Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione

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1 Appendice B Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione B. Il rumore termico prodotto da un resistore Collegando un voltmetro molto sensibile ai capi di un resistore reale con resistenza R ohm (Ω), non soggetto a forze elettromotrici esterne, si osserverebbe che la tensione a vuoto ai capi del resistore non è identicamente nulla, ma varia rapidamente intorno al valore zero. Tale fenomeno fisico, detto rumore termico, è dovuto all agitazione termica degli elettroni presenti in un conduttore, la quale dà luogo ad un flusso netto di carica non nullo in funzione del tempo. Tale variazione della tensione istantanea, presente nel conduttore, sarebbe, in linea di principio, identicamente nulla solo se esso operasse a temperature pari o prossime allo zero assoluto (lo zero della scala Kelvin). Pertanto ogni circuito elettrico è affetto da tale tipo di rumore. Oggetto della presente appendice è quello di fornire un modello matematico per la caratterizzazione di questo fenomeno fisico. A causa della grande quantità di elettroni presenti in un conduttore, il rumore termico appare come un fenomeno completamente impredicibile, che richiede un approccio di tipo statistico in fase di modellizzazione. La meccanica quantistica afferma che la tensione w(t), all istante t, ai capi di un resistore di resistenza R e temperatura T, in gradi Kelvin (K), è un processo aleatorio a media nulla e stazionario in senso lato (SSL). Inoltre, in condizioni di adattamento per il massimo trasferimento di potenza, che si verificano se il resistore è chiuso su di un carico con impedenza pari ad R, ha la seguente PSD S w (f) = h f 2 e h f kt, dove h = Joule secondi (J s) è la costante di Planck e k = J/K è la costante di Boltzmann. 03

2 04 Appendice B. Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione x S w (f) [W/Hz] f [Hz] Figura B.: Densità spettrale di potenza del rumore termico per T 0 = 290 K. In figura B. è riportata la funzione S w (f) per T 0 = 290 K (tale temperatura, prossima alla temperatura ambiente, è comunemente utilizzata come valore di riferimento): come si può osservare, la PSD esibisce variazioni molto piccole in un ampio intervallo di frequenze centrato intorno alla frequenza zero. Quindi il rumore termico è approssimabile in un ampio intervallo di frequenze tramite una densità spettrale di potenza costante. Al fine di valutare il valore di S w (f) per h f si può sostituire al termine esponenziale e h f kt, che compare nell espressione della densità, il suo sviluppo in serie di Taylor, kt calcolato nell origine e arrestato ai primi due termini, cioè ottenendo e h f kt + h f kt, S w (f) 2 kt. h f per kt (B.) Un segnale aleatorio, SSL e a media nulla, la cui PSD sia costante sull intero asse delle frequenze è detto bianco per analogia con la luce bianca. Se si approssima il rumore termico con un rumore bianco, la sua funzione di autocorrelazione è facilmente ricavabile come l antitrasformata di Fourier dell equazione (B.) R w (τ) = F (S w (f)) = 2 kt δ(τ), dove con δ(τ) si è indicato l impulso di Dirac. Infine, ricorrendo al teorema del limite centrale, si può dimostrare che w(t) è un processo gaussiano. È bene evidenziare un aspetto importante riguardo alla caratterizzazione del rumore termico appena introdotta. Si osservi che un processo aleatorio bianco (cioè con PSD

