Ambiente educativo Digitale

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1 Anna Montemurro Math Genius 1 Aritmetica Contiene: Î Lezioni e attività interattive Î Giochi matematici Î Percorsi di DIDATTICA INCLUSIVA Ambiente educativo Digitale LIBRO MISTO E-BOOK CONTENUTI INTEGRATIVI ZONA MATEMATICA

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3 Math Genius 1 Aritmetica Ambiente educativo Digitale Libro digitale sfogliabile (PDF) Testo del libro misto in formato elettronico Contenuti Digitali Integrativi Esercizi, dimostrazioni, schemi, immagini, documenti collegati al libro misto Libreria Digitale Archivio online dei libri digitali adottati ebook Fruibile online e offline, integrato con tutte le risorse e i servizi LIM Risorse e suggerimenti per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale InClasse Piattaforma di e-learning per l insegnamento personalizzato Portali tematici Aree online per aggiornarsi, preparare lezioni, contattare autori ed esperti Minisiti di prodotto Contenuti web collegati al libro misto RISORSE DIGITALI LIBRO MISTO STRUMENTI E SERVIZI Formazione e assistenza Corsi, eventi, seminari, assistenza online e sul territorio Competenze Risorse per organizzare la didattica per competenze Didattica inclusiva Strumenti per una didattica a misura dei singoli studenti (DSA-BES) Estensioni multimediali Risorse digitali offline su Pen Drive, Cd/Dvd Rom Invalsi Esercizi per prepararsi alle prove nazionali App Frasari linguistici, dizionari, letture in italiano e in lingua CLIL Materiali per la didattica in lingua straniera Insegnare, imparare, crescere deascuola.it

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6 Math Genius Indice Numeri Unità 1 Scopriamo... gli insiemi IL GIOCO DI GENIUS Telepatia cartacea Concetto di insieme Rappresentazione di un insieme Sottoinsiemi Intersezione e unione di insiemi 8 STORIE DELLA MATEMATICA L infinità leggerezza dei numeri 10 MATH HELP 12 PALESTRA MATEMATICA 14 VERSO LE COMPETENZE 20 AUTOVERIFICA 22 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES Unità 2 Numeri naturali e decimali IL GIOCO DI GENIUS L invenzione dei numeri I numeri naturali Il sistema di numerazione decimale Valore assoluto e valore relativo 28 Scrittura polinomiale di un numero naturale Rappresentazione grafica, confronto e ordine di numeri naturali I numeri decimali Il valore dello zero. Confronto e ordine di numeri decimali 34 STORIE DELLA MATEMATICA I bastoncini cinesi 36 MATH HELP 38 PALESTRA MATEMATICA 44 VERSO LE COMPETENZE 62 AUTOVERIFICA 64 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale Unità 3 Le quattro operazioni fondamentali IL GIOCO DI GENIUS Conti frettolosi L addizione Le proprietà dell addizione 68 L addizione in colonna La sottrazione La proprietà della sottrazione 72 La sottrazione in colonna 72 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale

7 3.5 Un cenno ai numeri relativi Espressioni aritmetiche La moltiplicazione Le proprietà della moltiplicazione La moltiplicazione in colonna Moltiplicazione di un numero per 10, 100, 1000, Espressioni con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni La divisione Le proprietà della divisione La divisione in colonna Divisione di un prodotto per un numero Divisione per 10, 100, 1000, Espressioni con le quattro operazioni 94 Imparo il metodo Risolvere i problemi 96 Metodo tradizionale 96 Metodo con espressioni aritmetiche 96 Metodo grafico 98 SFIDE MATEMAGICHE Più veloce della luce 100 MATH HELP 102 PALESTRA MATEMATICA 108 VERSO LE COMPETENZE 158 AUTOVERIFICA 160 Unità 4 La potenza IL GIOCO DI GENIUS Come conoscere tutto il mondo Il concetto di potenza Le proprietà delle potenze Espressioni con le potenze 168 Le operazioni inverse dell elevamento a potenza La notazione esponenziale e scientifica 170 L ordine di grandezza 170 STORIE DELLA MATEMATICA Che potenza la potenza 172 MATH HELP 174 PALESTRA MATEMATICA 180 VERSO LE COMPETENZE 202 AUTOVERIFICA 204 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale

