Progettazione affidabilistica con i materiali ceramici

Transcript

1 Progettazione affidabilistica con i materiali ceramici Lecce, 17 Aprile 2012 Ing. Maurizio FERSINI Prof. Antonio Licciulli

2 Outline Teoria della progettazione affidabilistica Concetto di resistenza teorica del materiale ceramico e meccanismo di rottura Il modello di Weibull e progettazione affidabilistica Caratterizzazione sperimentale: esempi di calcolo dei parametri caratteristici della distribuzione di Weibull Esempi di calcolo semplificato di affidabilità Case study: progetto e realizzazione di un impianto dentale integrale in ossido di Zirconio (ZrO 2 ) Valutazione delle variabili di input del progetto Realizzazione modello solido ed importazione per la modellazione FEM Stima dello stato tensionale e verifica affidabilistica semplificata Feedback e ottimizzazione 2

3 Tipologie di frattura Frattura DUTTILE: Propagazione lenta e stabile del difetto (i.e. nei metalli coalescenza di dislocazioni) Frattura FRAGILE: Propagazione veloce ed instabile di un difetto (raggiungimento della resistenza critica per effetto dell intensificazione degli sforzi in corrispondenza dei difetti) 3

4 La resistenza meccanica teorica Energia di legame: Rigidezza di legame: = πx πx E b Pdx P = Pc sin( ) Pc ( ) 0 λ λ π k = P c λ Moltiplicando per il numero di legami per unità di area e per la lunghezza del legame, x 0, si converte k nel modulo di Young, E, e P c nello stress di coesione, σ c : k π = Pc knx λ 0 = π x0npc E λ σ cπx = λ 0 σ c Eλ = πx 0 (1) Portando a rottura il sistema si creano due nuove superfici con energia superficiale: γ s 1 λ πx λ = σ c sin( ) dx = σ c 2 0 λ π Sostituendo la (1) nella (2) si ottiene: (2) σ = c Eγ s x 0 4

5 La resistenza meccanica teorica Ø Si definisce resistenza teorica il carico tensile richiesto per rompere un ceramico spezzando i legami atomici lungo un piano σ = c Eγ s x 0 Ø Dove σ c = stress coesivo E = modulo di Young, γ s = energia superficiale, x 0 = distanza di legame Ø Ø Il valore della resistenza teorica (o resistenza coesiva) è tipicamente compreso tra 1/5 e 1/10 del modulo di Young Questo valore nei ceramici reali non viene quasi mai raggiunto a causa di difetti presenti nei ceramici che riducono la resistenza di un ordine di grandezza rispetto a quella teorica 5

6 La resistenza meccanica reale L APPROCCIO ENERGETICO (Griffith): La propagazione della cricca avviene quando l energia disponibile per la crescita della cricca è sufficiente a superare la resistenza del materiale. ü Per una cricca di lunghezza 2a su una piastra di lunghezza infinita soggetta a trazione la velocità di rilascio dell energia è: G = G c G = 3 πσ a E al momento della frattura: ( tenacità a frattura) πσ f = E ü Si può notare che per valori costanti di Gc (la tenacità a frattura si assume indipendente dalla dimensione e dalla geometria del pezzo criccato) la tensione σ f varia come 1/ a 2 a c ü Per un materiale prettamente fragile è uguale al doppio della tensione superficiale: GIc=2 γs 6

7 La resistenza meccanica reale L APPROCCIO INTENSITÀ DEGLI STRESS (Westergaard): ü Tutti gli stress sono proporzionali alla costante KI (fattore di intensificazione degli sforzi). Per una piastra soggetta a stress come in figura K I = σ (πa) ü Al momento della rottura K I = K IC ü K IC è un parametro di valutazione utilizzato per la misura in laboratorio della tenacità a frattura ü K IC, come G C, si assume indipendente dalla geometria del campione 7

