Codifica e Aritme.ca Binaria

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1 Codifica e Aritme.ca Binaria 1

2 Informazione L informazione è un a2ributo di un messaggio L informazione è una en8tà misurabile L unità di misura dell informazione è il bit (da Binary digit) Informazione è diminuzione di incertezza Infa? l informazione esprime una scelta tra un insieme di alterna8ve possibili Un messaggio porta un bit di informazione se rappresenta una scelta (cioè una riduzione di incertezza) tra due alterna8ve possibili Una informazione può essere rappresentata in bit Il bit (binary digit) è una variabile che può assumere solo due valori: 1 e 0 La quan8tà di informazione associata a un messaggio è indicata dal numero minimo di bit necessari a rappresentarlo 2

3 Esempi di informazione Ogni messaggio con8ene Informazione Il testo è informazione Le immagini sono informazione Il linguaggio parlato (l audio) è informazione Una variabile binaria che mi dice se una porta è aperta o chiusa è informazione Qualunque informazione si può rappresentare so:o forma di sequenza di zeri e uni L operazione di traduzione di una informazione in una sequenza di 0 e 1 si chiama CODIFICA BINARIA delle INFORMAZIONI (la codifica delle informazioni è argomento del corso) 3

4 Macchine digitali e rappresentazione dell informazione Rappresentazione esterna delle richieste e delle nobfiche Rappresentazione binaria delle richieste e delle nobfiche controllo macchina Rappresentazione binaria dei comandi e degli stab digitale segnali binari Rappresentazione esterna dei dab percorso dei dab Rappresentazione binaria dei dab e dei risultab Rappresentazione esterna dei risultab 4

5 La codifica binaria della informazione n bit b n-1 b n-2 b 3-3 b 0 codice binario 5

6 Simbolo, alfabeto e stringa Informazione - Stringa di lunghezza finita formata da simboli s i appartenenb ad un alfabeto di definizione A: s 1 s 2 s 3. s i s n-1 s n con s i A:{a 1, a 2,.., a m } Alfabeto A: insieme di informazioni elementari Esempi: testo e cara2eri numero e cifre musica e note immagine, pixel e toni di grigio disegno e pend./lung. di tra? misura e posizione di un indice parlato e fonemi Nel codice binario l alfabeto è formato dai simboli 0 ed 1 6

7 Codice binario Codice binario - Funzione dall insieme delle 2 n configurazioni di n bit ad un insieme di M informazioni (simboli alfanumerici, colori, even1, sta1 interni, ecc.). Condizione necessaria per la codifica: 2 n M 2 n config n.u.? 5 z a 1 M informazioni m

8 Proprietà di un codice Il codice è una rappresentazione convenzionale dell informazione. La scelta di un codice è condivisa da sorgente e desbnazione ed ha due gradi di libertà: il numero di bit (qualsiasi, a pa:o che sia 2 n M ) l associazione tra configurazioni e informazioni A parità di n e di M le associazioni possibili sono C = 2 n! / (2 n -M)! n = 1, M = 2 C = 2 n = 2, M = 4 C = 24 n = 3, M = 8 C = n = 4, M = 10 C =

9 Codici ridondanb e non ridondanb facilità d uso verifica d integrità 2 n M n: n di bit Codici Codici ridondanb n > n min non ridondanb minimizzazione del costo Impossibilità di codifica n min = lg 2 M M: n di informazioni (nota: indica il primo l intero superiore ) 9

10 segno n.d colori Cifre decimali Altri 29 miliardi di codici a 4 bit zero uno due tre qua,ro cinque sei se,e o,o nove BCD 7 segmen8 uno su dieci 10

11 Codice BCD Codice che rappresenta ciascuna cifra decimale con 4 bit k cifre decimali -> 4k bit zero uno due tre qua6ro cinque sei se6e o6o nove Es.: nel caso di due cifre decimali: ventuno ->

12 Codice a 7 segmenb Codice ridondante u8lizzato per visualizzare a display numeri decimali M=10, n=7>4 a f g b a b c d e f g zero uno ecc. e c d 12

13 La conversione di codice (trascodifica) codici esterni Trascodifica Trascodifica codice interno Unità di elaborazione e di memoria Il codice interno è di norma non ridondante per minimizzare il numero di bit da elaborare e da memorizzare. Il codice esterno è di norma ridondante, per semplificare la generazione e l interpretazione delle informazioni, standard, per rendere possibile la connessione di macchine (o unità 13 di I/O) realizzate da costru2ori diversi.

