Strumenti per la didattica, l educazione, la riabilitazione, il recupero e il sostegno. Collana diretta da Dario Ianes

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1 Strmenti per la dittica, l edcazione, la riabilitazione, il recpero e il sostegno Collana diretta Dario Ianes Eleonora Carravieri e Vania Taverna Caccia ai nmeri Volme 2 Attività s valore posizionale, composizione, scomposizione e calcolo con nmeri oltre il 100 Erickson

2 Indice 7 Introdzione 21 Unità 1 Comporre e scomporre Diagrammi ad albero La proprietà associativa Sche di atovaltazione 37 Unità 2 Valore posizionale e transcodifica Verifica iniziale: la freccia Transcodifica Operazioni con il codice valore Le tabelle Scomponi e ricomponi i nmeri: verifica finale Sche di atovaltazione 61 Unità 3 Le eqivalenze Il sacco Indovina il nmero Indovina il valore A qanto corrisponde il valore? Le eqivalenze: verifica finale Sche di atovaltazione 77 Unità 4 Contiamo I trenini Le locomotive I vagoni colorati I qadrati Piccole strategie La proprietà dissociativa: verifica Nmerazioni nei serpenti Schemi completare: verifica Le piramidi Operazioni con ti mancanti Operazioni in codice Sche di atovaltazione 137 Appendice Solzioni

3 Introdzione Non si dimenticano le cose che si sono viste e s ci si è operato. Emma Castelnovo La matematica non è solo na serie di contenti, di tecniche, di procedre, ma è sopratttto il moversi della ragione attraverso na serie di azioni specifiche che non si realizzano solo nel contare, calcolare, misrare, trasformare, semplificare, dimostrare, ma anche nel giocare, osservare, descrivere, definire, immaginare, simbolizzare, pianificare, ricorre e sbagliare. (Manara, 2002) Premessa Qesta proposta nasce lla pratica riabilitativa con l intento di fornire n percorso ldiforme che permetta al bambino di «ri-mettere le mani in pasta» nei nmeri per consolire il loro riconoscimento, la loro posizione e il loro valore, e sare le qattro operazioni in modo flessibile e fnzionale. Il gioco è n attività che il bambino sceglie spontaneamente per rispondere a bisogni che cambiano nel tempo; le attività ldiformi invece sono proposte che, agendo nella forma del gioco, aitano a svilppare, riconqistare, approfondire aspetti specifici in campi e materie diverse. Le esercitazioni proposte in qesto volme sono poco familiari ai bambini, perché insali nell esperienza scolastica, per qesto risltano essere n occasione per scire schemi conosciti e frstranti, n aito per sbloccare difficoltà specifiche. La pratica riabilitativa necessita di tempi lenti: il bambino in difficoltà deve esercitarsi e ripetere più volte, con il rischio che per il senso della proposta a scapito dell arricchimento della sa personalità. Gli operatori sperimentano la necessità di avere a disposizione proposte diversificate per affrontare nel dettaglio i minziosi passaggi che garantiscono l apprendimento: ogni bambino ha tempi personali di recpero, e la ripetizione degli esercizi e dei passaggi difficoltosi deve essere affrontata con n pizzico di novità per scongirare la noia e la dispersione dell attenzione. L omo, fin ll inizio della sa evolzione, ha provato molti mezzi per esprimere la qantità delle cose legate ai soi bisogni primari: il cibo, le se pecore, i soi tesori, ttto molto prima della formalizzazione dei simboli matematici aritmetici. Tali nozioni appartengono qindi a na predisposizione della mente

