Il paradosso EPR: realismo, completezza e località. Università degli studi di Palermo dottorato di ricerca in didattica della matematica.

Transcript

1 Il paradosso EPR: realismo, completezza e località Università degli studi di Palermo dottorato di ricerca in didattica della matematica George Santi Palermo, 21 novembre 2007

2 QuickTime e un decompressore TIFF (Non compresso) sono necessari per visualizzare quest'immagine. La filosofia della scienza senza la storia della scienza è vuota. La storia della scienza senza la filosofia della scienza è cieca. (Lakatos)

3 Schema della presentazione Richiami di Meccanica Quantistica EPR 1935 Versione Moderna EPR 1957 La teoria di Bohm La disuguaglianza di Bell Esperimenti comprovanti la nonlocalità Considerazioni epistemologiche 3

4 Vettore di Stato Ogni sistema fisico S è descritto dal vettore di stato Ψ H s che contiene tutte le informazioni sul sistema. La funzione d onda fornisce la probabilità che la misura di un osservabile dia come risultato un certo valore che appartiene allo spettro di operatori autoaggiunti associati a cisacuna osservabile ) A u n = a n u n Ψ = c n u n c n = u n Ψ P(a n ) = u n Ψ 2 Ψ 2 = c 2 n = 1 4

5 Riduzione del pacchetto Postulato di riduzione del pacchetto d onda. Dopo la misura di un osservabile il sistema è descritto dall autofunzione corrispondente all autovalore misurato. 2 Ψ = a 1 Ψ 1 + a 2 Ψ misura 2 Ψ =Ψ 1 P(a 1 ) = Ψ 1 Ψ 1 =1 Ψ = a 1 Ψ 1 + a 2 Ψ 2 misura Ψ = Ψ 2 P(a 2 ) = Ψ 2 Ψ 2 2 =1 5

6 Indeterminazione Lemma di Jordan σ ) A ()σ() B ) 1 2 ) A, B ) [ ] Nel caso delle osservabili posizione e impulso ricaviamo il principio di indeterminazione di Heisenberg σ ˆ Q ()σ P ˆ ( ) h 2 6

7 L interpreazione di Copenhagen Interpretazione della Scuola di Copenhagen della funzione d onda (Born): Interpretazione probabilistica Le proprietà del sistema (osservabili) non hanno alcun valore definito prima della misura; la funzione d onda fornisce la probabilità che un osservabile assuma un valore se si esegue la misura. In un processo di misura della posizione l elettrone viene forzato a prendere una decisione. Noi lo costringiamo ad assumere una posizione definita; in precedenza esso non era in generale, né qui né là [ ] noi stessi produciamo il risultato della misura (Jordan). La meccanica quantistica mette in crisi lo statuto epistemologico su cui si era basato lo sviluppo della fisica fino agli del 900 : Realismo Determinismo 7

8 Stati fattorizzati Consideriamo due sistemi U e V, e due osservabili  1,  2 di U e V rispettivamente. Siano { a n >} e { b n >} autostati di  1 e  2. Il sistema composto è descritto da: Ψ = a i b i Ψ H U H V Nello stato fattorizzato a ciascun sistema, anche durante l evoluzione temporale regolata dall eq. Schroedinger, è associato uno stato definito a i > e b i >. La probabilità congiunta P(a i,b i )=P(a i )P(b i ). Per esempio consideriamo due fotoni provenienti da una stessa sorgente il primo polarizzato verticalmente e il secondo verticalmente. Ψ = 1,V 2,V 8

9 Stati entangled Se effettuiamo una misura di polarizzazione piana sul fotone 1 del sistema U+V lungo una direzione arbitraria n, per il postulato di riduzione: Ψ= 1 ( 2 1,n 2,n + 1,n 2,n ) misura Ψ = 1, n 2,n Istantaneamente il fotone 2 che prima della misura non aveva alcuna proprietà di polarizzazione si trova nell autostato 2,n>0 9

10 Stati puri e miscele statistiche Sistemi composti Sia S un sistema composto da da due sottosistemi U e V. Sia H=H U H V lo spazio di Hilbert associato. Gli spazi H U, H V siano bidimensionali con basi canoniche { α k >} e { β k >} rispettivamente. Stato puro E p Ψ = c 1 α 1 β 1 + c 2 α 2 β 2 Miscela statistica E m Ψ 1 = α 1 β 1 p 1 = c 1 2 Ψ 1 = α 2 β 2 p 1 = c

