Introduzione alle Control Charts e alla statistica robusta

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1 Introduzione alle Control Charts e alla statistica robusta Relatore M. Bazzotti Dalmine,

2 Bibliografia essenziale ISO 17025:2005, chapter ISO :2014 Control Charts Part 1: General Guidelines ISO :2013 Control Charts Part 2: Shewhart control charts ISO :2012. Control charts Part 3: Acceptance control charts ISO :2011. Control charts Part 4: Cumulative sum charts ISO 7873:1993 Control charts for arithmetic average with warning limits ISO/TS 13530:2009. Water quality Guidance on analytical quality control for chemical and physicochemical water analysis

3 Corso ANGQ : Calcolo dell'incertezza di misura nelle prove elettriche L'utilizzo delle carte di controllo per assicurare la qualità dei risultati di prova

4 ISO/IEC 17025:2005 Requirements 5.9 Assuring the quality of test and calibration results The laboratory shall have quality control procedures for monitoring the validity of tests and calibrations undertaken. The resulting data shall be recorded in such a way that trends are detectable and, where practicable, statistical techniques shall be applied to the reviewing of the results.

5 ISO/IEC 17025:2005 Requirements [5.9.1] This monitoring shall be planned and reviewed and may include, but not be limited to, the following: a) regular use of certified reference materials and/or internal quality control using secondary reference materials; b) participation in interlaboratory comparison or proficiency-testing programmes; c) replicate tests or calibrations using the same or different methods; d) retesting or recalibration of retained items; e) correlation of results for different characteristics of an item Quality control data shall be analysed and, where they are found to be outside pre-defined criteria, planned action shall be taken to correct the problem and to prevent incorrect results from being reported.

6 ISO : nd Ed.

7 Bisogno delle Control Chart Le Carte di controllo sono uno strumento fondamentale di controllo statistico di processo (SPC). Esse forniscono un metodo grafico semplice utilizzabile per 1. indicare se il processo è stabile, cioè operante all'interno di un sistema stabile di cause random (casuali), noto anche come di variabilità intrinseca e indicato come «stato di controllo statistico» 2. stimare l'ampiezza della variabilità intrinseca del processo.

8 Carta di controllo Grafico completo di limiti di controllo sul quale è tracciata una misura statistica di una serie ordinata di campioni per gestire il processo rispetto a detta misura limite di controllo o CL = Control Limit: valore statistico che definisce un livello di stabilità previsto per una certa caratteristica Di solito esistono 1 o 2 limiti, superiore e inferiore: UCL=upper CL ; LCL= lower CL.

9 Z-chart Z-chart è la carta di controllo per dati continui (variabile) per valutare il processo in termini del sottogruppo standardizzato variato normale: z = (valore - target) / dispersione trasforma i dati in una distribuzione normalizzata con deviazione standard unitaria

10 Simboli n subgroup size [taglia del sottogruppo] p proportion or fraction of units R subgroup range R average of subgroup ranges s subgroup standard deviation s average of subgroup standard deviations x individual value x average of subgroup individual values

11 Processo sotto controllo In sostanza, quando un processo è «sotto controllo statistico» («in control») è possibile prevedere in modo affidabile il comportamento di tale processo, mentre quando cause speciali (o assegnabili) entrano nel sistema, il processo è soggetta ai risultati di queste cause e il risultato non può essere previsto senza informazioni circa la loro presenza e l'effetto.

12 Processo fuori controllo Un processo che non si trovi in stato di controllo statistico è detto di essere «fuori controllo» e richiede un intervento per riportarlo in tale stato. La carta di controllo serve semplicemente a identificare una mancanza di controllo.

13 Stabilità e instabilità Variazioni dovute a cause occasionali o casuali avvengono in modo casuale e si trovano di solito a obbedire certe leggi statistiche. In sostanza, quando un processo è "in controllo statistico" è possibile prevedere in modo affidabile il comportamento di tale processo. Invece quando cause speciali (o assegnabili) entrano nel sistema, il processo è soggetto agli effetti di queste cause e il risultato non può essere previsto senza informazioni circa la loro presenza e l entità dell effetto.

14 Accettanza di un processo Le carte di controllo possono anche essere usate per valutare l'accettabilità di un processo. Quando il processo è in controllo statistico, è possibile determinare, con rischi controllati di errori decisionali, se l'uscita del processo soddisfa o meno i requisiti di prodotto o servizio. Questo è più efficace quando la variabilità del processo è piccola rispetto alla tolleranza definita dalle specifiche.

