità, risente durante la competizione. Figura 3.7. I due attuatori oleodinamici posteriori fissati alla campana della vettura in prova. Le loro caratteristiche meccaniche vengono riassunte in Tabella 3.2; la costruzione e il funzionamento sono del tutto analoghi a quelli degli attuatori principali. Il segnale fornito dalla cella di carico permette all attuatore di operare in condizioni di controllo di carico e di riprodurre una sequenza di carichi in funzione del tempo. Il ciclo di feedback retroattivo presenta in questo caso qualche difficoltà, poiché il movimento della vettura provoca variazioni nel

73 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 68 Attuatore Specifica Tipo di attuatore Diametro pistone Corsa Forza sviluppata Pressione di esercizio (HP) 050R mm 200 mm 20 kn 210 bar Servovalvole SV 250 SV 5/770 Trasduttore di posizione LVDT: D5/6000 TMO367 Tabella 3.2. Specifiche dei componenti meccanici degli attuatori aerodinamici. carico applicato. Per questo sono stati realizzati degli elementi smorzanti (i grossi cilindri in acciaio di Figura 3.7) che, con buona approssimazione, seguono il movimento della vettura senza influire sul valore di carico applicato. Essi conferiscono inoltre maggiore stabilità all anello di retroazione, in cui viene incrementato anche il guadagno per minimizzare l errore tra il carico misurato e quello desiderato. Poiché le forze non desiderate sono proporzionali alla velocità imposta all attuatore, l errore può essere ridotto utilizzando un segnale retroattivo di velocità per il comando dell apertura e chiusura delle servovalvole. Tale segnale viene ottenuto dall integrazione numerica nel dominio del tempo del segnale di accelerazione fornito dagli accelerometri posti negli attuatori stessi. Trasduttori e sensoristica Tutti gli attuatori sono muniti al loro interno di trasduttori di posizione, accelerazione e carico in grado di fornire i segnali necessari per il feedback retroattivo e per l analisi del comportamento dinamico del veicolo oggetto del test. L analisi dinamica viene integrata dall impiego di potenziometri e accelerometri esterni posizionati in più punti del telaio e sui mozzi della vettura.

74 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 69 Linear Variable Displacement Transformer (LVDT) Type D5/6000 TMO367 by RDP. Corsa nominale ±100 mm. I trasduttori di posizione LVDT forniscono un accurato segnale di feedback per il pistone, relativo alla sua posizione centrale (zero). Tale segnale è nella forma di una tensione elettrica, di intensità e segno dipendenti appunto dalla posizione. Nota la posizione dell attuatore il comando elettronico invia il segnale di movimento richiesto; quindi viene nuovamente confrontato il segnale di posizione ottenuto con quello desiderato e si ottiene l errore di posizione che il sistema tende a correggere. Il ciclo avviene svariate volte al secondo. Celle di carico Sia gli attuatori principali che quelli aerodinamici possono fornire, tramite delle celle di carico interne, la lettura istantanea del carico applicato. Il fondo scala è di 25 kn per i quattro attuatori principali, di 20 kn per i tre aerodinamici. Elementi esterni: accelerometri e potenziometri La sensoristica del sistema comprende una serie di potenziometri e di accelerometri che vengono disposti sui punti di interesse della vettura in prova. I potenziometri ad asta, che rilevano gli spostamenti relativi delle due estremità, vengono solitamente posizionati sui quattro mozzi della vettura e sul telaio in posizione anteriore e posteriore. Tali spostamenti sono tutti relativi a quello del pistone. Vengono inoltre rilevati gli schiacciamenti delle molle degli ammortizzatori sull avantreno e sul posteriore. Gli accelerometri possono essere applicati su qualsiasi porzione della vettura; di maggiore interesse sono le accelerazioni dei mozzi (massa non sospesa) e del telaio (massa sospesa), anteriore e posteriore. Tutti i dati registrati vengono inviati al sistema elettronico di acquisizione che provvede all elaborazione.

75 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig Il software DCS Gli attuatori vengono comandati e controllati in tempo reale dall ultima versione di Controllo Digitale Servotest, che consiste in un Pentium 200 PC compatibile con un sottosistema ad alta risoluzione grafica e monitor 21. L elaboratore è dotato del Digital Signal Processor (DSP) Real Time Control Card, che genera i segnali digitali di controllo del banco di prova. Il software di controllo dell intero sistema è stato appositamente sviluppato dai tecnici di MatLab, e presenta una struttura aperta facilmente integrabile dall utente con altre funzioni o routines personalizzate. Figura 3.8. Diagramma a blocchi del DCS 2000 Servotest.

76 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 71 L architettura del software si presenta costituita da più moduli, dedicati a specifiche funzioni: DCS datalogger modulo di acquisizione DCS scope oscilloscopio virtuale DCS replay modulo per la riproduzione di files esterni DCS filter modulo di filtraggio dati DCS Wavegen generatore del segnale in ingresso DCS Block Prog modulo di sequenza segnale ICS (Interactuve Control System) genera il segnale di un profilo stradale (in controllo di accelerazione) a partire da registrazioni telemetriche esterne (ad esempio accelerazione della massa non sospesa). In Figura 3.8 viene riportato lo schema a blocchi del funzionamento del Sistema di Controllo Digitale, mentre in Figura 3.9 riportata sotto è rappresentato lo schema dell hardware del sistema. Figura 3.9. Architettura Hardware del DCS 2000.

77 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig Utilizzo e funzionalità dello strumento Figura La vettura da FORMULA 3 sul banco di prova. In Figura 3.10 è mostrata una vettura FORMULA 3 sul banco di prova Seven-Poster. Si possono notare i tre attuatori aerodinamici ancorati alla scocca, i potenziometri di spostamento sui mozzi, un accelerometro sul telaio in corrispondenza dell asse anteriore. L olio è in pressione, gli attuatori sono caldi, tutto è pronto per l inizio di un test di simulazione per caratterizzare il comportamento dinamico della vettura sul tracciato in questione. Figura Andamenti nel tempo delle accelerazioni reali dei quattro mozzi. Caricate le informazioni relative alla pista oggetto della prova, il sistema di controllo muove gli attuatori in modo da ottenere sui quattro mozzi le accelerazioni riscontrate in pista con rilevamenti

78 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 73 telemetrici, di cui viene riportato un esempio in Figura Nella Figura 3.12 vengono invece riportati, nell ordine, gli spostamenti in direzione verticale dei quattro mozzi, la velocità e le accelerazioni longitudinale e laterale della vettura relativi ad un giro dello stesso tracciato. Figura Andamenti reali nel tempo delle accelerazioni dei quattro mozzi. Una volta concluso il test, tramite il sistema di acquisizione dati e l elaborazione degli stessi, è possibile determinare il comportamento dinamico della vettura con quel determinato setup, in termini di funzioni di trasferimento nel dominio delle frequenze tra le quantità di interesse. Nel caso di sistemi lineari, e si suppone che nel complesso il veicolo sia un sistema di questo tipo, risulta infatti molto comodo utilizzare tale approccio. La funzione di trasferimento tra due funzioni u(t) e h(t) definite nel dominio del tempo è una funzione G(s) nel campo della variabile complessa s =α+iβ e definita dall espressione: U ( s) G ( s) = H ( s) in cui U(s) e H(s) sono le trasformate di Laplace delle u(t) e h(t): U ( s) = L[ u( t)] = H ( s) = L[ h( t)] = u( t) e 0 h( t) e st st dt dt.

79 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 74 Da un punto di vista metodologico la trasformata di Laplace è analoga alla trasformata di Fourier mediante la sostituzione jω a s, variabile complessa di Laplace. Si ricorda che si può passare dalla trasformata di Laplace a quella di Fourier, ottenendo la funzione di trasferimento armonica, mediante la sostituzione inversa; ciò è naturalmente possibile anche in senso opposto ovvero dalla trasformata di Fourier a quella di Laplace. Questo permette la valutazione sperimentale della funzione di trasferimento armonica F(jΩ) e la trasformazione, mediante la sostituzione sopra citata, nel dominio di Laplace F(s). Le funzioni di trasferimento solitamente analizzate sono quelle relative alle accelerazioni anteriore e posteriore del telaio rispetto a quella degli attuatori, e allo spostamento in direzione verticale del telaio o dei mozzi delle ruote. Quest ultima grandezza definisce la deformazione del pneumatico e l eventuale distacco da terra con l annullarsi della contact patch. Figura Sweep in frequenza utilizzato per l analisi dinamica della vettura. Notevole importanza riveste infatti l analisi delle forze di contatto a terra tra i pneumatici e il suolo (nella simulazione i piattelli di appoggio), valutate mediante le celle di carico poste negli attuatori.

80 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 75 Le finalità di un buon setup della macchina sono infatti quelle di garantire la minor variazione possibile dell altezza da terra del veicolo, oltre a mantenere costante nei limiti del possibile il valore della forza di contatto a terra per ottenere una buona aderenza, a costo di non offrire una bassa trasmissibilità al pilota da parte di sospensioni e pneumatici delle irregolarità e delle sollecitazioni presenti su strada. Mediante l analisi e il confronto delle funzioni di trasferimento e delle loro fasi, di cui viene riportato un esempio nelle Figure 3.13 e 3.14, viene data un interpretazione della qualità del setup della macchina. Variando la taratura delle sospensioni, l assetto della vettura o le pressioni dei pneumatici è possibile ricercare il migliore compromesso per ottenere il comportamento ideale. Figura Funzioni di trasferimento delle accelerazioni dei mozzi anteriore e posteriore.

81 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 76 In Figura 3.12 viene riportata una curva nel dominio del tempo, che rappresenta la legge di spostamento di ogni singolo attuatore, generalmente adottata per la caratterizzazione globale della vettura. Mediante tale curva, detta a velocità costante, vengono infatti indagate più frequenze con un unica prova; nel caso di figura si va da 1 Hz con ampiezza attorno ai 16 mm a 40 Hz con ampiezza di spostamento sotto il millimetro. Il tutto nel tempo di 100 secondi. Figura Fasi delle due funzioni di trasferimento di Figura Si può in questo modo ottenere la risposta in frequenza del sistema, che presenta uno o più risonanze alle frequenze caratteristiche della massa sospesa (il telaio e parte dei braccetti delle sospensioni) e di quella non sospesa (pneumatici, mozzo ruota, pinze dei freni).

82 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 77 Si può notare come oltre i Hz il segnale non si presenti particolarmente pulito, a causa dell insorgere di rumore e disturbi nel sistema di acquisizione dati. In ogni caso il primo picco in frequenza rappresenta la risonanza del telaio, il secondo quella del movimento di pitch (vedi Capitolo 2); la risonanza della massa non sospesa si dovrebbe trovare a frequenze più elevate, tra i 15 e 18 Hz, ma è evidentemente troppo smorzata per risultare individuabile. Il movimento assoluto del telaio è quindi rilevante nelle basse frequenze, mentre le alte frequenze vengono in gran parte filtrate dai pneumatici; modificando la pressione dei pneumatici, la taratura degli ammortizzatori o l assetto (bilanciamento dei pesi) della vettura si può variare anche sostanzialmente la risposta in frequenza del sistema, in quanto vengono modificati rigidezza e smorzamento dei parametri del sistema. Un altra applicazione del banco di prova Poster Rig impiegata per lo studio del gruppo ammortizzatore prevede l impiego di una sollecitazione impulsiva del tipo di Figura 3.15 da parte Spostamento [mm] ,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Tempo [s] Figura Simulazione dell impatto con un cordolo. di un singolo attuatore, con lo scopo di simulare l impatto della vettura con un cordolo. Lo studio della risposta del veicolo e il confronto con altri tipi di tale componente può fornire preziose indicazioni sull impiego di un ammortizzatore piuttosto che di un altro, utili anche nell ottimizzare la progettazione della catena cinematica.

83 Capitolo 3. Il Seven-Poster Rig 78 Una completa caratterizzazione dei parametri del sistema, analizzati singolarmente, può risultare in generale molto utile per comprendere a pieno la loro influenza sul comportamento dinamico globale del veicolo. Mentre per il gruppo ammortizzatore si hanno dati esaurienti sulla dinamica di bound e rebound ottenuti con uno specifico banco di prova per ammortizzatori, i pneumatici PIRELLI anteriore e posteriore presentano una certa incertezza nella loro caratterizzazione; da qui l esigenza, vista anche la notevole influenza e importanza di tale componente, di ricercare un modello di comportamento dapprima per sollecitazioni di tipo statico, in seguito per sollecitazioni dinamiche, che possa mettere in luce la risposta della gomma. Si ritiene particolarmente significativa anche la variabilità dei parametri significativi (rigidezza e smorzamento) in funzione della temperatura d esercizio. Durante la corsa le gomme vanno infatti in temperatura, mentre le prove sul Seven-Poster Rig vengono condotte a freddo, e risulta quindi di una certa rilevanza l indagine degli effetti della temperatura sul comportamento del pneumatico, in vista di un ulteriore affinamento nella corrispondenza tra risultati della simulazione su banco di prova e riscontri su pista. All interno del Capitolo 5 verrà presentato lo sviluppo di un modello matematico a parametri concentrati in grado di descrivere con buona approssimazione la dinamica della vettura Dallara da FORMULA 3 ed indagare l influenza dei componenti sul sistema. In particolare verrà analizzata l influenza della risposta in frequenza del pneumatico in tale modello, con lo scopo di comprendere quale sia il suo peso nella dinamica globale della vettura e nei test sul banco di prova Seven-Poster, in cui le gomme sono a temperatura ambiente.