4 mana e ad abilità innate; al concetto sege l apprendimento dei simboli e delle procedre, per qesto la manipolazione di materiali e simboli deve essere varia per rimettere in gioco l attenzione, l apprendimento, sostenere la criosità del soggetto e permettergli di svilppare competenze spendibili. L obiettivo delle esercitazioni proposte rigar solo, come già detto, la lessicalizzazione, la posizione, la qantificazione del valore del nmero e la capacità strategica di sare le operazioni: addizioni e sottrazioni prevalentemente, ma anche moltiplicazioni e divisioni. Il percorso inizia con la manipolazione delle coppie dei nmeri che compongono il 10 e il 100; la conoscenza del nome dei nmeri non coincide atomaticamente con il loro valore posizionale; la dittica delle operazioni in colonna introdce la simbolizzazione delle stecche dell abaco con in calce la marcatra dei riferimenti «k», «h», «,, ma qesta simbolizzazione non porta atomaticamente al riconoscimento del valore dei nmeri: 1 k e 2 vale 102 o 120? o ? Le centinaia dove sono finite? E le nità? La transcodifica è l operazione che si fa qando si legge o si scrive n nmero passando n codice a n altro. Solitamente siamo de sistemi per esprimere i nmeri, le parole-nmero e i nmeri arabi: qesti elementi si combinano con determinate regole sintattiche e in entrambi i casi indicano na grandezza arbitraria. L elaborazione sintattica è essenziale per la comprensione del nmero e la rappresentazione semantica interna del nmero è necessaria per i compiti di transcodifica (McCloskey, 1992). La sintassi ci consente di leggere in modo diverso na cifra a secon della sa posizione all interno del nmero; ad esempio nel 25 leggiamo il 2 come «venti», ma nel 201 lo leggiamo come «decento». Secondo altri atori i codici implicati nel riconoscimento dei nmeri sono tre: codice verbale, codice analogico di qantità e codice visivo-arabico. Qesti tre codici si attivano qando esegiamo operazioni di calcolo o, meglio, operazioni di processamento dei nmeri. Tra loro esistono collegamenti bidirezionali che permettono le operazioni di transcodifica tra i diversi formati di rappresentazione nmerica (Dehaene e Cohen, 1995). Molti bambini si trovano in difficoltà qando incontrano nmeri con na componente sintattica complessa, prevalentemente nmeri che contengono lo zero, come 201, o nmeri fonologicamente lnghi che impegnano molto la loro memoria di lavoro. Un informazione di transcodifica errata in inpt a cascata porta a n errore in elaborazione e in otpt; se il bambino non trascrive correttamente il nmero ascoltato e con qel nmero deve esegire n calcolo, il risltato dell operazione sarà errato anche se la procedra è corretta. La scarsa flidità nelle combinazioni aritmetiche e le problematiche nel richiamare alla mente in modo rapido le combinazioni nmeriche sono n nodo 8 Caccia ai nmeri