15 Shewhart Cart Dr. Walter Shewhart, 1924 padre della carta di controllo come mezzo grafico per l'applicazione dei principi statistici al controllo di processo. Riconosce due tipi di variabilità. 1) variabilità casuale dovuto a «casualità» (cause comuni o naturali) che sono insite e incontrollabili. La somma dei contributi di tutti questi cause casuali identificabili è misurabile e si presume essere intrinseca al processo => si convive.

16 Shewhart Cart 2) «cause speciali» di variabilità che sono innaturali, sistematiche e controllabili. Il cambiamento può essere loro attribuito se si scopre che non fanno parte integrante del processo. Esse possono, almeno teoricamente, essere eliminate. Questo tipo di variabilità rappresenta un cambiamento reale del processo. Le cause possono essere attribuibile a questioni come la mancanza di uniformità in un materiale, uno strumento rotto, difetti di lavorazione o di procedure, prestazioni irregolari di apparecchiature, o cambiamenti ambientali.

17 Processo sotto controllo Un processo è detto di essere in controllo statistico, o semplicemente «sotto controllo», quando varia solo per «cause naturali». Quando si determina questo livello di variabilità, si può assumere che ogni deviazione da esso sia il risultato di cause speciali che devono essere identificate ed eliminate.

18 Carte continue e discrete Le carte di controllo possono essere utilizzati sia per dati «variabili» o per «attributi». I dati variabili rappresentano osservazioni su una scala continua di misura. Attributi dati rappresentano osservazioni (classificate o numerabili) ottenuti notando la presenza (o assenza) o la frequenza di occorrenza di alcune caratteristiche (ottenute da conteggio). I risultati sono poi espressi in termini di frequenze o proporzioni. I due tipi differiscono per la diversa distribuzione statistica: GAUSSIANA o di POISSON.

19 Grafico di Shewhart consente di visualizzare una misura statistica ottenuta da dati variabili o attributi. La carta di controllo richiede dati da sottogruppi razionali da prendere ad intervalli approssimativamente regolari dal processo.

20 Limiti della carta di Shewhart I limiti di controllo (UCL e LCL) sulla carta di Shewhart sono posti a distanza di 3 sigma da ambo i lati della linea centrale (CL), dove sigma è la deviazione standard della popolazione (nota o stimata).

21 3 σ = 99,7% [Gaussiana] Sotto l'assunto che la statistica sia distribuita normalmente il limite 3 sigma indica che il 99,7% dei valori sarà incluso entro i limiti di controllo, purché il processo sia sotto controllo statistico. Interpretato in un altro modo, vi è un rischio dello 0,3%, ovvero una media di tre volte su 1000, che il punto sia oltre l UCL o il LCL.

22 Fase 1 e Fase 2 Fase 1: stadio iniziale in cui si raccolgono dati storici per popolare la nostra carta di controllo e tracciare le linee di controllo (LC, UCL, LCL) Fase 2: stadio di mantenimento in cui si ottengono ulteriori dati dal processo per mantenere l'affidabilità delle stime dei parametri di uscita. Detta anche «fase di monitoraggio». Quando si individuano cause speciali e si adottano azioni correttive, si eliminano i dati passati e si rideterminano i parametri di controllo ripartendo dalla Fase 1.

23 Fase 1 Si ottiene la migliore stima del misurando dal valore atteso determinando i contributi con statistica di Tipo B (GUM) metodo Bottom-Up: Y f ( X ) f ( X, X,... X ) 1 2 N Poniamo CL= i «valore atteso» e l incertezza tipo u(x i ) dai dati disponibili in letteratura Si espande l incertezza di misura per il C.L. accettato dal Laboratorio (95,5%) usando la distribuzione rettangolare: U( i ) = k p u( i ) ove k p è un fattore di copertura che va individuato (k p =2)

24 Fase 1 - continuazione

25 Fase 1 - continuazione Si traccia il grafico Z-chart dei punti trovati Vm/Va ,01 0, ,010 1,005 [Vcc]m/[Vcc]a 2014 [Vac]m/[Vac]a 2014 UCL 1,000 LCL 0,995 CL 0,990