84 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 79 Capitolo 4. Prove sperimentali sui pneumatici PIRELLI F3 4.1 Prove di rigidezza verticale statica Introduzione La rigidezza verticale è una caratteristica propria del pneumatico, in quanto dipende strettamente dalla struttura della carcassa e del battistrada, dalla mescola utilizzata nella costruzione, dalle dimensioni della gomma. I parametri fisici che possono apportare anche grosse variazioni nel valore di rigidezza sono invece la pressione di gonfiaggio, l angolo di camber con cui è montato il pneumatico, la temperatura di esercizio, la deformabilità del suolo su cui la gomma appoggia. Ritenendo che nella realtà tale deformabilità sia trascurabile, con un banco di prova appositamente allestito sono stati condotti una serie di test sperimentali per determinare la rigidezza verticale statica di pneumatici PIRELLI anteriore e posteriore montati su vetture da competizione della categoria FORMULA 3. Variando la natura delle prove si è potuta valutare l influenza di ciascun parametro sul comportamento verticale del pneumatico. In particolare l attenzione è stata concentrata sul fattore forse più significativo e al contempo meno riproducibile e valutabile: la temperatura. Le variazioni termiche, cui la gomma è particolarmente sensibile, sono state considerate infatti particolarmente significative per meglio comprendere i possibili cambiamenti nella risposta della vettura sul banco di prova a freddo del Poster Rig. In pratica per valutare in termini non solo qualitativi l errore che si commette nel simulare su banco il comportamento stradale della vettura, nella piena consapevolezza dell impossibilità di riprodurre fedelmente le condizioni reali. I test di caricamento statico sono stati condotti quindi sia a temperatura ambiente che a caldo, ad una temperatura del pneumatico corrispondente a quella media di esercizio durante una competizione. Nel corso delle prove in temperatura è stata inoltre dimostrata l inaffidabilità del metodo di misura adottato nelle prove a freddo; la bilancia utilizzata per la lettura del carico applicato, del tipo per

85 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 80 bilanciamento dell assetto in pista, nell esercizio a caldo non sembrava fornire risultati attendibili. Si è optato quindi per l impiego di una cella di carico montata lontano da ogni fonte di calore, che è stata opportunamente tarata con l ausilio della bilancia stessa Descrizione della procedura di prova I pneumatici oggetto dei test sono stati montati su una pressa da 50 tonnellate mediante una trave ad U fissata al cilindro oleodinamico e due flange fissate al mozzo del cerchione. A causa della differente larghezza dei pneumatici anteriore e posteriore, rispettivamente 200 e 250 millimetri, i due supporti laterali sono stati muniti di registri che ne consentissero l adattamento. Tra la trave in acciaio e il pistone è stata posizionata la cella di carico, sensibile ai carichi di compressione. La gomma ha trovato l appoggio inferiore su una piastra in alluminio dello spessore di 50 mm, praticamente indeformabile, la cui inclinazione è stata modificata con il riscontro di una bolla elettronica per le prove ad angolo di camber variabile. Fig Il pneumatico PIRELLI anteriore sul banco di prova.

86 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 81 La strumentazione è stata completata con due comparatori centesimali montati direttamente sulla piastra, in grado di valutare con una certa precisione i valori di abbassamento verticale di una barra passante in alluminio fissata al cerchione. Il banco di prova completo è illustrato in Figura 4.1.1, mentre particolari dell apparato di misura sono visibili nelle Figure (a) e (b). Figura 4.12 (a) e (b). Particolari dei comparatori centesimali destro e sinistro. La prova per la determinazione della rigidezza verticale ha consistito semplicemente nel caricare, agendo sul distributore dell olio in pressione della pressa, il pneumatico attraverso la trave ad U in senso verticale, mentre venivano annotati i due abbassamenti destro e sinistro e il corrispondente valore di carico applicato (vedi schema semplificato di Figura 4.1.3). Figura Schema dell attrezzatura utilizzata per le prove.

87 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 82 Un valore unico di abbassamento della gomma è stato ricavato dalla media algebrica dei due abbassamenti degli estremi della barra in alluminio; il carico applicato, variabile tra 0 e 700 kg, è stato rilevato in un primo set di prove dalla bilancia per assetto, in un secondo tempo, per il motivo già discusso, dalla cella di carico sul pistone della pressa. La rigidezza è stata espressa nella forma F K = [kg/mm] u dove F è il carico in kg e u l abbassamento del pneumatico in mm. All inizio di ogni prova è stato applicato ai pneumatici, sia anteriore che posteriore, un precarico di kg prima di portare a zero le letture di comparatori e cella di carico. Con tale operazione ci si è posti nelle condizioni di deformazione iniziale dei fianchi e della carcassa in corrispondenza del carico statico che la macchina trasmette alle ruote. Lo step di ogni singola prova è stato riferito all abbassamento di uno dei comparatori, ed ha previsto una deformazione verticale, in millimetri, di 1, 3, 5, 7 e così via fino in genere a millimetri corrispondenti al carico massimo. Inoltre per ogni test a pressione, temperatura e angolo di camber costante, sono stai svolti 4 cicli di carico per avere a disposizione più risultati sovrapponibili e diagnosticare la ripetibilità delle misure. Nello svolgimento delle prove in temperatura sono state impiegate delle termocoperte per uso in pista da avvolgere al pneumatico, per mandare in temperatura la carcassa e il battistrada (Figura 4.1.4), ed una piastra in alluminio riscaldata da tre resistenze elettriche per simulare il riscaldamento nell area di contatto del pneumatico con il suolo. Per ottenere stabilmente le temperature desiderate, C per il battistrada, C per la spalla del pneumatico, le termocoperte e la piastra sono state lasciate agire per un ora e mezza circa prima di procedere nei test in modo da avere una buona uniformità nella distribuzione di calore. Nelle prove in temperatura si è mantenuto un angolo di camber costante, pari a zero, mentre è stata variata la pressione di gonfiaggio.

88 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 83 Figura Impiego delle termocoperte Taratura della cella di carico In seguito ad una serie di prove condotte in temperatura è stata rilevata un evidente incoerenza tra i valori di rigidezza verticale trovati con quelli calcolati a temperatura ambiente. In particolare si è notato, contro ogni aspettativa, un aumento della rigidezza col crescere della temperatura, dal quale ci si dovrebbe aspettare l effetto inverso. Da una più attenta analisi del funzionamento della bilancia per assetto è stato rilevato un abbassamento del piano di appoggio durante il caricamento del pneumatico, che rappresentando un effettiva rigidezza aggiunta andava a falsare la misura della rigidezza propria della gomma. Tale effetto è stato sensibilmente accentuato dal crescere della temperatura di esercizio durante le prove a caldo, dando una completa spiegazione del fenomeno fittizio di indurimento della gomma.

89 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 84 In Figura viene riportato l abbassamento della faccia superiore della bilancia (piano di appoggio del battistrada) per due diverse temperature, misurato con l impiego di un comparatore centesimale. Si può notare come l andamento non sia lineare (e quindi come non si possa a rigore parlare di un valore di rigidezza univocamente definito) e sia in qualche modo dipendente dalla temperatura. 3 Rigidezza della bilancia di misura Abbassamento del piatto [mm] 2,5 2 1,5 1 0,5 T = 40 C T = 26 C Carico [kg] Fig Comportamento della bilancia a freddo e in temperatura. In particolare con l aumentare della temperatura si assiste ad un irrigidimento della bilancia; trattandosi in effetti di due molle in serie, pneumatico e bilancia, di costante elastica equivalente 1 K e = 1 K p 1 + K b è comprensibile come l aumento della rigidezza della bilancia K b abbia un peso maggiore della diminuzione della rigidezza K p del pneumatico, provocando un innalzamento nel valore K e di rigidezza equivalente che rappresenta l oggetto di misura.

90 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 85 Constata l inadeguatezza di un ulteriore impiego di tale strumento di misura, è stata utilizzata una cella di carico montata direttamente sulla testa del pistone lontano dalle fonti di calore, in seguito opportunamente tarata con l ausilio della bilancia, dotata di maggiore precisione, mediante una simultanea misura di un carico statico di entità variabile. Lo scostamento dei dati forniti dalla cella di carico rispetto alle misure effettuate con la bilancia è risultato ben approssimabile con un andamento lineare in funzione del carico applicato. Tale andamento viene riportato in Figura Di questo scostamento è stato in seguito tenuto conto correggendo i valori di carico rilevati durante le prove. 14 Taratura della cella di carico Scostamento tra le letture [kg] y = 0,0184x + 1,298 R 2 = 0, Carico [kg] Fig Taratura della cella di carico. Essendo infatti pari a il coefficiente angolare della retta interpolante i punti trovati sperimentalmente, con una certa approssimazione si può affermare che in pratica per ogni 100 chilogrammi applicati la cella di carico risulta in errore, rispetto alla bilancia, di 1.84 kg in eccesso.

91 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 86 I valori di carico L* trovati nel corso delle prove sono stati dunque corretti per ottenere quelli effettivi L e : L e = ( ) L* = L*. Nelle Figure e vengono riportati a confronto i due strumenti di misura con le differenti utilizzazioni. Figura Bilancia per assetto. Figura Cella di carico Risultati delle prove Per ottenere il valore di rigidezza verticale relativo ad ogni singola prova sono stati diagrammati in un foglio elettronico i valori di carico applicato in funzione dei corrispondenti abbassamenti della gomma forniti dalla lettura dei comparatori; i punti così ottenuti si sono sempre interpolati linearmente con buonissima approssimazione (coefficiente R 2 vicino all unità), e la rigidezza è stata valutata come il coefficiente angolare della retta interpolante. Poiché è stato rilevato un leggero ciclo di isteresi nel caricare e scaricare il pneumatico, benché non fossero immediati i passaggi da un carico all altro, la rigidezza effettiva è frutto della media delle due rigidezze, poco differenti tra loro, relative al ciclo di carico e di scarico.

92 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 87 Un tipico grafico di rigidezza statica, comprensivo delle due rette di carico e scarico, è rappresentato in Figura Rigidezze statiche di carico e di scarico Carico [kg] Kc = 19,571u + 0,8254 R 2 = 0,9999 CARICO Ks = 18,92u - 8,1919 R 2 = 0,9983 SCARICO Abbassamento [mm] Fig Diverse rigidezze nei cicli di carico e scarico. I risultati numerici globalmente ottenuti vengono di seguito riassunti nelle due Tabelle e 4.1.2: nella prima si riportano i dati relativi al pneumatico anteriore PIRELLI F3 200/50, a freddo e in temperatura, nella seconda si riportano i risultati relativi a quello posteriore PIRELLI F3 250/55. Per ogni tabella nella prima colonna è riportata la pressione di gonfiaggio, nelle tre successive i corrispettivi valori di rigidezza verticale espressa in kg/mm relativi ai tre angoli di camber considerati, pari a 0, 2.5 e 5 gradi. Nell ultima colonna sono presenti le rigidezze del pneumatico provato in temperatura a camber nullo; una tipica distribuzione media di temperature è stata: Temperatura ambiente = 30 C Temperatura battistrada = 70 C Temperatura spalla = 42 C Temperatura cerchione = 40 C Temperatura piastra d appoggio = 95 C.

93 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 88 Pressione di Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] gonfiaggio A Camber = 0 a Camber = 2.5 a Camber = 5.0 In temperatura [bar] ,2 14,2 13,6 13, ,7 15,3 14,9 14, ,9 16,3 15,8 15, ,7 17,3 16,8 16, ,6 18,3 17,7 17, ,7 19,2 18,6 18, ,6 19,6 19,5 18, ,4 20,4 20,0 19,9 Tabella Risultati delle prove sul pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Pressione di Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] Rigidezza [kg/mm] gonfiaggio A Camber = 0 a Camber = 2.5 a Camber = 5.0 In temperatura [bar] ,5 14,8 12,9 14, ,8 16,0 14,7 15, ,2 17,0 16,0 16, ,5 18,2 16,9 17, ,4 19,1 18,4 18, ,7 20,3 19,0 19, ,1 21,3 19,8 20, ,6 21,8 20,9 21,7 Tabella Risultati delle prove sul pneumatico PIRELLI F3 posteriore.

94 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 89 Per una più facile e significativa interpretazione, i risultati delle prove effettuate sono stati diagrammati in funzione della pressione di gonfiaggio. Nelle tre Figure , e ,0 Rigidezza [kg/mm] 20,0 18,0 16,0 14,0 Ko = -3,1149p ,162p + 1,6442 R 2 = 0, ,2 14,7 15,9 16,7 17,6 18,7 19,6 20,4 12,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 0, pneumatico anteriore. 22,0 Rigidezza [kg/mm] 20,0 18,0 16,0 K2,5 = -4,4908p ,226p + 1,6276 R 2 = 0, ,3 16,3 17,3 18,3 19,2 19,6 20,4 14,0 14,2 12,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 2.5, pneumatico anteriore.

95 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 90 vengono diagrammati gli andamenti della rigidezza verticale per i tre angoli di camber considerati in riferimento al pneumatico anteriore. 22,0 Rigidezza [kg/mm] 20,0 18,0 16,0 K5,0 = -3,7188p ,705p + 1,8757 R 2 = 0, ,9 15,8 16,8 17,7 18,6 19,5 20,0 14,0 13,6 12,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 5.0, pneumatico anteriore. In ognuno dei diagrammi viene riportata la linea di tendenza dei valori trovati con la relativa equazione, che esprime l andamento della rigidezza K in funzione della pressione p, e la stima (parametro R 2 ) di quanto l approssimazione nell interpolare i punti sperimentali sia corretta. Con il simbolo K 0 viene indicata la rigidezza a camber nullo, con K 2.5 quella a camber di 2.5, con K 5.0 a camber di 5. È possibile diagrammare, per agevolare un confronto più diretto, le tre serie di risultati relative alla rigidezza statica del pneumatico anteriore, in un unico grafico, che viene riportato in Figura Nei tre colori vengono evidenziati gli andamenti della rigidezza per i tre differenti angoli di camber con cui le prove sono state eseguite. A seguire vengono diagrammati i risultati delle prove in temperatura assieme a quelli a freddo a camber nullo, sempre in riferimento al pneumatico anteriore.

