ESERCITAZIONE NR. 4 Tabelle a doppia entrata, indipendenza statistica e connessione, dipendenza

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1 ESERCITAZIOE R. 4 Tabelle a doppia entrata, indipendenza statistica e connessione, dipendenza ESERCIZIO nr. I produttori di un canale televisivo di televendite trasmesso in diretta nazionale sono interessati a lanciare un nuovo marchio di strumenti da cucina presentando come articolo di punta un set per la preparazione di biscotti. el giorno del lancio, il prodotto in questione viene proposto durante tre ore di diretta dedicate ad articoli per la cucina condotte da tre presentatori differenti unitamente ad un dimostratore che prepara i biscotti servendosi di teglie da forno antiaderenti giá presentate in altre televendite trasmesse sullo stesso canale. L obiettivo dei produttori é cercare di vendere il piú possibile in abbinata il set per fare i biscotti e la teglia da forno e capire se la scelta di un differente presentatore possa influenzare i clienti nell acquisto. A tal fine, i clienti che per la prima volta hanno effettuato un ordine d acquisto contattando il call center durante le tre ore dedicate alla cucina in questione sono stati classificati sulla base del presentatore in onda durante l effettuazione dell ordine (Verdiana, Monica, Roberto) e sulla base della composizione dell ordine (contenente il solo set per biscotti, la sola teglia da forno, entrambi i prodotti o nessuno dei due). I risultati della rilevazione sono stati sintetizzati come segue: Solo set biscotti Solo teglia da forno Entrambi i prodotti essuno dei due Verdiana Monica Roberto Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti:. si identifichino i fenomeni statistici di interesse, esplicitandone la natura e la popolazione statistica considerata, determinandone la numerositá; si precisi altresí la natura della sintesi dei dati grezzi proposta dal testo dell esercizio I fenomeni statistici di interesse sono: X: presentatore dell ora di televendita dedicata agli articoli per la cucina al momento dell ordine, Y : composizione dell ordine; X e Y sono ambedue fenomeni statistici qualitativi categoriali. La popolazione statistica considerata é: U: clienti che per la prima volta hanno contattato il call center per effettuare un ordine d acquisto durante le tre ore di diretta dedicate alla cucina nel giorno del lancio del set per la preparazione dei biscotti.

2 Poiché la sintesi dei dati grezzi proposta dal testo dell esercizio é la tabella a doppia entrata recante i risultati della rilevazione congiunta di X e Y su U e rappresentante la variabile statistica doppia in esame, ossia: (X, Y ) {(x i, y j, f ij ), i, 2, 3, j, 2, 3, 4 : 3 4 f ij }, i j ai fini della determinazione della numerositá di U é sufficiente sommare le frequenze assolute congiunte associate a tutte le possibili combinazioni di modalitá con cui i due fenomeni in questione si sono manifestati su U; risulta dunque: 3 4 f ij f + f 2 + f 3 + f 4 + i j + f 2 + f 22 + f 23 + f f 3 + f 32 + f 33 + f Si noti che ai fini del trattamento di una doppia sommatoria quale quella appena esplicitata é sufficiente: a. fissare il valore dell indice della prima sommatoria nel primo valore disponibile facendo scorrere i valori dell indice della seconda sommatoria, b. fissare il valore dell indice della prima sommatoria nel secondo valore disponibile facendo scorrere i valori dell indice della seconda sommatoria, c. fissare uno dopo l altro i restanti valori disponibili per l indice della prima sommatoria facendo scorrere ogni volta i valori dell indice della seconda sommatoria. In effetti, nel presente caso, si é dapprima fissato l indice i (indice della prima sommatoria) nel suo primo valore disponibile,, per poi scorrere i valori dell indice j da a 4 (sommando dunque le frequenze congiunte f, f 2, f 3, f 4 ) e analogamente per i valori 2 e 3 di i. 2. Si determinino le distribuzioni di frequenza assoluta e relativa marginali dei due fenomeni statistici in questione (ove necessario, si mantengano nei calcoli tre cifre dopo la virgola) Sommando per righe le frequenze congiunte di X e Y su U, si perviene alla determinazione della distribuzione di frequenza assoluta marginale di X su U e, conseguentemente, dividendo per (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio), alla distribuzione di frequenza relativa marginale di X su U, che risultano come segue:

3 x i f i. 4 j f ij p i. f i. / Verdiana f Monica f Roberto f ove: f. 4 f j f + f 2 + f 3 + f 4 j , f 2. 4 f 2j f 2 + f 22 + f 23 + f 24 j , f 3. 4 f 3j f 3 + f 32 + f 33 + f 34 j Analogamente, sommando per colonne le frequenze congiunte di X e Y su U, si perviene alla determinazione della distribuzione di frequenza assoluta marginale di Y su U e, conseguentemente, dividendo per (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio), alla distribuzione di frequenza relativa marginale di Y su U, che risultano come segue: ove: y j f.j 3 i f ij p.j f.j / Solo set biscotti f Solo teglia da forno f Entrambi i prodotti f essuno dei due f f. 3 f i f + f 2 + f 3 i ,

4 3 f.2 f i2 f 2 + f 22 + f 32 i , f.3 f.4 3 f i3 f 3 + f 23 + f 33 i , 3 f i4 f 4 + f 24 + f 34 i Alla luce di quanto determinato ai punti e 2, si completi opportunamente la tabella proposta dal testo dell esercizio Riportando nell angolo in basso a destra della tabella a doppia entrata in questione la numerositá di U, la distribuzione di frequenza assoluta marginale di X su U come ultima colonna e la distribuzione di frequenza assoluta marginale di Y su U come ultima riga, si ottiene quanto richiesto dal testo del quesito: Solo set Solo teglia Entrambi essuno biscotti da forno i prodotti dei due f i. Verdiana Monica Roberto f.j Si determinino le distribuzioni di frequenza della composizione dell ordine condizionate ai presentatori (ove necessario, si mantengano nei calcoli tre cifre dopo la virgola) Trattasi di determinare le distribuzioni di frequenza di Y x i, i, 2, 3. ella fattispecie, la distribuzione di frequenza di Y x, ossia la distribuzione di frequenza della composizione dell ordine condizionata al presentatore Verdiana si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di Y nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá x di X, dunque di numerositá f. 204 e risulta come segue (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio): y j f j /f. Solo set biscotti f /f. 5/ Solo teglia da forno f 2 /f. 68/ Entrambi i prodotti f 3 /f. 7/ essuno dei due f 4 /f. 4/

5 La distribuzione di frequenza di Y x 2, ossia la distribuzione di frequenza della composizione dell ordine condizionata al presentatore Monica si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di Y nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá x 2 di X, dunque di numerositá f e risulta come segue (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio): y j f 2j /f 2. Solo set biscotti f 2 /f 2. 89/ Solo teglia da forno f 22 /f 2. 78/ Entrambi i prodotti f 23 /f 2. 5/ essuno dei due f 24 /f 2. 28/ Infine, la distribuzione di frequenza di Y x 3, ossia la distribuzione di frequenza della composizione dell ordine condizionata al presentatore Roberto si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di Y nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá x 3 di X, dunque di numerositá f e risulta come segue (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio): y j f 3j /f 3. Solo set biscotti f 3 /f 3. 7/ Solo teglia da forno f 32 /f 3. 48/ Entrambi i prodotti f 33 /f 3. 75/ essuno dei due f 34 /f 3. 9/ In conclusione, le distribuzioni di frequenza di Y x i, i, 2, 3, risultano: y j f j /f. f 2j /f 2. f 3j /f 3. Solo set biscotti Solo teglia da forno Entrambi i prodotti essuno dei due Ricorrendo a quanto determinato al punto 4, si dica se tra presentatore e composizione dell ordine non esiste alcuna relazione statistica Dall ultima tabella proposta in sede di risoluzione del quesito precedente, risulta evidente che le distribuzioni di frequenza di Y condizionate dalle tre modalitá di X su U risultano differenti tra loro; esse risultano altresí differenti dalla distribuzione di frequenza relativa marginale di X su U, determinata al punto 2. Si deve dunque concludere che il presentatore alla conduzione dell ora di televendita dedicata agli articoli per la cucina influenzi la composizione dell ordine d acquisto dei nuovi clienti; equivalentemente, non vi é indipendenza statistica tra i due fenomeni in questione su U, tra essi esiste una relazione statistica in U, ossia sono connessi in U.

