Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio Superiori)

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1 Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta Chieti tel (cell.: ) Sesta Edizione Giochi di Achille e la tartaruga Giochi Matematici ( ) Soluzioni Categoria Sup-T (Alunni Triennio Superiori) Quesito Risposta esatta B E E C D A B D C D /5 (*) Vale punti (*) Ci sono infinite coppie che vanno bene: Indicando con x il primo numero della coppia che deve essere inserito nella casella del quadrato interno, l altro numero, indicato con y, sarà: y = 2(x-18). Per verificare se i due numeri scelti sono esatti deve risultare: y = 2(111+x). Inoltre bisogna verificare che nessuno dei due numeri trovati sia già presente nella griglia. Il massimo punteggio previsto è 100. Una risposta mancante vale 1 punto. Una risposta sbagliata vale 0 punti. Quesito 1 [Olio extra-vergine!!] (vale 4 punti) Dieci persone impiegano, lavorando allo stesso ritmo, 4 giorni per la raccolta di 8 tonnellate di olive della varietà Gentile di Chieti. Sapendo che 1 quintale di olive rende in media 16 kg di olio, quanti giorni dovrebbero lavorare due persone per assicurare 320 kg di olio extra-vergine di Chieti? A) 30; B) 5; C) 10; D) 15; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: B) 5 giorni. Il problema si può risolvere in tanti modi!! Dieci persone che lavorano per 4 giorni corrispondono al lavoro di una persona che lavora per 40 giorni (4x10= 40 giorni lavoro di un operaio). Allora in un giorno, una persona raccoglierà la quarantesima parte di ulive cioè 8:40 = 0,2 t = 2 q.) In un giorno 2 persone raccoglieranno 4 q di ulive che produrranno 4x16 = 64 kg di olio. Concludendo, quelle due persone per produrre 320 kg di olio avranno bisogno di giorni (320:64) = 5 giorni. Quesito 2 [Ma di quanto aumenta il peso della terra?] (vale 4 punti) Ammettendo che la terra si possa pesare ed ammettendo che il peso medio di una persona appartenente alla popolazione mondiale sia di 50 kg (pensate che circa il 30% della popolazione mondiale ha una età inferiore ai 14 anni!!), di quanto aumenterebbe il peso attuale della terra nell ipotesi che la popolazione passasse, secondo l ipotesi di alcuni studiosi, dagli attuali 6.8 miliardi di persone ai 26,8 miliardi del 2080? A) 10x10 6 t; B) 20x10 6 t ; C) 100x10 6 t; D) 200x10 6 t; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E) Infatti il peso della terra non dipende dal numero degli individui, ma dalla materia totale che è sempre la stessa!!!! Quesito 3 [I listelli di Peppino Mastro Appiccica.] (vale 4 punti) Il falegname Peppino Mastro Appiccica ha una serie di listelli di legno di uguale lunghezza. Siccome sono lunghissimi, prima li divide in due parti uguali. Esamina attentamente i pezzi così ottenuti e ne scarta 17 perché li trova difettosi. Divide ciascuno dei listelli rimasti in tre parti uguali ed esegue ancora un controllo sui pezzi ottenuti. Dopo averne Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 1