11 Stati puri e miscele statistiche P p ( a i,b j ) P m ( a i,b j )= c * m c k α m a i a i α k β m b j b j β k k m Se le due osservabili A U e B V non sono entrambe diagonali sulle basi { α k >} e { β k >} stato puro e miscela statistica forniscono distribuzioni di probabilità differenti e sono quindi distinguibili. 11

12 Stati puri e miscele statistiche Come esempio consideriamo il sistema S costituito da due sistemi, U e V, di particelle di spin 1/2 lungo l asse z nello stato di singoletto Stato Puro E p Ψ = 1 2 [ + U V U V z z z + ] z Miscela Statistica E m Ψ 1 =+ z U z V p 1 = 1 2 Ψ 2 = z U + z V p 2 =

13 Realismo, determinismo, completezza I sistemi fisici hanno una realtà intrinseca indipendente dall osservatore? Se tale realtà esiste è conoscibile termini deterministici e causali? Esistono proprietà oggettive dei sistemi fisici? Tali proprietà sono accessibili? Possiamo riassumere le domande precedenti nel titolo del celebre articolo di (Einstein, Podolsky, Rosen, 1935): Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica essere considerata completa? 13

14 EPR QuickTime e un decompressore TIFF (Non compresso) sono necessari per visualizzare quest'immagine. 14

15 EPR Principio di realismo: «Se senza disturbare in nessun modo un sistema possiamo prevedere con certezza (cioè con probabilità unitaria) il risultato di una misura di un osservabile del sistema, allora esiste un elemento di realtà associato all osservabile in questione, o equivalentemente il sistema possiede oggettivamente la relativa proprietà». Oggettivamente va inteso come indipendentemente da qualunque osservatore e dal fatto che la misura venga eseguita o meno. Principio di località: «Gli elementi di realtà fisica posseduti oggettivamente da un sistema non possono venire influenzati a distanza». Completezza: «Ogni elemento della realtà fisica deve avere una controparte nella teoria fisica». 15

16 EPR Proposizione M: La descrizione quantomeccanica della realtà è non completa Proposizione N: Quando gli operatori corrispondenti a due osservabili non commutano, le due osservabili non possono avere realtà simultanea Dal principio di realismo e di indeterminazione, e dalla definizione di completezza, segue che: M xor N Ipotizzando la MQ completa con il principio di località si arriva a M e N. Questa contraddizione porta a concludere che la MQ non è completa 16

17 EPR Consideriamo due sistemi I e II I e II intergiscono da t=0 a t=t Per t>t i due sistemi hanno posizioni diverse e non possono interagire. Ammettiamo che al tempo t=0 i due sistemi I e II siano in stati ben definiti quindi il sistema Z=I+II è nello stato fattorizzato Ψ( x 1, x 2 ) =ΩΘ 17

18 EPR Dopo l interazione, per t>t i due sistemi possono trovarsi nei seguenti stati entangled. ( ) = Λ n ( x 2 ) Ψ x 1, x 2 u n x 1 n ( ) ( ) = Φ s ( x 2 ) v s ( x 1 ) Ψ x 1,x 2 s Dove { u n >} sono autostati di un operatore A con autovalori {a n } e { v s >} sono autostati di un operatore B con autovaliri {b s }; { Λ n >} sono autostati di un operatore A 1 (eventualmente A stesso) con autovalori {a n1 } e { Φ s >} sono autostati di un operatore B 2 (eventualmente B stesso) con autovalori {b s1 } 18

19 EPR Ipotizzando che la MQ sia completa la Ψ(x 1,x 2 ) fornisce tutte le informazioni possibile del sistema. Il formalismo non fornisce alcuna previsione sul sistema I+II e poiché il sistema I+II è in uno stato entangled non è possibile attribuire alcun elemento di realtà (autostato) a I e II. Se effettuiamo una misura sul sistema I per il postulato di riduzione ( ) = Λ n ( x 2 ) Ψ x 1, x 2 u n x 1 n ( ) Ψ x 1, x 2 ( )= Φ s x 2 s ( ) v s ( x 1 ) Ψ( x 1,x 2 ) =Λ k ( x 1 ) u k ( x 2 ) Ψ( x 1, x 2 ) = Φ r ( x 1 ) v r ( x 2 ) 19