5 crciale nella difficoltà, nel ritardo o nella discalclia, che richiede interventi specifici sia in ambito riabilitativo che scolastico. Caccia ai nmeri è stato pensato per ttti qei bambini che faticano nel calcolo a mente, conoscono le procedre delle operazioni aritmetiche, le regole che stabiliscono come è necessario manipolare i nmeri per ottenere il risltato corretto: l so del riporto, l incolonnamento, lo spostarsi destra verso sinistra, sommare mentre si esege la moltiplicazione, sottrarre nella divisione, lo spazio voto nella moltiplicazione e altro ancora, ma fori llo schema rappresentato dell operazione, il calcolo a mente non si realizza. Il calcolo a mente richiede infatti strategie costrttive e di ragionamento diverse, tra le qali anche la richiesta verbale ha la sa importanza. Alcni bambini faticano a rispondere e a comprendere le combinazioni che rispondono a ennciati verbali del tipo: 8 e 2 fa...? 3 volte 2? 18 al 20? dividi per 2, è più o meno grande di 90? Le proposte legate lla preposizione «per», in particolare, confondono: in italiano essa si sa come complemento di tempo, di stato e di logo e «in matematica si tilizza per de operazioni na inversa all altra. Si dice infatti 3 per 4 e 8 diviso per 2» (Castelnovo, 2004). Qeste difficoltà necessitano di essere sostente strategie d appoggio, come l so delle dita, appiglio percettivo che permette al bambino di visalizzare entro il 10 le composizioni possibili tra le coppie dei nmeri, chidendo e aprendo le dita. Le neroscienze hanno evidenziato n legame nerofnzionale tra l so delle dita e lo svilppo del senso del nmero: l idea è che nella norma si costriscono rappresentazioni nmeriche concrete e astratte sando le dita, le parole e i nmerali (i simboli). La mia ipotesi è che senza la capacità di associare la rappresentazione dei nmeri alla rappresentazione nerale delle dita e delle mani nelle loro posizioni normali, gli stessi nmeri non possono avere na rappresentazione normale nel cervello. (Btterworth, 1999) La gnosia digitale, o rappresentazione mentale delle dita, corrisponde sia alla raffigrazione della nmerosità che all operatività nell addizione e nella sottrazione; entrambe, a loro volta, sono legate alla rappresentazione neronale delle dita della mano. In base a qesto è stato ipotizzato che le abilità nmeriche si fonno sl saper riconoscere piccole nmerosità senza contare slle abilità motorie fini e slla consapevolezza che il soggetto ha delle proprie dita (Btterworth, 1999; 2005). Piccoli impacci, poca abitdine alla manipolazione, inibizione all so, sfmate difficoltà prassiche non permettono alle mani di diventare no strmento prima di ttto economico, e poi di competenza spendibile fin qando è necessario. Alcni bambini non rievocano atomaticamente la prassia del nmero: il 6 invece di essere Introdzione 9

6 è il risltato di na rappresentazione diversa o della conta 1, 2 fino al 6. Qesta raffigrazione rende difficile riconoscere qali e qanti elementi mancano al 10, il bambino non visalizza l insieme delle qattro dita che rimangono e deve contare i de blocchi: prima l anlare e il mignolo della mano destra e poi qelli della mano sinistra. Gli insegnanti, sensibilizzati al problema delle difficoltà di calcolo, sono disponibili a concedere più tempo per raggingere il risltato atteso, ma sono più restii ad accettare l so del conteggio slle dita che rafforza visivamente la qantità e permette di rappresentarsela anche qando si conta con le centinaia e le migliaia. Anche la strategia di tenere a mente n nmero per sommare l altro non è, per qesti bambini, na procedra economica: faticano a scegliere il nmero memorizzare, spesso rispettano l ordine di presentazione e finiscono per tenere a mente il nmero più basso e aggingono a fatica qello più grande che a volte pò non stare slle dita (3 in testa + 12). Così facendo il calcolo diventa laborioso, sbagliano per poco e proprio perché l errore è piccolo viene sottovaltato: «Ne ho fatto no solo», senza considerare che basta na cifra in più o in meno, o il so spostamento, per attivare na valanga di errori all interno di na catena di operazioni, come sono le nmerazioni o le espressioni. Gli interventi precoci in matematica devono pntalizzare lo svilppo delle combinazioni aritmetiche di base accanto all so di strategie di conteggio rapido, accrato ed efficiente. La transcodifica e il recpero veloce dei fatti nmerici sono reqisito minimo per affrontare, nella difficoltà specifica, nella discalclia, nel distrbo d apprendimento e anche nel ritardo cognitivo, la matrazione di competenze fnzionali. Le difficoltà di lettra e scrittra dei nmeri possono gravemente interferire in qesti compiti e rendere intile l so della calcolatrice, strmento che aita nella risolzione delle operazioni, ma non pò prescindere ll abilità di saper codificare e decodificare i nmeri. Molti bambini imparano le procedre impostate in classe e rinforzate gli esercizi a casa ma si perdono vanti a richieste non familiari, cioè con presentazioni insali, formlate in modo differente, senza indicazioni esplicite. L intento sarebbe qello di stimolare le operazioni di inferenza e la generalizzazione del 10 Caccia ai nmeri