2 scartati 19, divide ciascuno dei listelli rimasti a metà. Controlla tutti i pezzi così ottenuti e ne scarta solo 10. Alla fine si ritrova con 1650 listelli buoni. Quanti listelli aveva all inizio Mastro Appiccica? A) 375; B) 416; C) 306; D) 316; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: E). I listelli iniziali erano 150. Basta rifare le operazioni andando all indietro. Se Mastro Appiccica, alla fine si ritrova con 1650 listelli buoni, vuol dire che prima che ne scartasse 10, i listelli erano 10 in più cioè ( )= Ma 1660 è il risultato della divisione in due parti dei listelli ritenuti idonei dopo le prime due operazioni di divisione. Quindi dopo la prima operazione e dopo lo scarto, i listelli ritenuti buoni sono 1660:2 = 830, a cui vanno aggiunti i 19 scartati dopo la prima operazione di taglio: = 849 buoni dopo il primo taglio. 849 è il risultato dei listelli iniziali tagliati ciascuno in tre parti. Siccome sono il risultato della divisione in tre parti uguali di ciascuno dei listelli originari, questi erano la terza parte di 849, cioè 283 (849:3 = 283). Ma questi erano i pezzi buoni dopo il primo scarto. Quindi prima del primo scarto erano 17 in più e cioè = 300. Se 300 è la divisione per 2 dei listelli iniziali, questi erano la metà di 300 cioè 150. Volendo si può risolvere anche con una semplice equazione di primo grado. Quesito 4 [Ritrovate le lettere!!!] (vale 4 punti) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Tenendo conto dell ordine che le lettere hanno nell alfabeto INGLESE, nella serie: W - K Y M quali sono le due lettere che mancano? Attenzione: quando si arriva alla 26 a lettera (la Z) si ricomincia da capo (dalla A), o viceversa. A) A-I; B) Z-I; C) A-O; D) I-U; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) A-O. Il criterio scelto è quello di saltare undici lettere alla volta, ma andando all indietro. Partendo dalla W e saltando, all indietro, 11 lettere (V, U, T, S, R, Q, P, O, N, M, L) si arriva alla K. Dalla lettera K, saltando all indietro, sempre 11 lettere (J, I, H, G, F, E, D, C, B, A, Z) si arriva alla Y. Dalla lettera Y, procedendo sempre nello stesso modo si saltano le lettere (X, W, V, U, T, S, R, Q, P, O, N), arrivando così alla M. Dalla lettera M, saltando 11 lettere (L, K, J, I, H, G, F, E, D, C, B) si arriva alla A. Ed infine, saltando altre 11 lettere (Z, Y, X, W, V, U, T, S, R, Q, P) si arriva alla O. Quindi le lettere mancanti sono, nell ordine: A-O che corrisponde alla C). Nota Bene: Si otteneva lo stesso risultato saltando 13 lettere alla volta, ma andando in avanti. Ricordiamo che una successione incompleta (di lettere, di numeri, ecc.) ha più criteri di formazione che la soddisfano (individuabili con maggiore o minore difficoltà). Tra questi, poi, è preferibile scegliere quello più facile o che si conosce meglio. Quesito 5 [La pulizia è bella, ma quanto costa!!!!] (vale 5 punti) Il comune di Vattelaapesca ha affidato la pulizia delle strade alla Ditta Nitidor & Lucente. Questa ditta si è impegnata, con due spazzatrici (autobotti speciali dotate di spazzole rotanti), ad effettuare il lavaggio e la spazzolatura delle strade del Centro Storico per tutti i giorni dell anno, dalle ore 4 alle ore 7 del mattino. Questo servizio costa all ora per ogni spazzatrice. Quanto viene a spendere, quel comune, per tutto il 2010? A) ; B) ; C) ; D) ; E) non si può dire perché mancano alcuni dati. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 2

3 Risposta esatta: D) Se una spazzatrice costa al giorno, per il lavoro di 3 ore (3x40.00 = ) due spazzatrici costeranno il doppio, cioè al giorno. Il costo della spazzolatura e lavaggio delle strade costa a quel comune per il tutto il 2010 sarà uguale a (365x240.00) = Quesito 6 [Ma quante cifre sono??] (vale 5 punti) Sapendo che: 2 4 ha per risultato un numero con 2 cifre; 4 16 ha per risultato un numero con 10 cifre; ha per risultato un numero con 78 cifre; ha per risultato un numero con 463 cifre e ha per risultato un numero con 2467 cifre; questa somma: quante cifre avrà? A) 2467; B) 2476; C) 2940; D) 2928; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: A) In questa somma = è il numero che vale di più. Anche se ci fossero dei riporti non farebbero mai alzare la prima cifra a sinistra (quella che vale di più). In una somma con addendi aventi un numero di cifre non uguali, assorbe molto di più l addendo con più cifre. In questo caso gli altri addendi non aggiungono che un nulla al primo addendo (il più grande anche se nell espressione è messa per ultimo. Questo perché l eventuale riporto nelle prime 462 cifre, verrebbe smaltito con un solo o al massimo due passaggi (visto che gli addendi sono solo cinque) Poi le oltre 2000 cifre che stanno prima (a sinistra) resterebbero tali e quali. Le altre cifre [ = 2003] resteranno sicuramente immutate!!!!! Quesito 7 [Mi raccomando!!!.. non fate crollare questa piramide!!!!] (vale 5 punti) In questa piramide i numeri sui mattoni sono messi in modo tale che un numero è il risultato della somma dei numeri scritti sui due mattoni immediatamente sottostanti. Per esempio, il numero del mattone E è la somma dei numeri che stanno sui due mattoni H ed I. Nel mattone indicato con la lettera Q che numero dobbiamo mettere? A) 109; B) 49; C) 139 D) 112; E) 296. A=857 B=354 C D E F=296 G=82 H I L M N O=37 P Q La risposta giusta è la B) 49 Si parte dall alto: C= A-B = =503; E= C-F= =207; D =B-E = =147; H=D-G=147-82=65; I=E-H=207-65=142; L=F-I= =154; A=857 B=354 C=503 D=147 E=207 F=296 G=82 H=65 I=142 L=154 M N O=37 P=105 Q=49 P=I-O=142-37=105; Q=L-P = = 49. Siamo arrivati così alla fine: Non è necessario trovare i numeri da mettere sui due mattoni indicati con le lettere M ed N!! Quesito 8 [La lumaca con i freni rotti!!!] (vale 5 punti) Una lumaca sta salendo su un muro di un grattacielo alto 140 metri. Il primo giorno sale di 5 metri, ma, durante la notte, scivola in giù di 1 metro. Nel secondo giorno, essendo più allenata, sale di 6 metri, ma, durante la notte, essendo più stanca, scivola giù di due metri. La stessa cosa avviene nei giorni successivi: sale di giorno (per poi scivolare di notte), sempre di un metro in più rispetto ai metri percorsi il giorno precedente. Dopo quanti giorni, la lumaca, arriverà in cima al grattacielo? A) 38; B) 40; C) 39; D) 28; E) Nessuna delle precedenti. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 3

