Un simulatore del mercato elettrico per la modellazione del comportamento strategico degli operatori

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1 Un simulatore del mercato elettrico per la modellazione del comportamento strategico degli operatori Dicembre 2006 Progetto RdS Governo del Sistema Elettrico

2 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 1/40 Committente Ministero dello Sviluppo Economico Oggetto Un simulatore del mercato elettrico per la modellazione del comportamento strategico degli operatori Contratto Note Accordo di programma ai sensi dell'art. 3 comma 2 del DM 23 marzo 2006 per le attività di ricerca e sviluppo di interesse generale per il sistema elettrico Progetto "Governo del Sistema Elettrico" - WP 2.1 "Simulazione dell'esercizio del sistema elettrico italiano in regime di mercato" PUBBLICATO (PAD ) La parziale riproduzione di questo documento è permessa solo con l'autorizzazione scritta del CESI RICERCA. N. pagine 40 N. pagine fuori testo Data 29/12/2006 Elaborato ESE Migliavacca - Gianluigi Gianluigi AUT Migliavacca Mod. RAPP v. 05 Verificato Approvato Approvato ESE Gallanti - Massimo Massimo Gallanti VER REI - Paola Bresesti Bresesti Paola APP CESI RICERCA S.p.A. Via R. Rubattino Milano - Italia Telefono Fax Capitale sociale Euro interamente versato Registro Imprese di Milano, C.F. e P.IVA N. R.E.A ISO 9001: 2000 CH-32919

3 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 2/40 Indice 1 SOMMARIO INTRODUZIONE DIFFERENTI APPROCCI ALLA SIMULAZIONE DEI MERCATI ELETTRICI SIMULAZIONE MEDIANTE TEORIA DEI GIOCHI DEI MERCATI ZONALI CARATTERISTICHE GENERALI DEL SOFTWARE SREMS LA FASE DI PREPROCESSING INDISPONIBILITÀ E MANUTENZIONI TRANSAZIONI PREFERENZIALI E IMPIANTI IDROELETTRICI UNIT COMMITMENT DEGLI IMPIANTI TERMOELETTRICI CONTRATTI BILATERALI FISICI OFFERTE DEI GENERATORI CALCOLO DELLA SOLUZIONE IN CONCORRENZA PERFETTA CALCOLO DELLA SOLUZIONE IN CONCORRENZA OLIGOPOLISTICA L ALGORITMO VAMPIRO CALCOLO DELLE OFFERTE STRATEGICHE ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLE COSIDDETTE SOLUZIONI MISTE DESCRIZIONE DEL FILE DI INPUT FOGLIO: LOAD_INTERVAL FOGLIO: TRANSITS FOGLIO: THERMAL_GEN FOGLIO: PARAMETER FOGLIO: FIXED_COST FOGLIO: MAINTENANCE FOGLIO: FUEL_PRICE FOGLIO: HYDRO_GEN FOGLIO: PROD_HYDRO FOGLIO: PUMP_HYDRO FOGLIO: IMPORT FOGLIO: BILA_PERCENT FOGLIO: CIP FOGLIO: COCAP DESCRIZIONE DEL FILE DI OUTPUT FOGLIO: QPLANTS FOGLIO: TRANSITS FOGLIO: PZONES FOGLIO: SURPLUS UTILIZZO DI SREMS INSTALLAZIONE DI SREMS UTILIZZO DI SREMS Copyright 2006 by CESI RICERCA. All rights reserved - Activity code 4602O

4 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 3/40 12 CONCLUSIONI BIBILOGRAFIA Copyright 2006 by CESI RICERCA. All rights reserved - Activity code 4602O