26 Fase 2 Si ripetono le misure periodicamente e si stimano gli z-score peggiori valutandone i discostamenti: 0 < Z-score < 2 sotto controllo 2 < Z-score < 3 segnale di WARNING Z-score > 3 segnale di ACTION Lo Z-score peggiorativo diventa la «figura di merito» del misurando

27 Amplificatore guastato GUADAGNO AMPLIFICATORE IFI 6189 Freq. [MHz] G [db] 2008 G [db] 2009 G [db] 2010 G [db] 2011 G [db] 2012 G [db] 2013 G [db] 2014 Unc. [db] CL Sigma UCL LCL 80,00 52,59 52,06 52,08 52,30 52,32 53,07 52,27 0,11 52,38 0,35 53,08 51,68 0,280 0,95 1,96 100,00 58,10 57,69 57,67 58,07 57,93 58,87 57,66 0,11 58,00 0,43 58,85 57,14 0,342 0,76 2,04 200,00 52,77 52,29 52,23 53,13 52,90 53,39 52,90 0,11 52,80 0,42 53,64 51,96 0,337 0,17 1,40 300,00 55,22 54,49 54,71 54,26 55,07 55,44 54,38 0,11 54,80 0,45 55,70 53,89 0,362 0,35 1,42 400,00 59,51 58,73 58,68 59,03 58,94 59,19 58,69 0,11 58,97 0,31 59,58 58,35 0,245 0,31 0,73 500,00 58,86 58,46 58,29 59,01 58,98 59,88 58,82 0,11 58,90 0,51 59,92 57,88 0,407 0,87 1,93 600,00 54,16 53,68 53,47 53,78 53,90 54,94 53,94 0,11 53,98 0,47 54,93 53,03 0,380 0,79 2,02 700,00 59,15 58,52 58,33 58,11 58,41 59,52 58,61 0,11 58,66 0,50 59,66 57,67 0,397 0,76 1,73 800,00 56,95 56,56 56,36 56,59 56,85 57,90 56,77 0,11 56,85 0,50 57,86 55,85 0,401 0,76 2,08 900,00 55,56 54,75 54,55 54,60 54,79 55,74 54,73 0,11 54,96 0,48 55,92 54,00 0,385 0,42 1, ,00 59,45 59,03 58,84 59,80 60,00 61,20 59,55 0,11 59,70 0,78 61,25 58,14 0,622 1,94 CONF. norm. RSQ z-scores ,00 60,00 59,00 58,00 57,00 56,00 55,00 54,00 53,00 G [db] ,00 51,00 80,00 800,00 UCL LCL

28 Kiviat Diagram G [db] 1000,00 80,00 61,00 59,00 57,00 100, ,00 800,00 55,00 53,00 51,00 49,00 47,00 200,00 300, UCL 700,00 400,00 LCL 600,00 500,00

29 Esempio del Surge Tensione Vi Unc. Polarità UCL LCL [kv] [db] CL Sigma Min Max ,40-3,60 0,12 1,0098 5,8E-02 0,893 1,126 ANNO Vm / Vi Lim. Sup. Lim. Inf. z-score Min Max ,08 1,10 0,90 1,15 0,893 1, ,98 1,10 0,90-0,51 0,893 1, ,97 1,10 0,90-0,64 0,893 1,126 Vm / Vi a -4 kv - N ,15 1,13 1,11 1,09 1,07 1,05 1,03 1,01 0,99 0,97 0,95 0,93 0,91 0,89 0,87 0, Vm/Vi UCL LCL Min. 2 Sigma Max. 2 Sigma CL

30 Anomalie statistiche

31 Monotonicità

32 Alternanza

33 Due tipi di Carte di controllo Ogni carta di controllo di Shewhart (sia variabili sia attributo) ha due distinte tipologie nel caso: a) non esistono valori prefissati dei parametri di processo; b) esistono valori prefissati dei parametri di processo. Valori prefissati = valori «target» o ottenuti da una autorità (ad es. centro primario di taratura, costruttore, ecc.).

34 Carta di controllo per dati continui Albero decisionale

35 Z-score in Statistica [1/2] La fortuna dello Z-score in statistica è legata alla sua capacità di uniformare i dati provenienti da più distribuzioni e confrontarli grazie alla Standardizzazione statistica. La Standardizzazione statistica è il procedimento che riconduce una variabile aleatoria distribuita secondo una media μ e varianza σ², ad una variabile aleatoria con distribuzione standard, ossia μ=0 e varianza σ=1. Z X

36 Z-Score in Economia Storicamente l indice Z-Score nasce nel 1968 come modello previsionale per studiare la probabilità di fallimento di 66 aziende USA basandosi su solo 8 parametri del loro bilancio Lo Z-Score è un indice che serve per determinare con tecniche statistiche le probabilità P di fallimento di una società: P è alta, se lo Z-Score è < 1,79; P è bassa se lo Z-Score è > 3. L accuratezza (livello di confidenza) è del 95,5 %.