4 Risposta esatta D) 28 giorni Ricapitolando: 1 giorno sale di 5 m e scivola poi di 1 m; all inizio del 2 giorno si trova a 4 m di altezza. 2 giorno sale di 6 m e scivola poi di 2 m; all inizio del 3 giorno si trova a 8 m di altezza. 3 giorno sale di 7 m e scivola poi di 3 m; all inizio del 4 giorno si trova a 12 m di altezza. 4 giorno sale di 8 m e scivola poi di 4 m; all inizio del 5 giorno si trova a 16 m di altezza. 5 giorno sale di 9 m e scivola poi di 5 m; all inizio del 6 giorno si trova a 20 m di altezza. 6 giorno sale di 10 m e scivola poi di 6 m; all inizio del 7 giorno si trova a 24 m di altezza. 7 giorno sale di 11 m e scivola poi di 7 m;..ecc. ecc. La lumaca ha una velocità media (di salita) pari a 4 m al giorno. Dopo 10 gg., la lumaca, si trova a 40 m di altezza (pur avendo raggiunto l altezza di 50 m prima che scivolasse giù di 10 m nella notte del 10 giorno). Dopo 20 gg., la lumaca, si trova ad 80 m di altezza (pur avendo raggiunto l altezza di 100 m prima che scivolasse giù di 20 m nella notte del 20 giorno). Dopo 30 gg., la lumaca, si trova. (in cima al grattacielo che sta riposando da due giorni!!!) Dopo 28 giorni completi la lumaca si ritrova a 28x4 m di altezza = 112 m, però prima che potesse scivolare per 28 metri (nella notte del 28 giorno), era arrivata a m (112+28) = 140 m cioè in cima al grattacielo per cui, essendo arrivata, non poteva più scivolare in giù!!! Quesito 9 [Qual è il numero mancante?] (vale 6 punti) Nella serie 8; 22; 64; 190; 568;?? quale numero viene subito dopo? A) 946; B) 1324; C) 1702; D) 2080; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) Soluzione A) Per ottenere il secondo numero abbiamo aggiunto 14 infatti 8+14 = 22. Per ottenere il terzo numero abbiamo aggiunto 42 = 3 volte 14 infatti = 64. Per ottenere il quarto numero abbiamo aggiunto 126 = 3 volte 42 infatti = 190. Per ottenere il quinto numero abbiamo aggiunto 378 = 3 volte 126 infatti = 568. Quindi: per ottenere il sesto numero dobbiamo aggiungere a 568 il triplo di 378 cioè: x3 = = Soluzione B) Si moltiplica il primo termine per 3, si toglie 2 al risultato ottenendo così il secondo termine. 8x3 2 = 24 2 = 22. Si ripete il procedimento: 3x22 2 = 66-2 = 64 (terzo termine). Si ripete il procedimento: 3x64 2 = = 190 (quarto termine). Si ripete il procedimento: 3x190 2 = = 568 (quinto termine). Si ripete il procedimento: 3x568 2 = = 1702 (sesto termine). a 1 = 8; a 2 = 3 a 1 2; a n = 3 a n-1-1. [dove a 1, a 2,.. a n rappresentano il primo, secondo ennesimo.termine della successione data] Quesito 10 [Pensa, pensa.il numero giusto!!!] (vale 6 punti) Pensa un numero. Moltiplicalo per 25. Moltiplica ancora il risultato per 28. Dividi il numero, così ottenuto, per 20. Se moltiplichi ancora per 3, quale dei seguenti numeri non puoi ottenere, qualsiasi sia il numero pensato? A) 2730; B) 2310; C) 1890; D) 1875; E) Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 4

