SICUREZZA STRUTTURALE E AFFIDABILITÀ [1]

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1 Capitolo 2 SICUREZZA STRUTTURALE E AFFIDABILITÀ [1] 2.1 Introduzione Per effettuare un analisi quantitativa di una struttura reale al fine di garantirne la sicurezza, è necessario definire un modello per le strutture, per i materiali e per i carichi. Gli approcci di verifica della sicurezza strutturale che si sono susseguiti nel tempo si sono significativamente modificati. Nel testo del Belluzzi si afferma, ormai 50 anni or sono, che la scienza delle costruzioni studia gli effetti prodotti dalle forze che sollecitano una costruzione e determinano le condizioni cui devono soddisfare le diverse parti di questo affinché possano sopportare tali forze. La normativa moderna europea (EC2) fissa il principio che una struttura deve essere progettata e costruita in modo che: - Con accettabile probabilità rimanga adatta all uso per il quale è prevista, tenendo in dovuto conto la sua vita presupposta e il suo costo; - Con adeguati livelli di accettabilità sia in grado di sopportare le azioni o influenze, cui possa essere sottoposta durante la sua realizzazione e il suo esercizio, e abbia adeguata durabilità in relazione ai costi di manutenzione. Se nel primo approccio è evidente una visione deterministica di relazione causa-effetto, nell approccio moderno si fa esplicito riferimento a modelli probabilistici. Mentre nel primo caso l attenzione è rivolta unicamente alla resistenza, nel secondo si evidenzia una doppia problematica, sia legata alla vita di esercizio che a quella in caso di eventi eccezionali. Nella presente trattazione, dopo alcuni brevi richiami sulla teoria della probabilità, si farà riferimento a diversi metodi per la valutazione della sicurezza strutturale: - Metodo delle tensioni ammissibili - Calcolo a rottura - Metodo probabilistico - Metodo semiprobabilistico 1

2 2.2 Richiami di teoria della probabilità Si definisce variabile aleatoria X una variabile che rappresenta il risultato di un esperimento che può fornire valori casuali, intendendo con ciò valori non definibili a priori. f c e f y sono variabili aleatorie. Dato un insieme di n valori casuali X 1 X n è possibile suddividerli in un numero finito di intervalli, definiti classi. Si indica con il termine di frequenza il numero di valori che ricade in una classe, mentre con distribuzione di frequenza si intende l istogramma che rappresenta i valori dalla frequenza nelle diverse classi (Figura 2.1a). Quando si aumenta l ampiezza del campione e si riduce l ampiezza delle classi, l istogramma tende ad una curva continua che viene detta funzione di densità di probabilità (Figura 2.1b). Figura 2.1: Esempi a) di distribuzione di frequenza e b) di funzione di densità di probabilità della variabile aleatoria f y. In altre parole, l area sottesa da un tratto di curva, tra due valori X a e X b, rappresenta la probabilità di ottenere un valore compreso in tale intervallo. Gli esempi mostrati in Figura 2.1 rappresentano la distribuzione di frequenza e la funzione di densità di probabilità relative al valore di snervamento per una prova di trazione su di una barra d armatura, dove l intera curva sottende un area unitaria (100% campioni). Due parametri importanti risultano significativi per esaminare un insieme di valori casuali: - Valore medio: n μ = 1 N X i i=1 (2.1) - Scarto quadratico medio: N σ = 1 N (X i μ) 2 i=1 (2.2) Si definisce frattile il valore al di sotto del quale ricade una assegnata percentuale dei valori aleatori. Il frattile 5% è il valore al di sotto del quale ricade solo il 5% dei valori aleatori, mentre il frattile 95% è quello al di sotto del quale ricade il 95% dei valori. 2