5 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 4/40 STORIA DELLE REVISIONI Numero Data Protocollo Lista delle modifiche e/o dei paragrafi modificati revisione 0 29/12/ Prima emissione 1 SOMMARIO Il presente rapporto descrive le attività di Ricerca di Sistema svolte nell ambito del Progetto Governo del Sistema Elettrico, relativamente al Work Package dal titolo 2.1 "Simulazione dell'esercizio del sistema elettrico italiano in regime di mercato" Vigilanza sullo sviluppo del sistema di generazione Il mercato dell energia elettrica ha subito profonde trasformazioni negli ultimi anni in gran parte dei Paesi europei, nel Nord America e in parecchie altre zone del mondo. In particolare, l introduzione della competizione ha prodotto una profonda mutazione delle modalità di dispacciamento dei gruppi. Inoltre, l estrema volatilità dei prezzi, in parte endemica al prodotto elettricità, in parte dovuta ad atteggiamenti speculativi da parte dei grandi produttori ha come contraltare una domanda che, malgrado gli sforzi per la flessibilizzazione che si stanno compiendo negli ultimi anni, rimane essenzialmente rigida. Tutto ciò ha sollevato da parecchie parti timori di aumenti inconsiderati dei prezzi, frutto dell esercizio del potere di mercato da parte degli incumbent nazionali, a livello sia nazionale che locale. La soluzione potrebbe venire da un estensione dei mercati nazionali a tutto l Internal Energy Market europeo, mediante l applicazione di metodologie coordinate di assegnazione dei diritti di transito tra nazioni. In tal modo, il potere di mercato dei grandi produttori nazionali si diluirebbe in un contesto più ampio. Tuttavia, tale processo, già di per se stesso lento, è in Italia parzialmente invalidato da una cronica insufficienza delle linee per l interconnessione con l estero. A fronte di queste criticità, è spesso utile studiare le potenzialità strutturali di esercizio del potere di mercato in un dato mercato elettrico, utilizzando strumenti di simulazione in grado di confrontare i due benchmark di competizione perfetta e massimo esercizio del potere di mercato finalizzato alla massimizzazione dei profitti. Negli ultimi anni, si sono affermate varie metodologie basate sulla Teoria dei Giochi per la simulazione dei mercati elettrici. La Teoria dei Giochi è la branca della Ricerca Operativa che studia i processi di ottimizzazione in cui concorrono diversi soggetti decisionali, ciascuno caratterizzato da obiettivi propri, diversi da quelli degli altri. Tuttavia, una difficoltà strutturale sembra essere costituita dai vincoli di transito tra zone che rendono il modello molto più complesso e difficile da trattare analiticamente. Per contro, tali vincoli sono imprescindibili per uno studio accurato delle potenzialità dui esercizio del potere di mercato. SREMS, basato sulla Teoria dei Giochi e strutturato in modo tale da consentire una caratterizzazione la più fedele possibile dei gruppi di generazione, è uno strumento di simulazione che vorrebbe dare un contributo innovativo alla simulazione dei mercati elettrici, in particolare di quello italiano, in presenza

6 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 5/40 di vincoli di trasporto tra zone di mercato. Il presente rapporto introduce il modello implementato da SREMS fornendo sia le basi teoriche del modello sia un manuale d uso dettagliato del software.