8 Metodi di approccio alla progettazione EMPIRICO Basato sull esecuzione iterativa di preparazioni e test che termina quando il componente soddisfa le proprietà richieste Ø Funziona quando un componente ceramico non è pensato per lavorare sotto condizioni critiche (e.g. carichi solo in compressione). A volte, in condizioni di difficile predicibilità e modellazione è l unica soluzione. DETERMINISTICO Si calcola tramite procedure agli elementi finiti il massimo stress cui il componente deve essere sottoposto. Si sceglie il componente con un margine ragionevole di sicurezza (approccio empirico analitico) Ø Funziona bene con i metalli ma a volte è inadeguato per i ceramici specie nella progettazione di strutture sottoposte a stress critici PROBABILISTICO Si basa sul principio dell anello debole della catena: la probabilità di rottura di un dato volume di materiale ceramico sottoposto a stress uniforme è legata alla probabilità che un dato difetto si trovi nella zona del componente con tensione maggiore o uguale a quella che ne determina la instabilità (approccio di Weibull). 8

9 Distribuzione di Weibull Ø A causa della fragilità del materiale i test di caratterizzazione forniscono un elevata dispersione statistica dei dati: dall osservazione sperimentale, Weibull ha proposto per i ceramici la seguente relazione per la definizione della probabilità di rottura di un volume elementare: (1) Ø σ è lo stress corrispondente al carico applicato, σ 0 ed m sono due costanti legate al materiale, in particolare: Ø σ 0 è lo stress in corrispondenza del quale corrisponde una probabilità di rottura del 63%. Ø m viene denominato modulo di Weibull ü Dalla (1) deriva il concetto di affidabilità come probabilità di sopravvivenza del volume elementare: ü Per un volume V l affidabilità e la probabilità di rottura si scrivono rispettivamente: 9

10 Densità di probabilità di rottura Ø Dalla probabilità di rottura deriva la densità di probabilità di rottura, come distribuzione di Weibull a due parametri: Ø m è un parametro di forma, σ 0 è un parametro di scala. 10

11 Modulus of Rupture (MOR) Dalla funzione di probabilità di rottura viene definito il MOR, come quella tensione a cui corrisponde una probabilità di rottura del 63%. Il MOR è legato alle caratteristiche intrinseche del materiale (σ 0 ed m), ma dipende anche dal volume dell elemento testato. 11

12 Caratterizzazione sperimentale ü Per determinare l affidabilità di un componente di volume V soggetto ad una tensione monoassiale è necessario stimare i parametri caratteristici σ 0 ed m. Mediante prove di rottura a trazione su un lotto di n provini si calcola l affidabilità A V ( σ ) e σ V σ = 0 m (1) ü Applicando un doppio logaritmo, l equazione dell affidabilità si linearizza come segue: log log 1 σ = logv + mlog A V ( σ ) σ 0 (2) ü La (2) rappresenta l equazione di una retta, in cui il coefficiente angolare m rappresenta il modulo di Weibull, mentre l intercetta è legata alla tensione σ 0 12

13 Caratterizzazione sperimentale Test di flessione a 3 punti (ASTM C1161) ü La resistenza a flessione è determinata sottoponendo a carico, nella zona mediana, un provino di dimensioni standardizzate semplicemente appoggiato tra due supporti. ü La resistenza meccanica a rottura (dalla formula di Navier) risulta: σ = 3 PL/ (2 b h 2 ) P = carico alla rottura L = distanza tra i due appoggi b = larghezza del provino h = altezza 13

14 Caratterizzazione sperimentale Test di flessione a 4 punti (ASTM C1161) Per a = L / 4: σ = 3PL/(4bh 2 ) Per a = L / 3: σ = PL/(bh 2 ) P = carico alla rottura L = distanza tra i due appoggi b = larghezza del provino h = altezza del provino 14

15 Caratterizzazione sperimentale Concetto di volume efficace ü I test di flessione (diversamente da quelli di trazione) inducono una sollecitazione non uniforme sulle varie zone dei campioni. ü Dall equazione dell affidabilità, quindi, il volume V del campione viene diviso in varie sezioni, coerentemente con la distribuzione degli stati tensionali dove b ed h sono rispettivamente larghezza e altezza della sezione del provino, σl = σmaxxy/(a*h/2) e σc = σmaxxy/(a*h/2) rappresentano la tensione corrente nel tratto laterale e centrale Con riferimento a σmax e Veff, probabilità di rottura e affidabilità possono esprimersi come: 15

16 Caratterizzazione sperimentale Influenza del volume Considerando due elementi A e B di uguale forma e materiale, ma con volumi differenti, (V A e V B ), soggetti alla stessa distribuzione di tensione, a parità di affidabilità si ha: Trattandosi di identico materiale la tensione caratteristica σ 0 risulta identica, quindi: Considerato che i valori di m sono generalmente superiori a 7-10, a piccole variazioni di tensione, a parità di affidabilità, corrispondono grandi variazioni di volume 16