7 concetto. Il risltato è la constatazione che qesti bambini non sanno moversi né nel mondo dei nmeri né in qello delle operazioni in altro modo qello appreso e s ci si sono esercitati. L approccio dei bambini di fronte a qesto tipo di compiti è qello di aspettarsi na consegna: devi fare delle somme, devi trovare il risltato, sono operazioni; se qeste non sono esplicitate verbalmente si disorientano, «Cosa devo fare? Non ho capito», si ritirano, rinnciano, aspettano spiegazioni ma sopratttto per loro qel compito rientra tra qelli difficili e irrisolvibili, allora si irrigidiscono, saltano le procedre e le acqisizioni che parevano acqisite. Il loro comportamento sembra regredire: diventano implsivi, non osservano, non prendono il tempo necessario né per capire né per descrivere qello che vedono, per analizzare i ti e gli elementi presentati, per inferire la richiesta non esplicitata; il compito diventa n peso e si perde il gsto della sfi per riscire a risolverlo. L approccio teorico non pò che essere metacognitivo: in ogni esercitazione sarà richiesto di comprendere, rappresentare la richiesta, descrivere l operazione o la strategia, riconoscere le differenze e le similitdini con i compiti precedenti, pianificare le azioni necessarie per esegire na procedra, controllare l eseczione e il risltato. L intervento L intervento slle difficoltà aritmetiche deve essere strttrato in base alle carenze e specificità del singolo bambino: il percorso del recpero è sempre personale, non pò essere stanrd perché riprende le abilità e le competenze carenti; le componenti implicate saranno affrontate con gralità, con l obiettivo di atomatizzarle armonicamente. Come già detto, abbiamo posto la nostra attenzione s alcne competenze di base: la lessicalizzazione del nmero, la sa posizione, la qantificazione e le strategie di calcolo, attraverso angolatre e molità di presentazione insali rispetto a qelle dell ambito scolastico. L aspetto ldiforme delle esercitazioni nella ripresa di sostegno e nelle ripetizioni necessarie, ha sempre n fascino sl bambino che fa fatica, la novità gli si offre come sfi, gli permette di provare e riprovare per riscire, sicro che stia esegendo qalcosa di diverso lle performance scolastiche in ci ha accmlato frstrazione e brtti voti. Contare è n compito complesso che si presenta in de molità. Nel calcolo scritto concorrono più attività e procedre contemporaneamente: bisogna saper incolonnare i nmeri, conoscere il procedimento della singola operazione, le regole intrinseche, si devono associare competenze precedenti, come l enmerazione in avanti e indietro, il dettato di nmeri, il valore posizionale delle cifre, il recpero dei fatti nmeri. Il calcolo a mente è l obiettivo fnzionale che si realizza attraverso strategie e procedre in parte diverse qelle sate nello scritto, perché comportano na componente di ragionamento personale. L enmerazione verifica la conoscenza dei nomi dei nmeri in na seqenza memorizzata con n rolo e n valore spaziale; il dettato di cifre indica la capacità di codificare i meccanismi sintattici e lessicali Introdzione 11