20 EPR Poiché I e II non possono interagire per il principio di località, il sistema II prima della misura era nello autostato Λ k (x 2 ) e Φ r (x 2 ). Senza disturbare il sistema II, compiendo una misura sul sistema I posso determinare con probabilità 1 il valore delle osservabili A 1 e B 1 che sono quindi proprietà possedute oggettivamente dal sistema II. Le osservabili A 1 e B 1 hanno realtà simultanea. Misura di A su I Misura di A su I Misura di B su I Misura di B su I I II I II Senza disturbo Senza disturbo u k (x 1 ),, a k Λ k (x 2 ), a k 1 v r (x 1 ),, b r Φ r (x 2 ), b r 1 20

21 EPR Se A è il momento P : u p ( x 1 )= e ( 2πi / h)px 1 Pu p = pu p Λ p ( x 2 )= e ( 2πi / h) ( x 2 x 0 )p PΛ p (x 2 ) = pλ p (x 2 ) P = h 2πi x i i =1,2 Se B è la posizione Q v x ( x 1 )= δ x 1 x ( ) Qv x x 1 ( )= xv x x 1 ( ) Φ x ( x 2 )= hδ( x x 2 + x 0 ) QΦ x ( x 2 )= (x + x 0 )Φ x ( x 2 ) f()δ x ( x x 0 )= f( x 0 )δ ( x x 0 ) δ( x)= δ( x) Q = x i i =1,2 21

22 EPR Misura di P su I Misura di P su I [P,Q]=h/2πi Misura di Q su I Misura di Q su I I II I II Senza disturbo Senza disturbo u p (x 1 ), p Λ p (x 2 ), -p v x (x 1 ),, x Φ x (x 2 ), x+x 0 P e Q non commutano e hanno realtà simultanea 22

23 EPR )Principio di realtà 2)Principio di Indeterminazione + Definizione di completezza Ipotesi di completezza Entanglement Principio di località M xor N M xor N Logicamente incompatibili M and N M and N MQ INCOMPLETA!!! 23

24 EPR - Stati di spin Aharonov e Bohm (1957) Come EPR: principio di realtà e località, ipotesi di realismo Considerano una particella di spin 0. A t=0 decade in due particelle di spin 1/2 Per t>0 le particelle sono separate e non interagenti Sia E (ensemble di S=U+V) lo stato puro di singoletto per gli spin descritto dalla funzione d onda: Ψ = 1 2 [ + U V U V z z z + ] z σ U,V U,V z ± z = s z ± z U,V s z =±1 24

25 EPR - Stati di Spin E p stato puro Ψ = U V U V [ z z z + z ] t=t 0, t 0 >0 Misura di U Riduzione P=1/2 P=1/2 Ψ =+ z U z V Ψ = z U + z V 25

26 EPR - Stati di Spin Ψ = + z U z V Ψ = z U + z V Stato fattorizzato Stato fattorizzato Località Località Realismo Realismo σ z V è un elemento di realtà, s z = -1 Ψ 1 = + z U z V p 1 = 1 2 σ z V è un elemento di realtà, s z = +1 Completezza Ψ = z U + z V p 1 = 1 2 Completezza E m Miscela statistica E m Miscela statistica 26

27 EPR - Stati di Spin Ipotesi Completezza Principio di realtà Entanglement Principio di località Miscela statistica = Stato puro MECCANICA QUANTISTICA INCOMPLETA!!! 27

28 EPR - Stati di Spin Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a stati di polarizzazione di fotoni anziché di spin di particelle. Ψ= 1 ( 2 1,n 2,n + 1,n 2,n ) Questa versione consente di lavorare con osservabili a spettro discreto (finito), ed ha consentito una verifica sperimentale: effetto EPR. Si noti che non abbiamo utilizzato due osservabili incompatibili 28