17 Caratterizzazione sperimentale Influenza del materiale Per un dato valore di affidabilità A, dall equazione dell affidabilità si può ricavare l andamento del rapporto tra tensione di progetto e MOR, in funzione del modulo di Weibull m. ü A parità di tensione applicata, l affidabilità del componente è più bassa per il materiale con m inferiore ü Per ottenere un affidabilità superiore al 99% è necessario che la tensione di progetto (σ max ) sia inferiore al 60% del MOR. 17

18 Esempio di calcolo dei parametri caratteristici (σ 0, m) per un lotto di campioni in Ossido di Zirconio 1. Calcolare i valori di stress a rottura dei campioni da testare 2. Disporre i valori in ordine crescente 3. Calcolare la probabilità di sopravvivenza mediante la formula approssimata: A V (σ)=1-(j-0.3)/(n+0.4) 4. Estrapolare il valore della resistenza caratteristica dal grafico A V (σ) vs (σ) 5. Linearizzare la relazione di Weibull come doppio logaritmo e costruire il grafico per stimare il modulo di Weibull m ln(ln(1/a V (σ)) = ln(σ) 18

19 Esempio di calcolo delle tensioni di progetto per un componente di affidabilità nota Da test di trazione (ipotesi semplificativa) su campioni cilindrici di volume V A in ZrO 2 (m=9,2), con diametro 5mm e lunghezza 25mm, risulta che la σ che causa la rottura del 50% dei provini è pari a 798MPa. i. A quale sforzo massimo possono essere sottoposti gli stessi campioni per avere un affidabilità del 99%? ii. A quale sforzo devono essere sottoposti campioni dello stesso materiale, ma con diverso volume (V B ) diametro 11mm e lunghezza 50mm, per avere un affidabilità del 99%? σ σ 0 A V ( σ ) = e m SOLUZIONE 0.5 = exp(-798/σ 0 ) 9.2 σ 0 = 841 MPa i. Dalla conoscenza di m e σ 0, sfruttando l equazione di Weibull: 0.99 = exp(-σ 99 /841) 9.2 σ 99 = 510MPa 19 ii. Avendo tutti i parametri, imponendo un affidabilità del 99% (0.99), e sapendo che m e σ 0 sono invarianti in quanto proprietà intrinseche del materiale, dalla formula di Weibull, rapportando i volumi: m V B σ B 9.2 σ 99_ B VA σ A V ( σ ) = e 0.99 = e σ 99_B = 397 MPa

20 Progettazione affidabilistica semplificata Per ottenere un affidabilità superiore al 99% la tensione di progetto dev essere inferiore al 60% del MOR. i. Stima della tensione di picco nel componente; ii. iii. iv. Individuazione delle regioni in cui la tensione massima supera il 50% della tensione di picco; Stima delle temperature in gioco nelle zone soggette a tensioni positive; Suddivisione della regione con tensione massima superiore al 60% di quella di picco, in zone omogenee di volume V i con tensione massima compresa entro intervalli discreti; v. Determinazione di m e σ 0 in ciascuna regione omogenea individuata e con riferimento alla massima temperatura dell area; vi. Un approccio completo alla progettazione affidabilistica prevede fondamentalmente due passaggi: Analisi tensionale tramite FEM/BEM Analisi affidabilistica via software dedicati (i.e. CARES) Approccio semplificato: consente di effettuare una progettazione di massima del componente o una preliminare comparazione di diverse soluzioni progettuali Valutazione del rischio come sommatoria dei rischi di ciascuna regione: vii. Determinazione dell affidabilità del componente mediante la relazione: 20

21 Case study: progetto di un impianto dentale in ossido di Zirconio Il ZrO 2 è un ossido ceramico dalle eccellenti proprietà chimiche e meccaniche, ampiamente utilizzato oggi nel settore dell implantologia orale e delle protesi in generale. Ø I ceramici a base di zirconia, utilizzati nel settore dentale sono di tre tipi: Y-TZP, MgO-ZrO2, ZTA; Ø Opportunamente pre-sinterizzato, si presta bene alle lavorazioni di fresatura e tornitura alle macchine utensili; Ø Elevato pregio estetico e maggiore biocompatibilità rispetto alla protesi metal-based; Ø Eccellenti prestazioni meccaniche. 21