5 La risposta esatta è la D) Qualsiasi sia il numero pensato, dopo aver effettuato le operazioni indicate dal problema, il numero ottenuto deve essere per forza un multiplo di 105 (25x28:20x3 =700:20x3=35x3=105). Tra i numeri indicati solo 1875 non è un multiplo di 105. Quesito 11 [Frutta.in equilibrio!!!] (vale 6 punti) Sappiamo che quattro fichi pesano come una pera, due pere come un ananas e che 6 ananas pesano come una zucca. Se il peso di una zucca è pari ad un cocomero e mezzo, In una bilancia a due piatti, quanti fichi devo mettere su un piatto se sull altro piatto ci sono 2 zucche e 2 cocomeri? Risposta esatta: 160 fichi Dai dati del problema abbiamo questa catena di equivalenze (nel peso): 1 zucca = 6 ananas = 12 pere = 48 fichi =3/2 cocomero (1+1/2 = 3/2); 1 zucca = 48 fichi, Se una zucca vale 3/2 di cocomero, allora 1 cocomero vale 2/3 di zucca. Ma 2/3 di zucca = 2/3x6 ananas = 2/3x12 pere = 2/3x48 fichi = 32 fichi; quindi 1 cocomero = 32 fichi. Le due catene di uguaglianze sono sufficienti per risolvere il quesito. 2 cocomeri = 2x32 = 64 fichi; 2 zucche = 2x48 = 96 fichi. Concludendo due zucche e due cocomeri avranno lo stesso peso di 2x(48+32) fichi = 160 fichi. Quesito 12 [Il cubo bucato che piange la materia perduta!!!!] (vale 6 punti) Lo scultore Anthony Cubic, appassionato di buchi, ha ultimato da poco una scultura che ha messo in bella mostra presso il Liceo Artistico Leonardo Cubico nella città di Cubo in cui tutti gli esseri viventi (e non) hanno la forma di cubo. Questa scultura (quasi non sembra vero!!) ha la forma di un cubo con lo spigolo lungo 120 cm. Poi su ogni faccia c è un foro centrale di forma quadrata il cui lato misura esattamente un terzo dello spigolo. Ogni foro. attraversando tutto il cubo, finisce sulla faccia opposta (è un buco passante come sul dirsi!!). La domanda è questa: sapendo che la scultura è in acciaio inox (p.s. = 8) quanti quintali pesa quella scultura (solo il cubo forato senza piedistallo)? [Nota Bene: in caso di numeri decimali, riportare, al massimo, solo le prime due cifre decimali] Risposta esatta: q Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 5

6 Il cubo grande (spigolo = 120 cm = 12 dm) è formato da 27 cubi uguali aventi lo spigolo lungo 4 dm. Il volume di uno di questi 27 cubetti è di 4 3 dm 3 = 64 dm 3. L aver praticato i 3 fori passanti nel cubo, ha tolto complessivamente 7 cubi (6 cubi centrali a ciascuna delle sei facce + il cubo centrale al cubo stesso). Praticamente, il cubo, così forato, contiene solo (27-7) 20 cubi di spigolo 4 dm. Il volume cercato, quindi, sarà di 20x4 3 = 20x64 = 1280 dm 3. Perciò avremo: Peso = Vx p.s. = kg (1280x8) = kg = = q Quesito 13 [Maschio o femmina???] (vale 8 punti) Nella famiglia di Katiuscia ci sono quattro figli, dei quali uno è femmina (Katiuscia, appunto); qual è la probabilità che gli altri tre siano una femmina e due maschi? (l ordine non interessa) Risposta esatta: B) 2/5 Indichiamo con M il figlio maschio e con F il figlio femmina. Analizziamo le varie quaterne ordinate: esse sono in tutto 16 = 2 4. M-M-M-M; M-M-M-F; M-M-F-M; M-F-M-M; F-M-M-M; M-M-F-F; M-F-F-M; F-F-M-M; M-F-M-F; F-M-F-M; F-M-M-F; M-F-F-F; F-M-F-F; F-F-M-F; F-F-F-M; F-F-F-F. La prima quaterna (tutti figli maschi) deve essere esclusa in quanto sappiamo che uno dei quattro figli è sicuramente una femmina (Katiuscia). Tutte le altre hanno almeno una F. Quindi questi sono i casi possibili. (in tutto 15) I casi favorevoli sono dati da quelle quaterne formate da due F e due M (non interessa l ordine). I casi favorevoli sono le quaterne indicate nel terzo rigo dell elenco. (in tutto 6) La probabilità cercata sarà dunque 6 su 15 = 2/5. Quesito 14 [Quali sono i due numeri mancanti?] (vale 8 punti) Nello schema riportato a fianco ci sono 12 caselle (4 poste su un quadrato interno ed 8 poste su un quadrato esterno). In due caselle al posto dei numeri, ci sono due pupazzetti smile. Bisogna trovare questi due numeri rispettando queste regole: a) i 12 numeri (i 10 già presenti più i due da inserire al posto dei ) devono risultare tutti diversi; b) la somma dei numeri posti nelle otto caselle esterne deve essere doppia di quella dei numeri posti nelle quattro caselle interne. Quale coppia ordinata di numeri è quella giusta? Attenzione: il primo numero della coppia, deve essere inserito nella casella del quadrato interno. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 6