37 Z-score in Statistica [2/2] Il procedimento prevede di sottrarre alla variabile aleatoria la sua media e dividere il tutto per la deviazione standard (σ), ovvero utilizzando la formula utile a trovare i punti zeta (Z-score o Standard score): Z X Quindi Z-score è calcolato per un valore singolo e indica la distanza di quel valore dal valor medio in unità di deviazione standard

38 Proprietà dello Z-score Z-score positivo indica un valore sopra la media Z-score negativo indica un valore sotto la media Z-score è il numero di σ tra X e μ X X Z 0 X X Z 0 Z X Z X

39 Proprietà dello Z-score Z-score crescenti sono valori via via più lontani dalla media X Z cresce al crescere di X Z-score =0 indica la media: X Z 0 X

40 Distribuzione Gaussiana Standard Si immagini di aver calcolato per ogni punto dei dati lo Z-score, si avrà un nuovo set con alcune proprietà: Il valor medio è 0 e la Standard deviation è 1 Lo Z-score di ognuno dei nuovi valori è il valore stesso (Z 0 / 1 = Z) Se i dati originali avevano distribuzione Gaussiana, anche la distribuzione dei loro Z-score è gaussiana: Z-distribution

41 Robustezza statistica La statistica robusta è un campo della statistica che sviluppa metodi per la stima e l'inferenza con buone proprietà di stabilità in presenza di deviazioni dal modello parametrico assunto. Aspetti salienti: Stimatori pesati stima robusta in presenza di valori anomali e dati mancanti.

42 Z-Distribution (Gaussian)

43 Z-Distribution La cosa utile della Z-distribuzione è che i suoi valori (essendo Z-score) possono essere consultati direttamente in Z-tabelle e quindi convertiti in probabilità. Naturalmente, è sempre possibile convertire i valori originali in Z-score, come e quando si desideri

44 Definizione rigorosa Una statistica si dice robusta se produce risultati inferenziali che sono relativamente insensibili a modifiche nelle assunzioni del modello statistico. L'inferenza statistica (o statistica inferenziale) è il procedimento per cui si inducono le caratteristiche di una popolazione dall'osservazione di una parte di essa, detta campione Modello statistico è la famiglia di distribuzione di probabilità che si presume approssimi sufficientemente bene (o addirittura contenga), il meccanismo probabilistico che ha generato i dati disponibili. La specificazione di un modello statistico dipende dall obiettivo dell analisi e dalle informazioni che a priori si hanno sulla popolazione da cui i dati sono tratti e sul tipo di campionamento

45 Esempio di statistica non robusta Esistenza terrena di 6 avi del sig. Rossi V(1)=70 ; V(2)=74 ; V(3)=79 ; V(4)=80 ; V(5)=81 ; V(6)=85 La statistica ha μ= 78,2 e σ = 5,3 Se V(7) = 0 (morte prematura) si avrà una nuova statistica con μ= 67 e σ = 30,0! La statistica è chiaramente NON robusta, in quanto è molto sensibile ad un dato inatteso!

46 Proprietà dello Z-score Z-score può essere un qualsiasi numero intero o frazione senza limiti Z-score si utilizza solo se la distribuzione è simmetrica (come la Gaussiana) Si può convertire Z-Score in probabilità effettiva usando le Z-tables (solo per dati normalmente distribuiti)

47 Proprietà della Z-Distribution Metà dei dati della Z-distribution sono negativi, ovvero sono sotto la media μ=0 Metà dei dati della Z-distribution sono positivi, ovvero sono sopra la media μ=0 Se si sommano tutti i dati della Z-distribution si ottiene il valore 0