22 Impianti in Titanio - Zirconia Ø Risoluzione di problemi di edentulismo: sostituzione di denti naturali mediante l'applicazione di impianti dentali. Ø Importanza dell osteointegrazione, Ø Soluzioni: ü Impianti dentali in titanio ü Impianti ibridi Titanio/Zirconia ü Impianti interamente in Zirconia 22

23 Geometria di un impianto 23

24 Case study: progetto di un impianto dentale in ossido di Zirconio 1. Modellazione 3D del componente da realizzare 2. Importazione della geometria nel software FEM e pre-processing 3. Soluzione e post-processing 4. Analisi affidabilisitca 5. Feedback e ottimizzazione del risultato 24

25 Geometria dell impianto integrale in ZrO 2 MONCONE: zona sulla quale viene installata la cappetta in ZrO2 CORONA: parte dell impianto esterna alla gengiva CONO FILETTATO: parte dell impianto avvitata nell osso mandibolare/mascellare 25

26 Pre-processing Carichi masticatori F z F Ø Carico assiale su molare: F z 900N Ø Componenti laterali del carico: F x, F y 60N Ø Vincolo su filettatura e base dell impianto: F x F y Superficie vincolata come incastro incastro (supponendo una perfetta osteointegrazione) 26

27 Pre-processing Carichi masticatori e geometrie impianto p z (MPa) p x (MPa) p y (MPa) Impianto SPESSORATO Impianto PIENO 143,3 56,6 9,5 3,7 9,5 3,7 27

28 Pre-processing Dati di input del materiale ü MATERIALE: Zirconia parzialmente stabilizzata con Yttira, sinterizzata a 1500 C, 2h. ü TECNICA DI FORMATURA: slip casting ü RAPPORTO POLVERE/ACQUA: 42,5% Vol. ü Differenze lotti preparati: tempo di omogeneizzazione in mulino orizzontale ZrO2 PYZ, 24.5h milling ZrO2 PYZ, 30h milling E (GPa) ρ (g/cm 3 ) ,95 5,95 m 9,2 20,4 σ 0 (Mpa)

29 Post-processing Analisi dello stato tensionale Sono stati analizzati quattro casi, a parità di materiale e condizioni di carico e vincolo: 1. impianto pieno con raggio raccordo 0,1 mm 2. impianto pieno con raggio raccordo 0,7 mm 3. impianto spessorato con raggio raccordo 0,1 mm 4. Impianto spessorato con raggio raccordo 0,7 mm Raggio di raccordo corona/cono 29

30 Post-processing Analisi dello stato tensionale - calcolo affidabilistico Zona 4 Zona 2 Zona 6 Zona 1 Zona 5 Zona 3 30 Zona 1 Zona 2 IMPIANTO Zona 3 SPESSORATO Raccordo 0,7mm Zona 4 Zona 5 Zona 6 m σ 0 σ picco V i σ i B i B A 9, , , , , , , ,82E- 08 0, ,71E- 09 0, ,40E- 09 0, ,39E- 09 0, ,41E- 08 1, ,63E- 09 2,09E- 07 0, (prob. ro?ura 1 su )

31 Post-processing Analisi dello stato tensionale - calcolo affidabilistico m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,98E- 07 IMPIANTO SPESSORATO Zona 2 9, , ,58E Raccordo 0,1mm Zona 3 9, , ,11E- 09 Zona 4 9, , ,35E- 09 4,67E- 07 0, (prob. ro?ura 1 su ) IMPIANTO SPESSORATO Raccordo 0,7mm m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,82E- 08 Zona 2 9, , ,71E- 09 Zona 3 9, , ,40E Zona 4 9, , ,39E- 09 2,09E- 07 Zona 5 9, , ,41E- 08 Zona 6 9, , ,63E- 09 0, (prob. ro?ura 1 su ) m σ 0 σ picco V i σ i B i B A 0, ,20E- 08 Zona 2 9, , ,73E- 09 7,49E- 08 Zona 3 9, , ,53E- 08 Zona 1 9,2 841 IMPIANTO PIENO, Raccordo 0,1mm Zona 4 9, , ,84E- 09 0, (prob. ro?ura 1 su ) m σ 0 σ picco V i σ i B i B A 0, ,36E- 10 Zona 2 9, , ,18E- 10 1,18E- 08 Zona 3 9, , ,12E- 08 Zona 1 9,2 841 IMPIANTO PIENO, Raccordo 0,7mm Zona 4 9, , ,39E- 10 0, (prob. ro?ura 1 su ) 31