96 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 91 Andamento della rigidezza verticale al variare dell'angolo di camber per il pneumatico PIRELLI F3 anteriore. 20,0 Rigidezza verticale [kg/mm] 18,0 16,0 14,0 Camber 0 Camber 2,5 Camber 5,0 12,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Confronto delle rigidezze verticali a differenti angoli di camber, pneumatico anteriore. Rigidezza verticale [kg/mm] Rigidezza verticale statica del pneumatico PIRELLI F3 anteriore a freddo e in temperatura Rigidezza a freddo Rigidezza in temperatura 14,7 14,1 15,9 15,2 Kf = -3,1149p ,162p + 1,6442 R 2 = 0, ,7 18,2 16,7 16,4 17,6 17,2 19,6 18,9 20,4 19,9 Kt = -1,4765p ,866p + 3,8968 R 2 = 0, ,2 13,4 13 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Confronto delle rigidezze verticali a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore.

97 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 92 Di seguito vengono riportati, nella Figure e seguenti, diagrammi analoghi ai precedenti relativi al pneumatico posteriore. 24,0 23,6 22,0 22,1 Rigidezza [kg/mm] 20,0 18,0 16,0 14,0 14,5 15,8 17,2 18,5 19,4 20,7 Ko = 0,8536p ,749p + 5,4443 R 2 = 0, ,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 0, pneumatico posteriore. 24,0 Rigidezza [kg/mm] 22,0 20,0 18,0 K2,5 = -3,2429p ,781p + 2,5818 R 2 = 0,998 19,1 18,2 17,0 20,3 21,3 21,8 16,0 16,0 14,8 14,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 2.5, pneumatico posteriore.

98 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 93 22,0 20,9 20,0 19,8 Rigidezza [kg/mm] 18,0 16,0 16,0 16,9 18,4 19,0 14,0 14,7 K5,0 = -6,5952p ,197p - 3,7217 R 2 = 0, ,9 12,0 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Rigidezza verticale statica a camber 5,0, pneumatico posteriore. 26 Andamento della rigidezza verticale al variare dell'angolo di camber per il pneumatico PIRELLI F3 posteriore. Rigidezza verticale [kg/mm] Camber 0 Camber 2,5 Camber 5,0 12 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Confronto delle rigidezze verticali a differenti angoli di camber, pneumatico posteriore.

99 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica Rigidezza verticale statica del pneumatico PIRELLI F3 posteriore a freddo e in temperatura Rigidezza [kg/mm] Rigidezza a freddo Rigidezza in temperatura 15,8 17,2 16,2 Kf = 0,8536p ,749p + 5,4443 R 2 = 0, ,5 17,5 19,4 18,4 20,7 19,2 22,1 20,4 Kt = 0,1613p ,376p + 5,6912 R 2 = 0, ,6 21, ,5 14,1 15,1 13 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 Pressione [bar] Figura Confronto delle rigidezze verticali a freddo ed in temperatura per il pneumatico posteriore Analisi dei risultati Dall analisi dei risultati ottenuti sono state dedotte le seguenti osservazioni: 1. L abbassamento del mozzo della gomma sotto carico, sia anteriore che posteriore, espresso in funzione del carico applicato è risultato perfettamente approssimabile con una retta per ogni condizione di prova; il coefficiente angolare di tale retta ha fornito i valori di rigidezza statica. È quindi possibile dedurre che il pneumatico abbia un comportamento lineare nella risposta a sollecitazioni statiche in senso verticale. 2. All aumentare della pressione di gonfiaggio si trova sempre un corrispettivo aumento della rigidezza verticale; ciò è facilmente giustificabile con un irrigidimento della struttura del pneumatico dovuto alla maggiore tensione della carcassa portante indotta dalla pressione interna.

100 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica L andamento della rigidezza in funzione della pressione è approssimabile molto bene con una curva del secondo grado per tutti i casi esaminati (anche le prove in temperatura). La concavità di tali curve risulta sempre negativa, e la rigidezza minima, corrispondente alla pressione di 0.8 bar, subisce un incremento significativo (fino al 62% per il pneumatico posteriore a camber 5 ) alla pressione di 1.5 bar. 4. Un aumento dell angolo di camber provoca effetti differenti sui pneumatici anteriore e posteriore; nel primo caso si ottengono le rigidezze più elevate per un inclinazione intermedia (2.5 ) in quanto a 5 si ha una diminuzione della rigidezza, che ritorna a valori molto vicini a quelli corrispondenti al camber nullo. Per il pneumatico posteriore invece un aumento dell angolo di camber provoca un decadimento delle prestazioni; tale fatto può essere semplicemente imputato al differente meccanismo di deformazione della carcassa, che trovandosi caricata in modo asimmetrico da una spalla all altra non è in grado di presentare il massimo valore di rigidezza riscontrato a camber nullo. 5. Mandando in temperatura battistrada e spalle del pneumatico, si nota una decisa diminuzione (fino al 9% per il pneumatico posteriore alla pressione di 1.5 bar) della rigidezza verticale, a causa del cambiamento delle caratteristiche meccaniche della gomma, che si conferma un materiale particolarmente sensibile alle condizioni ambientali. Anche per le prove in temperatura l andamento della rigidezza verticale in funzione della pressione di gonfiaggio è comunque ben approssimabile con una curva parabolica. 6. La spring sensitivity, parametro che identifica la sensibilità della rigidezza verticale rispetto alla pressione di gonfiaggio (viene espresso in [kg/mm/bar]), risulta variabile in funzione dell angolo di camber, e sembrerebbe avere un leggero aumento per piccoli angoli di inclinazione per poi calare. Per le prove in temperatura si nota invece una diminuzione decisa di tale parametro per entrambe i pneumatici, la quale indica una

101 Capitolo 4.1. Prove di rigidezza verticale statica 96 maggiore stabilità nella risposta del pneumatico al variare della pressione. Per il pneumatico in temperatura si ha in sostanza un leggero appiattimento delle caratteristiche, che risentono in minore misura della variazione di pressione interna. 7. Un confronto con i dati forniti dalla casa costruttrice risulta quasi impraticabile in quanto non sono note con precisione le condizioni di prova dei test effettuati. Le rigidezze PIRELLI, misurate con il pneumatico in rotolamento e che si aggirano attorno ai 17 kg/mm, risultano comunque confrontabili con quelle trovate nelle prove sperimentali condotte.

102 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Introduzione Una completa serie di prove è stata condotta per la determinazione dei parametri che regolano la dinamica verticale dei pneumatici da competizione PIRELLI F3 anteriore e posteriore. In seguito alla semplice modellazione a parametri concentrati mostrata in Figura 4.2.1, sono stati identificati la rigidezza dinamica K e lo smorzamento c, posto in parallelo. In tale modello dinamico ad un grado di libertà si sono considerati due soli parametri che tengano conto delle proprietà, rigidezza e smorzamento, di un continuo ben più complesso per costruzione e comportamento; il movimento in senso verticale del pneumatico infatti non sempre è disgiunto, o è scindibile, da altri movimenti e vibrazioni in senso laterale e longitudinale. Fig Schematizzazione ad un grado di libertà a parametri concentrati del pneumatico per sollecitazioni dinamiche. In accordo con le scarse informazioni fornite a riguardo dalla Casa Costruttrice e presenti in letteratura, è stata assunta l ipotesi che rigidezza e smorzamento fossero dipendenti sia dai parametri fisici e ambientali del pneumatico, come pressione di gonfiaggio, carico applicato e temperatura del battistrada e della carcassa, che da quelli caratteristici della forzante adottata nelle prove dinamiche: forma d onda, frequenza di eccitazione, ampiezza dello spostamento. In poche parole a priori il sistema è stato considerato non lineare, e in vista di una conferma o di una smentita di tale ipotesi si è pianificata la campagna di prove.

103 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 98 Il primo passo, non senza poche difficoltà, è stata la realizzazione di un attrezzatura sperimentale in grado di testare i pneumatici senza interferire eccessivamente sul loro movimento libero. Per eccitare in direzione verticale il pneumatico nell area di contatto con il suolo, si è pensato all impiego di uno dei quattro attuatori principali del banco di prova Seven-Poster Rig, per sfruttare le capacità e le possibilità di tale strumento. Una prima soluzione di vincolamento della gomma, che viene riportata per completezza, non ha fornito risultati apprezzabili; si è passati quindi necessariamente alla realizzazione di un altro tipo di vincolamento dimostratosi convincente per semplicità ed efficacia. Ai pneumatici è stata applicata una zavorra in piombo di peso corrispondente al carico statico della vettura agente sul mozzo; le motivazioni di tale scelta sono essenzialmente due, una di carattere tecnico, l altra più teorica. Dal punto di vista pratico la gomma va necessariamente zavorrata per impedire, sebbene le forzanti abbiano ampiezze molto contenute, un eccessivo rimbalzo e lo spostamento longitudinale e laterale della stessa. Concettualmente invece il fatto di riprodurre proprio il carico reale a vettura ferma, significa porsi nell intorno della deformazione statica iniziale della carcassa e del battistrada del pneumatico. Come verrà in seguito dimostrato, i parametri dinamici, soprattutto la rigidezza, dipendono infatti in larga misura da tale deformazione; in linea di principio per ogni valore di schiacciamento il pneumatico presenta caratteristiche differenti di elasticità e smorzamento. Sul pneumatico anteriore si sono condotte anche prove con masse di zavorra e conseguenti deformazioni differenti, in modo da poter analizzare la dipendenza del comportamento dinamico dal carico applicato. Le forzanti adottate per la caratterizzazione dinamica sono state di tipo sinusoidale in controllo di spostamento, sebbene nella realtà si presentino sollecitazioni ben più complesse. Effettuate le prove, si è passati all analisi dei risultati sperimentali, condotta con lo scopo di validare il modello di dinamica verticale del pneumatico proposto, e di ottenere quindi gli

104 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 99 andamenti dei parametri K e c in funzione della frequenza d eccitazione, della sua ampiezza, della pressione di gonfiaggio della gomma. Mediante la costruzione per punti della risposta in frequenza della gomma per ogni condizione di prova, è stato possibile ricavare i valori cercati, e completare una mappatura del comportamento dinamico del sistema. È stato possibile inoltre completare con una certa precisione la caratterizzazione dei parametri del modello dinamico dell intera vettura di FORMULA 3, valutando l influenza del pneumatico sul comportamento del sistema globale Descrizione della procedura di prova Dopo aver schematizzato il pneumatico come un sistema dinamico a un grado di libertà definito da due parametri concentrati, lo scopo delle prove sperimentali è stato quello di definire tali parametri e validare con i risultati trovati il semplice modello. Il pneumatico anteriore è stato zavorrato con una massa di kg, pari alla percentuale della massa totale della vettura che si scarica su metà dell asse anteriore (vedi dettagli in Figura 4.2.2). Figure (a) e (b). Il pneumatico PIRELLI F3 anteriore zavorrato.

105 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 100 La zavorra è stata realizzata in piombo con due differenti tecniche per il lato esterno ed interno del cerchione; su quello interno, figura (b), è stata fissata una campana circolare in lamierino d acciaio saldato in cui è stato fuso del piombo per una massa totale di 50 chilogrammi. Sul lato esterno del cerchione, riportato nella figura (a), si sono impacchettate una serie di lastre di piombo dello spessore di 2 millimetri, appositamente sagomate, ciascuna di massa pari a 2.2 kg. In questo modo è stato possibile effettuare le prove con masse differenti semplicemente scegliendo il numero di lastre da applicare. Le due zavorre sono state tenute assieme da una barra filettata in acciaio del diametro di 22 mm, avvitata direttamente nella campana da una parte, munita di bullone di serraggio dall altra. Il pacchetto di lastre sull esterno del cerchione è stato ulteriormente assicurato dal serraggio di due viti a prigioniero sulla flangia di supporto (traversa in nero di Figura (a)). È stato calcolato il baricentro della distribuzione di massa delle due zavorre, e distanziali di diverse misure sono stati interposti tra il piano d appoggio del cerchione e le due flange, in modo da equilibrare staticamente il pneumatico per impedire l insorgere di moti in direzioni che non fossero quella verticale. La prima soluzione di vincolamento adottata ha previsto l utilizzo di un supporto in acciaio reso Figure (a) e (b). Vincolamento del pneumatico con guida e supporto.

106 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 101 solidale al corpo dell attuatore oleodinamico tramite una serie di bulloni, e munito di un incastellatura con due guide verticali; i particolari sono mostrati nelle Figure (a) e (b). La gomma è tenuta in posizione da due perni in grado di scorrere nelle guide, e un braccio in acciaio saldato al fondo della campana ne impedisce i movimenti laterale e longitudinale; il movimento verticale del pneumatico è invece reso possibile dalle due guide, che durante le prove sono state periodicamente lubrificate. Il maggiore inconveniente che tale soluzione concettualmente molto semplice ha presentato, è stato quello legato all insorgere di martellamenti dei perni sulle guide e di conseguenti disturbi, rilevanti per le frequenze di risonanza, nel moto libero del pneumatico; a poco è servito stringere maggiormente i bulloni dei perni per ridurre i giochi presenti, in quanto la gomma ha cominciato a muoversi descrivendo un semiarco nel piano verticale con centro in prossimità dei due perni. La seconda soluzione adottata, dimostratasi vincente, ha previsto l impiego di alcune funi munite di tiranti per regolarne la tensione, ancorate da una parte al pneumatico, in modo da impedirne il rotolamento o il movimento laterale, dall altra a due supporti fissi. Tale soluzione, mostrata nelle due figure seguenti, ha permesso il movimento nel senso esclusivamente verticale, o quasi, del pneumatico, eccitato alla base dal movimento controllato dell attuatore. La rigidezza delle funi in tensione, essendo queste disposte orizzontalmente, non ha influenzato significativamente quella del sistema oggetto del test. Regolando la tensione tramite i tiranti (Figura pagina seguente), si è potuta inoltre ottenere una soddisfacente condizione di moto anche nelle Figura Impiego delle funi.