14 La calcolatrice tascabile Codice ridondante per la visualizzazione dei da8 Codice ridondante per la introduzione dei da8 e dei comandi Codice Binario per la rappresentazione interna dei numeri 14

15 Codici proprietari e codici standard Codice proprietario - Codice scelto da un Costru2ore per me2ere in comunicazione macchine di sua produzione. L uso di codici proprietari mira ad o?mizzare le prestazioni e a proteggere il mercato di certe macchine. Esempi: Linguaggio Assembler, Telecomando TV Codice standard - Codice scelto da norme internazionali (de iure) o dal Costru2ore di una macchina ampiamente u8lizzata sul mercato (de facto). L uso di codici standard nelle unità di I/O consente di collegare macchine realizzate da Costru2ori diversi. Esempi: Stampan1 e Calcolatori, Calcolatori e Calcolatori 15

16 Codice ASCII esteso (8 e 16 bit) Estensione del codice ASCII a 8 bit, includendo nell insieme dei cara2eri rappresenta8 i simboli impiega8 dalle lingue originate dal la8no Standard Unicode: ulteriore estensione (16 bit) che perme2e di codificare in binario i simboli di tu2e le lingue conosciute; man8ene la compabilità con ASCII 3 bit 8 conf. 5 bit : 32 configurazioni 16

17 Bit map: un codice ridondante per simboli alfanumerici Rappresentazione binaria dei simboli grafici dei cara2eri Mentre nelle stampan8 «ad impa2o» basta il codice ASCII, per mol8 altri casi (ge2o d inchiosto, laser, ma anche per mostrare a monitor) è necessario definire dei simboli grafici mediante matrici di pixel (bitmap) Ciascun elemento di una bitmap è rappresentato da un insieme di bit Bianco/nero: 1 pixel -> 1 bit Scala di grigi: 1 pixel -> 8 bit Colori RGB: 1 pixel -> 3x8 bit Font: insieme dei simboli grafici cara2erizza8 da un certo s8le Es. di bitmap 8x8 17

18 18 Distanza minima di un codice Distanza fra due configurazioni binarie di n bit: D(A,B) - Numero di bit omologhi che hanno valore diverso. Esempi: D(100,101) = 1; D(011,000) = 2; D(010,101) = 3 Distanza minima di un Codice C: DMIN (C) - Valore minimo della distanza tra due qualsiasi delle configurazioni ublizzate. I codice non ridondanb hanno DMIN=1. I codice ridondanb possono avere DMIN > 1.

19 19 Rappresentazione dei numeri Esterna: BCD, ASCII, Unicode Interna: Sistema di numerazione in base 2

20 Numeri in base B 1) Rappresentazione posizionale: a n-1 a 0, a -1 a -m a i {0, 1,., (B-1)} 2) Valore: (N) B = (a n-1.b n a 0.B0 + a -1.B -1 + a -2.B -2 + a -m.b -m ) i= m n 1 a i B i Quanto vale 11 in base 7? Ed in base 2? E più grande : 100 in base 10 o in base 2? 0.1 in base 10 o in base 2? 20

21 21 Il sistema di numerazione in base 2 (il caso dei numeri naturali < 2 n ) n bit b n-1 b n-2 b 1 b 0 N 10 N 2 N 10 N (N) 2 = b n-1.2 n-1 + b n-2.2 n b 0.20 Lunghezza della stringa in base 2 e in base 10 Dato un numero decimale con m cifre 0 (N) m -1 per la sua rappresentazione binaria deve essere 2 n > 10 m e quindi n = (m log 2 10) (3,32 m) ( indica il primo l intero superiore )

22 22 Conversioni da base 2 a base 10 e viceversa di numeri naturali Applico la definizione di notazione posizionale dei numeri Conversione da base 2 a base 10 (N) 10 = (b n-1.2 n-1 + b n-2.2 n b b 0.20 ) 10 ESEMPIO: = 38