32 Post-processing Affidabilità come funzione del materiale ZrO2 PYZ, 24.5h milling ZrO2 PYZ, 30h milling m 9,2 20,4 σ 0 (Mpa) Zona 1 IMPIANTO SPESSORATO Zona 2 Raccordo 0,1mm Zona 3 Zona 4 Zona 1 IMPIANTO SPESSORATO Zona 2 Raccordo 0,1mm Zona 3 Zona 4 m σ 0 σ picco V i σ i B i B A 9, , , ,2 841 m σ 0 σ picco V i σ i B i B A 20, , , , , ,98E- 07 0, ,58E- 08 4,67E- 07 0, ,11E- 09 0, ,35E- 09 0, ,68E- 13 0, ,47E- 16 7,68E- 13 0, ,40E- 17 0, ,15E- 18 0, (prob. ro?ura 1 su ) 0, (prob. ro?ura 1 su ) A aumenta con m 32

33 Ipotesi di carichi masticatori raddoppiati p z (MPa) p x (MPa) p y (MPa) Impianto SPESSORATO Impianto PIENO

34 Post-processing Analisi dello stato tensionale - calcolo affidabilistico IMPIANTO SPESSORATO Raccordo 0,7mm IMPIANTO SPESSORATO Raccordo 0,1mm m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,14E- 05 Zona 2 9, , ,64E- 07 Zona 3 9, , ,59E Zona 4 9, , ,30E- 06 1,11E- 04 Zona 5 9, , ,93E- 05 Zona 6 9, , ,98E- 06 0, (prob. ro?ura 1 su 1.000) m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,09E- 04 Zona 2 9, , ,29E- 05 Zona 3 9, , ,13E- 05 4,38E- 04 Zona 4 9, , ,53E- 05 Zona 5 9, , ,50E- 04 0, (prob. ro?ura 1 su 1.000) IMPIANTO PIENO, Raccordo 0,1mm IMPIANTO PIENO, Raccordo 0,7mm m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,77E- 05 0, Zona 2 9, , ,94E ,86E- 05 (prob. ro?ura Zona 3 9, , ,63E su ) Zona 4 9, , ,20E- 07 m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,98E- 08 0, Zona 2 9, , ,44E ,24E- 05 (prob. ro?ura Zona 3 9, , ,22E su ) Zona 4 9, , ,55E

35 Post-processing Affidabilità come funzione del materiale ZrO2 PYZ, 24.5h milling ZrO2 PYZ, 30h milling m 9,2 20,4 σ 0 (Mpa) m σ 0 σ picco V i σ i B i B A Zona 1 9, , ,09E- 04 IMPIANTO SPESSORATO Raccordo 0,1mm Zona 2 Zona 3 Zona 4 Zona 5 9, , , , , ,29E- 05 0, ,13E- 05 0, ,53E- 05 1, ,50E- 04 4,38E- 04 0, (prob. ro-ura 1 su 1.000) m σ 0 σ picco V i σ i B i B A A aumenta con m IMPIANTO SPESSORATO Raccordo 0,1mm Zona 1 Zona 2 Zona 3 Zona 4 20, , , , , ,16E- 06 0, ,33E- 09 0, ,25E- 10 0, ,36E- 10 2,16E- 06 0, (prob. ro-ura 1 su ) Zona 5 20, , ,00E

36 Bibliografia Ø Modern Ceramic Engineering, D. W. Richerson, M. Dekker inc., 1990 Ø Mechanical Properties of Ceramics, B. Watchman, W. Cannon Ø B. Zuccarello, Progettazione meccanica con materiali non convenzionali (appunti del corso) Ø Introduzione ai ceramici avanzati, G. Aliprandi, F. Savioli, Pubblicazione interna ENEA 1989 Ø Ceramic Technology and Processing, William Andrew Publishing/Noyes,2002 Ø Fracture Mechanics, Fundamentals and pplications, T.L. Anderson, second edition 36