6 6. Si dia conferma della conclusione tratta al punto 5 determinando la tabella teorica di indipendenza statistica (ove necessario, si mantengano nei calcoli tre cifre dopo la virgola) La frequenza teorica di indipendenza statistica associata alla generica coppia di modalitá (x i, y j ) di X e Y in U risulta, i, 2, 3 e j, 2, 3, 4: f ij f i. f.j. Ció premesso, la tabella teorica di indipendenza statistica di X e Y risulta (mantenendo nei calcoli tre cifre dopo la virgola, come suggerito dal testo dell esercizio) come segue: Solo set Solo teglia Entrambi i essuno dei f biscotti da forno prodotti due i. Verdiana f f f f Monica f f f f Roberto f f f f f.j essendo: f f. f. f 2 f. f.2 f 3 f. f.3 f 4 f. f.4 f 2 f 2. f. f 22 f 2. f.2 f 23 f 2. f.3 f 24 f 2. f.4 f 3 f 3. f. f 32 f 3. f.2 f 33 f 3. f.3 f 34 f 3. f , , , 38.99, , , 85.29, , 66.97, 6.575, 65.70, 44..

7 on ci si deve stupire del fatto che le f ij non siano rappresentate da numeri interi: essendo frequenze teoriche, dunque non osservate, pur essendo frequenze di natura assoluta, possono benissimo non essere intere. Si noti che sommando le frequenze teoriche di indipendenza statistica per righe e per colonne (al pari di quanto avviene con riferimento alle frequenze congiunte osservate) si devono riprodurre le distribuzioni di frequenza marginali di X e Y su U, cosí come sommando la totalitá delle frequenze teoriche si deve riprodurre : é opportuno dunque che i valori riportati per esse nella tabella in questione soddisfino effettivamente a questa proprietá. In definitiva, la tabella delle frequenze teoriche di indipendenza statistica di X e Y risulta profondamente differente dalla tabella a doppia entrata riscontrata nel caso in esame: ció conferma la conclusione tratta al punto Si misuri la connessione presente tra i due fenomeni statistici considerati nella popolazione in esame servendosi di quanto determinato al punto 6, dando cosí conferma della conclusione tratta ai punti 5 e 6 Quanto richiesto dal testo del quesito é il calcolo del χ 2 tramite il ricorso alla relativa definizione, che é per l appunto basata su quanto determinato al punto 6, ossia la distribuzione delle frequenze teoriche di indipendenza statistica di X e Y : χ 2 ( 3 4 fij fij) 2. i j f ij Procedendo per righe, i contributi delle coppie di modalitá (x i, y j ) di X e Y in U alla definizione del χ 2 risultano: (f f ) 2 f ( ) (57.837) , (f 2 f 2) 2 f 2 (f 3 f 3) 2 f 3 (f 4 f 4) 2 f 4 (f 2 f 2) 2 f 2 (f 22 f 22) 2 f 22 (f 23 f 23) 2 f 23 (f 24 f 24) 2 f 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.442) , ( 39.08) ( 34.99) , , (2.34) , (.867) ( 70.29) , , (69.952) ,

8 In definitiva: (f 3 f3) 2 f 3 (f 32 f 32) 2 f 32 (f 33 f 33) 2 f 33 (f 34 f 34) 2 f 34 ( ) ( ) ( ) (9 44.)2 44. ( 59.97) ( 3.575) (09.299) ( 35.) , , χ , Poiché nel presente caso χ 2 > 0, si conferma quanto concluso nei punti 5 e 6, ossia la presenza di connessione tra X e Y in U. Si supponga ora che con riferimento agli ordini effettuati dai clienti giá presenti nella banca dati del call center si siano ottenuti i seguenti risultati: Solo set biscotti Solo teglia da forno Entrambi i prodotti essuno dei due Verdiana Monica Roberto Si dica se la connessione tra presentatore e composizione dell ordine é piú forte nell ambito della popolazione dei nuovi o dei vecchi clienti, senza passare, con riferimento ai vecchi clienti, attraverso il calcolo della tabella teorica di indipendenza statistica Per rispondere al quesito, si rende anzitutto necessario calcolare la misura di connessione χ 2 tra X e Y nell ambito della nuova popolazione statistica considerata: U 2 : clienti giá noti al call center del canale di televendite in questione che hanno effettuato un ordine d acquisto durante le tre ore di diretta dedicate alla cucina nel giorno del lancio del set per la preparazione dei biscotti. Analogamente a quanto esplicitato nel punto con riferimento a U, U 2 ha numerositá: f ij 832. i j