3 La distribuzione statistica più comunemente utilizzata, che si adatta bene a molte distribuzioni di dati aleatori, è la distribuzione normale gaussiana, la cui funzione di densità di probabilità ha il caratteristico aspetto a campana. Noti μ e σ, essa si può definire come: p(x) = 1 2π σ e1 2 ( x μ σ )2 (2.3) Data questa distribuzione, un qualsiasi frattile può essere calcolato a partire da μ e σ: frattile 5% = μ 1.64 σ (2.4) frattile 95% = μ σ (2.5) Per tener conto delle incertezze sui valori delle resistenze è doveroso utilizzare valori corrispondenti ad un opportuno frattile. Il valore medio, in molti casi, non sarebbe raggiunto da valori reali. Le normative fanno spesso riferimento ad un valore garantito con buona probabilità, che è il frattile 5%. Tale valore è denominato valore caratteristico (pedice k). Per quanto concerne i carichi, si può osservare in primis come alcuni di essi siano intrinsecamente variabili, ad esempio il carico variabile portato da un solaio. Questi carichi devono essere necessariamente analizzati in maniera probabilistica. Altri carichi, per esempio quelli permanenti, hanno una variabilità molto limitata in termini probabilistici, anche se sono comunque soggetti ad una certa aleatorietà. Occorre quindi determinare i carichi con un frattile che abbia bassa probabilità di essere superato: si usa quindi il frattile 95% e il corrispondente valore di carico è definito caratteristico. Anche se non espressamente indicato, sono da intendersi come valore caratteristico sia il valore dei carichi variabili che i valori nominali dei pesi propri degli elementi strutturali prescritti dalla normativa. Non è tuttavia possibile utilizzare direttamente questi valori nei calcoli. La possibilità di avere una resistenza minore o un carico maggiore, rispetto ai valori usati, comporta un rischio di danno e/o collasso strutturale non accettabile, poiché non sufficientemente basso. Il modo più ovvio è allora quello di applicare un coefficiente di sicurezza, tarato in maniera differente a seconda dei metodi esposti nel seguito. 2.3 Metodo delle tensioni ammissibili Il metodo delle tensioni ammissibili ha avuto una importanza fondamentale per l intero XX secolo, pur essendo avviato ad un rapido declino. Gli Eurocodici non lo prendono assolutamente in considerazione e anche l NTC 2008 ([2] 2.7) ne consente l uso solo in ambiti molto ristretti. Tale metodo si basa sull idea di controllare che in nessun punto lo stato tensionale superi un valore limite detto appunto tensione ammissibile, nettamente inferiore a quello di rottura. A titolo di esempio: σ s,amm = f yk f yk (2.6) 3

4 σ c,amm = 1 3 R ck (2.7) dove: R ck Resistenza cubica caratteristica del calcestruzzo. Figura 2.2: Legami costitutivi di a) acciaio e b) calcestruzzo con individuazione delle tensioni ammissibili. Un immediata conseguenza di questa scelta è la possibilità di ipotizzare che il legame costitutivo σ ε del materiale sia linearmente elastico, così come elastica è l analisi strutturale, e che valga la teoria classica di De Saint Venant. Il metodo non fornisce tuttavia informazioni sufficienti sul margine di sicurezza rispetto al collasso, perché al crescere del carico la non linearità del materiale diventa rilevante. Il rapporto tra carico di collasso e carico di esercizio può quindi essere molto diverso, in dipendenza da: - Geometria - Materiale - Modalità di collasso Il raggiungimento della resistenza ultima del materiale in un punto non implica necessariamente il collasso della struttura. Il Metodo delle Tensioni Ammissibili non è pertanto in grado di fornire un controllo della sicurezza strutturale in caso di presenza di carichi eccezionali Esempi Esempio 1 In riferimento al dominio M-N di una sezione in c.a. (Figura 2.3), il M.T.A. non permette di valutare il coefficiente di sicurezza diverso a seconda che i carichi M-N crescano contemporaneamente, oppure l uno indipendentemente dall altro. 4

5 Figura 2.3: Dominio M-N di una sezione in c.a Esempio 2 La presenza di un carico variabile può essere sfavorevole per un dato elemento strutturale e favorevole per un altro elemento. Per esempio, un aumento di carichi può essere sfavorevole per travi inflesse, mentre può essere benefico per una verifica a presso-flessione della colonna corrispondente (se all interno di M-N con interazione favorevole) Esempio 3 Figura 2.4: Esempio di capriata. Considerando il caso di una briglia inferiore di una capriata, in generale essa è soggetta a trazione per peso proprio, unito al carico dell area di copertura di competenza e l eventuale carico neve. In presenza di forte depressione da vento (in assenza di neve), essa può risultare compressa. Questo controllo non è possibile con il M.T.A., che non consente la valutazione delle combinazioni di carichi. 5