107 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 102 frequenze di risonanza, particolarmente delicate da questo punto di vista in quanto in corrispondenza di tali forzanti il pneumatico ha presentato evidenti saltellamenti e rimbalzi sulla pedana di appoggio con conseguente perdita di contatto del battistrada. Figura Le funi con i tiranti per regolarne la tensione. Infine, per valutare l influenza dei parametri fisici e ambientali sul comportamento dinamico della gomma, è stata variata la pressione di gonfiaggio e sono state impiegate delle termocoperte, dello Figura Il pneumatico riscaldato per le prove in temperatura. stesso tipo di quelle usate per le prove statiche, per mandare in temperatura la carcassa e il battistrada del pneumatico. Come già puntualizzato, le prove a caldo rivestono grande importanza nella valutazione dello scostamento tra il banco di prova e le condizioni di impiego su pista.

108 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Acquisizione dei dati e costruzione della risposta in frequenza del sistema Il sistema di acquisizione dati ha previsto l impiego di due accelerometri, uno disposto sulla gomma, l altro sul piattello dell attuatore, di un potenziometro per acquisire il segnale di spostamento relativo tra mozzo del pneumatico e attuatore, e della cella di carico posta nel corpo dell attuatore per rilevare la contact patch load (forza di contatto a terra) del pneumatico. Un esempio di tutti questi segnali, acquisiti alla frequenza di 4 Hz per il pneumatico anteriore, è riportato nelle Figure La risposta in frequenza del sistema è stata costruita per punti utilizzando i segnali di accelerazione della massa sospesa (pneumatico + zavorra) e della base eccitatrice (piattello dell attuatore). Con riferimento al modello di Figura 4.2.1, l equazione che descrive il comportamento del sistema oscillante lineare a parametri concentrati e un grado di libertà, con eccitazione alla base, si scrive: M p x+ c( x y) + K( x y) = 0 (4-1) dove x = coordinata di spostamento verticale del mozzo del pneumatico [mm] y = coordinata di spostamento verticale del piattello [mm] z = x y spostamento relativo [mm] M p = massa totale pneumatico [kg] c = c(z, ω, A in, p, T) smorzamento del pneumatico [Ns/m] K = K(z, ω, A in, p, T) rigidezza del pneumatico [N/m] oppure [kg/mm] f = frequenza dell eccitazione [Hz] ω = 2πf = pulsazione dell eccitazione [rad/s] 2 cω ϕ = arctg angolo di sfasamento tra ingresso e uscita [rad] 2 K Mω p A in = ampiezza della forzante [mm] p = pressione di gonfiaggio del pneumatico [bar] T = temperatura del pneumatico [ C].

109 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 104 Mediante la sostituzione z = x y, la (4-1) può essere scritta + M p z+ c z Kz = M p y (4-2). È molto importante notare che le equazioni differenziali a coefficienti non costanti (indagine della ricerca) (4-1) e (4-2), sono relative al modello di Figura se e solo se il vincolo di contatto battistrada - suolo è bilatero, non permette cioè il distacco da terra del pneumatico. Di tale ipotesi si terrà conto in seguito. La risposta del sistema in termini di rapporto tra le accelerazioni e sfasamento tra entrata ed uscita, è stata costruita per punti, ognuno relativo alla frequenza di prova, presupponendo che per ognuno di tali punti il sistema fosse lineare. Di conseguenza, per ogni ϖ fissata, sia l eccitazione della base che la risposta del sistema si possono scrivere in forma sinusoidale: y = A x = A in out sen sen ( ϖt) ( ϖt ϕ ) eccitazione risposta in cui A in e A out sono le ampiezze delle oscillazioni, ϕ lo sfasamento tra le due grandezze. Per costruire la risposta del sistema si è quindi calcolato il rapporto β tra le due accelerazioni: β = x y passando attraverso la funzione di trasferimento tra i due segnali valutata alla frequenza di interesse. In modo analogo è stato ricavato lo sfasamento ϕ espresso in radianti per la costruzione per punti del diagramma della fase, andando cioè a leggere la parte immaginaria della funzione di trasferimento nel punto corrispondente a ϖ, dove la coerenza si presentava di valore unitario. Di seguito viene riportata la metodologia di acquisizione dati e costruzione della risposta in frequenza del sistema adottata, nel caso relativo al pneumatico PIRELLI anteriore, con M p = kg A in = 1 mm p = 1.05 bar T = T amb = 24 C.

110 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Con la gomma zavorrata e le funi di contenimento in posizione, si avvia il banco di prova Seven-Poster mandando in temperatura l olio in pressione nell attuatore. Viene azzerato il valore letto dalla cella di carico prima di appoggiare con l ausilio di un paranco il pneumatico sulla pedana. 2. Viene impostata la campagna di prove, che prevede in questo caso una legge di spostamento y dell attuatore della forma ( 2 ) y = 1 sen πft [mm] per f = 1 20 Hz con il seguente step: f [Hz] Il tempo t è stato generalmente pari a secondi, mentre l acquisizione dei segnali è stata limitata agli ultimi 10 secondi; questo per escludere dall analisi un breve transitorio iniziale. Nelle Figure si riportano gli andamenti nel tempo acquisiti delle accelerazioni, (a) e (b), dello spostamento relativo z, (c), della forza di contatto a terra (d) per la frequenza di 4 Hz. Figure (a) e (b). Accelerazioni della massa sospesa e della base a f = 4 Hz. Nelle Figure (e) ed (f) vengono diagrammati invece gli andamenti temporali del movimento sinusoidale del piattello e della sua velocità, calcolata semplicemente derivando lo spostamento rispetto al tempo.

111 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 106 Figure (c) e (d). Spostamento relativo z = x - y e forza di contatto a terra a f = 4 Hz. Figure (e) ed (f). Spostamento e velocità del piattello a f = 4 Hz. 3. Per ogni frequenza analizzata si è valutato il valore della funzione di trasferimento tra accelerazione del mozzo e accelerazione del piattello alla frequenza corrispondente, ricavando il rapporto β. La funzione di trasferimento è stata calcolata con un programma dedicato sviluppato nell ambiente di MatLab. Da un analoga analisi sulla fase dei due segnali sono stati ottenuti i valori dello sfasamento ϕ, che hanno permesso la costruzione per punti del diagramma di fase del sistema. Tale diagramma si rivela particolarmente importante per valutare la presenza di risonanze nella funzione di risposta in frequenza, evidenziate da repentini e più o meno drastici cambiamenti della fase.

112 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Con i punti ottenuti si costruiscono i diagrammi di ampiezza e fase, riportati di seguito a titolo di esempio, e relativi allo specifico caso considerato. 10 b f [Hz] Figura Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI anteriore, per A in = 1 mm, p =1,05 bar. 0 f [Hz] ,57 f [rad] -3,14 Figura Andamento della fase della risposta di Figura Nella curva di risposta del sistema è evidente una prima netta risonanza alla frequenza di 6 Hz, ed un secondo picco di ampiezza molto più contenuta in corrispondenza di 19 Hz; il diagramma della fase conferma la presenza di queste due risonanze con un cambiamento di π radianti in corrispondenza del picco principale, e una campana alla frequenza di 19 Hz.

113 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa kg Nelle figure da a si riportano le curve di risposta in frequenza del pneumatico anteriore PIRELLI F3, di massa globale pari a kg, costruite seguendo la metodologia esposta al punto precedente. Si ricorda che in ascisse viene riportata la frequenza f di eccitazione in Hz, in ordinate il rapporto adimensionale β tra l accelerazione rilevata sperimentalmente del mozzo e quella dell attuatore; ogni diagramma di β in funzione di f, è seguito dalla relativa rappresentazione della fase. I parametri che sono stati variati sono la pressione di gonfiaggio p espressa in bar e l ampiezza dell eccitazione A in in millimetri, secondo lo schema riassuntivo sotto riportato: Pneumatico PIRELLI F3 anteriore, 200/ Massa kg. Pressione [bar] Ampiezza di y(t) [mm] Le prime tre coppie di diagrammi sono relativi alle prove condotte a temperatura ambiente, ovvero a freddo, mentre gli altri sei diagrammi alle prove con il pneumatico in temperatura con la termocoperta attivata (vedi Figura 4.2.6). La distribuzione di temperatura rilevata in quest ultimo caso è risultata molto simile a quella delle prove statiche condotte sulla pressa (Capitolo 4.1), ovvero battistrada a circa C, spalle e cerchione a C. Le pressioni durante le prove in temperatura sono state mantenute agli stessi valori dei test a freddo per poter avere un riscontro diretto.

114 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 109 Prove a freddo. 9 b Pneumatico anteriore, pressione 1.05 bar T = Tamb Ain = 2 mm Ain = 1.5 mm Ain = 1 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.05 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57-3,14 Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.05 bar f [Hz] Ain = 2 mm Ain = 1.5 mm Ain = 1 mm Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.

115 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico anteriore, pressione 1.25 bar T = Tamb Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.25 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57 Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.25 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.

116 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico anteriore, pressione 1.50 bar T = Tamb Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.50 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57 Pneumatico anteriore, T = Tamb, pressione 1.50 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a freddo e pressione di 1.50 bar.

117 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 112 Prove a caldo. 8 b Pneumatico anteriore, pressione 1.05 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.05 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57 Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.05 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.05 bar.

118 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico anteriore, pressione 1.25 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.25 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57 Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.25 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.25 bar.

119 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico anteriore, pressione 1.50 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.50 bar. Angolo di sfasamento f [rad] 0-1,57 Pneumatico anteriore, T = Thot, pressione 1.50 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi del pneumatico anteriore a caldo e pressione di 1.50 bar.

120 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 115 Un confronto tra le risposte del pneumatico al variare della pressione si può ottenere sovrapponendo i diagrammi relativi ad una specifica ampiezza di ingresso A in a differenti pressioni di gonfiaggio. b Pneumatico anteriore a freddo al variare della pressione Ain = 1 mm. p = 1.05 bar p = 1.25 bar p = 1.50 bar f [Hz] Figura Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 1 mm. b P n e u m a tic o a n te r io r e a fr e d d o a l v a r ia r e d e lla p r e s s io n e A in = 1.5 m m. p = b a r p = b a r p = b a r f [H z ] Figura Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 1.5 mm.

121 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 116 b Pneumatico anteriore a freddo al variare della pressione Ain = 2 mm. p = 1.05 bar p = 1.25 bar p = 1.50 bar f [Hz] Figura Risposta in frequenza a freddo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 2 mm. b Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione Ain = 1 mm. p = 1.05 bar p = 1.25 bar p = 1.50 bar f [Hz] Figura Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 1 mm.

122 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 117 b Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione Ain = 1.5 mm. p = 1.05 bar p = 1.25 bar p = 1.50 bar f [Hz] Figura Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 1.5 mm. b 6 5 Pneumatico anteriore a caldo al variare della pressione Ain = 2 mm. 4 3 p = 1.05 bar p = 1.25 bar p = 1.50 bar f [Hz] Figura Risposta in frequenza a caldo al variare della pressione di gonfiaggio per A in = 2 mm.

123 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 posteriore. Massa kg Prove a temperatura ambiente 12 b Pneumatico poseriore, pressione 1.05 bar T = Tamb Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.05 bar. Angolo di sfasamento [f ] 0-1,57 Pne umatico poste riore, pressione 1.05 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.05 bar.

124 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico poseriore, pressione 1.25 bar T = Tamb Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar. Angolo di sfasamento [f ] 0-1,57 Pneumatico posteriore, pressione 1.05 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.

125 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico poseriore, pressione 1.50 bar T = Tamb Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar. Angolo di sfasamento [f ] 0-1,57 Pneumatico posteriore, pressione 1.50 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore a freddo e pressione di 1.25 bar.

126 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici 121 Prove con il pneumatico in temperatura 12 b Pneumatico poseriore, pressione 1.05 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain =1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.05 bar.. Angolo di sfasamento [f] 0-1,57 Pneumatico posteriore, pressione 1.05 bar f [Hz] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain =2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.05 bar.

127 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico poseriore, pressione 1.25 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.25 bar. 0 Pneumatico posteriore, pressione 1.25 bar f [Hz] Angolo di sfasamento [f ] -1,57 Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.25 bar.

128 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici b Pneumatico poseriore, pressione 1.50 bar T = Thot Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm f [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.50 bar. 0 Pneumatico posteriore, pressione 1.50 bar f [Hz] Angolo di sfasamento [f ] -1,57 Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm -3,14 Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico posteriore in temperatura e pressione di 1.50 bar.

129 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 67 kg 6 b 5 Risposta in frequenza del pneumatico anteriore m = 67 kg, p=1.05 bar T = Tamb 4 3 Ain = 1 mm Ain = 2 mm Frequenza [Hz] Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo con m = 67 kg, p = 1.05 bar. Fase del pneumatico anteriore con m= 67 kg. 3,14 Angolo di sfasamento f [rad] 2,36 1,57 0,79 Ain = 1 mm Ain = 2 mm 0, Frequenza [Hz] Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico anteriore a freddo con m = 67 kg, p = 1.05 bar.

130 Capitolo 4.2. Caratterizzazione dinamica dei pneumatici Risposta in frequenza del pneumatico PIRELLI F3 anteriore. Massa 90 kg 8 Figura Risposte in frequenza del pneumatico anteriore a freddo con m = 90 kg, p = 1.05 bar. b Risposta in frequenza del pneumatico anteriore m = 90 kg, p = 1.05 bar T = Tamb 4 Ain = 1 mm 3 Ain = 2 mm Frequenza [Hz] 3,14 Fase delpneumatico anteriore con m = 90 kg. Angolo di sfasamento f [rad] 2,36 1,57 0,79 Ain = 1 mm Ain = 2 mm 0, Frequenza [Hz] Figura Diagrammi delle fasi per il pneumatico anteriore a freddo con m = 90 kg, p = 1.05 bar.