8 necessari per prodrre i nmeri, in modo che sia possibile riconoscere i rapporti fra le cifre che costitiscono qel nmero, identificando ogni elemento nella sa classe di appartenenza: nità, decine, centinaia e migliaia. Le procedre del calcolo scritto amentano e si diversificano con l apprendimento delle diverse operazioni, accanto alla memorizzazione delle combinazioni nmeriche: tra le coppie di nmeri che formano la decina e i fatti aritmetici delle tabelline. Il metodo Un intervento di recpero deve iniziare l significato intrinseco del compito e lla motivazione necessaria per attivare la criosità del bambino a riprovare con determinazione per apprendere, ordinare le conoscenze, atomatizzarle per arrivare al risltato. Il bambino deve essere disponibile ad accettare di lavorare s strategie nove, non familiari, per affrontare n altro pnto di vista la risolzione di compiti che sono stati fallimentari in ambito scolastico. L approccio metacognitivo aita il bambino a rimettersi in gioco imparando bone abitdini di lavoro: garre ttto prima di fare; descrivere qello che vede; domanre se non comprende; reagire all errore per capire il meccanismo casale; riflettere slle azioni necessarie per rifare senza errori; riconoscere la necessità di affirsi a strmenti tili, con la disponibilità a imparare a sarli in modo atonomo. Il bambino in difficoltà pensa di essere mancante: risltati carenti a scola, test e presa in carico riabilitativa, rafforzano qesto pensiero. Solo n adlto attento pò fargli intendere che molte abilità e competenze sono in gioco nelle difficoltà di calcolo: la memoria, l attenzione, la precisione nell osservare, nel descrivere, nel definire, la capacità di pianificare ma anche di riconoscere il tipo di errore sono strettamente legate ai nmeri e alle procedre. Riscire a recperare dipende ll apprendimento di qeste nove abitdini e strategie di atoregolazione cognitiva che coincidono con la consapevolezza del proprio fnzionamento: «Come ho fatto, come è stato difficile, o n po più facile, come sono riscito meglio dell altra volta, come sarebbe meglio fare, è più tile per me la tabella pitagorica o la calcolatrice?». Nel tempo la ricadta è sll so fnzionale di qeste importanti abilità anche fori l contesto scolastico. Il bambino che ha bisogno di più tempo imparerà a concederselo per riconoscere e definire qale tipo di compito sta affrontando, qali le ipotesi di solzione possibili, qale la scelta più efficace, qale la verifica del risltato. Il bambino riconosce le proprie risorse, inizia a tilizzare in modo consapevole sia le strategie che l aspetto procedrale, pianifica prima di iniziare a lavorare, si orienta con atoistrzioni verbali. 12 Caccia ai nmeri

9 Unità 3 le eqivalenze IL SACCO 13 3 h Qesto sacco vale c 1 K Qesto sacco vale c 2015, E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson 67

10 Unità 3 le eqivalenze IL SACCO 2 K Qesto sacco vale c h Qesto sacco vale c Come ho svolto qesto esercizio? , E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson

11 Unità 3 le EqivalEnzE INDOvINA IL NUMERO Leggi e componi il nmero. 5 k, 0 h, 0, k, 6, 0 h, 0 9 h, 6, 0 0 k, 0 h, 9, 9 8, 8, 1 h 8 h, 0, 2 1 k, 1 h, 0, 0 5 h, 0, 0, 1 k 4 k, 4 h, 0, 0 3 k, 1 h, 1 7 k, 0 h, 0 9 h, 9 4, 3 h 3 k, 5 h, 5 8 h, 8 1, 0, 0 h, 0 k 1 k, 0 h, 0, 0 7 k, 7 h, 0 0, 0, 7 h 3, 3 h, 3 k COME ho svolto questo EsERCIzIO? 2015, E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson 69

12 Unità 3 le EqivalEnzE scheda DI AUtOvALUtAzIONE Riporta in qesta tabella le crocette corrispondenti ai tre animali che hai segnato in ogni esercizio di qesta Unità, alla fine fai n controllo e valta con l insegnante dove poi ancora migliorare! Il sacco Indovina il nmero Indovina il valore A qanto corrisponde il valore? Le eqivalenze: verifica finale 2015, E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson 75

13 Unità 4 CONTIAMO I TRENINI La somma delle rote di ogni vagone ha lo stesso valore del camino della locomotiva. Trova il nmero del camino della locomotiva e inserisci il nmero che manca nelle rote.? Come ho svolto qesto esercizio? 2015, E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson 81

14 Unità 4 CONTIAMO NUMERAZIONI NEI SERPENTI 12 : 2 x 5 x : 10 : 2 34 x x x : 1 42 x : 5 : : x h : 10 x , E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson

15 Unità 4 CONTIAMO SCHEMI DA COMPLETARE: VERIFICA x x x x x x 8000 : 40 x x x , E. Carravieri e V. Taverna, Caccia ai nmeri Volme 2, Trento, Erickson 109