8 Math Genius Indice Unità 5 La divisibilità IL GIOCO DI GENIUS Una fruttuosa spartizione I multipli di un numero 206 I divisori di un numero I criteri di divisibilità Numeri primi e numeri composti Scomposizione in fattori primi Massimo Comune Divisore Alcune osservazioni sul M.C.D Minimo comune multiplo Alcune osservazioni sul m.c.m. 222 Imparo il metodo Risolvere problemi con M.C.D. e m.c.m. 224 MATH HELP 228 PALESTRA MATEMATICA 234 VERSO LE COMPETENZE 256 AUTOVERIFICA 258 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Criterio generale di divisibilità Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale Unità 6 Le frazioni IL GIOCO DI GENIUS Il compleanno perfetto L unità frazionaria 260 La frazione come operatore Frazioni proprie, improprie e apparenti La frazione come quoziente Frazione complementare 266 Frazioni improprie e numeri misti Frazioni equivalenti L insieme dei numeri razionali assoluti Riduzione di una frazione ai minimi termini Trasformazione di una frazione data in un altra equivalente di denominatore assegnato Riduzione al m.c.d Confronto di frazioni 278 Imparo il metodo Risolvere problemi con le frazioni 282 Calcolare una grandezza o un numero data una loro frazione 284 MATH HELP 286 PALESTRA MATEMATICA 292 VERSO LE COMPETENZE 324 AUTOVERIFICA 326 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale

9 Unità 7 Operazioni con le frazioni IL GIOCO DI GENIUS La classe di Pitagora Addizione di frazioni Sottrazione di frazioni Moltiplicazione di frazioni Divisione di frazioni Potenza di una frazione Frazioni a termini frazionari 338 Imparo il metodo Problemi con somma e differenza 340 SFIDE MATEMAGICHE Frazioni magiche 344 MATH HELP 346 PALESTRA MATEMATICA 352 VERSO LE COMPETENZE 394 AUTOVERIFICA 396 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizio svolto Esercizi di riepilogo Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale Dati e previsioni Unità 8 Rappresentazioni grafiche IL GIOCO DI GENIUS Le diagonali ingannevoli Ideogrammi Areogrammi Istogrammi Diagrammi cartesiani 404 STORIE DELLA MATEMATICA Il mistero dell'ideogramma 406 MATH HELP 408 PALESTRA MATEMATICA 412 VERSO LE COMPETENZE 426 AUTOVERIFICA 428 CONTRIBUTI DIGITALI DELL'EBOOK Videolezioni Autoverifica Esercizi per la classe virtuale Esercizi di riepilogo Esercizi BES Appendice RISPOSTE 430 GLOSSARIO 431 TAVOLE Quadrati, cubi, radici quadrate e radici cubiche 432 Numeri primi 437 Scomposizione in fattori primi 437 Simboli matematici e alfabeto greco 438 Unità di misura 439 Tavola pitagorica 440

10 scoprire cose interessanti Se vuoi conoscere subito la risposta vai a p. 21 la classe virtuale Math Genius Presentazione Come è fatto il tuo libro Ciao ragazzi. Mi chiamo Math Genius. Vi guiderò nel vostro nuovo libro di matematica alla scoperta del meraviglioso potere dei numeri. Unità 1 Scopriamo... gli insiemi Strumenti digitali dell'unità Videolezioni Esercizi di riepilogo Autoverifica Esercizi BES Esercizi per Prima di iniziare lo studio di ogni unità del libro ci divertiremo con un piccolo gioco. Potrai sbizzarrirti con le ipotesi, metterti alla prova e confrontarti con i compagni. IL GIOCO DI GENIUS TELEPATIA CARTACEA 1. Copri con un foglio la parte inferiore di questa pagina sotto la riga di puntini. 2. Scegli una delle sei carte riportate qui. 3. Chiudi gli occhi e pensa intensamente alla carta scelta (e solo a essa). 4. Togli il foglio e guarda le carte. Sorpresa! Dal precedente gruppo di carte, manca proprio quella che hai scelto tu! Come mai? La spiegazione di questo mistero ha a che fare con quelli che in Matematica vengono definiti insiemi disgiunti. Li incontrerai studiando questa unità. Nel frattempo ti consigliamo di riguardare attentamente i due insiemi di carte qui sopra: potresti già 1 Esploreremo questo mondo poco per volta, in lezioni di due pagine. Leggendo la pagina di sinistra imparerai i concetti che ti servono, cominciando da un problema reale. Nella pagina di destra metti subito alla prova quello che hai imparato, con esercizi che aprono una finestra sulla realtà, ti portano verso il dibattito a confrontarti con i compagni, ti stimolano a usare la creatività, a fare verifiche sperimentali e, infine, a sviluppare le prime competenze. Pagine speciali spiegano i metodi per risolvere i problemi e per applicare le regole. Sono chiavi che aprono tante porte nel mondo della matematica.

11 E giocheremo ancora con la magia dei numeri: giochi spiegati nel dettaglio, che sfruttano i concetti appena imparati e con i quali potrai stupire e divertire. Ma ogni tanto ci fermeremo un momento per incontrare i miei amici e i miei maestri, che con le loro invenzioni hanno cambiato la vita dell umanità, e ci divertiremo ancora, viaggiando in un mondo di scoperte. Affascinanti storie che ti faranno ripensare a ciò che hai studiato da un nuovo punto di vista. E se incontri qualche difficoltà non ti dovrai preoccupare. Genius ti aiuta a recuperare quello che può esserti sfuggito e a capire meglio. Schede di riepilogo facili da consultare e mappe riassumono il percorso essenziale dell unità.