23 Conversione di un numero naturale N da base 10 a base 2 i = i+1 i = 0 A = N B = (A / 2) 10 = (Q i + R i 2-1 ) 10 NO A = Q i b i = R i A = 0 SI fine ESEMPIO: /2 = ,5 65/2 = ,5 32/2 = /2 = /2 = /2 = /2 = /2 = , A:enzione il metodo funziona in generale (anche per altre coppie di basi) e solo per la parte intera, per la parte decimale c è un algoritmo separato!! 23

24 Altre rappresentazioni di numeri binari Sistema esadecimale: B =16 cifre: 0,1,..,9,a,b,c,d,e,f codice binario: 0 = 0000, 1 = 0001,, f = 1111 n di bit per cifra: 4 perché 16 = 2 4 non si possono separare i bit per la base 10 ad esempio ESEMPIO: c4 = Sistema o:ale: B = 8, (obsoleto) cifre: 0, 1,,7 codice OCTAL: 0 = 000,, 7 = 111 n di bit per cifra: 3 0xc4 c4h ESEMPIO:

25 25 Operazioni aritmetiche

26 Addizione (con riporto) Somma fra due bit: non basta per eseguire la somma in colonna 0+0 = = = = 10 Il Full Adder consente di sommare i bit in una determinata posizione di una somma con due addendi, n Full Adder collega8 consentono di o2enere un sommatore ad n bit r i a i b i Full Adder riporto carry C i a i b i C i+1 s i s i r i+1 C n s n C n-1 C n-2 C 1 C in =0 a n-1 a n-2 a 1 a 0 + b n-1 b n-2 b 1 b 0 s n-1 s n-2 s 1 s

27 Somma 4 bit (verrà ripresa in seguito) 0 Y 3..0 X C in C out B 3..0 Adder 4 bit A 3..0 S OV uns U 3..0 X3 Y3 X2 Y2 X1 Y1 X0 Y0 0 a3 b3 a2 b2 a1 b1 a0 b0 Cin 4bit_Adder a b a b a b Cin Cin Cin a b Cin FA FA FA FA Cout Cout Cout Cout S S S S Cout Cout s3 s2 s1 s3 s2 s1 s0 s0 27

28 Numeri relabvi: rappresentazione segnovalore assoluto Semplici da leggere (per l uomo) Due rappresentazioni di 0 Operazioni difficili n bit b n-1 b n-2 b 1 b 0 segno (0: posi1vo, 1: nega1vo) valore assoluto N = (b n-2.2 n b 0.20 ) N [-(2 n-1-1), +(2 n-1-1)] 28

29 Complemento a 2 di un numero naturale N formato da n bit 2 N = 2 n - N Calcolo di 2 N senza la so2razione 2 N = 2 n - N = (2 n - 1) - N + 1 = not (N) + 1 Calcolo di A - B con A B A - B = A + (2 n - B) - 2 n = (A + 2 B) - 2 n calcola A + 2 B non considerare CO B A 1 CI 4 BIT a 0 ADDER a 1 a 2 a 3 s 0 s 1 s 2 s 3 b 0 b 1 b 2 b 3 CO 1 A - B 29

30 30

31 Numeri relabvi: rappresentazione in complemento a 2 n bit b n-1 b n-2 b 1 b 0 N 0 : segno-valore assoluto N < 0 : 2 (-N) con (-N) espresso in segno-valore assoluto Esempi ( n=4 ) +1 = = = = = = N.B. - anche nella rappresentazione in complemento a 2 il bit più significa8vo indica il segno (0:posi8vo, 1:nega8vo). Tu2avia la le2ura del numero è meno intui8va che nel caso segno e valore assoluto N = -2 n-1. b n-1 + b n-2.2 n b

32 Proprietà della rappresentazione in complemento a 2 Siano A e B due numeri nella rappresentazione in complemento a 2: eseguendo complement and increment su A si o?ene -A A: (+1) A: (-1) (-7) (+7) A+B con rappresentazione in complemento a due res8tuisce la somma algebrica: A = A = A = B = = B = = B = = eseguendo A + 2 (B) si o?ene A - B N.B. - per sommare o so2rarre due numeri rela8vi espressi in complemento a 2 è sufficiente un addizionatore. 32