131 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati Analisi e discussione dei dati sperimentali Osservazioni Una prima analisi visiva delle curve in frequenza esposte alla sezione precedente ha portato alle seguenti osservazioni: 1. La risposta in frequenza del sistema presenta una netta risonanza, il cui valore non si mantiene costante al variare dell ampiezza di eccitazione e della pressione di gonfiaggio del pneumatico 2. Altri picchi in frequenza, di ampiezza molto più attenuata, sono in genere presenti nelle risposte sperimentali; la loro origine è stata associata al visibile traballamento in senso laterale della gomma posta sull attuatore, all uscita dalla risonanza. La causa di ciò è stata imputata allo sbalzo della zavorra, non perfettamente centrata, e al sistema di vincolamento del pneumatico. I punti che definiscono questi picchi, pur essendo stati riportati interamente in quanto parte dell acquisizione sperimentale, non sono stati considerati in fase di analisi 3. Il sistema evidenzia le sue caratteristiche di non-linearità, in quanto non si ha mai la coincidenza delle curve relative a diversi valori di A in, ampiezza della forzante sinusoidale. L analisi è stata condotta quindi punto per punto. 4. L analisi delle curve di risposta nel tempo ha confermato l andamento sinusoidale periodico del segnale di uscita, il quale, se sovrapposto a quello di ingresso, mostra uno smorzamento nell ampiezza ed un ritardo di fase 5. Nell intorno della frequenza di risonanza il pneumatico mostrava evidenti saltellamenti sul piattello dell attuatore oleodinamico, con conseguente perdita di contatto temporaneo. I valori calcolati con il modello proposto, che non considera la possibilità di una perdita di contatto tra il battistrada e il suolo, non sono quindi da ritenersi attendibili per le frequenze in cui il pneumatico saltella. Queste sono state stimate attraverso l analisi della curva nel dominio del tempo della forza di contatto gomma-piattello, per ciascuna frequenza. Le frequenze in cui la forza si annulla (perdita del contatto), non possono essere incluse nel calcolo effettuato con il

132 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 127 modello a contatto. Rigidezza e smorzamento sono stati calcolati quindi con un altro metodo, detto della larghezza di banda. 6. Il segnale che si ha in uscita per le frequenze lontane dalle risonanza è molto basso, essendo molto ridotto il valore di β Calcolo della rigidezza e dello smorzamento con modello a contatto Il calcolo dei parametri del modello dinamico di pneumatico considerato, la rigidezza K e lo smorzamento c, è stato in un primo tempo effettuato analizzando per punti le curve di risposta in frequenza; per ciascun punto sperimentale si sono applicate le formule relative alla vibrazione di un sistema ad un grado di libertà. La risposta in frequenza per tale sistema vale x β = = y A A out in = 1+ ( 2ζω / ω n ) 2 2 ( ω / ω ) + 2 [ 1 ] ( ζω / ω ) 2 n 2 n (4.3-1) in cui ζ = 2 c Km K ω n =. m Inoltre tra lo smorzamento e la rigidezza è valida la relazione: 2 ( K mω ) 1 c = tgϕ (4.3-2). ω Per cui tramite i valori della risposta β e dello sfasamento ϕ per ciascuna frequenza è stato possibile calcolare la rigidezza e lo smorzamento del pneumatico in funzione della frequenza nel campo di indagine e dell ampiezza di spostamento in ingresso. In Figura viene riportato un esempio di calcolo della rigidezza dinamica per punti espressa in [kg/mm]; è evidenziato l intervallo in cui il modello considerato non può essere impiegato, in quanto per tali frequenze la gomma perde il contatto con la base eccitatrice, nella fattispecie il piattello d appoggio dell attuatore oleodinamico. Di seguito, in Figura 4.3.2, è diagrammato lo smorzamento c in [Ns/m]; il suo andamento si rivela crescente al crescere della frequenza.

133 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 128 Figura Metodo di calcolo della rigidezza dinamica per punti Smorzamento [Ns/m] Ain = 1 mm Ain = 1.5 mm Ain = 2 mm Frequenza [Hz] Figura Smorzamento per il pneumatico anteriore con il metodo di calcolo per punti. Una serie di critiche oggettive è stata in seguito mossa verso il metodo di calcolo dei parametri a partire dall analisi puntuale della risposta; le curve di rigidezza in funzione della frequenza che ne risultano dimostrano che il sistema è di tipo softening, diminuisce cioè in rigidezza all aumentare della ampiezza di eccitazione. D altra parte l andamento complessivo della rigidezza mostra un carattere non definito che è stato considerato e poco attendibile: la zona di maggiore segnale, quella attorno alla risonanza, viene immancabilmente scartata, in quanto mostra una cuspide nel punto di

134 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 129 risonanza; inoltre alle basse frequenze, dove il pneumatico si muove pochissimo, si hanno valori molto elevati della rigidezza, la quale, contrariamente a quanto ci si aspetti, sembrerebbe calare all aumentare della frequenza. La presenza di altri picchi di minore entità (si vedano a riguardo le curve relative al pneumatico anteriore con masse di 67 e 90 kg), legati all insorgere di un altro modo di vibrare del pneumatico, seppure trascurata nel calcolo, va sicuramente a sporcare in modo tutt altro che quantificabile la risposta del modo verticale. Per tali motivi è stato impiegato un altro metodo, riportato di seguito, per il calcolo dei parametri dinamici; esso è stato scelto per la semplicità che lo contraddistingue e per il fatto che restringe l analisi ai punti maggiormente significativi attorno alla risonanza Il metodo della larghezza di banda La forma della risposta in frequenza di un sistema monodimensionale è strettamente correlata al valore del coefficiente di smorzamento. Diagrammando la risposta in frequenza del sistema in funzione del parametro adimensionale ω r = il valore β della risposta è esprimibile nella forma ω n 1 β = (4.3-3). 2 2 ( 1 r ) + ( 2rζ ) 2 Il metodo, detto anche half-power method, si basa sul calcolo del valore di r in corrispondenza di β pari a ( / 2) 1 volte il valore massimo, quello cioè in corrispondenza della risonanza. Poiché per r = 1 (condizione di risonanza naturale) è 1 ζ = 2 β r = 1 sostituendo nella (4.3-3) si ottiene = ζ rζ 2 2 ( 1 r ) + ( 2 ) 2

135 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 130 espressione che quadrata da entrambe le parti porta alla ( 2ζ 1) r + ( 1 8 ) = 0 4 r + 2 ζ (4.3-4). Nell ipotesi che il coefficiente di smorzamento sia molto piccolo, le radici della (4.3-4), trascurando gli ordini di ζ superiori al secondo, sono r r 1 2 = = 2 1/ 2 ( 1 2ζ 2ζ ) 2 ( 1+ 2ζ 2ζ ) 1/ 2 Elevando al quadrato e sottraendo la seconda equazione alla prima si ottiene infine 2 2 ( r r ) 1 ζ = 2 1 (4.3-5) 4 che è l espressione dello smorzamento cercata. L intervallo di frequenze comprese tra r 1 e r 2 viene chiamato banda di frequenza a mezza potenza, per il fatto che il lavoro dissipato ad ogni ciclo per effetto dell attrito viscoso del materiale in corrispondenza di r 1 o r 2, è approssimativamente la metà di quello dissipato in condizioni di risonanza. In Figura viene mostrato il metodo della larghezza di banda per la valutazione di ζ; tracciando la retta parallela all asse delle ascisse per il valore di = ( 1 / 2) β r= 1 risposta i due valori r 1 ed r 2, ed è possibile l utilizzo della (4.3-5). β si trovano sulla curva della Figura Metodo delle larghezza di banda.

136 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 131 Per il calcolo della rigidezza si ha poi ω K m 2 2 d = ω n 1 2ζ = 1 2ζ. Figura Metodo delle larghezza di banda applicato ad una curva sperimentale Risultati delle prove sperimentali I valori di rigidezza e di smorzamento sono stati diagrammati in funzione della ampiezza della forzante A in espressa in millimetri e della pressione di gonfiaggio p in bar. Non essendo stato possibile calcolare i due parametri per tutte le frequenze investigate, è stato effettuato un raffronto con le prove del pneumatico con zavorra di 67 e 90 chilogrammi, in modo tale da traslare la frequenza di risonanza. Dall analisi di tali valori, seppure scarsi in numero, si è dedotto che la rigidezza dinamica e lo smorzamento non subiscono, nell intorno delle frequenze in esame, apprezzabili cambiamenti.

137 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 132 È possibile quindi costruire i diagrammi di K e c non considerando l influenza della frequenza senza commettere un grande errore, in quanto le risonanze sono molto vicine tra loro. In tabella vengono riportati i risultati delle prove sperimentali. Pneumatico Anteriore, massa = kg A temperatura ambiente p [bar] 1,05 1,25 1,5 A in [mm] 1 1, , ,5 2 K [kg/mm] 20,1 19,2 17,0 21,0 20,2 18,3 22,1 21,4 20,3 f d [hz] 6,0 6,0 5,5 6,5 6,0 5,7 6,5 6,5 6,0 c [Ns/m] 341,7 410,0 547,9 408,0 426,8 486,3 444,5 600,8 710,2 In temperatura p [bar] 1,05 1,25 1,5 A in [mm] 1 1, , ,5 2 K [kg/mm] 18,2 17,6 16,6 19,0 18,2 17,0 21,0 20,2 18,3 f d [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,5 6,0 5,7 c [Ns/m] 274,1 405,0 549,9 324,5 401,0 507,9 526,3 689,4 754,2 Pneumatico Posteriore, massa = 137,2 kg A temperatura ambiente p [bar] 1,05 1,25 1,5 A in [mm] 1 1, , ,5 2 K [kg/mm] 20,5 19,8 18,0 21,1 20,4 19,3 22,3 21,4 19,6 f d [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,5 6,0 5,7 c [Ns/m] 346,6 526,3 620,0 511,5 574,9 638,6 666,6 657,0 689,9 In temperatura p [bar] 1,05 1,25 1,5 A in [mm] 1 1, , ,5 2 K [kg/mm] 20,0 19,1 17,8 20,6 19,6 18,9 21,6 20,8 18,6 f d [hz] 5,7 5,5 5,5 6,0 5,7 5,5 6,0 5,7 5,7 c [Ns/m] 469,6 557,2 711,9 422,3 514,9 656,0 477,7 546,3 722,2 Pneumatico Anteriore, massa = 67 kg A temperatura ambiente Pneumatico Anteriore, massa = 90 kg A temperatura ambiente p [bar] 1,05 p [bar] 1,05 A in [mm] 1 2 A in [mm] 1 2 K [kg/mm] 21,0 17,2 K [kg/mm] 20,2 17,0 f d [hz] 7,4 6,8 f d [hz] 6,6 6,2 c [Ns/m] 459,9 643,8 c [Ns/m] 413,3 599,9

138 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 133 Figura Rigidezza verticale in [kg/mm]del pneumatico anteriore in funzione della frequenza. Figura Smorzamento in [Ns/m] del pneumatico anteriore in funzione della frequenza.

139 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 134 Figura Rigidezza verticale del pneumatico anteriore a temperatura ambiente in funzione di A in della forzante e della pressione di gonfiaggio. Figura Smorzamento del pneumatico anteriore a freddo in funzione di A in della forzante e della pressione.

140 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 135 Figura Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 anteriore in temperatura in funzione di A in della forzante e della pressione di gonfiaggio. Figura Smorzamento del pneumatico anteriore a caldo in funzione di A in della forzante e della pressione.

141 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 136 Figura Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 posteriore a temperatura ambiente in funzione di A in della forzante e della pressione di gonfiaggio. Figura Smorzamento del pneumatico posteriore a freddo in funzione di A in e della pressione.

142 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 137 Figura Rigidezza verticale del pneumatico PIRELLI F3 posteriore in temperatura in funzione di A in della forzante e della pressione di gonfiaggio. Figura Smorzamento del pneumatico posteriore a caldo in funzione di A in e della pressione.

143 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati ,0 20,0 Rigidezza [kg/mm] 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 Temperatura ambiente Temperatura di esercizio p=1.05 bar 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Ampiezza Ain [mm] Figura Confronto tra le rigidezze a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore. 800,0 Smorzamento [Ns/m] 700,0 600,0 500,0 400,0 300,0 200,0 Temperatura ambiente Temperatura di esercizio p=1.05 bar 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Ampiezza Ain [mm] Figura Confronto tra gli smorzamenti a freddo ed in temperatura per il pneumatico anteriore. Discussione dei risultati I risultati ottenuti per i due pneumatici PIRELLI F3 anteriore e posteriore sono stati ricavati dalle prove sperimentali condotte su uno degli attuatori del Seven-Poster Rig. Le prove sono state condotte con i pneumatici a temperatura ambiente e a caldo ad una temperatura prossima a quella di esercizio su pista. È stata variata la pressione di gonfiaggio, l ampiezza dello spostamento sinusoidale del piattello dell attuatore e, per il pneumatico anteriore, il carico applicato.

144 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati 139 Per la caratterizzazione del comportamento dinamico verticale del pneumatico è stato adottato un semplice modello a due parametri concentrati che tengano conto della rigidezza e dello smorzamento del sistema. In generale tali parametri hanno dimostrato, in accordo con le ipotesi di non-linearità del sistema, di essere funzione di tutti i parametri in ingresso; in particolare la deformazione verticale del pneumatico si è rivelato il fattore più incisivo. Una prima metodologia impiegata per il calcolo di K e di c non ha portato a risultati apprezzabili per una serie di motivi: il pneumatico perdeva di contatto nell intorno di frequenze vicino a quella della risonanza, e la sua risposta non poteva essere valutata. Per le altre frequenze, a causa della tipologia di modello ad un grado di libertà impiegato, non è stato possibile valutare l influenza che altri modi di vibrare insorti hanno causato nella risposta, ed il segnale si è presentato molto debole lontano dalle risonanze. Una valutazione approssimata del comportamento dinamico dei pneumatici è stata tuttavia allora analizzando i picchi di risonanza della funzione di risposta in frequenza con il metodo della larghezza di banda a mezza potenza, il quale ha fornito rigidezza e smorzamento per ogni valore dell ampiezza della curva di eccitazione in ingresso. Le prove a massa differente, effettuate solamente sul pneumatico anteriore, hanno dimostrato che la rigidezza, nell intorno delle frequenze in esame, non subisce grandi variazioni, ed il suo valore è leggermente superiore a quello statico. Questo fatto ha permesso di analizzare il comportamento dinamico del sistema per le frequenze attorno alla risonanza, valutando l influenza degli altri parametri. La deformazione statica iniziale attorno alla quale il pneumatico oscilla, corrisponde in ogni caso a quella presente sulla vettura non in movimento. L analisi dei risultati può essere soggetta alle seguenti conclusioni: 1. Entrambi i pneumatici PIRELLI hanno mostrato un calo di rigidezza, accompagnato da un aumento dello smorzamento, all aumentare dello spostamento della base eccitatrice (comportamento di tipo softening) 2. Un aumento della pressione di gonfiaggio provoca l irrigidimento del pneumatico, e l effetto è più marcato per una maggiore ampiezza dell eccitazione della base

145 Capitolo 4.3. Analisi e discussione dei dati I pochi punti a disposizione per l analisi della dipendenza dal carico per il pneumatico anteriore mostrano un leggero aumento di rigidezza all aumentare della frequenza. Questo fatto è peraltro in linea con il comportamento viscoelastico della gomma. Per le frequenze di indagine, pari a 6, 6.6 e 7.4 Hz, il pneumatico mostra inoltre una rigidezza molto simile. Tale rigidezza si mantiene comunque vicina ai valori di rigidezza statica. 4. L effetto della temperatura, coeteris paribus, è quello di abbassare i valori di rigidezza per entrambi i pneumatici ed innalzarne lo smorzamento. Le rigidezze dinamiche in temperatura sono quindi del tutto paragonabili a quelle calcolate nelle prove di caricamento statico.