12 Math Genius Presentazione A questo punto sei pronto per andare in palestra. Tanti esercizi, dai più facil i ai più impegnativi, con aiuti e suggerimenti. Gli esercizi del percorso essenziale sono segnalati dal simbolo. Alla fine dell unità avrai toccato un primo importante traguardo: avrai raggiunto gli obiettivi fondamentali che ti permettono di costruire le tue competenze matematiche. Puoi verificarlo con la apposita scheda, che tornerà anche a farti riflettere sul gioco con cui è iniziato il percorso: il cerchio è chiuso! Prima di passare a un nuovo argomento facciamo un rapido controllo? L autoverifica di fine unità ti permette di misurare velocemente le tue conoscenze.

13 La matematica prende il volo: nei Quaderni del tuo corso troverai pagine speciali per arricchire le tue esperienze matematiche, consolidare e potenziare le tue capacità. Approfondimenti, ricerche, enigmi, quesiti per riflettere, ma anche esercizi in inglese e applicazioni della matematica ai problemi della vita quotidiana. Veri e propri laboratori di matematica ti porteranno a sviluppare pienamente le tue competenze: partendo da situazioni reali sarai invitato a lavorare con diversi strumenti e a proporre soluzioni originali. Schede particolari sono dedicate all uso dei come aiuto alla risoluzione di esercizi. Allora, cominciamo? Alla fine, anche la prova Invalsi non sarà più un problema!

14 Math Genius Il libro digitale Le risorse dell ebook In queste pagine ti mostro i contributi digitali che trovi nell ebook, per facilitarti lo studio, allenarti e fare rapidi progressi. Strumenti digitali dell'unità Videolezioni Esercizi di riepilogo Nella prima pagina di ogni unità sono raccolti i bottoni che ti permettono di accedere a tutti i contributi di quell unità. Ritrovi gli stessi bottoni anche nelle pagine interne, quando il contributo è collegato a un contenuto specifico del testo. Autoverifica Esercizio svolto Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale Ogni lezione Imparo Provo del libro di testo è accompagnata nell ebook da una Videolezione, che ne ripercorre i contenuti un passo alla volta, con il supporto di animazioni e una spiegazione audio. Nella parte destra dello schermo puoi sempre consultare definizioni e regole, nella forma di testo scritto e parlato, e divertirti con un breve quiz illustrato. Alla fine della videolezione trovi semplici esercizi per verificare se hai capito.

15 Per ogni unità trovi batterie di Esercizi di riepilogo interattivi: puoi controllare la correttezza delle tue risposte dopo aver svolto ciascun esercizio e ottenere alla fine un riassunto completo dei risultati dell intera batteria. Se invece vuoi verificare rapidamente il tuo livello di comprensione dei contenuti dell unità puoi svolgere in modalità interattiva l Autoverifica che trovi in fondo all unità del tuo libro di testo. E se hai incontrato difficoltà nello svolgere gli esercizi prova ad attivare quelli segnalati da questo bottone nella Palestra matematica: troverai suggerimenti che ti accompagneranno nella risoluzione e ti aiuteranno ad affrontarne altri. Per guidarti nella risoluzione di problemi ed espressioni, nelle pagine Math Help trovi i video di Math Tutor: un insegnante ti spiega con gradualità, sulla lavagna virtuale, il metodo da seguire e tutti i passaggi necessari. Anche il tuo insegnante potrà valutare i tuoi progressi tramite la piattaforma digitale, attraverso gli Esercizi per la classe virtuale.

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17 Unità 1 Scopriamo... gli insiemi Strumenti digitali dell'unità Videolezioni Esercizi di riepilogo Autoverifica Esercizi BES Esercizi per la classe virtuale IL GIOCO DI GENIUS TELEPATIA CARTACEA 1. Copri con un foglio la parte inferiore di questa pagina sotto la riga di puntini. 2. Scegli una delle sei carte riportate qui. 3. Chiudi gli occhi e pensa intensamente alla carta scelta (e solo a essa). 4. Togli il foglio e guarda le carte. Sorpresa! Dal precedente gruppo di carte, manca proprio quella che hai scelto tu! Come mai? La spiegazione di questo mistero ha a che fare con quelli che in Matematica vengono definiti insiemi disgiunti. Li incontrerai studiando questa unità. Nel frattempo ti consigliamo di riguardare attentamente i due insiemi di carte qui sopra: potresti già scoprire cose interessanti Se vuoi conoscere subito la risposta vai a p. 21 1