7 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 6/40 2 INTRODUZIONE Alla base dei quattro obiettivi indicati in [1] con riferimento al WP2.1 del progetto Governo del Sistema è l analisi del potere di mercato, inteso come capacità degli operatori del mercato elettrico, in particolare dei produttori, di sfruttare a proprio vantaggio la posizione dominante che essi ricoprono all interno del mercato nel suo complesso o in singole zone del mercato stesso. Se all interno dei mercati elettrici la competizione tra i produttori avvenisse nelle ipotesi alla base della concorrenza perfetta (numero elevato di produttori ciascuno dei quali detiene una quota di produzione molto bassa), si innescherebbe un meccanismo virtuoso di competizione sul prezzo che porterebbe quest ultimo ad assessestarsi su livelli pari ai costi marginali di produzione. Invece, la quota rilevante di potenza installata rende i grandi produttori indispensabili in certe ore per soddisfare la domanda, che, per contro, ha caratteristiche di elevata rigidità al prezzo, e consente loro di realizzare extra-profitti rispetto alla concorrenza perfetta. Il tipo di mercato risultante è di tipo oligopolistico. Lo studio del potere di mercato dei grandi produttori in regime di oligopolio non può essere svolto facendo ricorso alle teorie classiche (concorrenza perfetta, monopolio), che trattano situazioni estreme, più facili da descrivere analiticamente, ma deve tener conto di tutti gli aspetti dell interazione tra i soggetti in regime di oligopolio. Lo studio degli oligopoli è complesso e giustifica l impiego di simulatori. Per questo, al centro dell attività del work package si è posta la costruzione di un simulatore in grado di analizzare la competizione oligopolistica e calcolare gli equilibri di mercato nel breve-medio termine (orizzonte temporale di uno o più mesi fino all anno) in un mercato elettrico zonale di caratteristiche simili a quello italiano (struttura ad albero). La Teoria dei Giochi fornisce il corretto inquadramento teorico per questo tipo di modelli e già da parecchi anni viene utilizzata in economia per l analisi delle interazioni strategiche tra competitori in mercati di tipo oligopolistico, situazione intermedia tra concorrenza perfetta e monopolio in cui le ipotesi semplificative correntemente adottate nei testi classici di Microeconomia non sono più valide. Per questa ragione, negli ultimi anni si è registrato un interesse via via crescente per l applicazione di modelli di Teoria dei Giochi alla simulazione dei mercati elettrici. Per un introduzione alla Teoria dei Giochi ed ai principali filoni di applicazione ai mercati elettrici si rimanda al documento [2], prodotto nel precedente triennio di RdS nell ambito del progetto EXTRA. All interno del progetto EXTRA, CESI aveva già prodotto un simulatore basato sulla Teoria dei Giochi del mercato elettrico nel lungo termine (vedi [3]). Questo conteneva al suo interno un simulatore di medio-breve periodo in grado di trattare il clearing orario del mercato nel breve-medio termine (uno o più mesi), considerando un numero a scelta di leaders e tenendo conto dell impatto sul carico di:

8 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 7/40 - produzione idroelettrica e pompaggi, - indisponibilità sia accidentale che per manutenzione degli impianti termoelettrici - eventuale presenza di contratti bilaterali fisici. Tale simulatore non era, invece, in grado di considerare i vincoli di rete e, pertanto forniva uno strumento in grado di investigare solo parzialmente il potere di mercato dei grandi produttori. Inoltre, lo unit commitment 1 degli impianti termici era trattato in modo insoddisfacente. Tener conto dei vincoli di rete non è cosa banale. Infatti, la soluzione di mercato ad una data ora non può più essere calcolata come semplice incrocio delle curve di domanda ed offerta ma è necessario definire il problema come ottimizzazione vincolata di una cifra di merito di profitto. La modalità utilizzata per tenere in conto tale problema all interno di quello delle singole GenCo deve essere accuratamente studiata affinchè il modello risultante rimanga entro limiti trattabili computazionalmente. A questa criticità si aggiunge il fatto che, come dimostrato in letteratura (vedi [2]), in certe condizioni non esiste un punto di equilibrio di mercato in termini di strategie pure ma solo in termini di strategie miste 2. La letteratura scientifica pone l accento sulla difficoltà di trattare tale tipologia di problemi e presenta varie metodologie, buona parte delle quali richiedono, però, di apportare forti semplificazioni al modello di mercato. L obiettivo dell attività da svolgere è, al contrario, quello di costruire uno strumento atto a trattare la complessità dei mercati reali mantenendone una descrizione la più fedele possibile. Pertanto, si è deciso di seguire un approccio che evita sovrasemplificazioni: la GenCo che di volta in volta iterativamente ottimizza le proprie offerte date quelle dei competitori risolve un problema di ottimizzazione del producer surplus che contiene tra i vincoli il problema di mercato, a sua volta un problema di ottimizzazione, scritto in forma di equazioni di Karush-Kuhn-Tucker. Un ulteriore problema da affrontare era quello dello unit commitment, cioè di simulare le decisioni di accensione/spegnimento degli impianti termoelettrici nei diversi periodi all interno dell intervallo temporale di studio conformemente alle caratteristiche di flessibilità (giornaliera vs settimanale) di ciascuno di essi. Com è ben noto, tener conto dello stato on/off di ogni impianto trasforma il gioco strategico in un problema di ottimizzazione a numeri interi di dimensioni tali da renderlo di difficile soluzione anche utilizzando i più moderni mezzi di calcolo. Pertanto, è necessario disaccoppiare le scelte di unit commitment dal gioco vero e proprio. Un possibile approccio è costituito da procedure euristiche 1 Con il termine unit commitment, si intende l insieme di decisioni sullo stato acceso-spento degli impianti termoelettrici appatenenti alle diverse GenCo. Si intende, invece, per dispacciamento, la quantità di potenza che un singolo impianto in stato di acceso deve produrre ad una data ora. Mentre il dispacciamento degli impianti è stabilito, almeno nei moderni mercati elettrici competitivi, a seguito dell esito di una o più procedure d asta, le decisioni di unit commitment sono generalmente compiute unilateralmente dalle GenCo su orizzonti temporali di più lungo termine (ad es. settimanali) tenendo conto sia delle caratteristiche tecniche degli impianti (flessibilità degli impianti, periodi di manutenzione, ecc) sia delle strategie d offerta nei mercati. 2 Le strategie miste sono definite in termini di un insieme di strategie pure (base) a ciascuna delle quali è associato un livello di probabilità che rappresenta la probabilità con la quale tale strategia viene giocata dalla GenCo.