6 Esempio 4 Figura 2.5: Differenti sezioni di acciaio. La sezione piena, a differenza di quella a doppia T, (Figura 2.5) presenta nelle condizioni ultime anche tutto il contributo di plasticizzazione dell anima, che rispetto al primo caso è piena. Il M.T.A. trova solo un cenno nella verifica SLE degli Eurocodici. 2.4 Calcolo a rottura Il calcolo a rottura è stato sviluppato intorno alla metà del XX secolo, con l obiettivo di valutare la resistenza ultima delle strutture. Consiste nella determinazione del meccanismo di collasso dell intera struttura, partendo dalle caratteristiche di sollecitazione che inducono la plasticizzazione di ciascuna sezione (noti e assunti legami non lineari σ ε dei materiali). La verifica consiste nella determinazione di un moltiplicatore dei carichi (α = P collasso /P reale ) che costituisce una indicazione sulla sicurezza a rottura. In alcune applicazioni più semplici, si utilizza un analisi strutturale lineare e si controlla che in ogni sezione le sollecitazioni indotte dai carichi maggiorati mediante un coefficiente di sicurezza siano minori del valore di collasso della sezione stessa (come dire: si confrontano carichi di esercizio con valori di rottura divisi per un coefficiente di sicurezza). Il limite maggiore del calcolo a rottura in elementi in c.a. è la presenza di un medesimo coefficiente di sicurezza tra acciaio e calcestruzzo, che hanno al contrario ben differente variabilità. Inoltre, il calcolo a rottura non tiene conto dei fenomeni di instabilità, i quali possono sorgere molto prima che si formino tutte le cerniere plastiche. La normativa italiana non ha mai recepito esplicitamente questo metodo, pur essendo molto utilizzato in altri ambiti, in primis nel calcolo della capacità portante delle fondazioni. 2.5 Approccio probabilistico Sviluppato intorno alla metà del XX secolo, mira alla valutazione della probabilità di collasso e a controllare che essa sia inferiore ad un valore molto piccolo considerato accettabile. Occorre considerare: - La funzione di densità di probabilità dei carichi; - La funzione di densità di probabilità dei materiali (resistenze). Si deve determinare la relazione tra queste funzioni e la probabilità di collasso, tenendo presente la non-linearità dei materiali. Si consideri l esempio illustrato in Figura

7 Figura 2.6: Mensola in acciaio soggetta al carico F. Si fa riferimento alla sola sezione di incastro, nella quale il momento è il massimo (anche se, a causa della variabilità della resistenza, la sezione di collasso potrebbe essere altrove nelle vicinanze). - Si determina la gaussiana del carico (Figura 2.7a); - Si determina la gaussiana del momento (F l, dove l è considerata assegnata in maniera deterministica) (Figura 2.7b): p(m s ) = 1 2π σ e1 2 ( M s μ 2 σ ) (2.8) Figura 2.7: Gaussiana a) del carico e b) del momento. - Si considera la gaussiana di f yk (Figura 2.8a); - Si determina la gaussiana M R = f yk W Pl (dove W Pl è assegnato in maniera deterministica) (Figura 2.8b): p(m R ) = 1 2π σ e1 2 ( M R μ 2 σ ) (2.9) Figura 2.8: Gaussiana di a) f yk e b) M R. 7

8 Occorre ora confrontare M S con M R plottando le funzioni analitiche gaussiane (Figura 2.9). Figura 2.9: Confronto tra le gaussiane relative a M S e M R. Con riferimento ad un generico valore M 1 del momento, la probabilità che M S = M 1 o che sia contenuto in un intervallo di ampiezza dm centrato su M 1, è pari al valore della funzione densità di probabilità in M 1 moltiplicato per dm, come indicato nella parte in grigio della Figura 2.9. Analogamente la probabilità M R < M 1 è quella tratteggiata e corrisponde a: M 1 p(m R )dm R (2.10) La possibilità che entrambe le condizioni si verifichino è data dal prodotto delle due aree, per cui M R < M S è fornito dall integrale doppio: + M S ( p(m R )dm R ) p(m S )dm S M S= M R= (2.11) Una probabilità di collasso intorno a 10 3 viene considerata accettabile. L approccio probabilistico è in generale molto complesso per un uso comune ed esistono soluzioni analitiche del problema solo per casi semplici. 2.6 Approccio semiprobabilistico Se la probabilità di collasso è calcolabile come integrale del prodotto delle due areole descritte al punto precedente, tale probabilità sarà tanto più bassa quanto più disgiunte saranno le due funzioni di densità di probabilità. Ciò può essere fatto confrontando il momento sollecitante (frattile 95%) con il momento resistente garantito da una tensione di snervamento corrispondente al frattile 5%. Da questa considerazione nasce l approccio semiprobabilistico, che consente di effettuare una verifica che abbia una valenza probabilistica, ma che segue una procedura utilizzata in situazioni deterministiche. 8

