LA SPIRALE LOGARITMICA

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1 LA SPIRALE LOGARITMICA La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che la natura abbia scelto questa armoniosa figura come proprio ornamento favorito Mario Livio La spirale logaritmica (a sinistra) può essere distinta dalla spirale di Archimede (a destra) perchè nella prima le distanze fra i bracci aumentano in progressione geometrica, mentre in quella archimedea tali distanze sono costanti. La spirale logaritmica fu scoperta da Cartesio nel 1638; egli dimostròche è una spirale equiangola, cioè caratterizzata dal fatto che tracciando una linea dritta dal polo a un punto qualunque della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo (cioè in tutti i suoi punti l angolo formato dal raggio e dalla retta tangente è costante). In seguito venne analizzata da Torricelli nella sua opera De infinitis spiralibus che risale al Circa cinquant anni dopo Jacob Bernoulli ( ) ne studiò le proprietà e ne rimase talmente affascinato da definirla Spira mirabilis (spirale meravigliosa) e da chiedere che sulla sua tomba ne fosse scolpita una (ma in realtà scolpirono una spirale archimedea).

2 ll legame tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto. Se all interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch esso un rettangolo aureo (è necessario ripetere l operazione per almeno cinque volte per avere un effetto visivo adeguato). Se puntiamo la punta del compasso sul vertice del quadrato, che giace sul lato lungo del rettangolo, e si traccia l arco che unisce gli estremi dei due lati che formano l'angolo scelto, e si ripete l operazione per ogni quadrato disegnato, si ottiene proprio la spirale aurea, che si sviluppa asintoticamente proprio attorno al cosiddetto occhio di Dio. La spirale logaritmica è ricavabile anche da un triangolo aureo, continuando infinitamente a bisecare gli angoli alla base e formando quindi un vortice di triangoli sempre più piccoli, e collegando con una curva i vertici di tali figure ottenute. UN PO DI STORIA: LEONARDO FIBONACCI La storia della sezione aurea è strettamente legata al nome di un grande matematico italiano del Duecento, Leonardo da Pisa ( ), meglio conosciuto come Leonardo Fibonacci. Egli fu l autore dell importante trattato di matematica Liber abaci, che permise la diffusione in tutta Europa delle cifre indo-arabe. Fu proprio quest opera a dare al suo autore una così grande notorietà, da fare in modo che Federico II lo volesse presso la sua corte. I contributi diretti di Fibonacci alla letteratura sul rapporto aureo ci vengono da un breve libro di argomento geometrico (Pratica geometriae, 1223), nel quale descrive i nuovi metodi per il calcolo di diagonali e aree di figure strettamente legate a phi. Tuttavia, il suo contributo più importante deriva da un problema apparentemente banale esposto nel Liber abaci, quello celebre dei conigli, che lo porterà a formulare la celebre successione di Fibonacci, in cui Posti i primi due termini pari a 1, a partire dal terzo ciascun termine è uguale alla somma dei due termini precedenti: F 0 := 1 ed F 1 := 1, F n := F n-1 + F n-2 con n>1 I primi termini della successione sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,.. Ma dove sta il legame di quest ultima con phi? Per individuarlo, è necessario guardare al rapporto degli elementi continui che la compongono. Procedendo lungo la successione infatti, il rapporto tra un termine e il suo precedente oscilla (risultando ora in eccesso, ora in difetto) intorno a un numero che si avvicina sempre di più a phi. - Qualsiasi numero di Fibonacci diviso per il suo precedente da come risultato un approssimazione del numero aureo(1,618 ); ad esempio 3:2=1.5 5:3=1.66 8:5=1.6 13:8= :21= :89=1,