9 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 8/40 che si rifanno ad algoritmi di programmazione dinamica (vedi [4][5]). Tuttavia, tali procedure, peraltro molto pesanti analiticamente, non danno sufficienti garanzie di convergenza e di ottimalità della soluzione trovata. Il già citato simulatore realizzato nello scorso triennio calcolava lo unit commitment sulla base di un pre-gioco il cui unico attore era la più grande tra le GenCo, tutte le altre società comportandosi come price-takers. Tuttavia, tale situazione sempre meno corrisponde a quella reale italiana, in cui diverse società si confrontano su basi di anno in anno sempre più paritarie. Inoltre, mentre la competizione strategica ha a che vedere con la strategia d offerta, la decisione di accensione degli impianti termici, compiuta in largo anticipo rispetto alla sottomissione delle offerte nel Mercato del Giorno Prima, è verosimilmente più dettata da motivazioni tecniche. Si è, pertanto, decisa l implementazione di un algoritmo di unit commitment che, pur adottando alcune semplificazioni, permettesse comunque di simulare fedelmente il processo decisionale compiuto dalle GenCo, tenendo conto esplicitamente della zonalità del carico e dei vincoli di rete. Si è deciso, inoltre, che il simulatore dovesse calcolare, accanto al punto di equilibrio strategico in regime di oligopolio, anche la soluzione in concorrenza perfetta, in quanto quest ultima costituisce un benchmark nei confronti del quale si valuta il potere di mercato dei produttori.