7 Risposta esatta: infinite coppie. Guardando i numeri già presenti nella griglia la coppia che veniva subito in mente era (39, 42). Infatti 39 sommato agli altri tre numeri presenti nelle caselle interne (41, 34, 36) dà un totale di = = 150. Poi 42 sommato agli altri sette numeri presenti nelle caselle esterne ( ) dà un totale di = = 300 (che è appunto il doppio della somma precedente (150). Però ci sono infinite coppie che vanno bene: Indicando con x il primo numero della coppia che deve essere inserito nella casella del quadrato interno, l altro numero, indicato con y, sarà: y = 2(x-18). Per verificare se i due numeri scelti sono esatti deve risultare: y = 2(111+x). Inoltre bisogna verificare che nessuno dei due numeri trovati sia già presente nella griglia. Quesito 15 [Ma si può sapere che posto occupa quel 7?] (vale 12 punti) Se scrivo uno affianco all altro tutti i numeri che finiscono per 7, a partire da 7 fino a 7777, il 7 che appartiene al numero 6997 che posto occupa in questo numero super-lungo???? Risposta esatta: occupa il 2689 posto fino a 100 ci sono 19 cifre (10x2-1) per ogni centinaia abbiamo 30 cifre (10x3) In tutto 30x9= 270. Aggiungendoci le 19 cifre della prima centinaia avremo 289 cifre accostando i numeri che finiscono per 7 nella prima migliaia per ogni centinaia abbiamo 40 cifre (4x10) Da 1000 a 2000 avremo in tutto 40x10= 400 cifre per scrivere i numeri terminanti per 7. Lo stesso dicasi per le altre migliaia. Da 2000 a 2997 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia e 400 per la migliaia (40x10=400) Da 3000 a 3997 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia e 400 per la migliaia (40x10=400) Da 4000 a 4997 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia e 400 per la migliaia (40x10=400) Da 5000 a 5997 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia e 400 per la migliaia (40x10=400) Da 6000 a 6997 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia e 400 per la migliaia (40x10=400) Da 7 a 6997 abbiamo 6x = =2689 Perciò avremo che il 7 di 6997 occupa il 2689mo posto. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 7

8 Quesito 16 [Aprite bene gli occhi!!] (vale 12 punti) Quanti rettangoli (compresi i quadrati) vedete nella figura? Risposta esatta: i rettangoli, compresi i quadrati sono = Fig quadrati 1x1 (2x16+1) Fig quadrati 2x2 [2(4+2)] Contiamo prima i quadrati: 1 2 I quadrati sono in tutto 48 I quadrati 1x1 sono in tutto 33 (vedi fig. 1); i quadrati 2x2 sono 12 (vedi fig. 2) ; i quadrati 3x3 sono in tutto 2 (vedi fig. 5) Infine c è 1 quadrato grande (9x9) che racchiude tutta la figura. Ricapitolando i quadrati presenti nella figura sono: [ ] = = 48. Fig. 3-2 quadrati 3x3 Contiamo adesso i rettangoli (b h) Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 8

9 Fig rettangoli 1x2; 2x[6+4+2] = 24 Fig rett. 1x3; 2x[5+3+1] = 18 Fig rett. 1x4; 2x[4+2]=2x12= 12 Fig. 7-8 rett. 1x5 2x[3+1] = 8 Fig. 8-4 rett. 1x6; 2x[2] = 4 Fig. 9-2 rett. 1x7; 2x[1] = 2 Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia] Pag. 9

10 Fig rett. 2x1; 2x[5+3] = 16 Fig rett. 2x1; 1x4=4 Fig rettangoli 3x1; 2x3+1x5 = 11 Fig rett. 4x1; 1x6 = 6 Fig rett. 5x1; 1x5 = 5 Fig rett. 6x1 1x4 = 4 Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 10

11 Fig rett. 7x1; 1x3 = 3 Fig rett. 8x1 1x2 = 2 Fig rett. 9x1; 1x1 = 1 Fig rett. 2x3; 2x(3+1) = 8 Fig rett. 3x2; 2x[2] = 4 Fig rett. 2x4; 2x[2] = 4 Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 11

12 Fig rett. 2x5; 2x[1] = 2 Fig rett. 9x4; 2x1 = 2 Fig rett. 9x5; 2x1 = 2 Figura numero Tipo Rett. (bxh) Numero rettangoli 4 1x x x x x x x1 16+4= x x x x x x x x x x x x x5 2 Totale 142 rettangoli Riepilogando: i rettangoli sono: 142 Risposta finale: i rettangoli, compresi i quadrati sono = 190 Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 12