33 Confronto fra le rappresentazioni in relazione alla somma binaria Config Unsig M&S Compl Il sommatore comprende(capisce) solo la prima riga, esso parte dalla configurazione al suo primo ingresso e si muove in avan8 di tante colonne quanto è il valore unsigned(seconda riga) corrispondente al suo secondo ingresso. Se supera 1111 allora con8nua da 0000 con carry_out CO=1 In modulo e segno le configurazioni dei bit sono semplicemente leggibili per l uomo, non si può usare un sommatore convenzionale con notazione in modulo e segno La notazione usata nei calcolatori è quella in complemento a 2 che consente al sommatore tradizionale di eseguire la somma algebrica fra due quan8tà. L esempio in: blu 5 4. Ris = 1, Ov= 0, CO =1, Co n-2 =1 verde Ris = 2, Ov =0, CO = 1, Co n-2 =1 rosso Ris = 7, Ov = 1, CO=1, Co n-2 =0 arancione 6+3. Ris = -1, Ov = 1, CO=0, Co n-2 =1 Si può avere overflow quando si sommano quan8tà dello stesso segno, se c è overflow il risultato avrà segno opposto. Studiando bene a par8re da questa affermazione e dalla stru2ura interna dell adder si arriva alla formula Ov = CO XOR Co n-2 33

34 Confronto fra le rappresentazioni in relazione alla somma binaria Config Unsig M&S Compl Il sommatore comprende(capisce) solo la prima riga, esso parte dalla configurazione al suo primo ingresso e si muove in avan8 di tante colonne quanto è il valore unsigned(seconda riga) corrispondente al suo secondo ingresso. Se supera 1111 allora con8nua da 0000 con carry_out CO=1 In modulo e segno le configurazioni dei bit sono semplicemente leggibili per l uomo, non si può usare un sommatore convenzionale con notazione in modulo e segno La notazione usata nei calcolatori è quella in complemento a 2 che consente al sommatore tradizionale di eseguire la somma algebrica fra due quan8tà. L esempio in: blu 5 4. Ris = 1, Ov= 0, CO =1, Co n-2 =1 verde Ris = 2, Ov =0, CO = 1, Co n-2 =1 rosso Ris = 7, Ov = 1, CO=1, Co n-2 =0 arancione 6+3. Ris = -1, Ov = 1, CO=0, Co n-2 =1 Si può avere overflow quando si sommano quan8tà dello stesso segno, se c è overflow il risultato avrà segno opposto. Studiando bene a par8re da questa affermazione e dalla stru2ura interna dell adder si arriva alla formula Ov = CO XOR Co n-2 34

35 Confronto fra le rappresentazioni in relazione alla somma binaria Config Unsig M&S Compl Il sommatore comprende(capisce) solo la prima riga, esso parte dalla configurazione al suo primo ingresso e si muove in avan8 di tante colonne quanto è il valore unsigned(seconda riga) corrispondente al suo secondo ingresso. Se supera 1111 allora con8nua da 0000 con carry_out CO=1 In modulo e segno le configurazioni dei bit sono semplicemente leggibili per l uomo, non si può usare un sommatore convenzionale con notazione in modulo e segno La notazione usata nei calcolatori è quella in complemento a 2 che consente al sommatore tradizionale di eseguire la somma algebrica fra due quan8tà. L esempio in: blu 5 4. Ris = 1, Ov= 0, CO =1, Co n-2 =1 verde Ris = 2, Ov =0, CO = 1, Co n-2 =1 rosso Ris = 7, Ov = 1, CO=1, Co n-2 =0 arancione 6+3. Ris = -1, Ov = 1, CO=0, Co n-2 =1 Si può avere overflow quando si sommano quan8tà dello stesso segno, se c è overflow il risultato avrà segno opposto. Studiando bene a par8re da questa affermazione e dalla stru2ura interna dell adder si arriva alla formula Ov = CO XOR Co n-2 35