29 BOHM - VARIABILI NASCOSTE Dopo avere concluso che la MQ è incompleta EPR concludono l articolo affermando: Mentre dunque abbiamo mostrato che la funzione d onda non fornisce una descrizione completa della realtà fisica, lasciamo aperta la questione se tale descrizione esista o no. Noi crediamo comunque, che una tale teoria sia possibile 29

30 BOHM - VARIABILI NASCOSTE Una teoria che completa la MQ deve avere le seguenti caratteristiche: Rigidamente deterministica Assegnare parametri che specificano in modo completo lo stato del sistema. Eventualmente sperimentalmente non accessibili; variabili nascoste Prevedere valori delle osservabili che coincidono con quelli previsti dalla MQ 30

31 BOHM - VARIABILI NASCOSTE La distribuzione statistica delle variabili nascoste (non conoscibili teoricamente e sperimentalmente) sono tali che la probabilità che un osservabile assuma un determinato valore coincida con quella prevista dalla MQ standard La teoria è predittivamente equivalente alla MQ; in questo senso completa la MQ La probabilità quantistica assume un carattere epistemico Termodinamica - Meccanica statistica/ MQ - Teoria a variabili nascoste 31

32 BOHM - VARIABILI NASCOSTE Nel 1952 David Bohm propone una teoria a variabili a nascoste, la teoria dell onda pilota. La posizione iniziale delle particelle sono le variabili nascoste La particella si trova oggettivamente nella posizione x(0) prevista dalla funzione d onda. P(x)= Ψ(x,0) 2 La Ψ(x,0) e la x determinano la velocità iniziale v(0). Alla forze classiche si aggiunge un potenziale quantomeccanico V Q (x,t) che descrive le forze quantomeccaniche La posizione della particelle al tempo t= t 0,t 0 >0è determinata dall equazione di Newton(forze meccaniche e quanto meccaniche) a partire dalle condizioni iniziali x(0) e v(0). Il potenziale quantomeccanico è costruito in modo tale che al tempo t=t 0 la distribuzione delle posizioni prevista dalla teoria dell onda pilota coincide con Ψ(x,t 0 ) 2 32

33 BOHM - VARIABILI NASCOSTE La teoria è perfettamente realista e deterministica; La descrizione è in perfetto accordo con quella fornita dalla MQ standard L unica differenza tra mondo classico e quantistico è la forza quantomeccanica La natura delle probabilità quantistiche è epistemica, dovuta alla impossibilità di conoscere le variabili nascoste, cioè la posizione iniziale delle particelle. 33

34 BOHM - VARIABILI NASCOSTE John Bell sull onda pilota di Bohm. L eliminazione dell indeterminismo era stupefacente. Ma, più importante ancora, secondo me, era l eliminazione della necessità di una vaga divisione del mondo in sistemi da una parte e apparecchi di misura dall altra (John Bell) Questa teoria è sperimentalmente equivalente alla ordinaria MQ non relativistica. [ ] Questa teoria elimina tutti gli aspetti romantici della MQ. Lo schema rappresenta un controesempio vivente di quasi tutte le cose che raccontiamo al pubblico circa le grandi lezioni della fisica del ventesimo secolo: il principio di indeterminazione; il ruolo indispensabile dell osservatore, nella fisica moderna; questa teoria è deterministica e rende conto comletamente di tutti i fenomeni quantistici. Allora, cosa c è che non va in essa? (John Bell) Che non è locale!! 34

35 BOHM - VARIABILI NASCOSTE 35

36 Disuguaglianze di Bell Esiste un altra teoria che sia realista, deterministica locale e completa e predittivamente equivalente alla MQ? Bell dimostra che tale teoria non esiste. Se esiste una teoria più fondamentale della MQ realista, deterministica e locale esistono particolari correlazioni tra sistemi microscopici separati spazialmente che non sono verificate dalla MQ Teorie a variabili nascoste e locali e MQ sono quadri teorici antitetici. Le disuguaglianze di Bell possono essere verificate sperimentalmente Consideriamo il seguente stato entangled costruito con autostati di polarizzazione orizzontale e verticale x e y Ψ= 1 2 ( 1, x 2, x + 1, y 2, y ) 36