146 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 141 Capitolo 5. Sviluppo di un modello matematico a parametri concentrati per la vettura F3 Introduzione Lo scopo di un modello matematico che simuli un certo fenomeno fisico, è essenzialmente quello di comprendere in modo veloce ed economico i parametri che regolano il fenomeno stesso, ed il ruolo ricoperto da ognuno di essi nella dinamica del sistema. Alla base dello sviluppo di uno strumento di simulazione realistico e flessibile, c è il processo di modellazione del sistema in esame; viene preso in considerazione ogni componente autonomo dal punto di vista dinamico, ed ogni organo in grado di trasmettere forze e accelerazioni. La modellazione si basa poi su determinate ipotesi più o meno semplificative, che si rivelano nella maggior parte dei casi i limiti del modello stesso. Mediante la rimozione di talune ipotesi si può comunque portare l evoluzione di ogni modello a livelli più spinti che forniscono risultati più attendibili o più significativi. L idea che sta alla base di ogni modellazione è però comune: un modello non va inteso come un esercizio matematico fine a se stesso, bensì come uno strumento da tarare con dati sperimentali la cui finalità è in fondo quella di supportare e completare l interpretazione di fenomeni fisici reali. Con tale spirito, con l ausilio di due modelli matematici di diversa complessità, è stata schematizzata ed analizzata la dinamica verticale vibratoria della vettura Dallara da FORMULA 3. Vista laterale della monoposto Dallara FORMULA 3.

147 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà Ipotesi semplificative e modello adottato Il modello è stato sviluppato con il modulo SIMULINK di MATLAB versione 5.1 che permette la simulazione di fenomeni fisici anche complessi. Lo schema di riferimento è quello della monosospensione di Figura (modello De Carbon), detto anche modello del quarto di macchina, qui riportato per comodità. Per lo sviluppo della simulazione sono state formulate le seguenti ipotesi: H 1. Il modello è a parametri concentrati H 2. I movimenti della vettura sono esclusivamente in direzione verticale H 3. Il modello è lineare H 4. Vengono trascurate le forze aerodinamiche H 5. Non si ha distacco del pneumatico dal suolo. Figura Modello a due gradi di libertà relativo a metà vettura. Secondo quanto riportato nello schema di figura, i parametri che caratterizzano il modello sono: M = massa sospesa sull anteriore o sul posteriore [kg] m = massa non sospesa (ruote e parte delle sospensioni) [kg] K a = costante elastica delle molle dell ammortizzatore [N/m] c a = costante di smorzamento dell ammortizzatore [Ns/m] K t = costante elastica dei pneumatici anteriore o posteriore [N/m].

148 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 143 Viene quindi trascurato, in prima approssimazione, il parametro di smorzamento dei pneumatici, i quali vengono schematizzati come una semplice molla. Le coordinate che definiscono il moto del sistema sono invece: x M = spostamento verticale della massa sospesa x m = spostamento verticale della massa non sospesa x = eccitazione data dal profilo altimetrico della strada. Le equazioni del moto delle due masse si scrivono.... M x M = ca x M + ca x m K a xm + K a x m (5.1-1).. m x m = c x M c x m + K x ( K + K ) x + K a. a. a M a t m t x (5.1-2) che sono due equazioni differenziali accoppiate in cui compaiono spostamenti, velocità e accelerazioni delle coordinate x M e x m. La contact patch load (CPL, forza di contatto a terra), che rappresenta la forza che si scambia il pneumatico con il terreno, è la quantità [ x ( t) x( )] CPL( t) = K t (5.1-3) t m mentre la strut force (SF, forza sugli ammortizzatori) che si scambiano massa sospesa e massa non sospesa, è definita da.. [ x ( t) x ( t) ] c x M ( t) x m ( t SF( t) = K a M m a ) (5.1-4). Più semplicemente allora le (5.1-1) e (5.1-2) si possono scrivere.. M x M =.. SF m x m = CPL SF (5.1-5) (5.1-6). Passando dal dominio del tempo a quello delle frequenze ed effettuando le trasformate di Laplace delle due equazioni (5.1-5) e (5.1-6) si ottengono facilmente le funzioni di trasferimento H m (s) e H M (s) nel dominio della variabile complessa s di Laplace, tra gli spostamenti assoluti x M della massa sospesa e x m di quella non sospesa (output) e lo spostamento della base x (input):

149 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 144 H X ( s) Ms + c s + K 2 m a a m ( s) = = (5.1-7) X ( s) Mm 4 M + m 3 K t + K a K a 3 s + ca s + ( M + m) s + ca s + K a K t K t K t K t H X ( s) c s + K M a a M ( s) = = (5.1-8). X ( s) Mm 4 M + m 3 K t + K a K a 3 s + ca s + ( M + m) s + ca s + K a K t K t K t K t Le due relazioni (5.1-7) e (5.1-8) sono alla base della costruzione del modello, in quanto operando una loro integrazione numerica secondo il metodo Runge-Kutta, il programma di simulazione calcola la risposta nel tempo del sistema ad un determinato input. Di seguito viene mostrata la costruzione a blocchi del modello nell ambiente di SIMULINK: la C:\matlab\work\input Ma.s 2+caa.s+Kaa as 4+bs 3+cs 2+caa.s+Kaa Tr fcn Xma Mux entrata Mux1 xma(t) du/dt 1 vma(t) du/dt 2 ama(t) caa.s+kaa as 4+bs 3+cs 2+caa.s+Kaa Tr fcn XMa Mux Mux2 xma(t) du/dt 3 vma(t) du/dt 4 ama(t) Figura Il modello elementare a due gradi di libertà sviluppato con SIMULINK. funzione di trasferimento viene calcolata nel dominio della frequenza, mentre l uscita torna ad essere nel dominio del tempo. L output di ogni segnale di interesse può essere visualizzato tramite un oscilloscopio virtuale e salvato nel workspace di MATLAB per la sua elaborazione.

150 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 145 Nell esempio di Figura gli output sono spostamenti, velocità e accelerazioni delle masse sospesa e non sospesa. Una volta tarato con i valori nominali dei parametri, quali masse, rigidezze e smorzamenti, il modello è pronto per la simulazione. L aspetto maggiormente interessante è quello di poter cambiare velocemente i valori dei parametri in gioco, analizzando le conseguenze che si hanno sulle curve delle funzioni di trasferimento. In un unico programma sviluppato nell ambito di MATLAB (Programma 1 negli allegati), vengono dichiarati i valori dei parametri omogenei nelle dimensioni, viene lanciata la simulazione, si calcolano le funzioni di trasferimento tra le grandezze di interesse e se ne costruisce il diagramma. Nel paragrafo successivo si riportano i risultati relativi ad una campagna di prove effettuate sull assale anteriore; l ingresso è definito da un onda sinusoidale che nel tempo di 100 secondi, mantenendo la sua ampiezza unitaria costante, passa dalla frequenza di 0.1 Hz alla frequenza di 25 Hz (chirp signal). Le funzioni di trasferimento e le relative fasi diagrammate sono relative a: 1. x M x = spostamento o accelerazione massa sospesa/spostamento o accelerazione della base in nero 2. x m = spostamento o accelerazione massa non sospesa/spostamento o accelerazione della base in x rosso 3. CPL = forza sulla massa non sospesa/forza di contatto a terra in blu. K x t Si riportano di seguito i digrammi delle tre funzioni di trasferimento e delle tre fasi per i valori dei parametri della vettura Dallara ricavati sperimentalmente: Ma = 191 Ma = 44 Ra = 0.91 [kg] MASSA SOSPESA [kg] MASSA NON SOSPESA Rapporto cinematico movimento molla/movimento ruota Caa = 3000/Ra^2 Ns/m SMORZAMENTO AMMORTIZZATORE riportato a terra Kaa = 800 lb/in RIGIDEZZA SOSPENSIONE

151 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 146 Kta = 17 ζ = [kg/mm] RIGIDEZZA PNEUMATICO Coefficiente di smorzamento Figura Funzioni di trasferimento e fasi per l asse anteriore a ζ = La prima osservazione riguarda la risposta in frequenza della massa sospesa: essa ha una prima netta risonanza alla frequenza di 4 Hz ed una seconda risonanza, molto meno evidente, alla frequenza di 14 Hz. Quest ultima è dovuta alla risonanza della massa non sospesa, ben visibile nella seconda curva in rosso, di cui anche il telaio risente. La curva in blu, che indica la tendenza ad oscillare della forza di contatto a terra, assume valore nullo per la frequenza nulla, ha una risonanza in corrispondenza del picco principale della massa sospesa per l effetto di trascinamento della massa stessa ed un altro picco molto meno accentuato in corrispondenza della risonanza del gruppo ruota.

152 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 147 È importante che tale curva si mantenga entro determinati valori per assicurare sempre il contatto a terra da parte del pneumatico e per non fare cadere in difetto l ipotesi H Influenza dei parametri del modello sul comportamento dinamico della vettura Lanciando la simulazione per svariati valori dei parametri che compaiono nel modello, è possibile comprendere a fondo l influenza di ogni cambiamento sulla dinamica verticale della vettura. In particolare l ottimizzazione del parametro di smorzamento degli ammortizzatori, per i motivi ampiamente discussi al Capitolo 2.2, è mirata ad ottenere un compromesso tra l ampiezza del picco della prima risonanza e il valore massimo della funzione di trasferimento della forza di contatto. Si vedrà infatti che i due aspetti sono in controtendenza. EFFETTO DELLA RIGIDEZZA DELLE SOSPENSIONI Figura Effetto della rigidezza delle molle della sospensione sull anteriore. In figura viene rappresentato l effetto che un irrigidimento delle sospensioni, a smorzamento costante, provoca sulla risposta della massa sospesa: si ha una maggiore amplificazione dell input e la risonanza trasla verso frequenze più alte.

153 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 148 Figura Effetto della rigidezza della sospensione sulla TRF della forza di contatto a terra. L effetto invece che l irrigidimento della sospensione ha sulla funzione di trasferimento della forza di contatto a terra, vedi Figura 5.1.5, è più limitato, e sembrerebbe indicare un peggioramento nella zona di risonanza della massa sospesa ed un miglioramento per le frequenze maggiori, dove la curva relativa alla rigidezza di 950 lb/in sta al di sotto delle altre. EFFETTO DELLA RIGIDEZZA DEI PNEUMATICI Figura Effetto della rigidezza dei pneumatici sulla risposta della massa sospesa. Aumentando la rigidezza dei pneumatici, di quelli anteriori nel caso considerato, si ha un maggiore smorzamento del movimento della massa sospesa alla frequenza di risonanza, mentre per la alte frequenze l effetto del cambiamento di rigidezza è trascurabile.

154 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 149 Figura Effetto della rigidezza dei pneumatici sulla risposta della forza di contatto a terra. La risposta in frequenza della fluttuazione della forza di contatto a terra ha un andamento molto simile, ma per le alte frequenze il pneumatico più rigido si dimostra meno efficace di quello con rigidezza di 14 kg/mm. Si può concludere che l irrigidimento dei pneumatici sortisce effetti opposti a quelli dati dall irrigidimento della sospensione. EFFETTO DELLA MASSA SOSPESA Figura Effetto della massa sospesa sulla risposta del sistema. L effetto di un diminuzione della massa della vettura nella risposta del sistema è evidente: il picco di risonanza si sposta verso frequenze più alte e si attenua in ampiezza.

155 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 150 Figura Effetto della massa sospesa sulla risposta del sistema. La forza di contatto a terra presenta un andamento simile; l effetto della massa sospesa si fa sentire nell intorno della prima risonanza, in cui è preferibile un corpo vettura più pesante (notare la curva rossa e la nera), mentre non sembra influenzare significativamente le curve ad alta frequenza. EFFETTO DELLA MASSA NON SOSPESA Per meglio apprezzare l effetto di questo parametro sulla dinamica del sistema, la risposta in frequenza della massa sospesa è stata diagrammata in scala semilogaritmica. Figura Effetto della massa non sospesa sulla vibrazione della massa sospesa.