13 Quesito 7 [Ritrovate le lettere!!!] (vale 5 punti) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Tenendo conto dell ordine che le lettere hanno nell alfabeto INGLESE, nella serie: X - P H Z quali sono le due lettere che mancano? Attenzione: quando si arriva alla 26 a lettera (la Z) si ricomincia da capo (dalla A), o viceversa. A) R-I; B) S-I; C) R-J; D) S-L; E) Nessuna delle precedenti. Risposta esatta: C) R-J. Il criterio scelto è quello di saltare sette lettere alla volta, ma andando all indietro. Partendo dalla X e saltando, all indietro, 7 lettere (W, V, U, T, S, R, Q) si arriva alla P. Dalla lettera P, saltando all indietro, sempre 7 lettere (O, N, M, L, K, J, I) si arriva alla H. Dalla lettera H, procedendo sempre nello stesso modo si saltano le lettere (G, F, E, D, C, B, A), arrivando così alla Z. Dalla lettera Z, saltando 7 lettere (Y, X, W, V, U, T, S) si arriva alla R. Ed infine, saltando altre 7 lettere (Q, P, O, N, M, L, K) si arriva alla J. Quindi le lettere mancanti sono, nell ordine: R-J che corrisponde alla C). Nota Bene: Si otteneva lo stesso risultato (con un criterio leggermente più complicato) saltando 17 lettere alla volta, ma andando in avanti. Ricordiamo che una successione incompleta (di lettere, di numeri, ecc.) ha più criteri di formazione che la soddisfano (individuabili con maggiore o minore difficoltà). Tra questi, poi, è preferibile scegliere quello più facile o che si conosce meglio. Quesito 8 [Dove sta la verità!!??] (vale 5 punti) Tra le seguenti affermazioni ce n è una sola che è sempre vera. Quale? A) La somma di tre numeri dispari, può essere, qualche volta (molto raramente), multiplo di 6. B) La somma di tre numeri dispari consecutivi qualche volta potrebbe essere multiplo di 5. C) la somma di tre numeri pari consecutivi è sempre divisibile per 12. D) la somma di tre numeri dispari consecutivi è sempre divisibile per 9. E) la somma di tre numeri pari consecutivi è sempre divisibile per 4. Risposta esatta: B) Esaminiamo le varie alternative: A) Sommando tre numeri dispari qualsiasi, si ottiene sempre un numero dispari che non essendo pari, non sarà divisibile per 2 e quindi, non lo sarà neanche per 6. Infatti un numero per essere multiplo di 6 che è uguale a 2x3 dovrà essere contemporaneamente divisibile per entrambi. I multipli di 6 sono soltanto i multipli di 3 pari (divisibili per 2). Affermazione falsa. B) E vera. La somma di tre dispari consecutivi è sempre divisibile per 3 e tra i multipli di 3 ci sono alcuni che finiscono con 5 o con 0 e quindi sono anche multipli di 5. m(3) = 3, 6, 15, 18, 30, 42, 45, 60, 75,. L alternativa B) è vera e quindi la ricerca finisce qui perché il testo dice che una sola affermazione è sempre vera. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 13

14 Per stare però più tranquilli, continuiamo ad analizzare le altre affermazioni. C) La somma di 3 pari consecutivi è sempre un numero pari. Le varie somme variano di 6 da una all altra, partendo da 12: = 12; = 18; = 24;.. 30, 36, 42, 48. Come si vede 12, 24, 36, 48 sono multipli di 12; mentre 18, 30, 42 non lo sono. Quindi l affermazione C) è falsa. D) anche qui solo alcune somme sono divisibili per 9: = 9; 3+5+7= 15; 5+7+9= 21; = 27 9, 27, 45, sono multipli di 9; mentre 15, 21, 33, 39, non lo sono. Quindi l affermazione D) è falsa. E) vedi C): metà delle somme sono divisibili per 4 (12, 24, 36, 48,.) e metà non lo sono affatto (18, 30, 42, 54,..). Conclusione: amche l affermazione E) è falsa. L analisi è finita ed abbiamo così verificato che solo l affermazione B) è vera. Quesito 9 [Mi raccomando!!!.. non fate crollare questa piramide!!!!] (vale 6 punti) In questa piramide i numeri sui mattoni sono messi in moto tale che un numero è il risultato della somma dei numeri scritti sui due mattoni immediatamente sottostanti. Per esempio,il numero del mattone E è la somma dei numeri che stanno sui due mattoni H ed I. Nel mattone indicato con la lettera M che numero dobbiamo mettere? A) 109; B) 129; C) 139; D) 94; E) Nessuna delle precedenti. A=983 B C=500 D=239 E F G H I=147 L M N=48 O P Q La risposta gusta è D) 94. Si parte dall alto: B= A-C = =483; E= B-D= = 244; F = C-E = =256; L=F-I = = 109; H = E-I= = 97; G=D-H = = 142; O=I-P = = 49; N=H-O = = 48; M=G-N = = 94; Q= L-P = = 11. A=983 B=483 C=500 D=239 E=244 F=256 G=142 H=97 I=147 L=109 M=94 N=48 O=49 P=98 Q=11 Quesito 10 [Pensa, pensa.il numero giusto!!] (vale 6 punti) Pensa un numero. Moltiplicalo per 15. Moltiplica ancora il risultato per 26. Dividi il numero, così ottenuto, per 6. Se moltiplichi il risultato così ottenuto per 5, quale dei seguenti numeri non puoi ottenere come risultato finale, qualsiasi sia il numero da cui sei partito? A) 975; B) 2275; C) 1625; D) 875; E) 650. La risposta esatta è la A) 875. Qualsiasi sia il numero pensato, dopo aver effettuato le operazioni indicate dal problema, il numero ottenuto deve essere per forza un multiplo di 325 (15x26:6x5 =390:6x5=65x5=325). Tra i numeri indicati solo 875 non è un multiplo di 325. Quesito 11 [La lumaca con i freni rotti!!] (vale 6 punti) Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 14