48 Significato della Z-Table Ogni valore della Z-Table per z indica l area sotto la Z-distribution alla sinistra di z. Il significato statistico è la probabilità cumulativa della Z-distribution : Area = P ( z Z-score) Esempio di Tabella per Z-Score negativo e positivo Z-score 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 3,4 P(z -3,49) P(z -3,48) P(z -3,47) P(z -3,46) P(z -3,45) P(z -3,44) P(z -3,43) P(z -3,42) P(z -3,41) P(z -3,40) Z-score 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 P(z 0,0) P(z 0,01) P(z 0,02) P(z 0,03) P(z 0,04) P(z 0,05) P(z 0,06) P(z 0,07) P(z 0,08) P(z 0,09)

49 Z-Table (negative) Z-score 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 3,4 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 3,3 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0005 0,0005 0,0005 3,2 0,0005 0,0005 0,0005 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0007 0,0007 3,1 0,0007 0,0007 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0009 0,0009 0,0009 0,0010 3,0 0,0010 0,0010 0,0011 0,0011 0,0011 0,0012 0,0012 0,0013 0,0013 0,0013 2,9 0,0014 0,0014 0,0015 0,0015 0,0016 0,0016 0,0017 0,0018 0,0018 0,0019 2,8 0,0019 0,0020 0,0021 0,0021 0,0022 0,0023 0,0023 0,0024 0,0025 0,0026 2,7 0,0026 0,0027 0,0028 0,0029 0,0030 0,0031 0,0032 0,0033 0,0034 0,0035 2,6 0,0036 0,0037 0,0038 0,0039 0,0040 0,0041 0,0043 0,0044 0,0045 0,0047 2,5 0,0048 0,0049 0,0051 0,0052 0,0054 0,0055 0,0057 0,0059 0,0060 0,0062 2,4 0,0064 0,0066 0,0068 0,0069 0,0071 0,0073 0,0075 0,0078 0,0080 0,0082 2,3 0,0084 0,0087 0,0089 0,0091 0,0094 0,0096 0,0099 0,0102 0,0104 0,0107 2,2 0,0110 0,0113 0,0116 0,0119 0,0122 0,0125 0,0129 0,0132 0,0136 0,0139 2,1 0,0143 0,0146 0,0150 0,0154 0,0158 0,0162 0,0166 0,0170 0,0174 0,0179 2,0 0,0183 0,0188 0,0192 0,0197 0,0202 0,0207 0,0212 0,0217 0,0222 0,0228 1,9 0,0233 0,0239 0,0244 0,0250 0,0256 0,0262 0,0268 0,0274 0,0281 0,0287 1,8 0,0294 0,0301 0,0307 0,0314 0,0322 0,0329 0,0336 0,0344 0,0351 0,0359 1,7 0,0367 0,0375 0,0384 0,0392 0,0401 0,0409 0,0418 0,0427 0,0436 0,0446 1,6 0,0455 0,0465 0,0475 0,0485 0,0495 0,0505 0,0516 0,0526 0,0537 0,0548 1,5 0,0559 0,0571 0,0582 0,0594 0,0606 0,0618 0,0630 0,0643 0,0655 0,0668 1,4 0,0681 0,0694 0,0708 0,0721 0,0735 0,0749 0,0764 0,0778 0,0793 0,0808 1,3 0,0823 0,0838 0,0853 0,0869 0,0885 0,0901 0,0918 0,0934 0,0951 0,0968 1,2 0,0985 0,1003 0,1020 0,1038 0,1056 0,1075 0,1093 0,1112 0,1131 0,1151 1,1 0,1170 0,1190 0,1210 0,1230 0,1251 0,1271 0,1292 0,1314 0,1335 0,1357 1,0 0,1379 0,1401 0,1423 0,1446 0,1469 0,1492 0,1515 0,1539 0,1562 0,1587 0,9 0,1611 0,1635 0,1660 0,1685 0,1711 0,1736 0,1762 0,1788 0,1814 0,1841 0,8 0,1867 0,1894 0,1922 0,1949 0,1977 0,2005 0,2033 0,2061 0,2090 0,2119 0,7 0,2148 0,2177 0,2206 0,2236 0,2266 0,2296 0,2327 0,2358 0,2389 0,2420 0,6 0,2451 0,2483 0,2514 0,2546 0,2578 0,2611 0,2643 0,2676 0,2709 0,2743 0,5 0,2776 0,2810 0,2843 0,2877 0,2912 0,2946 0,2981 0,3015 0,3050 0,3085 0,4 0,3121 0,3156 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,3336 0,3372 0,3409 0,3446 0,3 0,3483 0,3520 0,3557 0,3594 0,3632 0,3669 0,3707 0,3745 0,3783 0,3821 0,2 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 0,4052 0,4090 0,4129 0,4168 0,4207 0,1 0,4247 0,4286 0,4325 0,4364 0,4404 0,4443 0,4483 0,4522 0,4562 0,4602 0,0 0,4641 0,4681 0,4721 0,4761 0,4801 0,4840 0,4880 0,4920 0,4960 0,5000

