Principi di Fisica per filosofi. a.a carlo cosmelli. Meccanica Quantistica

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1 per filosofi a.a carlo cosmelli

2 1. Note onde-particelle: - Onda e.m.- fotone [massa a riposo m=0] o onda con velocità, nel vuoto, c; frequena ν; lunghea d onda λ, e c=λν o particella [quanto di luce] con energia E=hν, impulso p=e/c, m ineriale = hν/c 2 - Particella- onda associata [massa a riposo m 0] o particella con massa m, [posiione r al tempo t] classica, impulso p=mv. o onda con lunghea d onda λ=h/p. 2. I cardini della MQ: a) Descriione dello stato di un sistema [di una particella] data dalla funione d onda ψ(r,t). b) Il Principio di indeterminaione. c) L equaione di Schrödinger per calcolare l evoluione della funione d onda ψ(r,t). La funione d onda ψ(r,t) è una ampiea di probabilità, questo vuol dire che non è una grandea fisica direttamente misurabile, ma è tale che il suo modulo quadro mi fornisce la probabilità di trovare la particella in (r,t) P(r,t) = ψ(r,t) 2 Risolvendo l equaione di Schrödinger (vedi dopo per i dettagli) si ha che la funione d onda ha, in genere, la forma matematica di una somma di onde, il cosiddetto pacchetto d onde. Schema di un pacchetto d onde: 2

3 Simulaioni con Mathematica: Evolution of a gausssian wavacket: come variano d e dp second oil PdI Wavacket for a frearticle. Come è fatta una funione d onda composta da 5 onde. 1) fivartial waves 2) Re ψ(t), variar=h/λ // Im ψ(t), 3) P variare t, variare dp PdI Heisenberg suono: determinaione frequena/istante di arrivo 3. Come si lavora con la funione d onda e le misure sul sistema fisico relativo ad essa Se ho più possibilità [modalità] relative al verificarsi di un evento, per esempio se ho due modalità 1, 2 ognuna descritta da una funione d onda ψ 1, ψ 2, allora ho Cioè: ψ tot = ψ 1 + ψ 2 e P tot (r,t) = ψ tot 2 PRIMA si sommano le ampiee di probabilità per calcolare la ψ tot POI si fa il modulo quadro della ψ tot per avere la probabilità. Esempio: Consideriamo la luce, cioè un onda elettromagnetica, l intensità luminosa in un punto è proporionale al quadrato del campo elettrico in quel punto: I() E 2 () Se in un punto arrivano due onde luminose 1 e 2 : E 1 (), E 2 (), l intensità luminosa risultante si calcola prima sommando le ampiee del campo Elettrico risultante: E tot ()= E 1 ()+E 2 (), oi calcolando l intensità dal quadrato del campo Elettrico totale. I tot () [E tot ()] 2 = [E 1 ()+E 2 ()] 2 = [E 1 ()] 2 + [E 2 ()] E 1 ()E 2 () Intensità di 1 Intensità di 2 Termine di interferena E il termine di interferena che fa la differena fra una somma classica (due eventi che avvengono nello stesso luogo e che si sommano semplicemente) ed la somma quantistica in cui c è un termine di interferena chuò esserositivo, negativo o nullo. Il termine di interferena, se le due onde hanno la stessa frequena n, dipende dalla differena di fase fra le due onde, cioè dalla differena nel cammino percorso D. 2 E 1 ()E 2 () = 2 E 1 E 2 cos d, dove la differena di fase d = 2p D/λ 3

4 D d cos d 2 E 1 E 2 cos d I tot se E 1 =E E 1 E 2 4E 2 λ/ E 2 λ/ E 1 E Il principio di sovrapposiione [applicato a sistemi descrivibili da un oscillatore armonico, o da una somma di oscillatori armonici ) Se un sistema, descritto p.e. dalle equaioni di Mawell, ha come soluioni due onde E 1, E 2 allora anche: E = a 1 E 1 + a 2 E 2 sarà una soluione del sistema, dove a 1 e a 2 sono due costanti arbitrarie, in genere complesse. La ragione è legata alla linearità delle equaioni che descrivono il sistema, è una proprietà matematica del sistema. 5. Decomposiione spettrale Descriione di un sistema quantistico in termini di sovrapposiione di stati 5.1 Polariaione della luce Un raggio di luce si dice polariato quando la direione di oscillaione del campo elettrico ha una direione che non varia nel tempo (l asse di polariaione = ) E Fig. 1 Esempio: il campo elettrico E oscilla lungo la direione, la luce quindi ha polariaione =. 5.2 Il polariatore Un polariatore (Analiatore) è un elemento fisico, in generiano, caratteriato da una direione particolare, la direione del polariatore e A, che seleiona la luce che incide su di esso, facendola passare tutta, o nulla, o una parte. E 4

5 Se il polariatore e A viene investito da lucolariata, ho due casi limite: = e A la lucassa: E out = E in e A e A la luce non passa: E out = 0 e A Nel caso generale, in cui il polariatore fa un angolo θ con il la polariaione del campo elettrico ho: E out = E in cos θ quindi I out = I in cos 2 θ IMPORTANTE: il campo in uscita, più piccolo di quello in ingresso di un fattore cos 2 θ, ha polariaione e A e A θ 5