10 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 9/40 3 DIFFERENTI APPROCCI ALLA SIMULAZIONE DEI MERCATI ELETTRICI Gli strumenti per la simulazione dei mercati elettrici vengono solitamente classificati in tre gruppi, a seconda dell orizzonte temporale a cui fanno riferimento: Breve termine (da un ora ad una settimana): simulatori mirati a studiare in dettaglio il comportamento d offerta di un singolo produttore; Medio termine (tipicamente: un anno): utili per compiere analisi di scenario (what-if) al variare di parametri quali il prezzo dei combustibili o ad indagare l impatto regolatorio di nuove delibere emanate dall Autorità; Lungo termine (20-30 anni) per studiare l evoluzione del parco di generazione. Nell ambito dei modelli di breve e medio termine, due sono gli approcci più tipici, vedi Fig. 1: approccio classico ai minimi costi-prezzi; approccio basato sulla Teoria dei Giochi. Approccio classico (sistemi elettrici verticalmente integrati) min 0 t g 2 ( A 1gt p gt + A1 gt p gt + A gt s gt ) I mlt < z g z h z g < σ lz p gt + ( pht qht ) C zt I Mlt p gt = C zt z Approccio basato su Teoria dei Giochi (contesti di mercato competitivi) max z λ ( i) j G q ( j) q( j) q ( j) ( P ( j) i) j G j i Cost j ( P ( j)) ) ( i U = 1, G ( i) + problema di mercato + NZ s. t. min L ( j) q( j) g I mlt < σ lz p gt ( p ht q ht ) C zt < I + Mlt z g z h z q g MIN p gt = C zt z ( j) q( j) q ( j) MAX price maker Fig. 1 - Tipici approcci alla modellistica per il medio termine Nell approccio ai minimi costi, tipico dei vecchi sistemi elettrici verticalmente integrati in cui le decisioni di dispacciamento erano prese dal monopolista in modo centralizzato, si calcola la modalità di soddisfacimento del carico che minimizza i costi di produzione. Una tipica trasposizione di tale modello ai mercati elettrici competitivi consiste nel rimpiazzare i costi con i prezzi d offerta, supponendo questi ultimi costituiti da due componenti: il costo di produzione e una quota di bid-up che incorpora le strategie d offerta dei produttori. I valori di bid-up sono considerati come variabili esogene al problema e calcolati sulla base di tecniche euristiche (ad es. una profilatura di un valore esogeno di offset sulla base di un tipico profilo dei prezzi lungo la giornata).

11 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 10/40 Nell approccio basato sulla Teoria dei Giochi, ad ogni GenCo è associata una cifra di merito, tipicamente la massimizzazione del producer surplus, in presenza di vincoli sulla potenza producibile dai singoli impianti e del fatto che il dispacciamento dei propri gruppi è determinato sulla base di un clearing di mercato. In tal modo, il problema di mercato (a sua volta un modello di ottimizzazione) dev essere in qualche modo tradotto in un certo numero di vincoli (in forma di equazioni e disequazioni) da applicare al problema dei singoli produttori. Gran parte dei simulatori basati sulla Teoria dei Giochi descritti in letteratura sono orientati al breve termine, alcuni al medio termine, pochissimi al lungo termine 3. Gli approcci modellistici più diffusi sul breve e medio termine non tengono conto dei vincoli di rete e sono basati sulle seguenti metodologie: discretizzazione dello spazio delle strategie di ogni giocatore in set discreti e scrittura delle matrici di payoff, i cui elementi forniscono il producer surplus dei diversi giocatori per ogni combinazione di strategie degli stessi. Utilizzando l algoritmo di Lemke Howson [6], si può quindi calcolare per quadratura il/i punto/i di equilibrio del gioco se il numero di giocatori è pari a 2-3. Mediante tale metodologia è possibile anche tenere conto di eventuali equilibri in strategie miste. Tuttavia, se il numero di giocatori è superiore, è necessario ricorrere ad algoritmi numerici ed i tempi di calcolo diventano facilmente improponibili. Inoltre, le soluzioni in strategie miste hanno spesso basi molto ampie, così da fornire un contributo informativo non significativo. Modello di Cournot iterativo [7], nel quale i giocatori a turno selezionano la quantità ottima date le offerte dai loro competitori. Non è in grado di calcolare equilibri a strategie miste ma ha il pregio di essere concettualmente semplice. Un difetto di fondo è tutti gli algoritmi derivati dal metodo di Cournot sono strutturalmente inapplicabili nel caso di domanda non elastica, che è la condizione più tipica per i mercati elettrici. Metodi basati sulla teoria dei supply function equilibria [8][9][10][11], che vedono la funzione d offerta (in termini prezzo-quantità) dei produttori come l incognita del problema e risolvono sistemi di equazioni differenziali. Il maggior rigore derivante dal considerare le due variabili quantità e prezzo anziché la sola quantità trova come controaltare un notevole aumento delle difficoltà analitiche che costringe a compiere drastiche semplificazioni modellistiche. Modelli basati sulla teoria delle aste [13][14], che considerano le informazioni incerte (ad es. sugli impianti dei competitori) di cui dispongono i produttori e che condizionano la formulazione delle offerte. Si rimanda a [2] per approfondimenti sulle metodologie descritte. 3 I pochi simulatori orientati al lungo termine hanno solitamente una struttura gerarchica: un gioco esterno di lungo termine sugli investimenti in risorse di generazione che si appoggia su di un simulatore interno di medio termine atto a produrre valutazioni dei prezzi di mercato a parco di generazione fisso.