156 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 151 Si nota chiaramente l effetto della massa non sospesa sulla seconda risonanza, la quale, in seguito ad una diminuzione della stessa, viene traslata verso frequenze maggiori e smorzata notevolmente. Figura Effetto della massa non sospesa sulla forza di contatto a terra. Ecco un buon motivo per mantenere basso il valore della massa non sospesa, soprattutto nell ambito delle competizioni, dove i cerchi in lega leggera vengono universalmente adottati. Scavando nel passato della FORMULA 1, si trova che Lotus e Ferrari sperimentarono ed adottarono in gara i dischi dei freni posteriori on board, solidali cioè al corpo della vettura, per alleggerire le ruote. Un altro ottimo motivo per mantenere basso il valore della massa sospesa è rappresentato in Figura , in cui si apprezza il maggiore smorzamento nella curva della forza di contatto a terra relativa alla massa di 25 kg, sia nel primo che soprattutto nel secondo picco. EFFETTO DELLO SMORZAMENTO DELLE SOSPENSIONI Lo smorzamento della sospensione rappresenta il parametro più delicato e forse di maggior peso nella taratura e messa a punto della vettura, sia da strada che da competizione. Si è visto che la vettura da corsa viene dotata di ammortizzatori con smorzamento molto alto, con coefficiente ζ attorno a 0.45, per avere una bassa trasmissibilità delle sollecitazioni stradali ed esterne; tuttavia lo smorzamento non può essere troppo elevato per non irrigidire eccessivamente la vettura, e sortire in questo modo l effetto opposto. La forza di contatto a terra, molto importante per la tenuta di strada, ne risentirebbe, in quanto i pneumatici diventerebbero l unica rigidezza presente nel sistema.

157 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 152 Figura Risposta in frequenza della massa sospesa per diversi valori del coefficiente di smorzamento. In Figura vengono riportate in scala semilogaritmica cinque funzioni di trasferimento della massa sospesa per cinque valori di smorzamento della sospensione: Colore curva Smorzamento sospensione [Ns/m] Coeff. di smorzamento ζ NERO ROSSO VERDE TURCHESE BLU Come mostrano le curve riportate, un valore di smorzamento alto è decisamente preferibile, in quanto le due risonanze vengono parecchio attenuate, sebbene per le frequenze comprese tra i due picchi e per quelle maggiori del secondo picco si abbia un attenuazione minore. Inoltre, contrariamente a quanto accade per il modello ad un grado di libertà, aumentando il valore di ζ il primo picco di risonanza della massa sospesa trasla verso frequenze più alte, passando, nell esempio considerato, da 4 a 4.6 Hz. La seconda risonanza, relativa alla massa non sospesa, si sposta invece nel verso opposto.

158 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 153 Diagrammando le curve della funzione di trasferimento della forza di contatto battistrada-suolo per gli stessi valori del coefficiente di smorzamento, si ritrovano andamenti analoghi. Figura Funzioni di trasferimento della forza di contatto per diversi valori di ζ. Aumentando lo smorzamento i due picchi nella risposta in frequenza della forza si abbassano notevolmente, in modo particolare quello relativo alla prima risonanza. Ma non è così per tutto lo spettro delle frequenze: in particolare si nota come per le frequenze intermedie, tra le due risonanze, un valore elevato dello smorzamento peggiori la trasmissione della forza a terra, in quanto si ha un grande spostamento relativo tra la base eccitatrice e la massa non sospesa. Va cercato quindi un compromesso per trovare una situazione di equilibrio tra le due esigenze, smorzare le oscillazioni delle masse sospesa e non sospesa e mantenere entro certi limiti le oscillazioni della forza tra pneumatico e strada. Il modello De Carbon a due gradi di libertà purtroppo non è in grado di fornire degli indici valutativi in merito, e questo a causa della sua semplicità intrinseca. Alle alte frequenze infatti, secondo questo modello, il movimento della massa sospesa è bassissimo, e l input alla base si traduce in movimento della massa non sospesa, la quale agisce da filtro. Nella realtà ciò non accade, o accade molto meno, e lo smorzamento delle sospensioni non viene scelto eccessivamente grande per non alterare il filtraggio alle alte frequenze.

159 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 154 RISPOSTA AD INPUT DI TIPO RANDOM Un interessante applicazione del modello matematico a due gradi di libertà esposto è quella che prevede un input di tipo random in grado di meglio rappresentare un possibile profilo stradale. L input del tipo chirp signal è stato adottato in precedenza per determinare in modo pulito la risposta del sistema ad una sollecitazione sinusoidale di frequenza crescente ed ampiezza costante; i parametri che regolano l ingresso random sono invece più generici, in quanto viene definito il valore medio dell ingresso (zero) e la varianza della distribuzione gaussiana della frequenza di eccitazione. Nel tempo della simulazione, il calcolatore genera poi un segnale casuale la cui ampiezza varia entro determinati limiti, e contenente molte delle frequenze appartenenti all intervallo specificato. Figure Spostamento adimensionalizzato della massa sospesa in risposta all ingresso di tipo chirp (a) e all ingresso di tipo random (b). Nelle Figure (a) e (b) vengono paragonate le uscite nel dominio del tempo, nella fattispecie lo spostamento della massa sospesa, per i due tipi di ingresso. Nonostante l estrema diversità della risposta nel dominio del tempo all ingresso random, tutte le funzioni di trasferimento, ovvero le risposte del sistema nel dominio della frequenza, considerate (masse sospesa e non sospesa, forza di contatto pneumatico-suolo) sono praticamente uguali a quelle calcolate in precedenza.

160 Capitolo 5.1. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a due gradi di libertà 155 Questo lascia intendere l utilità del modello a parametri concentrati come strumento in grado di predire e sperimentare il comportamento dinamico qualitativo della vettura FORMULA 3 anche con segnali di ingresso puramente teorici, come il chirp signal, senza perdere di generalità ed affidabilità. Figura Funzioni di trasferimento del sistema rispetto all ingresso random.

161 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà Il modello a quattro gradi di libertà: caratteristiche e potenzialità L evoluzione del modello dinamico a parametri concentrati presentato nella sezione precedente, è rappresentata dallo sviluppo di un modello a quattro gradi di libertà che schematizza l intera vettura da FORMULA 3. Un modello a quattro gradi, riportato in Figura 5.2.1, rappresenta infatti in modo semplificato la dinamica vibrazionale della vettura nel piano X-Z di figura, in quanto sono esclusi i moti di rollio. I gradi di libertà sono relativi alla traslazione z in senso verticale della massa sospesa, alla traslazione delle due masse non sospese anteriore e posteriore (x 1 e x 2 ), ed alla rotazione R y di beccheggio della massa sospesa. Gli spostamenti verticali dei punti dati dall intersezione degli assali anteriore e posteriore con l asse longitudinale X di figura, sono facilmente ricavabili da considerazioni geometriche. Figura Il modello a 4 g.l. Con tale modello a parametri concentrati, che presuppone una rigidezza infinita del telaio, è quindi possibile rappresentare il movimento di beccheggio della vettura, ed indagare l influenza che l assale anteriore ha sul posteriore e viceversa, non essendo più disgiunti come nel modello De Carbon a due gradi di libertà. Inoltre è prevista una modellazione più completa dei pneumatici, in quanto viene incluso un parametro di smorzamento oltre a quello che definisce la rigidezza. È possibile quindi utilizzare i risultati delle prove sperimentali condotte per la caratterizzazione dinamica del pneumatico, introducendo l identificazione di tale parametro in modo completo. I risultati della simulazione possono essere poi confrontati con i dati reali ricavati sul banco di prova Seven-Poster Rig.

162 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà I movimenti verticale e di beccheggio della vettura La semplice meccanica del modello del quarto o di metà macchina non rappresenta integralmente i movimenti della vettura nel piano verticale. A causa della distanza tra i due assali, essa è sostanzialmente un sistema multi-input in gradi di rispondere con movimenti verticale (bounce motion) e di beccheggio (pitch motion). Tali movimenti non sono generalmente disgiunti, e la loro presenza dipende dalle condizioni del manto stradale e dalla velocità del veicolo. La comprensione del movimento di pitch è in ogni caso importante, poiché assieme al movimento di bounce è responsabile dell accelerazione verticale e longitudinale di ogni punto del veicolo. Inoltre nella vettura da competizione il beccheggio va tenuto in grande considerazione in quanto esso determina l angolo di incidenza delle appendici aerodinamiche con il vento. Nella marcia su strada o su pista, le sollecitazioni di cui risente l asse anteriore non sono indipendenti da quelle sull asse posteriore, il quale viene approssimativamente sollecitato dalle stesse forzanti solo sfasate di un tempo pari al rapporto (passo della vettura)/(velocità di marcia). Questo ritardo di tempo in genere smorza l ampiezza dei due movimenti. Si immagini infatti che i due movimenti siano disgiunti (Figura 5.2.2); sarà presente solamente bounce del veicolo se le sollecitazioni stradali, schematizzate come un onda regolare, possiedono una lunghezza d onda pari al passo della vettura o a sottomultipli interi. Analogamente vi sarà soltanto pitch nel caso di avvallamenti con lunghezza d onda pari al doppio del passo del veicolo o ai suoi sottomultipli interi. Figura Movimenti di bounce e di pitch della vettura.

163 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 158 Di conseguenza per determinate frequenze il veicolo non mostra movimenti verticali, per altre quelli di beccheggio, come risulta dai diagrammi di Figura 5.2.3, in cui si riporta la risposta in frequenza di una vettura con risonanza della massa sospesa a 1.25 Hz, calcolata con il modello di quarto di macchina e con il modello a quattro gradi di libertà. In corrispondenza dei punti in cui tale risposta si annulla, non si hanno movimenti verticali o di beccheggio, per cui la lunghezza d onda dell eccitazione soddisfa le due condizioni esposte al punto precedente. Nella curva relativa al movimento di pitch si è assunto, come generalmente accade, che la risonanza sia alla stessa frequenza del picco di bounce. Figura Risposta verticale simulata della vettura con modelli a due e quattro gradi di libertà Frequenze di bounce e di pitch Nella maggior parte dei veicoli i movimenti verticale e di beccheggio sono accoppiati; il comportamento del veicolo, in termini di frequenze naturali e centri di moto, può essere determinato analiticamente direttamente dalle equazioni differenziali del moto. Facendo riferimento allo schema sotto riportato, in cui per semplicità le sospensioni e i pneumatici vengono considerati semplici molle e le masse non sospese vengono trascurate, le equazioni del movimento verticale z e della rotazione di beccheggio θ si scrivono: z + αz + βθ = 0 2 θ + βz / k + γθ = 0 (5.2-1) dove α = ( K + K ) M f r / β = ( K c K b) M γ = ( K b K c )/ Mk r f / f + r

164 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 159 e K f = rigidezza assale anteriore K r = rigidezza assale posteriore b = distanza baricentrale dell asse anteriore c = distanza baricentrale dell asse posteriore I y = momento di inerzia di beccheggio k = raggio giratore di inerzia = I y / M. Figura Schema di vettura utilizzato per il calcolo. Tra tutti coefficienti che compaiono nelle (5.2-1), solamente β compare in entrambe le equazioni, e per questo è detto coefficiente di accoppiamento. Quando β è nullo, non vi è accoppiamento tra i due moti, e il centro di rotazione coincide con il centro di massa. Questo significa che una forza verticale dovunque applicata provoca solo movimento di bounce, ed una coppia di beccheggio applicata al telaio produce solo un movimento di pitch. Scrivendo le soluzioni z(t) e θ(t) in forma sinusoidale, in quanto idealmente non vi è smorzamento, e sostituendole nelle (5.2-1), si trova l equazione risolvente delle due frequenze naturali: le cui due soluzioni reali sono: 4 ω ( α + γ ) ω + αγ β / k = 0 ω = 1 ω = 2 ( α + γ ) 2 ( α + γ ) 2 + ( α γ ) 2 / β / k ( α γ ) / 4 + β / k 2 (5.2-2) che rappresentano le due frequenze naturali nel generico caso in cui esse siano accoppiate.

165 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 160 Valutando i rapporti z/θ in corrispondenza delle frequenze date dalle (5.2-2), si nota che uno è positivo, l altro negativo. Nel primo caso il centro del moto sarà davanti al baricentro ad una distanza x = z/θ abbastanza grande affinché esso cada fuori dalla lunghezza del veicolo, e si avrà la predominanza del movimento di bounce (Figura (a)). Figure (a) e (b). I due modi di vibrare del veicolo nel piano di beccheggio. Nel secondo caso, che rappresenta la risonanza di beccheggio, il centro del moto sarà invece dietro il baricentro, sempre alla distanza x = z/θ, ma questa volta vicino al centro di massa, e il movimento più evidente sarà quello di pitch (Figura (b)). La locazione del centro di moto dipende dal valore relativo delle frequenze naturali dell avantreno e del posteriore; quando tali frequenze, che ovviamente dipendono dalla massa su ciascun asse e dalla rigidezza della sospensione corrispondente, sono uguali, si ha il disaccoppiamento dei due modi di vibrare, si assiste al puro movimento verticale e al puro beccheggio, ed un centro di moto coincide con il baricentro, l altro è posto all infinito. Nel caso in cui l asse anteriore abbia frequenza naturale più elevata, i moti sono accoppiati, il centro di bounce è davanti all asse anteriore, il centro di pitch verso l asse posteriore. Una minore frequenza naturale all anteriore pone il centro del movimento verticale dietro l asse posteriore, e quello del beccheggio vicino all asse anteriore stesso. Quest ultimo caso, secondo quanto sperimento fin dagli anni 30 dal pioniere della dinamica del veicolo Maurice Olley, è preferibile per avere una buona conduzione del mezzo.