9 Come richiesto dal testo del quesito, il χ 2 deve essere valutato senza passare attraverso la determinazione della tabella teorica di indipendenza statistica, ossia sulla base della relativa formulazione alternativa, che é come segue: χ 2 ( 3 i 4 j f 2 ij f i. f.j Ai fini del calcolo, é necessaria la determinazione delle distribuzioni di frequenza marginali di X e Y su U 2, ottenibili, al pari di quanto esplicitato in sede di risoluzione del quesito 2, sommando per righe e per colonne rispettivamente le frequenze congiunte riportate nella tabella a doppia entrata proposta dal testo dell esercizio; la tabella cosí completata risulta come segue: Solo set Solo teglia Entrambi essuno biscotti da forno i prodotti dei due f i. Verdiana Monica Roberto f.j Procedendo per righe, i contributi delle 2 celle della tabella a doppia entrata in questione al calcolo del χ 2 basato sulla relativa formulazione alternativa risultano come segue: f 2 52 f. f , f 2 2 f. f , f 2 3 f. f , f 2 4 f. f , f 2 2 f 2. f , f 2 22 f 2. f , f 2 23 f 2. f , f 2 24 f 2. f , f 2 3 f 3. f , f 2 32 f 3. f.2 ) ,.

10 In definitiva: f 2 33 f 3. f , f 2 34 f 3. f χ ( ) 832 (.5924 ) A questo punto, essendo le due popolazioni statistiche considerate caratterizzate da numerositá differenti, ai fini dell identificazione della popolazione statistica nella quale la connessione tra presentatore e composizione dell ordine risulti piú forte, si deve necessariamente ricorrere all indice χ 2 normalizzato. Con riferimento alla popolazione del nuovi clienti, U, risulta: χ 2 χ 2 max min {3, 4 } min {2, 3} , dunque la connessione tra presentatore e composizione dell ordine nella popolazione dei nuovi clienti é pari al 35% circa della connessione massima osservabile tra essi in tale popolazione. Con riferimento alla popolazione del vecchi clienti, U 2, risulta invece: χ 2 χ 2 max min {3, 4 } min {2, 3} , 664 dunque la connessione tra presentatore e composizione dell ordine nella popolazione dei vecchi clienti é pari al 30% circa della connessione massima osservabile tra essi in tale popolazione. In conclusione, la connessione tra presentatore e composizione dell ordine é piú forte nell ambito della popolazione dei nuovi clienti, poiché nell ambito di tale popolazione l indice χ 2 normalizzato assume valore maggiore. ESERCIZIO nr. 2 Il proprietario di un impresa di recente apertura é intenzionato a condurre un indagine interna al fine di investigare la presenza di eventuali fenomeni di bossing e il rischio di stress lavoro-correlato tra i propri dipendenti. A tal proposito, richiede ai propri dipendenti di compilare in forma anonima un questionario inerente vari aspetti della loro condizione lavorativa, tra cui, in particolare, il numero di ore di lavoro straordinario mediamente effettuate al mese con riferimento all ultimo anno e il numero di anni di anzianitá contrattuale presso l impresa in questione. I risultati della rilevazione congiunta dei due fenomeni statistici in questione sono stati sintetizzati come segue:

11 X: lavoro Y : anzianitá contrattuale (anni) straordinario (ore) Ciò premesso, si risponda ai seguenti quesiti:. effettuando il minor numero di conti possibile, si mostri che fra i due fenomeni statistici in esame non puó esservi indipendenza statistica nell ambito della popolazione considerata Si noti che: a. f 4 0, ossia il numero di dipendenti dell impresa in questione che mediamente hanno effettuato non piú di 3 ore di lavoro straordinario al mese e con 4 anni di anzianitá contrattuale é nullo; b. f 3 0, ossia il numero di dipendenti dell impresa in questione che mediamente hanno effettuato tra 8 e 3 ore di lavoro straordinario al mese e con anno di anzianitá contrattuale é nullo. Tali frequenze congiunte nulle, essendo corrispondenti a coppie di modalitá dei due fenomeni in questione le cui frequenze marginali associate sono non nulle, non possono evidentemente eguagliare le corrispettive frequenze teoriche di indipendenza statistica; infatti, risultano: f 4 f. f f 4 e f3 f 3. f f Poiché vi é almeno una frequenza congiunta osservata differente dalla corrispettiva frequenza teorica di indipendenza statistica, non puó esservi indipendenza statistica tra i due fenomeni in questione nella popolazione considerata: X e Y risultano dunque connessi in U. 2. Si determinino le distribuzioni di frequenza del numero di ore di lavoro straordinario condizionate agli anni di anzianitá contrattuale (ove necessario, si mantengano nei calcoli tre cifre dopo la virgola) Trattasi di determinare le distribuzioni di frequenza di X y j, j, 2, 3, 4. ella fattispecie, la distribuzione di frequenza di X y, ossia la distribuzione di frequenza del numero di ore di lavoro straordinario condizionata ad anno di anzianitá contrattuale si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di X nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá y di Y, dunque di numerositá f. 35 e risulta come segue (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio):

12 x i : x l x L f i /f. 0 3 f /f. 25/ f 2 /f. 0/ f 3 /f. 0/35 0 La distribuzione di frequenza di X y 2, ossia la distribuzione di frequenza del numero di ore di lavoro straordinario condizionata a 2 anni di anzianitá contrattuale si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di X nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá y 2 di Y, dunque di numerositá f.2 45 e risulta come segue: x i : x l x L f i2 /f f 2 /f.2 20/ f 22 /f.2 20/ f 32 /f.2 5/45 0. Si noti che nel presente caso é inutile seguire il consiglio del testo del quesito riportando i valori delle frequenze condizionate con tre cifre dopo la virgola: e sono infatti numeri periodici (ossia le cifre dopo la virgola di tali numeri sovrastate da un segmento orizzontale si ripetono infinitamente) e il relativo troncamento a qualunque cifra dopo la virgola non garantirebbe mai somma pari a per le frequenze condizionate in questione. É opportuno dunque evidenziare la natura periodica di tali numeri evitando qualunque tipo di troncamento del relativo allineamento decimale. La distribuzione di frequenza di X y 3, ossia la distribuzione di frequenza del numero di ore di lavoro straordinario condizionata a 3 anni di anzianitá contrattuale si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di X nell ambito della sotto-popolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá y 3 di Y, dunque di numerositá f.3 30 e risulta come segue (mantenendo tre cifre dopo la virgola come suggerito dal testo dell esercizio): x i : x l x L f i3 /f f 3 /f.3 5/ f 23 /f.3 0/ f 33 /f.3 5/ Infine, la distribuzione di frequenza di X y 4, ossia la distribuzione di frequenza del numero di ore di lavoro straordinario condizionata a 4 anni di anzianitá contrattuale si identifica nella distribuzione di frequenza relativa di X nell ambito della sottopopolazione di U costituita dalle unitá statistiche aventi mostrato modalitá y 4 di Y, dunque di numerositá f.4 0 e risulta come segue: x i : x l x L f i4 /f f 4 /f.4 0/ f 24 /f.4 5/ f 34 /f.4 5/0 0.5