3 B.2. Temperatura e cifra di rumore di sistemi LTI 05 costante) non è fisicamente realizzabile, in quanto dovrebbe avere potenza infinita (la potenza si può ricavare valutando la funzione di autocorrelazione R w (τ) per τ = 0). Tale modello può, tuttavia, essere usato con riferimento alla maggior parte dei Sistemi di Telecomunicazione, poiché la PSD del rumore termico in ingresso al demodulatore è costante sulla banda di frequenze del segnale utile. Infatti, l andamento della PSD del rumore, per frequenze esterne a quelle della banda del segnale modulato, è ininfluente se il ricevitore utilizza un filtro passabanda ideale con risposta in frequenza tale da lasciar passare inalterato il segnale utile e sopprimere le componenti spettrali del rumore al di fuori di tale banda. B.2 Temperatura e cifra di rumore di sistemi LTI Tipici componenti di un sistema di comunicazione come amplificatori e filtri introducono rumore termico. Per l analisi ed il dimensionamento di un sistema non è fondamentale caratterizzare le sorgenti di rumore presenti, ma, piuttosto, determinare il livello della densità spettrale di potenza del disturbo in uscita al canale che, come si mostrerà, può tenere conto anche del rumore introdotto dai successivi stadi a radiofrequenza del ricevitore. A tal fine si consideri il sistema LTI, di risposta in frequenza H(f), riportato nello schema a blocchi di figura B.2. Si assuma che le sezioni di ingresso e di uscita del doppio bipolo siano adattate per il massimo trasferimento di potenza dalla sorgente al carico e che la PSD del rumore in ingresso al sistema sia pari a kt/2. Sorgente di rumore bianco H(f) doppio bipolo rumoroso Carico Figura B.2: Analisi di un sistema LTI in presenza di rumore. La potenza di rumore in uscita al sistema LTI è data da P no = + 2 kt H(f) 2 df + P i dove P i è il contributo del doppio bipolo reale al rumore bianco in uscita. Se la risposta impulsiva del sistema è una funzione reale, allora H(f) è Hermitiana e, in particolare, H(f) 2 è pari, pertanto il precedente integrale può essere riscritto + Siano ora P no = kt 0 H(f) 2 df + P i. + H(f) 2 H max max H(f) e Bneq f 0 Hmax 2 df. Nel seguito si ipotizza che siano presenti solo sorgenti di rumore bianco.

4 06 Appendice B. Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione H max approssima il modulo della risposta in frequenza del filtro in banda passante, laddove Bneq è la cosiddetta banda equivalente di rumore monolatera del sistema ovvero la banda monolatera di un filtro rettangolare (con risposta in frequenza pari ad H max in banda passante, identicamente nulla in banda oscura e con bande di transizione di ampiezza nulla) che trasferisca al carico la stessa potenza di rumore del sistema in esame. È importante osservare che la banda equivalente di rumore di un filtro con risposta in frequenza H(f) non coincide, in generale, con la banda a 3 db del filtro stesso, ma è tipicamente più grande. Ad esempio, per un semplice filtro di tipo passa-basso, quale il filtro RC con banda a 3 db B 3, la banda equivalente di rumore vale Bneq = π 2 B 3; tuttavia, per molti filtri di interesse nelle applicazioni, ovvero sufficientemente selettivi in frequenza, l una rappresenta una ragionevole approssimazione dell altra. La potenza di rumore in uscita al sistema può essere pertanto riscritta in termini delle quantità appena definite e si ha: P no = kth 2 maxbneq + P i. (B.2) Nel seguito il guadagno di potenza disponibile del sistema H 2 max sarà anche indicato con G. La precedente espressione può inoltre essere riscritta come Se si pone P no = kgbneq T e = T + P i kgbneq, P i kgbneq la potenza di rumore complessiva in uscita al filtro H(f) diventa P no = k(t + T e )GBneq. T e è detta temperatura equivalente di rumore del doppio bipolo ed è, in generale, una temperatura fittizia. Pertanto si può concludere che un sistema reale, tale cioè da generare rumore termico al suo interno, può essere trattato come un sistema ideale (non rumoroso) a patto di aggiungere al segnale di ingresso una sorgente di rumore bianco con temperatura equivalente di rumore pari a T e come mostrato nella figura B.3.. Sorgente di rumore bianco H(f) (non rumoroso) Carico 2 kt e Figura B.3: Modello equivalente per un sistema LTI reale. Per caratterizzare il comportamento di un doppio bipolo si può fare riferimento anche alla cifra di rumore che si denota con F, e si definisce come il rapporto tra la potenza in