50 Z-Table (positive) Z-score 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998

51 Esempi con Z-scores I voti all esame di un professore sono distribuiti normalmente con μ=80 e σ=5. Qual è la probabilità che uno studente prenda 82 o meno? Qual è la probabilità che uno studente prenda 90 o più? Qual è la probabilità che uno studente prenda da 74 a 82?

52 Esempio 1 μ=80 e σ=5; P(X 82)? Trasformiamo in Z-score P(X 82) = P (Z (82-μ)/σ) P (Z (82-80)/5) = P (Z 0,4) = 0,6554 P(X 82) = 65,54 % 0,4 0,6554

53 Esempio 2 μ=80 e σ=5; P(X 90)? Trasformiamo in Z-score P(X 90) = P (Z (90-μ)/σ) P (Z (90-80)/5) = P (Z 2,0) = 1- P (Z 2,0) P(X 90) = 1 0,9772 = 0,0228 P(X 90) = 2,28 % 2,0 0,9772

54 Esempio 3 μ=80 e σ=5; P(74 X 82)? Noto che P(74 X 82) = P(X 82) - P(X 74) Trasformiamo in Z-score P (Z (82-80)/5) - P (Z (74-80)/5) = P (Z 0,4) P(Z -1,2) = 0,6554 0,1151 P(74 X 82) = 0,5403 P(X 90) = 54,03 % 0,4 0,6554 1,2 0,1151

55 Z-Score & Measurement Uncertainty Riscriviamo σ della nostra distribuzione come proveniente dalla dispersione dei valori del misurando dovuti a due contributi all incertezza di misura u e u xi i x u i 2 xi u 2

56 Interlaboratory Proficiency Test IPT sono programmi di garanzia della qualità statistica generalmente guidati da un coordinatore, che consentono ai laboratori di valutare le loro prestazioni nello svolgimento di prove normate i cui dati misurati sono confrontati con altri laboratori che partecipano allo stesso programma. Il rapporto di sintesi finale fornisce i risultati di tutti i laboratori (in forma anonima) e il loro trattamento statistico

57 ISO : 2005 Statistical methods for use in proficiency testing by interlaboratory comparisons Statistical methods for organizers to use to analyse the data obtained from proficiency testing schemes, and by giving recommendations on their use in practice by participants in such schemes and by accreditation bodies. ISO 13528:2005 can be applied to demonstrate that the measurement results obtained by laboratories do not exhibit evidence of an unacceptable level of bias. It is applicable to quantitative data but not qualitative data.

58 Statistica interlaboratorio Si assuma che il risultato della misurazione fornita dal laboratorio i-esimo ad una certa frequenza sia x i : questo valore è confrontato con il valore di riferimento X (noto a priori) del coordinatore per fornire la deviazione a priori i x i Al valore x i corrisponde una incertezza u xi = (U lab ) i /2 ove (U lab ) i è l incertezza estesa fornita dal laboratorio i-esimo. Al valore X corrisponde una deviazione standard σ nota ed un incertezza di misura estesa U ref = 2 u X nota. X

59 Statistica a posteriori Il risultato x i della misurazione fornita dal laboratorio i-esimo è confrontato anche con il valore di riferimento a posteriori x* * X assegnato dal coordinatore sulla base dei risultati ottenuti da tutti i laboratori attraverso la media robusta * delle deviazioni i = x i X calcolate precedentemente. A x* è associata la deviazione standard s* anch essa robusta.

60 Statistica omogenea Attraverso la deviazione a priori i e la media robusta * delle deviazioni a posteriori abbiamo reso omogenei i dati raccolti con diversi metodi dai vari Laboratori nel circuito interlaboratorio. Adesso si introducono gli Z-Scores per i laboratori e il coordinatore come z x i s* x*

61 Z-Scores a priori e posteriori Adesso si introducono gli Z-Scores per ciascun laboratorio come i x u i 2 xi X u X 2 e lo Z-Score della statistica robusta a posteriori z x i s* x*