La Sezione Aurea. Tesina di Chiara Maggioni. Anno scolastico /06/2015 Il fascino di 1

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1 La Sezione Aurea Tesina di Chiara Maggioni Anno scolastico /06/205 Il fascino di

2 Prima parte Indice Cenni alle ipotesi che la sezione aurea fosse nota e applicata nelle società babilonese e egizia Scoperta, teorizzazione e applicazione della sezione aurea nella società greca, Elementi di Euclide: Definizione Proprietà Studi di Leonardo Fibonacci: successione di Fibonacci Scoperta del rapporto tra successione di Fibonacci e sezione aurea (Keplero) Studi di Bernoulli: la spirale logaritmica Studi di Luca Pacioli: il perché del nome divina proporzione 0/06/205 Il fascino di 2

3 Seconda parte Applicazioni del rapporto aureo : Indice Applicazione diretta della sezione aurea ARTE Modulor di Le Corbusier Applicazione della successione di Fibonacci BOTANICA Quoziente di fillotassi Spirali di divergenza Applicazione della spirale logaritmica ZOOLOGIA Nautilo Falcone Montone 0/06/205 Il fascino di 3

4 In Mesopotamia si conosceva Φ? L interesse per Φ nasce dallo studio del pentagramma (la stella a cinque punte inscritta in un pentagono regolare). Le più vecchie tracce di queste figure sono state rinvenute in Mesopotamia e risalgono al IV millennio a.c. Per quanto siano stati compiuti molti studi e formulate varie ipotesi, e anche se da tavolette del II millennio risulta che i Babilonesi conoscessero un modo per calcolare approssimativamente l area del pentagono, si è giunti alla conclusione che Φ e le sue proprietà non fossero ancora note. 0/06/205 Il fascino di 4

5 E in Egitto? Riguardo alla piramide di Cheope, costruita nel 2480 a.c. Erodoto scrive che fu costruita in modo che l area di ciascuna faccia fosse uguale all area di un quadrato il cui lato fosse pari all altezza della piramide. Questa testimonianza potrebbe essere una prova dell esistenza di Φ nel progetto, ma molto più probabilmente è frutto di un interpretazione arbitraria. Forse è possibile che Φ sia presente nell Osereion, ritenuto cenotafio di Seti I ( a.c.), ma in realtà risalente al 300 a.c., periodo in cui il rapporto aureo era già noto. 0/06/205 Il fascino di 5

6 La storia di Φ in Grecia In Grecia, in quattro secoli, a partire da Talete, le scoperte matematiche sono state grandissime. Lo studio di Φ è cominciato, probabilmente in ambienti pitagorici, per i tentativi di costruire figure piane e solide. Si sono cercate applicazioni del rapporto aureo tra le varie dimensioni del Partenone (V a.c.). Alcuni sostengono che la sua larghezza e la sua altezza siano in rapporto aureo tra loro, ma è più facile pensare che gli architetti abbiano basato il progetto su principi estetici diffusi ai tempi. 0/06/205 Il fascino di 6

7 Platone conosceva? TETRAEDRO OTTAEDRO ESAEDRO DODECAEDRO I cinque solidi platonici sono gli unici le cui facce sono tutte equilatere e uguali tra loro, e inscritti in una sfera. Il rapporto aureo occupa una posizione importante nelle dimensioni e nelle simmetrie di questi poliedri. Per esempio: - nel dodecaedro con lato unitario S = 5Φ 3-Φ V= Φ 3 /(6-2Φ) - nell icosaedro di lato unitario V= 5Φ 5 /6 ICOSAEDRO 0/06/205 Il fascino di 7

8 Euclide - Elementi Alessandria d Egitto, inizio III a.c. Si può dire che un segmento sia stato diviso secondo la proporzione estrema media quando l intero segmento sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore A C B AB : AC = AC : BC Costruzione geometrica 0/06/205 Il fascino di 8

9 Q R A C B 0/06/205 Il fascino di 9

10 Euclide - Elementi Alessandria d Egitto, inizio III a.c. A x C ( + x) : x = x : (+ x) / x = x x 2 = x + x 2 x = 0 B = x = + 5 x 2 = /06/205 Il fascino di 0

11 = /06/205 Il fascino di

12 Proprietà del Rapporto Aureo - Il rapporto aureo, ed esso solo, ha la caratteristica di avere un quadrato uguale a sé stesso più uno e un reciproco uguale a sé stesso meno uno. Φ = Φ 2 = / Φ= /06/205 Il fascino di 2