5 B.2. Temperatura e cifra di rumore di sistemi LTI 07 uscita al sistema reale quando il segnale in ingresso è una realizzazione di rumore bianco con PSD di livello pari a kt 0 /2 e la potenza che si misurerebbe se il sistema fosse ideale, cioè F = kt 0GBneq + P i. kt 0 GBneq È immediato verificare che F può essere riscritta come segue F = + T e T 0. La cifra di rumore è spesso indicata in decibel: F(in db) = 0 log 0 F. Se si ipotizza che il segnale in ingresso al sistema LTI sia la somma di un contributo di segnale utile, u(t), e di un contributo di rumore bianco, w(t) con PSD di livello pari a kt 0 /2, e che il sistema lasci passare indistorto il segnale utile, il rapporto segnale/rumore in uscita al sistema è dato da SNR o = GP u k(t 0 + T e )GBneq = + T e /T 0 P u kt 0 Bneq P dove SNR i u kt 0 può essere interpretato come rapporto segnale/rumore in ingresso Bneq al sistema: è, infatti, il rapporto tra la potenza di segnale utile in ingresso al sistema e la potenza di rumore nella banda del segnale (se si assume che la banda equivalente di rumore del sistema sia una misura della sua banda passante e che questa sia pari alla banda del segnale utile in ingresso). SNR i è, quindi, il rapporto segnale/rumore che si otterrebbe ricorrendo ad un filtro rettangolare non rumoroso tale da far passare indistorto il segnale utile tagliando il rumore fuori della banda di interesse. Invece, il rapporto segnale/rumore in uscita ad un sistema reale è inferiore ad SNR i essendo /F < (F > per definizione). In Tabella B. sono riportati dei valori, puramente indicativi, per la cifra e la temperatura equivalente di rumore di alcuni amplificatori. Inoltre, un doppio bipolo con perdite come, ad esempio, un cavo coassiale o una linea bifilare, a temperatura T ha una cifra di rumore pari a F = + (L ) T T 0. Per la dimostrazione si veda [3]. In particolare, se T = T 0, F = L ovvero l attenuazione introdotta dal mezzo coincide con la sua cifra di rumore. Si considerino ora due sistemi con risposta in frequenza H (f) e H 2 (f) connessi in cascata, come illustrato in Figura B.4. Si indichino con F, T e, Bneq e G (F 2, T e2, Bneq2 e G 2 ) la cifra di rumore, la temperatura equivalente di rumore, la banda equivalente di rumore ed il guadagno in potenza disponibile del Sistema (Sistema 2). Si supponga, infine, che la cascata sia alimentata da una sorgente di rumore bianco con PSD pari a kt/2. Si supponga, inoltre, che la banda passante di H 2 (f) sia contenuta in quella di

6 08 Appendice B. Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione Tipo dell amplificatore Frequenza T e (F (db)) G (db) parametrico raffreddato con He liquido 4 GHz 9 (0.3) 0-20 parametrico raffreddato con N 2 liquido 6 GHz 50 (0.69) 0-20 FET GaAs 9 GHz 330 (3.3) 6 FET GaAs 6 GHz 70 (2.0) 0 FET GaAs GHz 0 (.4) 2 FET Silicio 400 MHz 420 (3.9) 3 FET Silicio 00 MHz 226 (2.5) 26 circuito integrato 0 MHz 60 (7.0) 50 circuito integrato 4.5 MHz 860 (8.7) 75 Tabella B.: Valori indicativi di T e, F, G e della frequenza operativa di alcuni amplificatori. kt 2 H (f) H 2 (f) F, T e, Bneq, G F 2, T e2, Bneq2, G 2 Figura B.4: Sistemi LTI reali connessi in serie. H (f) e, più precisamente, che f t.c. H 2 (f) 0 risulta H (f) 2 G. (B.3) Tenuto conto delle precedenti ipotesi è immediato verificare che: P: la risposta in frequenza H(f) del sistema serie è data da H(f) = H 2 (f)h (f); P2: il guadagno di potenza disponibile G del sistema serie è il prodotto dei guadagni di potenza dei sistemi componenti, cioè G max H(f) 2 = G G 2 ; f P3: la banda equivalente di rumore Bneq del sistema serie coincide con quella del Sistema 2, cioè Bneq = Bneq2. Applicando ai sistemi di figura la procedura precedentemente esposta (per il caso di un solo sistema) si ottiene lo schema equivalente riportato in figura B.5. Per calcolare la potenza di rumore in uscita al secondo sistema si può utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti considerando separatamente i due contributi al rumore in uscita ovvero la sorgente di rumore con PSD di livello pari a 2 k(t +T e) e quella di livello pari a 2 kt e2, cioè P no = k(t + T e )GBneq + kt e2 G 2 Bneq2.