15 Una lumaca sta salendo un muro alto 25 metri. Il primo giorno sale di 4 metri, ma, durante la notte, scivola in giù di 1 metro. Nel secondo giorno, essendo più allenata, sale di 5 metri, ma, durante la notte, essendo più stanca, scivola giù di due metri. La stessa cosa avviene nei giorni successivi: sale di giorno (per poi scivolare di notte), sempre di un metro in più rispetto ai metri percorsi il giorno precedente. Dopo quanti giorni, la lumaca, arriverà in cima al muro? Risposta esatta: 7 giorni Ricapitolando: 1 giorno sale di 4 m e scivola poi di 1 m; all inizio del 2 giorno si trova a 3 m di altezza. 2 giorno sale di 5 m e scivola poi di 2 m; all inizio del 3 giorno si trova a 6 m di altezza. 3 giorno sale di 6 m e scivola poi di 3 m; all inizio del 4 giorno si trova a 9 m di altezza. 4 giorno sale di 7 m e scivola poi di 4 m; all inizio del 5 giorno si trova a 12 m di altezza. 5 giorno sale di 8 m e scivola poi di 5 m; all inizio del 6 giorno si trova a 15 m di altezza. 6 giorno sale di 9 m e scivola poi di 6 m; all inizio del 7 giorno si trova a 18 m di altezza. 7 giorno sale di 10 m e scivola poi di 7 m; ecc. ecc. Siccome nel settimo giorno percorre 10 metri, avendone già percorso 18 nei giorni precedenti, prima della fine della giornata arriverà in cima al muro. m (18+10) = 28 m. Essendo arrivata, nella notte del settimo giorno non potrà più scivolare in giù!!! e si riposerà finalmente!!! Quesito 12 [Una somma di cui. non si vuole sapere il risultato!!!] (vale 6 punti) Sapendo che: 3 4 ha per risultato un numero con 2 cifre, 6 8 ha per risultato un numero con 7 cifre, 9 12 ha per risultato un numero con 12 cifre, ha per risultato un numero con 18 cifre, ha per risultato un numero con 24 cifre, ha per risultato un numero con 31 cifre, ha per risultato un numero con 38 cifre, questa somma: quante cifre avrà? Risposta esatta: 38. In questa somma è il numero che vale di più. Anche se ci fossero dei riporti non farebbero mai aumentare la prima cifra a sinistra (quella che vale di più). Se commutiamo gli addendi dell addizione, vediamo che il risultato ha le prime sette cifre più importanti uguali a quelle dell addendo con più cifre = * ***** = = = = = = **** ***** ***** ***** ***** In una somma con addendi aventi un numero di cifre non uguali, assorbe molto di più l addendo con più cifre. In questo caso gli altri addendi non aggiungono che un nulla al primo addendo (il più grande anche se nell espressione è messa per ultimo. Infatti in presenza di un riporto nelle prime cifre (da destra), questo riporto verrebbe smaltito con un solo o al massimo due passaggi (visto che gli addendi sono solo sette) Poi le altre 7 cifre che stanno prima (a sinistra) resterebbero tali e quali. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 15