6 Supponiamo di inviare molta luce (tanti fotoni) al polariatore e consideriamo tre casi particolari: Direione θ cos θ cos 2 θ risultato = e A I out = I in e A I out = 0 e A / 2 ½ I out = I in /2 Se mandiamo tanti fotoni (N), e se θ = 45 0 Una fraione N/2 dei fotoni passa Una fraione N/2 dei fotoni non passa Quindi dal polariatore ne escono N/2, cioè la metà di N I out = I in /2 Cosa succede se la luce è talmente debole che al polariatore arriva un fotone alla volta di una luce con direione di polariaione θ = 45 0? Se la luce è tanta (molti fotoni) l intensità in uscita è semplicemente la metà di quella in ingresso, me se ho un solo fotoner volta, non può passare ½ fotone! Quello che succede, e la relativa spiegaione è data dall interpretaione ortodossa della meccanica quantistica. 6. L interpretaione ortodossa della MQ (Copenhagen) Ogni dispositivo di misura, quando interagisce con un oggetto quantistico, e lo misura, può dare solo alcuni risultati determinati (autovalori). Nel caso di un polariatore su cui arriva un fotone si hanno due soli risultati possibili: 1) il fotonassa, 2) il fotone non passa, Ad ognuno dei due risultati possibili (passa ; non passa) corrisponde un autostato del sistema fisico da esaminare (in questo caso del fotone). Esempio: Polariatore con polariaione e A = I due auto valori sono passa ; non passa Se l autostato del fotone è = e A = ho l autovalore passa Se l autostato del fotone è e A = ho l autovalore non passa 6

7 Se il sistema in esame è in un autostato sappiamo con certea il risultato della misura. Altrimenti possiamo sapere solo la probabilità di ottenere un certo risultato. - Come si fa a calcolare la probabilità di ottenere un certo risultato? Scomponiamo lo stato del sistema in una combinaione lineare degli autostati del sistema di misura [ è la decomposiione spettrale] Nel caso del fotone e di una misura fatta con un polariatore e A prima di fare la misura scompongo lo stato di polariaione del fotone secondo due direioni che corrispondono ai due auto valori del polariatore [le due direioni secondo cui ho con certea o che il fotonassa, o che il fotone non passa], in questo caso e. = e cos θ + e sen θ θ e e La probabilità di ottenere un certo risultato (che deve essere uno degli autovalori) è proporionale al modulo quadro del coefficiente del rispettivo autostato. Se, per esempio, [vedi fig. 3] e A = e = cosθ e + senθ e Fig. 3 e θ e e A Cosa passa? Passa l autostato e, il coefficiente è cosθ, la probabilità chassi è cos 2 θ. Se θ=45 0, allora cos 2 θ= ½, cioè passa 1 fotone ogni 2. Il risultato è che il fotone, che aveva polariaione, passa o non passa con probabilità del 50%. Sassa, ha polariaione. - Cosa succede e cosa è successo Il fotone chassa (tutti i fotoni chassano) risulta polariato secondo la direione del polariatore e A. C è stato un brusco cambiamento nello stato dei fotoni: e A. E il cosiddetto collasso della funione d onda del sistema. Se avessi scelto un polariatore con un asse di polariaione diverso, il fotone che usciva sarebbe stato diverso. Il misuratore (l interaione del sistema quantistico con il sistema esterno ) cambia il sistema fisico. Lrobabilità (a priori) si realiano in un risultato certo. La misura modifica (disturba) il sistema in esame. 7

8 In generale se ho uno sistema fisico descritto da una funione d onda ψ(r,t), e lo voglio misurare, lo devo scrivere scomponendolo in tutti i possibili risultati. PRIMA della misura: ψ(r,t) = c a ψ a (r) + c b ψ b (r) + c c ψ c (r).. Questo vuol dire che avrò la probabilità c a 2 di ottenere ψ a (r), la probabilità c b 2 di ottenere ψ b (r) DOPO la misura:.se ho ottenuto ψ a (r) ψ (r,t)= ψ a (r) A partire da una funione d onda ψ(r,t), la sua evoluione temporale è descritta in modo completamente deterministico dall equaione di Schrodinger; per esempio per una particella di massa m non relativistica, in presena di un poteniale V(r): 2 ψ h ih = Δψ + V ( r) ψ t 2m Esempi di soluione ψ(r,t) Particella libera la soluione è un onda piana: ψ(,t)= A cos (ωt) cos(2π/λ) λ= costante, quindi p = costante, v = costante, E= ½ mv 2 = costante Δp=0, da cui Δ=, cioè l onda è estesa in tutto lo spaio. In generale non si ha un onda piana: ψ(r,t) = ψ 1 (r) + ψ 2 (r) + ψ 3 (r).. è il cosiddetto pacchetto d onde Vedi simulaioni in rete PHET: Quantum tunnelling and wavaket : barriera alta a destra + misura barriera bassa al centro + misura 8