36 Confronto fra le rappresentazioni in relazione alla somma binaria Config Unsig M&S Compl Il sommatore comprende(capisce) solo la prima riga, esso parte dalla configurazione al suo primo ingresso e si muove in avan8 di tante colonne quanto è il valore unsigned(seconda riga) corrispondente al suo secondo ingresso. Se supera 1111 allora con8nua da 0000 con carry_out CO=1 In modulo e segno le configurazioni dei bit sono semplicemente leggibili per l uomo, non si può usare un sommatore convenzionale con notazione in modulo e segno La notazione usata nei calcolatori è quella in complemento a 2 che consente al sommatore tradizionale di eseguire la somma algebrica fra due quan8tà. L esempio in: blu 5 4. Ris = 1, Ov= 0, CO =1, Co n-2 =1 verde Ris = 2, Ov =0, CO = 1, Co n-2 =1 rosso Ris = 7, Ov = 1, CO=1, Co n-2 =0 arancione 6+3. Ris = -1, Ov = 1, CO=0, Co n-2 =1 Si può avere overflow quando si sommano quan8tà dello stesso segno, se c è overflow il risultato avrà segno opposto. Studiando bene a par8re da questa affermazione e dalla stru2ura interna dell adder si arriva alla formula Ov = CO XOR Co n-2 36

37 Note sulla Somma Ipotesi: consideriamo qui n bit con n = 8 Se eseguiamo la somma di quan8tà senza segno (i numeri rappresentabili vanno da 0 e 255) possiamo u8lizzare 8 full adder e l ul8mo carry segnala con il valore 1 l errore nel risultato che è troppo grande per essere rappresentato Se consideriamo la somma di numeri con segno e usiamo la notazione in complemento a 2, allora i numeri rappresentabili vanno da -128 a 127. In questo caso l errore di risultato non rappresentabile non è indicato dal valore 1 del carry out dell ul8mo full adder. Occorre invece realizzare una rete logica che legga almeno i segni degli operandi, il segno dell uscita ed il bit di carry out dell ul8mo full adder. In alterna8va si o?ene la stessa informazione dallo XOR del carry in e del carry out dell ul8mo full adder. Questo XOR dà quindi l indicazione della situazione di overflow. Questa soluzione, non dipende dal segno degli operandi. ATTENZIONE: l ul8mo bit di carry out verrà d ora in poi chiamato carry out il termine overflow verrà u8lizzato solo per indicare lo stato di errore dovuto a risultato non visualizzabile 37

38 Esercizi U8lizzando una rappresentazione in complemento a 2 con n=5 si eseguano le seguen8 operazioni: (-12) + (+4) (-12) + (-1) (-12) - (-12) (-12) + (+12) (-12) + (-4) (+10) - (+5) (+10) - (+11) (+12) +(+5) Se lavoro in complemento a 2 la situazione di overflow è determinata dal fa2o che i CO calcola8 dai full adder in posizione n-2 ed n-1 siano diversi? Caso della somma di operandi con segno opposto (che non porta mai a overflow) Se il risultato è nega8vo non c è ovviamente stato riporto da n-2 e quindi neanche in n-1, se il risultato è posi8vo c è stato quindi un riporto da n-2 e questo a causato riporto in n-1, quindi i due CO in ogge2o sono uguali Caso della somma di operandi posi8vi (overflow solo se risultato nega8vo) Non è possibile avere riporto in n-1. Se il risultato è posi8vo non c è riporto da n-2 se il risultato è nega8vo c è stato un riporto da n-2, ma questo non può causare riporto anche in n-1 e quindi in questo caso i due CO so2o analisi sono diversi Caso della somma di operandi nega8vi (overflow solo se risultato posi8vo) Abbiamo sicuramente riporto dalla posizione n-1, se il risultato è nega8vo c è stato quindi per forza un riporto da n-2. Se il risultato è posi8vo vuol dire che non è arrivato riporto dalla posizione n-2 e quindi in questo caso i due CO so2o analisi sono diversi 38

39 Approfondimento: il so:ra:ore (è un esercizio, non è presente nelle CPU) Determinare la tabella di verità di un full subtracter, un modulo che, così come avviene per il full adder rela8vamente alla somma con riporto, consente di realizzare un so2ra2ore secondo l approccio della so2razione in colonna con pres8to. 39

40 Sottrazione (con prestito) p i a i b i Full Subtracter d i p i+1 p i a i b i p i+1 d i p n 0 0 d n p n-1 p n-2 p 1 0 a n-1 a n-2 a 1 a 0 - b n-1 b n-2 b 1 b 0 d n-1 d n-2 d 1 d

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