7 B.2. Temperatura e cifra di rumore di sistemi LTI 09 kt 2 H (f) H 2 (f) 2 kt e non rumoroso 2 kt e2 non rumoroso Figura B.5: Rappresentazione equivalente del sistema serie di Figura B.4. In definitiva, la potenza di rumore in uscita alla cascata dei Sistemi e 2 è data da P no = k T + T e + T e2 GBneq G dove si è fatto uso delle proprietà P2 e P3. In altri termini, la temperatura equivalente di rumore T e del sistema serie è esprimibile come e, quindi, la corrispondente cifra di rumore è T e = T e + T e2 G, F = + T e T 0 + T e2 T 0 G. Inoltre, tenuto conto del fatto che valgono le seguenti uguaglianze F = + T e T 0, F 2 = + T e2 T 0, la cifra di rumore della cascata è data dalla seguente relazione F = F + F 2 G. (B.4) La procedura esposta per la cascata di due sistemi LTI può essere estesa al caso più generale di N sistemi LTI connessi in cascata a patto di generalizzare (in modo peraltro ovvio) l ipotesi (B.3). In tal caso, la temperatura equivalente di rumore e la cifra di rumore del sistema serie sono date, rispettivamente, dalle formule e T e = T e + T e2 G + T e3 G G F = F + F 2 G + F 3 G G T en G G 2 G N F N G G 2 G N (B.5) (B.6) note come formule di Friis. Si osservi che tali formule suggeriscono una regola per l ordine di interconnessione tra sistemi, al fine di ottenere (com è senz altro auspicabile) una cifra di rumore complessiva più bassa possibile. Infatti,

8 0 Appendice B. Il Rumore Termico nei Sistemi di Comunicazione l effetto del rumore introdotto dai sistemi successivi al primo è mitigato dagli eventuali fattori di amplificazione (G i > ) ai denominatori e, in particolare, tutti gli addendi (tranne il primo) sono divisi per G. Ciò suggerisce di evitare come primo elemento della serie un elemento con perdite (G < ); se, in particolare, il primo sistema è un elemento con perdite (per esempio, un cavo coassiale o una guida d onda) l attenuazione da esso introdotta ha un duplice effetto negativo: oltre ad amplificare il rumore introdotto dagli stadi che seguono, come prima evidenziato, introdurrà tanto più rumore quanto maggiore è L (si ricordi che F = L sotto opportune ipotesi). Quando, invece, G, il rumore complessivamente introdotto dalla cascata è imputabile essenzialmente al solo primo stadio; il primo addendo F non è mitigato da alcun fattore, pertanto contribuirà completamente alla cifra di rumore complessiva. Ciò suggerisce di scegliere come primo stadio della cascata un amplificatore a basso rumore (ed elevato guadagno). Utilizzando la formula di Friis si può calcolare la temperatura equivalente dell intero ricevitore che, come si è già evidenziato, consente di riportare le sorgenti di rumore bianco nella sezione di ingresso dello stesso. Se il segnale è captato da un antenna è anche necessario considerare il contributo di rumore da essa raccolto e, a tale scopo, si definisce la cosiddetta Temperatura di antenna T a. Più precisamente il rumore complessivo ha una PSD di livello pari a kt S /2 (nella sezione d ingresso dell antenna) dove T S T a + T e è la temperatura di sistema e T e la temperatura equivalente di rumore degli stadi a radiofrequenza del ricevitore. B.3 Il ricevitore supereterodina: cenni Per terminare questa appendice si ritiene opportuno introdurre il concetto di frequenza intermedia e quello ad esso collegato di ricevitore supereterodina. I sistemi di comunicazione che operano in banda traslata per la trasmissione del segnale possono differire sotto molti punti di vista, ad esempio, tipo di modulazione, frequenza portante, mezzi trasmissivi, etc. Tuttavia essi hanno in comune la proprietà di adoperare un segnale portante che è spesso un segnale sinusoidale, il quale trasporta attraverso il canale (in una qualche forma, che è funzione del tipo di modulazione) il segnale di informazione. Pertanto alcuni elementi quali oscillatori e filtri passa-banda sono di grande importanza per tutti i tipi di ricevitore. Un tipico ricevitore deve essere in grado di realizzare alcune operazioni fondamentali al di là del formato di modulazione: filtraggio, al fine di separare il segnale desiderato dagli altri segnali eventualmente presenti; amplificazione, al fine di compensare le perdite derivanti dalla propagazione; eventuale sintonizzazione (tuning) sulla frequenza portante, al fine di selezionare il segnale desiderato (si pensi alla classica radiolina utilizzata per demodulare i segnali AM ed FM).