13 Proprietà del Rapporto Aureo -2 =... x =... x 2 =... x 2 = + x Φ 0/06/205 Il fascino di 3

14 Proprietà del Rapporto Aureo -3 =... x =... x = x x 2 = x + Φ 0/06/205 Il fascino di 4

15 Proprietà del Rapporto Aureo -4 Il rapporto tra il lato maggiore e il lato minore di questo rettangolo è pari a Φ. Sottraendo a questo rettangolo un quadrato di lato uguale al lato minore, si otterrà un rettangolo uguale al precedente, e così via. Le dimensioni del rettangolo figlio sono minori di quelle del rettangolo genitore di un fattore pari a Φ. Ottenere un rettangolo simile al primo, sottraendo dalla sua area un quadrato, è possibile solo con un rettangolo aureo. Tracciando due diagonali che si intersecano in ciascuna coppia di rettangoli, si trova che tutte passano per un punto, chiamato occhio di Dio. 0/06/205 Il fascino di 5

16 Qual è il nesso tra ed il Pentagramma? PENTAGONO d/l=φ TRIANGOLO AUREO AB/BC=Φ AD/DC=Φ GNOMONE AUREO BD/BE=/Φ 0/06/205 Il fascino di 6

17 Leonardo Fibonacci 0/06/205 Il fascino di 7

18 Osservazioni di Fibonacci Ogni mese una coppia di conigli produce una nuova coppia di conigli in grado di riprodursi a sua volta nel mese successivo. Fibonacci osservò che in ogni mese a partire dal terzo il numero di coppie adulte è uguale alla somma del numero di coppie adulte nei due mesi precedenti. Le coppie giovani hanno invece la stessa successione con un mese di ritardo. La successione,,2,3,5,8,3,2,34,55,89 in cui ciascun termine (a partire dal terzo) è uguale alla somma dei due termini precedenti è chiamata Successione di Fibonacci F n+2 = F n + F n+ 0/06/205 Il fascino di 8

19 Proprietà dei numeri di Fibonacci - Procedendo lungo la successione di Fibonacci, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla attorno a un numero al quale si avvicina sempre più: il rapporto aureo. Con l aumentare di n F n+ /F n = Φ Questa proprietà è stata scoperta nel 6 da Keplero. Questo rapporto si spiega tornando alla frazione continua. Le successive approssimazioni del rapporto aureo con la suddetta frazione continua sono identiche a numeri di Fibonacci sempre più grandi, divisi per il predecessore. 0/06/205 Il fascino di 9

20 Proprietà dei numeri di Fibonacci - 2 Sommando un numero dispari di prodotti di successivi numeri di Fibonacci, si ottiene il quadrato dell ultimo numero dei prodotti in questione. es. (x)+(x2)+(2x3)= = 9 Questa proprietà può essere rappresentata in modo geometrico (quadratura dei rettangoli) 2x3 x2 x 3x5 5x8 0/06/205 Il fascino di 20

21 Altre proprietà dei numeri di Fibonacci La somma di dieci numeri di Fibonacci consecutivi è sempre pari a undici volte il settimo numero del gruppo La cifra dell unità di ripete con periodicità sessagesimale. Le ultime due cifre si ripetono con una periodicità pari a 300. Le ultime tre con una periodicità di 500. Per qualunque numero di cifre da tre in poi la periodicità è uguale a 5 moltiplicato per 0 elevato a una potenza pari al numero di cifre meno. I matematici hanno trovato una formula per calcolare l ennesimo numero di Fibonacci. F n = (Φ n + (/Φ) n ) 5 0/06/205 Il fascino di 2

22 Studi di Bernoulli Bernoulli ( ) dedicò un trattato, intitolato Spira Mirabilis alla spirale logaritmica, che è la sola ad avere un importante proprietà: crescendo non cambia forma. Crescendo per accumulazione interna, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta sempre più allontanandosi dal polo. In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante. Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto. La spirale si sviluppa all interno di un rettangolo aureo (o anche di un triangolo), attorno al polo che coincide con il cosiddetto Occhio di Dio. 0/06/205 Il fascino di 22

23 Studi di Pacioli Luca Pacioli pubblicò nel 509 il trattato in tre volumi De Divina Proportione, in cui esponeva in modo dettagliato le caratteristiche e le proprietà del rapporto aureo e una disquisizione sui solidi platonici e altri poliedri; e manifestava il desiderio di rivelare il rapporto aureo come segreto dell armonia delle forme visibili. Nel quinto capitolo del primo volume l autore elenca alcune ragioni per cui Divina Proportione è il nome più adatto a definire il rapporto aureo: Che tale proporzione sia una sola e non più. L unicità è l epiteto supremo di Dio. Il rapporto aureo chiama in causa tre lunghezze, così come Dio è uno e trino. L irrazionalità di Φ e l impossibilità per l intelletto umano di comprendere la divinità sono equivalenti. L autosimilitudine del rapporto aureo rinvia all onnipresenza e invariabilità di Dio. 0/06/205 Il fascino di 23

24 Applicazioni del Rapporto Aureo Applicazioni attraverso Sezione Aurea Successione di Fibonacci Spirale logaritmica Modulor LeCorbusier Quoziente di fillotassi Zoologia 0/06/205 Il fascino di 24