18 1.1 IMPARO... Concetto di insieme Quale dei seguenti è un insieme in senso matematico? - le capitali europee - I libri interessanti di una biblioteca Videolezione PENSA In matematica, per poter parlare di insieme occorre che le persone, gli animali, gli oggetti che ne fanno parte, detti elementi, siano distinti l uno dall altro e ben definiti (cioè certi). In pratica, si deve poter stabilire con assoluta certezza se un elemento appartiene o no all insieme considerato. Quindi Formano un insieme nel senso matematico: la tua famiglia, e tu sei un elemento di tale insieme; le città europee, e Palermo, Vienna, Parigi,..., sono elementi di tale insieme. I libri interessanti di una biblioteca, invece, non formano un insieme perché non è possibile stabilire con certezza quali tra essi appartengono all insieme considerato. Infatti, questo giudizio è soggettivo, cioè varia da persona a persona. Un insieme, in senso matematico, è un raggruppamento di elementi distinti l uno dall altro, tale da poter dire con precisione se un certo elemento, comunque scelto, appartenga o no al raggruppamento considerato. Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto: A, B, C,... e ogni suo elemento con una lettera minuscola: a, b, c,... oppure con il suo nome o con il suo simbolo. Per esempio, l insieme delle dita di una mano può essere indicato con la lettera A e i suoi elementi: pollice, indice, medio, anulare, mignolo con le lettere a, b, c, d, e. e d A c b a Per indicare che un elemento a appartiene all insieme A, si scrive: a Œ A, dove il simbolo Œ si legge appartiene a. Per indicare che un elemento a non appartiene all insieme A, si scrive: a œ A, dove il simbolo œ si legge non appartiene a. Per esempio, dato l insieme A delle lettere della parola mare, scriviamo: m A a A r A e A t A Due insiemi si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi (non è importante l ordine in cui essi compaiono). ESEMPIO e Un insieme si dice: finito se i suoi elementi sono in numero limitato (o finito), infinito se i suoi elementi sono in numero illimitato (o infinito), vuoto se è privo di elementi. Un insieme vuoto si indica con il simbolo. ESEMPIO L insieme delle vocali è finito, l insieme delle stelle è infinito, l insieme dei mesi che hanno più di 31 giorni è vuoto. 2 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI

19 PROVO 1 Finestra sulla realtà Completa. L arcobaleno si verifica dopo un temporale quando la luce del sole attraversa le gocce d acqua rimaste in sospensione nell aria. Antonio ne osserva l insieme dei colori. Schematizzando, da un punto di vista matematico l arcobaleno è un di sette. Essi sono: rosso, arancione, giallo,,, indaco, violetto. 2 Alcuni insiemi possono prendere nomi particolari. Completa. a. Un insieme di api si chiama. b. Un è un insieme di pecore. c. Una è un insieme di calciatori. d. Un insieme di aerei si chiama. 3 Riconosci gli insiemi matematici. a. I ragazzi simpatici della tua classe b. I giardini della tua città c. Gli oggetti del tuo zaino d. Le auto più belle di un parcheggio 4 Verso il dibattito Lea afferma che l insieme dei nomi propri di persona è infinito, invece Nico dice che è finito. Secondo te, chi ha ragione? Motiva la tua risposta. LEA NICO Scrivi gli elementi dell insieme delle lettere della parola nuvola. Gli elementi dell insieme dato sono le singole lettere che lo compongono, cioè: n, u, 5 Scrivi gli elementi dell insieme delle lettere della parola pallone. Gli elementi dell insieme delle lettere della parola favola sono f, a, v, o, l. La lettera a è stata scritta una sola volta perché tra loro e quindi non ripetuti. a. Quanti sono?. b. Quante volte hai considerato la lettera l?. c. Perché. 6 Dato l insieme A delle lettere della parola calore, inserisci opportunamente nei quadratini i simboli insiemistici appartiene a oppure non appartiene a. c A a A p A l A o A r A b A e A 7 Considera l insieme dei numeri della tombola. Si tratta di un insieme finito o infinito? Scrivi, usando i simboli appropriati, che i numeri 9 e 50 appartengono a tale insieme e che 91 non appartiene a esso. 8 Scrivi alcuni esempi di insiemi vuoti, nominali con una lettera maiuscola dell alfabeto e poi indicali con il simbolo appropriato. 9 Usa la creatività Osservando la realtà che ti circonda inventa tre esempi di insieme in senso matematico, e scrivi gli elementi di ciascuno di essi. ESERCIZI D P. 14 3

20 1.2 IMPARO... Rappresentazione di un insieme Come possiamo rappresentare l insieme dei colori del semaforo? Videolezione PENSA Potremmo fare un semplice disegno, ma come potremmo far comprendere che consideriamo solo i colori e non altri elementi del semaforo? E poi come ce la caveremmo se gli elementi dell insieme fossero centinaia? Ogni insieme si può rappresentare in tre modi diversi, che descriviamo qui di seguito. Rappresentazione per elencazione o tabulare Questo tipo di rappresentazione consiste nell elencare, tra due parentesi graffe, tutti gli elementi dell insieme dato, separati da una virgola o da un punto e virgola. Per esempio, l insieme A dei colori del semaforo, si indica così: A = {rosso, giallo, verde} Rappresentazione per caratteristica Questa rappresentazione consiste nell individuare una proprietà comune a tutti gli elementi dell insieme. Nel nostro esempio, la caratteristica comune che possiedono gli elementi dell insieme A è quella di essere i colori del semaforo. Quindi si scrive: A = {x x è un colore del semaforo} e si legge: A è l insieme formato da tutti gli elementi x, tali che x è un colore del semaforo. Generalmente, questo tipo di rappresentazione si usa quando gli elementi di un insieme non si possono elencare tutti, perché troppo numerosi. Rappresentazione grafica L insieme dato si può rappresentare anche disegnando una linea semplice chiusa, di qualsiasi forma, all interno della quale si scrivono gli elementi dell insieme contrassegnati da un punto. Tale tipo di disegno è chiamato diagramma di Eulero-Venn: A rosso giallo verde nero Gli elementi situati all interno della linea chiusa appartengono all insieme A, mentre quelli situati fuori della linea stessa non appartengono all insieme considerato. Così nella figura si osserva che il colore nero non appartiene all insieme dei colori del semaforo. 4 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI

21 PROVO 1 Finestra sulla realtà Quale insieme è rappresentato con il diagramma di Eulero-Venn qui in basso? Fai una rappresentazione per caratteristica. Rappresenta nello stesso modo l insieme dei mesi di 30 giorni e quello dei mesi di 31 giorni. A luglio giugno febbraio gennaio maggio dicembre aprile marzo ottobre agosto novembre settembre 2 Completa. La scrittura A = {do, re, mi, fa, sol, la, sib rappresenta per l insieme delle 3 Rappresenta per elencazione ciascuno degli insiemi dati. L insieme A delle lettere della parola vittoria è: A = {v, i, t, o, r, a} Ricorda! Le lettere i e t si scrivono a. b. Lettere del verbo uscire : c. Consonanti della parola arcipelago : d. Sillabe della parola muratore : 4 Leggi la scrittura: A = {x x è un colore dell arcobaleno}. Rispondi alle domande. a. Come si chiama questo tipo di rappresen ta zio ne? b. In quali casi è conveniente usarla? 5 Esprimi i seguenti insiemi con la corrispondente rappresentazione per caratteristica. A = {a, e, i, o, ub A = { x x è una vocale} a. A = {primavera, estate, autunno, invernob b. B = {est, ovest, nord, sudb c. E = {verde, bianco, rossob d. C = {b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, zb 6 Rappresenta i seguenti insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn. a. A = {x a x è una consonante della parola vitello b b. B = {x a x è una vocale della parola aiuto b 7 Rappresenta l insieme A delle province della Sardegna in tre modi diversi: a. per elencazione; A = { b b. per caratteristica; A = {x a b c. con un diagramma di Eulero-Venn. c. C = {x a x è un colore della bandiera italianab d. D = {x a x è un giorno della settimanab SS OR VS CI OT NU OG CA ESERCIZI D P. 15 5

22 1.3 Sottoinsiemi IMPARO... Videolezione PENSA In un gruppetto di cinque ragazze, due si pettinano con la coda. Quanti insiemi puoi individuare in questa descrizione? Noti una relazione particolare tra questi insiemi? Le cinque ragazze formano un insieme, ma anche le due ragazze con la coda formano un insieme. È chiaro tuttavia che queste ultime fanno parte anche del primo insieme. Abbiamo quindi un insieme contenuto in un altro. Se indichiamo con A l insieme di tutte le ragazze del gruppetto e con B l insieme di coloro che si pettinano con la coda, avremo per elencazione gli insiemi: A = {Chiara, Isa, Sara, Elena, Giulia} B = {Chiara, Elena} Osservando attentamente gli elementi dei due insiemi, ci accorgiamo che ogni elemento di B è anche un elemento di A, ma non viceversa. Si dice che l insieme B è un sottoinsieme proprio di A. Si scrive: B Ã A e si legge: B è incluso in A oppure B è un sottoinsieme di A. Il simbolo è il simbolo di inclusione. La rappresentazione grafica di tale situazione mediante diagrammi di Eulero-Venn è la seguente: A B Sara Giulia Isa Elena Chiara Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di A se ogni elemento di B è anche un elemento di A, ma c è almeno un elemento di A che non appartiene a B. ESEMPI Se A = {1, 2, 5, 8, 9, 12} e B = {2, 8, 12} si ha che B A. Se P = {r, a, m, o} e Q = {o, r, a} si ha che Q P. Nota. Dato un qualsiasi insieme, si considerano suoi sottoinsiemi anche l insieme stesso e l insieme vuoto. Questi sono definiti sottoinsiemi impropri. Ogni elemento di un insieme, preso singolarmente, è un ESEMPIO Dato l insieme A = {u, n} i suoi sottoinsiemi propri e impropri sono: { u }{ n } { u, n } propri impropri Se consideriamo gli insiemi: A = {a, l, b, e, r, o} e B = {l, a, t, o}, osserviamo che B non è un sottoinsieme di A perché non tutti i suoi elementi sono compresi in A. Si scrive: B A dove il simbolo si legge non è incluso. Il simbolo è detto di non inclusione. 6 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI

23 PROVO 1 Finestra sulla realtà L euro è un sottoinsieme dell insieme A delle monete. Conosci i nomi di altre monete? Inseriscili nel diagramma. A sterlina B euro 2 Completa. a. L insieme B = {2, 4, 6, 8} è un dell insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. L insieme B = {a, o} non è un dell insieme A = {t, e, l, a}. b. Il simbolo di inclusione è. Il simbolo di non inclusione è. Supponi che tra gli alunni della tua classe, quattro portino gli occhiali da vista. Rappresenta tale situazione con i diagrammi di Eulero-Venn. Indica con A l insieme degli della tua e con B l insieme degli alunni che. Rappresenta graficamente i due insiemi e scrivi in simboli. 3 Considera i seguenti insiemi e segna le relazioni corrette. Attenzione, ce ne sono tre intruse. A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} B = {6, 12, 18, 24, 30} C = {12, 18, 24} B C C A A B B A A C C B 4 Scrivi tre sottoinsiemi propri dell insieme A = {cane, gatto, elefante, giraffa, tigre, leone}. 5 Dato l insieme A = {x x è un mese dell anno} costruisci tre suoi sottoinsiemi propri e rappresentali con i diagrammi di Eulero-Venn. 6 Osservando la realtà che ti circonda o prendendo esempi dalle scienze, dalla geografia, dalla storia o da altre discipline, individua tre insiemi con sottoinsiemi. 7 Verso il dibattito Nico dice che i sottoinsiemi propri e impropri dell insieme A = {s, e, i} sono 6, invece Lea dice che sono 8. Chi ha ragione? Discuti con i compagni. LEA NICO ESERCIZI D P. 16 7

24 1.4 IMPARO... Intersezione e unione di insiemi Sandro, Giulio, Luca, Francesco e Leo giocano a calcio; Sandro e Luca giocano anche a tennis, insieme a Claudio ed Enrico. Quanti insiemi puoi individuare in questa descrizione? Noti una relazione particolare tra questi insiemi? Videolezione Appare subito che Sandro e Luca praticano entrambi gli sport. PENSA Appartengono quindi a entrambi gli insiemi. Rappresentiamo i due insiemi precedenti: A = {Sandro, Giulio, Luca, Francesco, Leo} B = {Sandro, Claudio, Enrico, Luca} Appare subito che Sandro e Luca, i cui nomi sono evidenziati in viola, praticano entrambi gli sport. I due elementi comuni ad A e B formano il nuovo insieme C = {Sandro, Luca}, che si chiama intersezione di A e B. Si scrive: C = A B, dove il simbolo si legge intersezione. L intersezione di due o più insiemi è data dall insieme degli elementi comuni a essi. La rappresentazione grafica dell intersezione dei due insiemi A e B mediante diagrammi di Eulero- Venn è la seguente: C Gli elementi comuni A B si scrivono nella Giulio Sandro Claudio parte comune Francesco ai due insiemi. Luca Enrico Nella figura, Leo l intersezione di A e B è di colore verde. Ora consideriamo gli insiemi: A = {bianco, nero, verde} e B = {blu, giallo} È facile verificare che essi non hanno elementi in comune; pertanto la loro intersezione è un insieme vuoto. In casi come questo i due insiemi A e B si dicono disgiunti e per indicarli si usa la scrittura: A B = Graficamente, si disegnano i relativi diagrammi separati l uno dall altro. Unione di insiemi L unione di due insiemi è l insieme che contiene tutti i loro elementi, presi una sola volta. ESEMPIO A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Si scrive: A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 8 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI

25 PROVO 1 Gli insiemi A e B hanno tre elementi in comune. Quali sono? Evidenziali con un colore. Come si chia ma l insieme che essi formano? A = {rosa, giglio, orchidea, garofano} B = {rosa, tulipano, garofano, ciclamino, giglio} 2 Completa. L intersezione di due insiemi A e B è formata dagli elementi a essi. 3 Riconosci le seguenti scritture e leggile ad alta voce. C = A B D E = F C D = 4 Evidenzia con un colore gli elementi che costituiscono l insieme C, intersezione di A e B e completa: A = {a, b, c, d, e, f, g, h} B = {i, a, d, t, h, g, o} C = A B = { } 5 Osserva le figure e in ciascun caso scrivi da quali elementi è formata l intersezione degli insiemi rappresentati. Usa il simbolo appropriato. C R A 4 13 B P s Q 1 t i f e o n r l z Considera gli insiemi A = {x x è una lettera della parola finestra } e B = {x x è una lettera della parola foresta }. Scrivi gli elementi che costituiscono ciascun insieme e quelli che formano l intersezione di A e B. Posiziona questi ultimi nell insieme C = A B. C A = {f, i, } A B B = {f, o, } 6 I due insiemi A = {io, tu, egli} e B = {mio, tuo, suo} sono disgiunti. Sai spiegare il perché? Completa. A B = A B = 7 Considera gli insiemi A = {x x è un animale carnivoro} e B = {x x è un animale erbivoro} Come sono tra loro? Rappresentali con i diagrammi al primo insieme e cinque al secondo. Prime competenze 8 Dati gli insiemi A = {a, b, c, d} e B = {e, c, d, f}, rappresenta per elencazione l insieme A B. ESERCIZI D P. 18 9