16 Quesito 13 [Maschio o femmina???] (vale 8 punti) Nella famiglia di Francesco ci sono tre figli, dei quali uno è maschio (Francesco, appunto); qual è la probabilità che gli altri due siano uno femmina ed uno maschio? (l ordine non interessa) Risposta esatta: 3/7 Indichiamo con M il figlio maschio e con F il figlio femmina. Analizziamo le varie terne ordinate La terna M-M-M sta ad indicare che il primogenito, il secondogenito ed il terzogenito sono tutti e tre maschi. La terna M-M-F sta ad indicare che il primogenito ed il secondogenito sono maschi mentre, il terzogenito è femmina. La terna M-F-M sta ad indicare che il primogenito è maschio, il secondogenito è femmina mentre, il terzogenito è maschio. La terna F-M-M sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito ed in terzogenito sono maschi. La terna M-F-F sta ad indicare che il primogenito è maschio mentre sia il secondogenito che il terzogenito sono femmine. La terna F-M-F sta ad indicare che il primogenito è femmina, il secondogenito è maschio ed il terzogenito è femmina. La terna F -F-M sta ad indicare che il primogenito ed il secondogenito sono femmine mentre, il terzogenito è maschio La terna F-F-F sta ad indicare che tutti e tre sono femmine: primogenito, secondogenito e terzogenito. Di tutte queste terne, escluso l ultima, tutte presentano almeno un maschio che bisogna sempre considerare (Francesco). Quindi i casi possibili sono sette. Noi vogliano insieme a Francesco (M) una femmina (F) ed un maschio (M). L ordine non interessa. Tra tutte le sette terne quella che presenta due M ed una F sono 3 (M-M-F; M-F-M; F-M-M). La probabilità cercata sarà dunque 3 su 7 (3/7). Quesito 14 [Il cubo bucato che piange la materia perduta!!!!] (vale 8 punti) Lo scultore Anthony Cubic, appassionato di buchi, ha ultimato da poco una scultura che ha messo in bella mostra presso il Liceo Artistico Leonardo Cubico nella città di Cubo in cui tutti gli esseri viventi (e non) hanno la forma di cubo. Questa scultura (quasi non sembra vero!!) ha la forma di un cubo con lo spigolo lungo 120 cm. Poi su ogni faccia c è un foro centrale di forma quadrata il cui lato misura esattamente un terzo dello spigolo. Questo foro di forma quadrata attraversa tutto il cubo. Sembra che porti fortuna ai fidanzati!! Ciascun fidanzato, si mette in posa su ciascuna delle due facce e, introducendo la mano nel foro, cerca di afferrare la mano dell altro/a (introdotta nel foro, ma dalla parte opposta). A questo punto si vede benissimo (osservando da una delle due facce perpendicolari alle due scelte dai fidanzati) le due mani che si stringono!!! Quanto vale, in dm 3, il volume di questo cubo forato? Risposta esatta: 1280 dm 3 Il cubo grande (spigolo = 120 cm = 12 dm) è formato da 27 cubi uguali aventi lo spigolo lungo 4 dm. Il volume di uno di questi 27 cubetti è di 4 3 dm 3 = 64 dm 3. L aver praticato i 3 fori passanti nel cubo, ha tolto complessivamente 7 cubi (6 cubi centrali a ciascuna delle sei facce + il cubo centrale al cubo stesso). Praticamente, il cubo, così forato, contiene solo (27-7) 20 cubi di spigolo 4 dm. Il volume cercato, quindi, sarà di 20x4 3 = 20x64 = 1280 dm 3. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 16

17 Anthony Cubik in azione Ecco il risultato!!!! Quesito 15 [Aprite bene gli occhi!!!] (vale 12 punti) Quanti quadrati vedete nella figura? Risposta esatta: I quadrati sono in tutto 82 I quadrati 1x1 sono in tutto 49 (vedi fig. 1); i quadrati 2x2 sono in tutto 24 (vedi fig ) [12+8+4]; i quadrati 3x3 sono in tutto 8 (vedi fig. 5-6) [6+2]. Infine c è 1 quadrato grande (9x9) che racchiude tutta la figura. Ricapitolando i quadrati presenti nella figura sono: [ ] = 50+32= Fig quadrati 1x1 [2x24+1] Fig quadrati 2x2; [2x6] Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 17

18 Fig. 3-8 quadrati 2x2; [2x4] Fig. 4-4 quadrati 2x2; [2x2] 1 2 Fig. 5-6 quadrati 3x3; [2x3] Fig. 6-2 quadrati 3x3; [2x1] Quesito 16 [Ma si può sapere che posto occupa quel 4?] (vale 12 punti) Se scrivo uno a fianco all altro tutti i numeri che finiscono per 4, a partire da 4 fino a 4444, il 4 che appartiene al numero 2394 che posto occupa in questo numero super-lungo???? Risposta esatta: fino a 100 ci sono 19 cifre (10x2-1) per ogni centinaia abbiamo 30 cifre Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 18

19 In tutto 30x9= 270. Aggiungendoci le 19 cifre della prima centinaia avremo 289 cifre accostando i numeri che finiscono per 4 nella prima migliaia per ogni centinaia abbiamo 40 cifre Da 1000 a 2000 avremo in tutto 40x10= 400 cifre per scrivere i numeri terminanti per 4. Lo stesso dicasi per le altre migliaia. Da 2000 a 2394 abbiamo ancora 40 cifre per ogni centinaia (40x4=160) Sommando Il numero delle cifre è dato da = 849. Perciò avremo che il 4 di 2394 occupa l 849mo posto. Soluzioni_Sup-T_VI-Ed._Giochi_di_Achille_e_la_tartaruga ( ) [Il mago dei numeri CH- Italia]Pag. 19