25 LE CORBUSIER, MODULOR La ricerca di Le Corbusier di una proporzione standardizzata culminò nell introduzione del Modulor, che si presumeva fornisse alla scala umana una misura di armonia, universalmente applicabile all architettura e alla meccanica. Il Modulor è una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti antropometrici e principi matematici. Un uomo con il braccio alzato fornisce quelli che Le Corbusier considera punti decisivi di riferimento: la pianta del piede, il plesso solare, la sommità del capo, l estremità delle dita della mano protesa verso l alto. Questi punti danno luogo a tre intervalli decrescenti che sono in rapporto aureo tra loro. 0/06/205 Il fascino di 25

26 Il MODULOR Mediante ulteriori suddivisioni armoniche delle tre misure base, Le Corbusier è giunto poi a definire due serie di gamme dimensionali interagenti tra loro: la serie rossa e la serie blu. La dimensione chiave della serie rossa è data dall altezza ideale dell uomo (stimata da Le Corbusier in,829 m). La dimensione chiave della serie blu corrisponde invece all altezza dell uomo con il braccio alzato, 2,260 m. In tutte e due le serie, ogni numero è uguale alla somma dei due precedenti. Ciò significa che entrambe sono riconducibili alla serie di Fibonacci 0/06/205 Il fascino di 26

27 Il MODULOR e gli spazi vitali Con il Modulor viene ufficialmente codificato il principio unificatore universale che regola la vita ideale dell'uomo ideale, dall'architettura alla meccanica, dalla forchetta alla città. Le misure in altezza ricavate dal Modulor sono finalizzate alla progettazione degli spazi residenziali e degli oggetti di uso comune, ad esempio: cm 27 e 43 per due tipi di sedile cm 70 per il bracciolo cm 86, 3 e 40 per tre tipi di appoggio cm 83 per l'uomo in piedi cm 226 per l'uomo a braccio alzato 0/06/205 Il fascino di 27

28 Il Quoziente di Fillotassi Nel regno vegetale le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendono massima l esposizione al sole, alla pioggia e all aria. Perciò un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari, nella maggior parte dei casi con una componente rotatoria. Il fenomeno ha nome scientifico di FILLOTASSI: il quoziente di fillotassi indica la porzione di angolo giro tra una foglia e la successiva, e assume valori come: /2, /3, 2/5, 3/8 0/06/205 Il fascino di 28

29 Il Quoziente di Fillotassi Malgrado questi schemi fossero già stati scoperti e studiati da tempo, Keplero fu il primo a intuire il rapporto tra il quoziente di fillotassi e i numeri di Fibonacci. Questo, infatti, si può esprimere come rapporto fra numeri alternati di Fibonacci. Tali schemi di allineamento spiraliforme si osservano anche in altre strutture, come le squame delle pigne dell abete o dell ananas, o come i semi dei girasoli. 0/06/205 Il fascino di 29

30 Perché una disposizione secondo tali numeri? Le foglie si dispongono lungo una stretta spirale, chiamata spirale vegetativa. Nuove foglie avanzano lungo la circonferenza formando un angolo pressappoco costante, angolo di divergenza, prossimo a Quest angolo è a volte chiamato angolo aureo, in quanto esplementare di quello ottenuto dividendo 360 per Φ (225.5 ). Un angolo di divergenza come quello aureo, irrazionale, assicura che le foglie non si allineino, riducendo lo spreco di spazio e sfruttando al massimo acqua, aria e luce. Le disposizioni della fillotassi rappresentano le condizioni di energia minima per gemme che si respingono reciprocamente. Le esigenze di omogeneità (che la struttura sia ovunque la stessa) e di autosimiglianza ( che la struttura ingrandita o rimpicciolita conservi lo stesso aspetto), limitano il numero di strutture possibili e sono soddisfatte dalla struttura descritta. 0/06/205 Il fascino di 30

31 La spirale logaritmica in natura La spirale logaritmica si può ritrovare in arte, nei capelli raccolti della Leda di Leonardo, in natura nelle forme delle galassie o degli uragani, ma in particolare nelle strutture di alcuni animali. Il fatto che questa spirale crescendo non cambia forma ha fatto sì che fosse adottata dal nautilus nella sua conchiglia. Questo crescendo si costruisce camere sempre più spaziose, sigillando quelle inutilizzate. Così la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, ma la forma del guscio resta immutata. Lo stesso principio vale per l accrescimento delle corna del muflone e delle zanne degli elefanti. 0/06/205 Il fascino di 3

32 Conclusione Il rapporto aureo è un prodotto della geometria, un invenzione umana. Ma gli uomini non immaginavano in quale magico regno di fate ed elfi quel prodotto li avrebbe portati. Se la geometria non fosse stata inventata, mai avremmo immaginato l esistenza del rapporto aureo. Ma forse, alla fine, esso ci avrebbe ugualmente fatto visita, magari travestito da breve programma per computer. Livio Mario 0/06/205 Il fascino di 32

33 BIBLIOGRAFIA: Livio Mario, La Sezione Aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni. Rizzoli /06/205 Il fascino di 33