37 Disuguaglianze di Bell Siano a e b due polarizzatori lineari rispettivamente in 1 e 2 dove i fotoni entangled non possono interagire Il coefficiente di correlazione E della polarizzazione dei due fotoni previsto dalla MQ è E MQ (a,b) = cos2( a,b) Se consideriamo quattro direzioni di polarizzazione, a e a per il fotone 1 e b e b per il fotone 2, si costruisce la funzione S S(a, a,b,b ) = E(a,b) E(a, b ) + E( a,b) + E( a, b ) 37

38 Disuguaglianze di Bell Se ricaviamo S in funzione di ϑ=(a,b)=(b,a )=(a,b ) S MQ (ϑ ) = 3cos2ϑ cos6ϑ 2 2 S MQ (ϑ ) 2 2 Per una teoria a variabili nascoste e locale in cui ρ èla distribuzione di probabilità delle variabili nascoste e A e B sono i valori della polarizzazione in a e b ( ) 2 S(a,b, a, b ) 2 E(a,b) = dλρ( λ)a λ,a ( ) B λ,b 38

39 Esperimenti Dal 1970 sono stati eseguiti numerosi esperimenti che nella maggior parte di casi hanno confermato che stati entangled di fotoni violano le disuguaglianze di Bell e confermano le previsioni della MQ La difficoltà dal punto di vista sperimentale consiste nel garantire la separabilità spaziale dei sistemi entangled. I critici di questi esperimenti obiettavano che i polarizzatori venivano orientati prima che i fotoni lasciassero la sorgente. L atto stesso di orientare i polarizzatori potrebbe influenzare l emissione dei fotoni e la qualità della misura. Nel 1982 Alain Aspect costruisce un esperimento che pone fine a queste critiche 39

40 Esperimenti L orientazione dei polarizzatori avviene mentre i fotoni sono in volo. Un segnale che propaga alla velocità della luce non è in grado di mettere in comunicazione i due fotoni. 40

41 Esperimenti I polarizzatori vengono attivati ogni 10 nanosecondi. La distanza tra i rivelatori è di 13 metri e un segnale luminoso impegherebbe 40 nanosecondi a propagarsi da un rivelatore all altro. S exp =2.697±0.015 S MQ =2.7±0.05 Nicolas Gisin 1998 ha lavorato con distanze tra i rilevatori di 10,9 Km, e utilizzando dei beam splitter riesce ad effettuare una scelta casuale sulla sulla deviazione dei fotoni. I sostenitori delle teorie a variabili nascoste potrebbero sostenere che c è sempre qualche correlazione nascosta che si instaura tra i fotoni entangled, prima che si separino, e che non permette dunque una verifica sperimentale sicura delle diuguaglianze di Bell (loopholes). L evidenza sperimentale e la sofisticatezza degli apparati che sono stati progettati sembra dare ragione alla MQ e alla non località. 41

42 Conclusioni Gli elementi chiave che caratterizzano una teoria dei sistemi microscopici sono il realismo, la località e la completezza L argomentazione di EPR ha lo scopo di reintrodurre il realismo e il determinismo, presupposti irrinunciabili per qualsiasi teoria fisica, mostrando con l aggiunta del principio di località che la MQ non è completa Il teorema di Bell e l esperimento di Aspect dimostrano che realismo località e completezza non sono compatibili. Non esistono teorie realiste e locali che completano la MQ quantisitica. 42

43 Conclusioni E possibile costruire una teoria realista e non locale che completi la meccanica quantisitca? Anton Zeillinger (2007) mostra teoricamente e sperimentalmente che una descrizione realista e non locale è incompatibile con correlazioni quantistiche osservabili sperimentalmente. Le correlazioni tra fotoni entangled violano una disuguaglianza che Leggett ha proposto per le teorie realiste e non locali. Sembra dunque che dobbiamo rinunciare al realismo e al determinismo e accettare che la MQ è una teoria completa Abbandonare il realismo e il determinismo richiede uno stravolgimento dello statuto epistemologico che ha caratterizzato lo sviluppo della fisica fino agli inizi del 20 secolo. 43

44 Conclusioni Le domande con cui Einstein attaccava la teoria quantisitica ammettono risposte, ma esse non sono le risposte che Einstein si aspettava. Ora sappiamo che risulta possibile dimostrare che la luna non è là quando nessuno la guarda Mermin Regarding Quantum Mechanics, if you are not confused you really don t understand it Bohr 44