9 B.3. Il ricevitore supereterodina: cenni In particolare, è sempre necessario amplificare e filtrare il segnale ricevuto prima della demodulazione. In linea teorica tali operazioni potrebbero essere effettuate a radiofrequenza. Tuttavia, per una serie di motivi è opportuno eseguire il filtraggio e, in parte, l amplificazione ad una frequenza più bassa di quella della portante. In altri termini, può essere conveniente realizzare ricevitori composti da due (o più) stadi di amplificazione e filtraggio: il primo stadio opera a radiofrequenza ed è un amplificatore, eventualmente sintonizzabile ovvero con frequenza di centro banda accordabile, con banda B RF relativamente larga, cioè B RF > W; tale filtro non presenta spiccate caratteristiche di selettività e pertanto lascia passare parzialmente anche segnali che non sono di stretto interesse. Prima di passare al secondo stadio di amplificazione e filtraggio, il segnale è inviato al convertitore di frequenza, che, tramite un oscillatore locale operante a frequenza f LO, trasla il segnale modulato ad una frequenza intermedia fissa f IF (IF, dall inglese Intermediate Frequency). Qualora il ricevitore debba potersi sintonizzare sulla frequenza della portante, l oscillatore locale è accordato con il filtro a radiofrequenza, in modo da garantire che f LO = f c + f IF. Il secondo stadio di amplificazione e filtraggio può operare, quindi, ad una frequenza intermedia f IF indipendente dalla frequenza portante f c. Il filtro IF sarà allora un filtro passa-banda con frequenza di centro banda f IF e banda passante W ovvero pari a quella del segnale modulato. Pertanto, l operazione di filtraggio passa-banda introdotta come passo preliminare alla demodulazione è, nella pratica, realizzata alla frequenza intermedia f IF. Si osservi ora che un eventuale segnale, posizionato attorno alla frequenza portante f c = f LO + f IF, risulterebbe, a valle del convertitore di frequenza, centrato intorno alla frequenza f c f LO = (f LO + f IF ) f LO = f IF e, pertanto, interferirebbe con il segnale di interesse. È quindi necessario dimensionare la banda passante del filtro a radiofrequenza in modo tale da tagliare il segnale presente nell intorno delle frequenze ±(f LO + f IF ). La frequenza f c è detta frequenza immagine e la condizione in grado di garantire la reiezione del segnale centrato sulla frequenza immagine è, evidentemente, data da W < B RF < 2f IF. Un ricevitore con la struttura sopra descritta è comunemente denominato ricevitore supereterodina; la sua struttura risulta vantaggiosa da più punti di vista. Infatti, non richiede amplificatori e filtri sintonizzabili selettivi in frequenza, ma solo tali da eliminare le frequenze immagine; il filtro passa-banda che precede il demodulatore, molto selettivo in frequenza ed ad elevato guadagno, può essere realizzato a frequenza più bassa di quella della portante e comunque fissa: operare a frequenza intermedia f IF < f c rende più semplice l eventuale realizzazione in numerico di alcune operazioni, in quanto è possibile operare con frequenze di campionamento inferiori e, quindi, adoperare circuiti campionatori di più facile realizzazione.

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