13 3. Si mostri che al crescere dell anzianitá contrattuale, mediamente il numero di ore di lavoro straordinario effettuate dai dipendenti aumenta Per rispondere al quesito, si rende necessario determinare le medie di X y j, j, 2, 3, 4 (ossia le medie di X condizionate alle varie modalitá di Y ) e verificare che al crescere di j (ossia al crescere del numero di anni di anzianitá contrattuale) esse aumentino. Emettendo, con riferimento all ignota ripartizione delle frequenze negli intervalli di valori di X, l ipotesi del valore centrale e ricorrendo alla formulazione ponderata della media aritmetica basata sulle frequenze relative, la media aritmetica di X condizionata a y j presenta, j, 2, 3, 4, la seguente espressione: x y j 3 i x i f ij f.j. Ai fini del calcolo delle medie di X condizionate a y e a y 2, puó risultare utile il seguente prospetto: x i : x l x L x i f i /f. x i f i /f. f i2 /f.2 x i f i2 /f da cui risulta evidente che: 3 i x i f i f x y 2.644, 3 i x i f i2 f ossia, mediamente, il numero di ore di lavoro straordinario effettuate dai dipendenti con anno di anzianitá contrattuale é tra 2 e 3 e x y , ossia, mediamente, il numero di ore di lavoro straordinario effettuate dai dipendenti con 2 anni di anzianitá contrattuale é poco piú di 4. Ai fini del calcolo delle medie di X condizionate a y 3 e a y 4, puó risultare utile il seguente prospetto: x i : x l x L x i f i3 /f.3 x i f i3 /f.3 f i4 /f.4 x i f i4 /f da cui risulta evidente che: 3 i x i x y , f i3 f i x i f i4 f.4 8 ossia, mediamente, il numero di ore di lavoro straordinario effettuate dai dipendenti con 3 anni di anzianitá contrattuale é poco piú di 7 e x y 4 8,

14 ossia, mediamente, il numero di ore di lavoro straordinario effettuate dai dipendenti con 4 anni di anzianitá contrattuale é pari a 8. Da quanto ottenuto, risulta evidente che al crescere del numero di anni di anzianitá contrattuale la media del numero di ore di lavoro straordinario effettuate aumenta, infatti: x y ( 2.644) < x y 2 ( 4.278) < x y 3 ( 7.332) < x y 4 ( 8). 4. Si determini la media aritmetica del numero di ore di lavoro straordinario senza ricorrere direttamente alla corrispondente distribuzione di frequenza marginale ma sulla base di quanto determinato al punto 3, precisando la proprietá della media aritmetica utilizzata Come indicato dal testo del quesito, la media aritmetica marginale di X deve essere determinata sulla base di quanto determinato al punto 3, ossia sulla base delle medie di X condizionate alle 4 modalitá di Y. Poiché la popolazione di partenza U puó essere vista come unione delle seguenti 4 sotto-popolazioni individuate dalle altrettante distinte modalitá di Y su U: U : dipendenti dell impresa in questione con anno di anzianitá contrattuale, U 2 : dipendenti dell impresa in questione con 2 anni di anzianitá contrattuale, U 3 : dipendenti dell impresa in questione con 3 anni di anzianitá contrattuale, U 4 : dipendenti dell impresa in questione con 4 anni di anzianitá contrattuale, delle quali sono note le numerositá (rappresentate dalle frequenze assolute marginali di Y ) e le medie di X (ossia le medie di X condizionate a y j, j, 2, 3, 4), la media aritmetica marginale di X, x, puó essere determinata ricorrendo alla proprietá associativa della media aritmetica, che sancisce che x é pari alla media aritmetica ponderata delle medie di X condizionate a y j ( j, 2, 3, 4) assumendo come pesi le numerositá delle sotto-popolazioni di U individuate dalle distinte modalitá y j ( j, 2, 3, 4) di Y, f.j. In definitiva, risulta: x 4 ( x y j ) f.j j ( ) 20 ( ) , dunque, marginalmente al numero di anni di anzianitá contrattuale, mediamente i dipendenti dell impresa in questione hanno effettuato al mese un numero medio di ore di lavoro straordinario di poco inferiore a 5 ore. 5. Sulla base dei risultati ottenuti ai punti 3 e 4, é possibile concludere che il numero di ore di lavoro straordinario dipende in media dal numero di anni di anzianitá contrattuale?

15 La risposta é sí: le medie condizionate di X date le y j, j, 2, 3, 4 (determinate al punto 3) sono infatti diverse tra loro e differenti dalla media marginale di X (determinata al punto 4).