9 - Vengono assegnati carichi ben definiti; - Calcolo della sollecitazione (analisi lineare o non-lineare); - Vengono calcolati i valori limite dalle caratteristiche di sollecitazione nella sezione, sulla base di valori limite e legami costitutivi appositi. Figura 2.10: Verifica mediante approccio semiprobabilistico. Nella Figura 2.10 si riconosce: - M sk : momento sollecitante caratteristico corrispondente a F k ; - M sd : momento sollecitante di progetto, pari a F k γ F ; - M Rk : momento resistente caratteristico corrispondente a f yk ; - M Rd : momento resistente di progetto, pari a f yk /γ M. I valori di carico e di resistenza da utilizzare sono denominati valori di design e sono relazionati ai valori caratteristici attraverso coefficienti: F d = γ F F k (2.12) f d = f k /γ M (2.13) γ F e γ M possono essere determinati mediante analisi probabilistiche. Questo metodo, oltre che semiprobabilistico, viene definito anche metodo dei coefficienti parziali, visto che applica coefficienti di sicurezza sia ai materiali (vedi MTA) che ai carichi (calcolo a rottura). 2.7 Metodo agli stati limite Il metodo degli stati limite rappresenta la formulazione completa dell approccio semiprobabilistico con verifiche anche in esercizio. Si definisce: - Stato limite: stato oltre il quale la struttura, o una sua parte, non soddisfa più le esigenze di comportamento per le quali è stata progettata; - Stato limite ultimo: corrisponde al valore estremo della capacità portante o ad altre forme di cedimento strutturale che possono mettere in pericolo la sicurezza delle persone (ribaltamento o stabilità); - Stato limite di esercizio o di servizio: stato oltre il quale non risultano più soddisfatti i requisiti di esercizio prescritti; comprende situazioni quali rapido deterioramento della struttura, 9

10 fessurazione, deformabilità eccessiva, vibrazioni, corrosione, scorrimento giunzioni bullonate. I coefficienti amplificativi dei carichi γ F e riduttivi delle resistenze γ M dipendono da: - SLU da cui ci si deve cautelare; - Legge di distribuzione dei carichi e delle resistenze; - Frattile con cui sono definiti F k e f k ; - Dal livello di probabilità p u voluto di raggiungimento dello SLU; - Tipologia strutturale. La combinazione di carico di progetto, per gli SLU, è quella definita dalla normativa vigente come combinazione fondamentale ([2] 2.5.3): γ g1 G 1 + γ g2 G 2 + γ P P + γ Q1 Q k1 + γ Q2 Ψ 02 Q k2 + γ Q3 Ψ 03 Q k3 + (2.14) dove: G 1 G 2 P Q k1 Q kj γ g1 γ g2 γ P γ Q Carichi permanenti strutturali; Carichi permanenti non strutturali; Carico derivante da eventuale pretensione e precompressione; Carico variabile dominante; Carico variabile che può agire contemporaneamente a quella dominante; Coefficiente parziale di sicurezza per azioni permanenti strutturali; Coefficiente parziale di sicurezza per azioni permanenti non strutturali; Coefficiente parziale di sicurezza per pretensione e precompressione; Coefficiente parziale di sicurezza per azioni variabili; Ψ 0j Coefficiente di combinazione riferita all azione j-esima con valore inferiore a 1. Per quanto riguarda l analisi strutturale, agli SLU dovrebbe essere eseguita in campo non lineare, in accordo con le ipotesi del metodo. Essendo molto oneroso, la normativa permette di eseguire un analisi strutturale elastica, dove gli errori commessi, nell ottica dell approccio semiprobabilistico, vengono inclusi nei coefficienti di sicurezza. Non è detto, in ogni caso, che l analisi elastica sia in sicurezza. Lo è, per esempio, nell appoggio centrale di una trave continua, ma non in campata nell ottica della ridistribuzione dei momenti. Per un maggior approfondimento riguardo gli stati limite ultimi (SLU) e gli stati limite d esercizio (SLE) si rimanda rispettivamente ai capitoli 5 e 6 della presente trattazione. 10

11 2.8 BIBLIOGRAFIA [1] A. Ghersi, Il cemento armato, Dario Flaccovio Editore [2] D. M. 14 gennaio 2008, Norme tecniche per le costruzioni,