3 - Qualsiasi numero della successione diviso per il suo successivo da come risultato un approssimazione del numero 0,618 ; ad esempio 2:3= :5= :8= :13= :34= :144=0,61805 Questa sorprendente proprietà fu scoperta nel 1611 dall astronomo tedesco Keplero, il quale si sarebbe imbattuto in quella sequenza senza però leggere il Liber abaci. Tuttavia, trascorsero altri 100 anni prima che la relazione tra i numeri di Fibonacci e il rapporto aureo fosse definitivamente dimostrata dal matematico scozzese Robert Simson ( ). LA SPIRALE LOGARITMICA IN NATURA Molte piante mostrano i numeri di Fibonacci nella disposizione occupata dalle foglie intorno allo stelo. Osservando una pianta dall alto ci si accorge che le foglie non sono disposte casualmente ma secondo una sorta di spirale (logaritmica), si distanziano infatti dalla successiva con un angolo di 137, l angolo aureo. Questo ordine rende massima l esposizione delle foglie al sole, alla pioggia e all aria: ogni foglia può ricevere la quantità di luce sufficiente per compiere il proprio ciclo vitale regolarmente e l acqua della pioggia può raggiungere rapidamente, attraverso lo stelo, le radici. Dalla figura a lato si può notare la spirale costruita dalle foglie. Il fenomeno ha il nome scientifico di fillotassi, un sostantivo coniato nel 1754 dal naturalista svizzero Charles Bonnet. La storia della vera fillotassi matematica inizia però nel XIX secolo con gli studi dei botanici Schimper e Braun, i quali scoprirono la regola generale secondo cui i quozienti di fillotassi si possono esprimere come quozienti dei numeri di Fibonacci. Furono inoltre proprio questi studiosi a notare la comparsa di tali numeri anche nelle disposizioni a spirale delle squame dell ananas e delle pigne d abete. Contando le scaglie dell ananas in senso orario o antiorario si otterranno due numeri della successione. Su 2000 ananas sono state contate le scaglie ed è risultato che il 95% dei frutti segue questa legge. Analogamente anche una pigna è costituita da scaglie disposte lungo due insiemi di spirali come mostrato in figura, di 8 e 13 involuzioni.

4 Anche il cavolo e il cavolo romano, spesso esempi di frattali, presentano in loro una forma a spirale, o meglio una in senso orario, l altra in senso antiorario. Successivamente, nel 1837 venne scoperto dai fratelli Bravais che in alcuni vegetali, le foglie più giovani avanzano lungo una circonferenza formando un angolo pressappoco costante, prossimo a 137,5. Esso venne denominato angolo aureo perché corrisponde all angolo minore in cui l angolo giro viene diviso secondo il rapporto aureo. Analogie di questo tipo sono rintracciabili nella disposizione dei petali nella rosa e in quella dei semi nel girasole, nonchè nei germogli di alcune piante che utilizzano lo spazio nel modo più efficiente proprio se separati da angoli aurei. Osservando per esempio l inflorescenza del girasole, è possibile notare la presenza di due famiglie di spirali nella disposizione dei semi, che si avvitano in senso orario e antiorario. I numeri di spirali delle due famiglie tendono a essere numeri consecutivi di Fibonacci, perciò il loro rapporto si avvicina a quello aureo.non bisogna comunque dimenticare che le regole della fillotassi non valgono in ogni circostanza, in quanto possono venire sconvolte da anomalie ambientali e interventi esterni. Si tratta piuttosto, per usare le parole del matematico canadese Harold Coexeter, di affascinanti e prevalenti tendenze. La natura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle conchiglie, dai vortici agli uragani alle immense spirali galattiche, sembra che essa abbia scelto quest armoniosa figura come proprio ornamento preferito. Per esempio, proprio in relazione alla definizione di Cartesio, è possibile spiegare la ragione che spinge il falco pellegrino a raggiungere la sua preda con una velocità di 300 km/h, seguendo una traiettoria che coincide con la spirale logaritmica. Il suo apparato visivo, con i due occhi posti lateralmente, ha la possibilità di non perdere di vista la preda e nel contempo di tenere la testa diritta massimizzando la velocità, proprio grazie alle proprietà equiangolari di tale spirale. Un altro esempio lo si può ritrovare nella conchiglia del Nautilus, piccolo mollusco la cui dimora col passare del tempo aumenta in grandezza, costruendo camere sempre più spaziose, seguendo la forma della spirale logaritmica: ogni nuova crescita viene realizzata con aggiunta di materiale che si trova a 137,5 da quello precedente, se consideriamo il guscio paragonato a una

5 circonferenza. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione cosicché la figura del guscio rimane immutata. Anche per mammiferi la crescita delle corna (nell ariete e nel montone), delle zanne (ad esempio degli elefanti), degli artigli e delle code di alcune specie, segue lo stesso principio di crescita delle conchiglie dei gasteropodi, anche se questa si sviluppa su più piani e non sempre sul medesimo. Ancor più stupefacente è il fatto che questa figura si trovi in quei sistemi di stelle riunite insieme su un piano comune, come quelle della Via Lattea, attorno ai quali il filosofo Immanuel Kant ( ) ragionò a lungo. Tali formazioni sono gigantesche galassie formate da centinaia di miliardi di stelle simili al nostro Sole. Esse presentano braccia arcuate che iniziano vicino al centro galattico e si protendono all esterno attraversando gran parte del disco, seguendo un andamento corrispondente proprio alla spirale aurea. Molte forme naturali mostrano la loro struttura a spirale logaritmica, come cicloni e uragani. In figura si vedono venti e correnti d aria che scontrandosi tra loro generano interferenza e vortici a forma di spirale aurea.