26 1 UNITÀ Storie della matematica L'infinita leggerezza dei numeri 10

27 Rifletti e prova Sin dall antichità l idea di infinito ha affascinato l umanità. Si tratta tuttavia di un concetto non facile da immaginare. Siamo abituati a pensare le cose in quantità finita anche se numerosa. E tu sei in grado di distinguere il finito dall infinito? Per capirlo, prova a rispondere correttamente a queste domande: se potessimo dividere l infinito in due, che cosa otterremmo? I numeri sono finiti o infiniti? I numeri naturali compresi tra 1 e 10 sono finiti o infiniti? 11

28 1 UNITÀ Math Help In questa mappa sono sintetizzati i contenuti essenziali dell unità. Il percorso essenziale prosegue nella Palestra matematica con gli esercizi di base contrassegnati dal simbolo CONCETTO DI INSIEME Un insieme è un raggruppamento di persone, animali, oggetti detti elementi, distinti l uno dall altro e ben definiti. Per esempio, forma un insieme la tua classe, e tu sei un elemento di tale insieme. Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto A, B, C ; un elemento con una lettera minuscola (a, b, c ). Per indicare che un elemento a appartiene all insieme A, si scrive: a Œ A, dove il simbolo Œ si legge appartiene a. Per indicare che un elemento a non appartiene all insieme A, si scrive: a œ A, dove il simbolo œ si legge non appartiene a. Un insieme si dice: finito se i suoi elementi sono limitati infinito se i suoi elementi sono infiniti vuoto se è privo di elementi Rappresentazione per elencazione o tabulare In questo tipo di rappresentazione gli elementi dell insieme si elencano tra due parentesi graffe separati da una virgola o da un punto e virgola. Per esempio, l insieme A dei colori del semaforo si indica: A = {rosso, giallo, verde} Rappresentazione per caratteristica Si basa sull individuazione di una proprietà comune a tutti gli elementi di un insieme. Per esempio, l insieme dei colori del semaforo si indica: A = {x a x è un colore del semaforo} e si legge: A è l insieme formato da tutti gli elementi x, tali che x è un colore del semaforo. 12 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI

29 Math Help SOTTOINSIEMI B Un insieme B si dice sottoinsieme di A se ogni Bianco Nero elemento di B è anche un elemento di A. Per esempio: A = l insieme dei colori e B = l'insieme dei colori del semaforo. Si scrive B A e si legge B è incluso in A. Se non tutti gli elementi di un insieme B sono inclusi in un insieme A, si scrive B A. Per esempio: B = i colori del semaforo e A = i colori della bandiera italiana. Si scrive B A. A Azzurro Rosso Verde Giallo INTERSEZIONE DI INSIEMI L intersezione di due o più insiemi è data dall insieme degli elementi comuni. Per esempio: Se A = {Leo, Giulio, Francesco, Sandro, Luca} è l insieme dei ragazzi che giocano a calcio e B = {Claudio, Enrico, Sandro, Luca} è l insieme di quelli che giocano a tennis, Sandro e Luca formano il nuovo insieme C intersezione di A e B. Si scrive: C = A B e si rappresenta graficamente: A Giulio Francesco Leo C Luca Claudio Sandro Enrico B Rappresentazione grafica In questo tipo di rappresentazione si scrivono gli elementi dell insieme dentro una linea chiusa e si contrassegnano con un punto. Gli elementi situati fuori dalla linea chiusa non appartengono all insieme. Per esempio, l insieme dei colori del semaforo si rappresenta: A rosso giallo verde nero UNIONE DI INSIEMI L unione di due insiemi è l insieme che contiene tutti i loro elementi presi una sola volta. Esempio: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Si scrive: A B ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 13