12 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 11/40 4 SIMULAZIONE MEDIANTE TEORIA DEI GIOCHI DEI MERCATI ZONALI La rappresentazione dei limiti di trasporto tra zone è indispensabile per rendere conto con un buon livello di verosimiglianza delle dinamiche di prezzo dei mercati zonali o nodali. E, inoltre, l unico modo per rendere i simulatori di mercato capaci di rappresentare le potenzialità di esercizio del potere di mercato locale 4 da parte dei grandi produttori con significativa presenza su tutto il territorio nazionale. Tuttavia, il modello risultante è di gran lunga più complesso da trattare per le seguenti ragioni: la soluzione di mercato a una data ora non può più essere rappresentata come semplice incrocio delle curve di domanda ed offerta, ma deve essere rappresentata in termini di di ottimizzazione vincolata della funzione social welfare. Tale problema è annidato all interno di quello del singolo produttore, che massimizza il producer surplus. Trattare questo annidamento di un problema di ottimizzazione nell altro non è banale; come già sopra accennato, nel caso dei mercati zonali/nodali non sempre esiste almeno un punto di equilibrio in strategie pure. In questi casi (e nono solo) sarebbe necessario studiare gli equilibri in strategie miste. In uno caso di studio presentato da Stoft (vedi [16]) viene preso in considerazione un semplice modello di rete a due zone tra loro simmetriche, sia come generazione che come carico, in ciascuna delle quali sia presente un solo produttore. Se la linea di connessione ha capacità zero, le due zone rappresentano due monopoli. Se la linea ha capacità molto elevata, il sistema è un duopolio 5. In una fascia intermedia di valori di capacità di connessione, esistono solamente soluzioni in strategie miste. L unica metodologia in grado di indagare gli equilibri in strategie miste è quella basata sulla discretizzazione e sull algoritmo di Lemke-Howson. Tuttavia, come già accennato, se il numero di produttori supera le 2-3 GenCo non esiste una metodologia per quadratura ma solo metodi euristici ed i tempi di calcolo risultano notevolmente più lunghi. Inoltre, le strategie miste che risultano dall applicazione dell algoritmo di Lemke-Howson hanno spesso una base molto ampia e, di conseguenza un valore informativo scarso. Stoft (vedi [17]) suggerisce anche la seguente metodologia euristica per calcolare gli algoritmi in strategie miste: - tutti i produttori selezionano una strategia (pura) di partenza; - ogni giocatore calcola la sua migliore strategia in risposta a quelle selezionate dagli altri giocatori; 4 Per un introduzione ai concetti di potere di mercato (system-wide e locale), si rimanda a [15]. 5 Un interessante considerazione è che, grazie alla simmetria della generazione e del carico tra le due zone, la linea di connessione risulta comunque scarica: è l effetto deterrente dovuto alla semplice presenza della linea a far sì che il comportamento d offerta dei due produtori cambi e si abbia, di conseguenza, maggiore competizione e riduzione del prezzo di mercato.