166 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà Modello a quattro gradi di libertà adottato In Figura viene riportato lo schema del modello a parametri concentrati adottato per lo studio della dinamica della FORMULA 3. Figura Rappresentazione del modello a quattro gradi di libertà. Le ipotesi di base formulate sono le stesse del modello De Carbon a due gradi di libertà, per cui per una loro consultazione si rimanda alla sezione 5.1.1; le quantità rappresentate, che definiscono i parametri concentrati, sono: M C = massa sospesa m tf = massa non sospesa anteriore m tr = massa non sospesa posteriore I C = momento di inerzia lungo l asse uscente dal piano di figura K f = rigidezza della sospensione anteriore c f = smorzamento della sospensione anteriore K r = rigidezza della sospensione posteriore c r = smorzamento della sospensione posteriore K tf = rigidezza pneumatici anteriori

167 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 162 c f = smorzamento pneumatici anteriori K tr = rigidezza pneumatici posteriori c r = smorzamento pneumatici posteriori a = distanza dell asse anteriore dal baricentro b = distanza dell asse posteriore dal baricentro L = a + b = passo della vettura. Le coordinate utilizzate per definire lo stato del sistema sono: Y G = spostamento verticale del baricentro, positivo verso il basso Y tf = spostamento verticale della massa non sospesa anteriore, positivo verso il basso Y tr = spostamento verticale della massa non sospesa posteriore, positivo verso il basso θ = angolo di rotazione del telaio nel piano di figura Y f = spostamento verticale del telaio in corrispondenza dell asse anteriore, positivo verso il basso Y r = spostamento verticale del telaio in corrispondenza dell asse posteriore, positivo verso il basso Z p = spostamento della base, che rappresenta l input al sistema. Le quattro equazioni differenziali accoppiate che definiscono il moto del sistema si scrivono: ( y z ) + c y z p K ( y y ) c y y = 0 m tf y tf + Ktf tf p tf tf f f tf f f tf (5.2-3) per la massa non sospesa anteriore ( y z ) + c y z p K ( y y ) c y y = 0 m tr y tr + Ktr tr p tr tr r r tr r r tr (5.2-4) per la massa non sospesa posteriore.... ( y y ) + c y y K ( y y ) + c y y = 0 mc y G + K f f tf f f tf + r r tr r r tr (5.2-5) per la massa sospesa.... ( y y ) + c y y b K ( y y ) + c y y = 0.. I c θ + a K f f tf f f tf r r tr r r tr (5.2-6) per la rotazione del telaio.

168 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 163 Poiché le funzioni di trasferimento calcolate mediante la simulazione sono state confrontate con i risultati sperimentali delle prove condotte su Poster-Rig, in sostituzione dello spostamento della massa sospesa e della rotazione della vettura attorno all asse Y, si sono scelte le coordinate di spostamento del telaio in corrispondenza degli assi anteriore e posteriore, Y f e Y r. Con considerazioni geometriche, e nell ipotesi di angoli di rotazione θ abbastanza piccoli perché si possa ammettere θ tgθ, nelle (5.2-5) e (5.2-6) sono state effettuate le seguenti sostituzioni:.. y G = a L.. y r + b L.. y f.... θ = y f y r. L.. 1 In tale modo le (5.2-5) e (5.2-6) si possono scrivere: mc I c L a L.. y f b L = K.... ( y y ) c y y K ( y y ) c y y.... y r + y f f f tf f f tf r r tr r r tr.. y r = a K f.... ( y y ) + c y y + b K ( y y ) + c y y f tf f f tf r r tr r r tr (5.2-7) (5.2-8). La integrazione numerica delle equazioni del moto scritte è stata effettuata secondo il metodo Runge-Kutta dal programma di calcolo MATLAB. A differenza del modello a due gradi di libertà, questa volta le equazioni sono state impostate, nella sezione di modellazione SIMULINK, non più passando attraverso le trasformate di Laplace, oltremodo laboriose ed ingombranti per quattro equazioni accoppiate, bensì direttamente nel dominio del tempo, seguendo sempre la costruzione a blocchi, così come appaiono scritte. Questa soluzione si è dimostrata molto valida per la flessibilità che offre, in quanto permette successive modifiche ed integrazioni. Nella pagina seguente viene riportato lo schema della costruzione a blocchi delle quattro equazioni differenziali del modello matematico nella sua forma più avanzata. Si possono distinguere quattro gruppi di blocchi intercomunicanti, ognuno dei quali è l integrazione di una delle coordinate di spostamento che definiscono lo stato del sistema in ogni istante.

169 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 164 Figura Schema della modellazione nell ambiente di Simulink.

170 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 165 Una folta schiera di guadagni fanno capo, per ognuno di questi blocchi, ad un operatore di somma, il quale, moltiplicato per una costante, fornisce mediante l integrazione numerica l accelerazione. Mediante l utilizzo di blocchi integrativi, dalle accelerazioni è possibile passare alle velocità e quindi agli spostamenti, i quali possono essere diagrammati nel dominio del tempo. Sono stati introdotti infatti nove oscilloscopi virtuali, in cui è possibile visualizzare e salvare la relativa curva di uscita nel tempo. Il blocco in giallo al centro è il riferimento al file di input, e può venire sostituito a seconda del test che si desidera condurre con altri tipi di curve predefinite nelle library di SIMULIK. Due derivazioni aggiunte prelevano i segnali necessari per il calcolo delle due forze di contatto a terra sui pneumatici anteriori e posteriori; i blocchi in arancio rappresentano i due pesi statici da sommare alle curve delle due CPL. I coefficienti di smorzamento delle sospensioni sono stati identificati mediante le prove sperimentali condotte sugli ammortizzatori (vedi Capitolo 2 sezione 2.2.3), per cui la forza F B,R che essi oppongono in funzione della velocità v di deformazione è stata modellata nella forma: 2 FB, R = c1b, Rv + c2b, Rv + K. Nella definizione dei parametri dei pneumatici anteriori e posteriori sono stati utilizzati i risultati delle prove sperimentali condotte, statiche in un primo tempo, dinamiche successivamente, introducendo la dipendenza della rigidezza e dello smorzamento dalla frequenza di eccitazione Identificazione sperimentale dei parametri e taratura del modello I parametri concentrati che compaiono nel modello di dinamica verticale sono stati identificati con una serie di prove sperimentali sulla vettura Dallara da FORMULA 3. Tali prove sono state effettuate con l ausilio degli attuatori aerodinamici e la strumentazione di acquisizione dati, in dotazione al banco di prova Seven Poster-Rig, ed hanno avuto lo scopo di determinare le rigidezze dei componenti elastici.

171 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 166 Con alcuni cicli di caricamento statico attraverso gli attuatori, si sono infatti determinate le rigidezze delle sospensioni anteriore e posteriore, e dei pneumatici (per un confronto con i risultati delle prove statiche), semplicemente diagrammando le relazioni forza-spostamento e calcolandone la pendenza. Gli spostamenti si sono valutati con i potenziometri posti sul telaio e sui mozzi-ruota, le forze mediante la lettura dei valori indicati dalle quattro celle di carico poste negli attuatori principali. Inoltre è stato possibile calcolare il rapporto cinematico R, peraltro fornito già in sede di progetto, che definisce di quanto si muove l ammortizzatore dato uno spostamento assoluto del mozzo della ruota. Esso è dato dal rapporto: R = X X S CW dove X S = schiacciamento delle molle degli ammortizzatori X CW = spostamento relativo telaio-mozzo ruota. Tale rapporto non risulta costante, in quanto dipende dalla geometria delle sospensioni in ciascun istante; ne è stato preso quindi il valor medio, che all anteriore vale 0.91 e al posteriore La taratura degli ammortizzatori è stata invece effettuata operando il confronto tra le funzioni di risposta in frequenza fornite dalle simulazioni e quelle reali, in seguito alla messa a punto di un programma di calcolo sviluppato con MATLAB che viene riportato negli allegati. Tale programma, mediante due cicli for annidati, è in grado di operare la minimizzazione dello scarto quadratico medio tra le due curve, sperimentale e simulata, lanciando più volte la simulazione per svariate coppie di valori degli smorzamenti anteriore e posteriore. Nel grafico di Figura viene diagrammata la funzione di errore calcolata dopo qualche routine con uno step di calcolo sempre minore per affinare la ricerca del minimo. La superficie, che è stata interpolata per poter disporre di più valori, presenta un solo minimo, in corrispondenza della coppia di valori di smorzamento degli ammortizzatori anteriore e posteriori che garantiscono il minimo scarto tra le due funzioni di trasferimento oggetto del confronto.

172 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 167 Figura Grafico tridimensionale della funzione di errore. L asse Z riporta l errore, gli assi X e Y i valori dello smorzamento; per la ricerca del minimo della superficie è stata utilizzata l apposita funzione definita in MATLAB Risultati della simulazione e confronto con i test reali Una lunga serie di simulazioni è stata condotta per esaminare la sensibilità del modello rispetto alle variazioni dei parametri che lo compongono. Nelle figure seguenti vengono riportati, a titolo esemplificativo, gli andamenti temporali dello spostamento verticale della massa sospesa e delle due forze di contatto a terra, frutto di una simulazione lanciata con un valore del coefficiente di smorzamento uguale sui due assi, pari a Figura Spostamento nel tempo della massa sospesa all ingresso sweep in frequenza.

173 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 168 Figure Forze di contatto a terra anteriore (a) e posteriore (b) nel tempo, per ζ = L ingresso al sistema è il medesimo per le quattro ruote, ed è rappresentato dallo sweep in frequenza introdotto al Capitolo 3, lo stesso utilizzato nelle prove dinamiche della FORMULA 3 su banco di prova. Nel tempo di 100 secondi la curva di ingresso diminuisce in modo logaritmico la sua ampiezza, ed aumenta in frequenza, mentre la sua velocità si mantiene costante e pari ad un valore fissato. Analiticamente la curva x(t) di ingresso è esprimibile nella forma:: x v 2πf ( t) = sen( 2πf ) in cui v è la velocità fissata e la frequenza f è in funzione del tempo: f 2 / 30t = 2. In questo modo il modello matematico di vettura è stato posto in diretto confronto con le risposte in frequenza calcolate dai dati sperimentali. Nella risposta temporale della massa sospesa, è possibile scorgere una prima risonanza attorno ai 4 Hz, ed una seconda amplificazione del segnale di ingresso, dovuto al movimento di pitch del veicolo, a frequenze più elevate; lo stesso discorso vale per la forza di contatto anteriore. In particolare nelle due curve di Figura si può notare il fatto che i valori diagrammati sono sempre positivi, il che significa che non vi è distacco dalla base di eccitazione da parte dei pneumatici, ed il modello interpreta correttamente il fenomeno vibratorio reale.

174 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 169 Nelle tre figure seguenti vengono riportati i diagrammi delle funzioni di trasferimento dello spostamento del telaio in corrispondenza degli assi anteriore e posteriore, per tre differenti combinazioni degli smorzamenti c f1 e c r1 ; i diagrammi sono in scala lineare. Figura Risposte all avantreno e al posteriore per c f1 = 5000 Ns/m e c r1 = 3000 Ns/m. I due picchi di risonanza principale, associati al movimento di bounce della vettura, non cadono alla stessa frequenza: l avantreno, pur essendo più leggero, ha risonanza ad una frequenza leggermente minore, e questo perché è sensibilmente meno rigido del posteriore; il picco ha poi ampiezza minore a causa del maggiore smorzamento presente su quest asse. Inoltre l asse anteriore risente molto più spiccatamente del movimento di beccheggio, e quindi il centro di rotazione, secondo la simulazione, si trova spostato verso l asse posteriore. Viene rispettato quindi il principio di Olley sulla ripartizione dei moti di traslazione e di rotazione.

175 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 170 Figura Risposte all avantreno e al posteriore per c f1 = c r1 = 3000 Ns/m. Figura Risposte all avantreno e al posteriore per c f1 = 3000 Ns/m e c r1 = 5000 Ns/m.

176 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 171 A causa dell elevato smorzamento delle sospensioni, in nessuno dei casi considerati sono visibili le risonanze delle due masse sospese. In Figura lo smorzamento ai due assi è stato parificato: si nota l attenuazione del movimento di beccheggio all anteriore, mentre l ampiezza del picco principale è aumentata. Nella figura successiva lo smorzamento della sospensione posteriore è maggiore di quello all anteriore, e scompare il beccheggio della vettura mentre le ampiezze dei picchi di risonanza vengono attenuate. Da queste semplici considerazioni risulta evidente l importanza dell interazione tra i due assi del veicolo nello studio della dinamica verticale, di cui il modello a quattro gradi di libertà riesce a tenere conto. Figura Confronto tra le funzioni di trasferimento reali (in nero) e simulate.

177 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 172 L aspetto più interessante del modello sviluppato consiste però nella possibilità di effettuare un confronto diretto con le curve frutto dell indagine sperimentale, come mostrato in Figura Diagrammando le due funzioni di trasferimento sovrapposte, in scala bilogaritmica, è possibile infatti comprendere quale sia la bontà del modello e dove esso non sia realistico. In linea di massima, con i parametri nominali della vettura, vengono centrati i picchi di risonanza e la loro ampiezza. L anteriore risulta tuttavia leggermente sottosmorzato, e il posteriore sovrasmorzato per le alte frequenze. Figura Confronto delle fasi delle funzioni di trasferimento reale e simulata. Facilmente la causa di ciò, per via dell interazione dei due assali, è unica, ed è da ricercarsi nella presenza di attriti e disuniformità nella vettura reale che non possono rientrare nella modellazione. Il diagramma delle fasi all anteriore e al posteriore bene approssima quello reale, confermando la coincidenza delle risonanze. Nei grafici seguenti vengono riportate due funzioni di trasferimento particolarmente interessanti; esse rappresentano l andamento in frequenza della forza che si scambiano i pneumatici con il terreno, rispetto all accelerazione dei mozzi anteriore e posteriore

178 5.2. Sviluppo di un modello a parametri concentrati a quattro gradi di libertà 173 (primo grafico) e rispetto all accelerazione della base (secondo grafico). In entrambe i casi la FRF del posteriore sta sopra a quella dell anteriore, a causa della differente amplificazione dell input da parte dei due assali. Nel primo caso le curve mostrano un andamento più appiattito poiché risentono della risonanza di pitch, mentre nella seconda coppia di curve è evidente l influenza della massa sospesa. Per le alte frequenze le curve si abbassano notevolmente. Figura Funzioni di risposta in frequenza della forza di contatto a terra. Questo significa sostanzialmente che per le sollecitazioni di bassa-media frequenza, fino a 10 Hz, è predominante il movimento verticale del telaio, e i mozzi delle ruote seguono tale movimento essendo minimo lo spostamento relativo massa sospesa-massa non sospesa. Per le frequenze maggiori si assiste invece ad un effetto di filtraggio da parte dei pneumatici, che trasmettono in minima parte le forzanti stradali al telaio, il quale di conseguenza ha un movimento molto limitato.