30 1 UNITÀ Palestra matematica Concetto di insieme [U1.1 D p. 2] RICORDA Si dice insieme un raggruppamento di elementi distinti l uno dall altro e definiti in modo tale che si possa stabilire con assoluta certezza se un elemento appartiene (simbolo Œ) o non appartiene (simbolo œ) all insieme considerato. Un insieme si dice finito se i suoi elementi sono in numero limitato, infinito in caso contrario, vuoto se è privo di elementi (simbolo ). 1 Stabilisci quali delle seguenti frasi definiscono un insieme nel senso matematico. a. i punti cardinali. SÌ no b. le stagioni dell anno. SÌ no c. i pianeti del Sistema Solare. SÌ no d. gli oggetti che si trovano nel tuo zaino. SÌ no e. i numeri grandi. SÌ no f. i numeri del lotto. SÌ no g. i palazzi più alti. SÌ no h. i francobolli della tua collezione. SÌ no i. gli animali carnivori. SÌ no l. le canzoni sentimentali. SÌ no 2 Scrivi gli elementi che formano l insieme: a. dei nomi dei tuoi nonni b. delle note musicali c. dei mari che bagnano l italia d. delle province della Toscana e. dei nomi delle dita di una mano f. dei colori dell arcobaleno g. dei satelliti della Terra 3 Scrivi un insieme che abbia sette elementi. 4 Completa le frasi, poi scrivi a fianco il simbolo appropriato (Œ o œ). a. il mar ionio appartiene all insieme dei che bagnano l italia. b. la geografia appartiene all insieme delle di studio. c. il gatto non appartiene all insieme dei bipedi. d. il Volga appartiene all insieme dei europei. e. maggio appartiene all insieme dei dell anno. f. la farfalla appartiene all insieme degli con 6 zampe. g. il mar Baltico non appartiene all insieme dei che bagnano l'italia. h. Federica non appartiene all insieme dei maschili. i. la Stella polare appartiene all insieme delle dell orsa minore. 5 Facendo riferimento alla figura, stabilisci se i punti A, B, C, T, R, S, P, Q appartengono o non appartengono alle linee m ed n. Inserisci poi i simboli insiemistici di appartiene o non appartiene. m n P Q R A S C B T P m B n C n R n A m T m S n P n S m Q n 14 U1 Scopriamo... gli insiemi

31 Palestra matematica 6 Dato l insieme A formato dai mammiferi, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false. cane A pipistrello A topo A foca A pinguino A balena A delfino A 7 Scrivi tre esempi di insiemi finiti, tre di insiemi infiniti e tre di insiemi vuoti. Rappresentazione di un insieme [U1.2 D p. 4] RICORDA L insieme A dei giorni della settimana si può rappresentare così: per elencazione (o rappresentazione tabulare): A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} per caratteristica: A = {x x è un giorno della settimana} con un diagramma di Eulero-Venn: A domenica martedì sabato giovedì venerdì lunedì mercoledì 8 Rappresenta per elencazione l insieme R delle regioni italiane. 9 Fai una rappresentazione tabulare dell insieme: a. dei numeri della tastiera di un telefono cellulare; b. dei numeri del quadrante di un orologio; c. dei valori delle monete metalliche. 10 Scrivi la proprietà caratteristica degli elementi presenti nei seguenti diagrammi di Eulero-Venn. A Bari Taranto Brindisi Foggia Lecce B Terni Perugia A = {x x } B = {x x } 11 Quali dei seguenti insiemi non si possono rappresentare per proprietà caratteristica? Motiva la risposta. A = {gatto, penna, biglia} B = {Potenza, Matera} C = {3, 4, 5, 6} D = {r, a, o, t} 12 Completa la rappresentazione grafica sotto, sapendo che: b A n A s A q A t A p A o A i A m A c A A b 15

32 1 UNITÀ Palestra matematica 13 I seguenti insiemi sono rappresentati per elencazione. Individua la proprietà comune agli elementi di ciascuno di essi e rappresentali per proprietà caratteristica. A = {Europa, Asia, Africa, America, Oceania} B = {vista, udito, gusto, olfatto, tatto} C = {cuori, quadri, fiori, picche} D = {Romolo, Numa Pompilio, Tullo Ostilio, Anco Marzio, Tarquinio Prisco, Servio Tullio, Tarquinio il Superbo} E = {Est, Ovest, Nord, Sud} F = {bastoni, coppe, denari, spade} 14 Rappresenta i seguenti insiemi sia per elencazione sia con i diagrammi di Eulero-Venn. A = {x x è una provincia della Sardegna} B = {x x è un mese dell anno che inizia con la lettera g} C = {x x è una capitale europea} D = {x x è una cifra del numero } E = {x x è un mammifero che vive nell acqua} F = {x x è un mese di 31 giorni} G = {x x è una consonante della parola aritmetica } Sottoinsiemi [U1.3 D p. 6] RICORDA Un insieme B si dice sottoinsieme di A se ogni elemento di B è anche un elemento di A. Il simbolo di inclusione è. L insieme vuoto e l insieme stesso si chiamano sottoinsiemi impropri di A, mentre gli altri si dicono sottoinsiemi propri. 15 Considera l insieme dei mesi dell anno e l insieme dei mesi che iniziano con la lettera M. Rappresenta i due insiemi con un diagramma di Eulero-Venn. 16 Le seguenti coppie di insiemi sono tali che B è un sottoinsieme di A. Rappresenta ciascuna di esse con i diagrammi di Eulero-Venn. a. A = {x x è un pittore} B = {Raffaello, Picasso, Caravaggio} b. A = {x x è un fiore} B = {rosa, giglio, garofano, margherita} c. A = {x x è un anfibio} B = {rana, rospo, tritone} 17 Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn che l insieme B dei mammiferi che volano e l insieme C dei mammiferi che vivono nell acqua sono sottoinsiemi dell insieme A di tutti i mammiferi. L insieme B dei mammiferi che dell insieme A di tutti i mammiferi. 16 U1 SCOPRIAMO... GLI INSIEMI