13 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 12/40 - ogni giocatore calcola la propria risposta migliore a quelle selezionate dagli altri nei precedenti due step (pesate ciascuna con una probabilità 0.5); - ogni giocatore calcola la propria risposta migliore a quelle selezionate dagli altri nei precedenti tre step (pesate ciascuna con una probabilità 0.33); - si continua finchè si raggiunge un punto di equilibrio. Questo algoritmo può o convergere ad un equilibrio di Nash o divergere. Non esistono teoremi che forniscano candizioni di convergenza. Un tipico approccio che ha lo scopo di evitare le difficoltà derivanti dall indagare gli equilibri a strategie miste è quella delle conjectured supply functions ([19][20][21][22]). Si tratta di una famiglia di metodologie che suppone di essere in grado di stimare o calcolare ex-ante la pendenza della curva che definisce i costi di congestione in funzione del servizio di trasmissione richesto, approssimata linearmente nell intorno del punto di equilibrio. Questa relazione è nella realtà parecchio complicata e dipende dal tipo di equilibrio e dalle condizioni di mercato nelle ore e nei giorni considerati. Pertanto, questo approccio, pur teoricamente promettente, rischia di rivelarsi alquanto velleitario. Un altro tipico approccio (vedi [18]) consiste nei seguenti passi: - scrivere un modello analitico del gioco, vincoli di rete inclusi, - derivare le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker (KKT) relative, spesso nella forma di problema di complementarietà 6 (sistema misto equazioni-disequazioni). Esistono due possibili approcci al problema (vedi [25]): - Le società di generazione sono in grado di anticipare l impatto delle loro strategie sui costi di congestione e di tenerne conto nel decidere la quantità da produrre. In questo caso si ha un gioco di Stackelberg (vedi [2]) di tipo multi-leader (GenCos) one-follower (ISO) nel quale ogni leader risolve un problema di ottimizzazione che include al suo interno le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker del problema di mercato; Le GenCo non sono in grado di anticipare l effetto delle proprie decisioni sui costi di congestione (ipotesi di limitata razionalità): in questo caso il gestore del mercato è esso stesso un giocatore, che effettua la sua mossa simultenamente con le società di generazione. L equilibrio di mercato si ottiene risolvendo un sistema di equazioni nel quale le condizioni di ottimo delle diverse GenCo sono impilate assieme alle condizioni di ottimalità del clearing del mercato (problema del gestore di mercato). Un approccio di questo genere si trova in [18]. 6 Esistono solutori in grado di risplvere tale tipo di formulazione in modo molto efficiente.

14 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 13/40 5 CARATTERISTICHE GENERALI DEL SOFTWARE SREMS SREMS ha mantenuto alcune caratteristiche del già citato simulatore di medio periodo non zonale relativamente alla gestione delle transazioni preferenziali quali CIP6 e contratti di lungo termine di import, trattamento di produzioni e pompaggi degli impianti idroelettrici, manutenzioni e indisponibilità accidentali, contratti bilaterali fisici. Fig. 2 - struttura del simulatore SREMS Le caratteristiche principali di SREMS sono le seguenti: SREMS è un simulatore di breve-medio termine del mercato elettrico basato sulla teoria dei giochi. SREMS calcola il bidding strategico orario dei soggetti con potere di mercato supponendo che essi attuino contemporaneamente una strategia di riduzione della capacità offerta (capacity withdrawal) e di incremento del prezzo di offerta (bid-up) al di sopra di un minimo, che rappresenta il livello competitivo d offerta. Permette di distinguere tra price-makers (leaders, in numero qualsiasi) e price-takers. Il carico è rigido e definito di ora in ora, zona per zona. La rete, supposta di tipo ad albero, è rappresentata mediante le zone di mercato separate da interconnettori caratterizzati da limiti minimo e massimo di transito. Il mercato elettrico è modellato con dettaglio orario, ma la schedulazione degli impianti idroelettrici a bacino e dei pompaggi viene effettuata mensilmente.

15 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 14/40 Si tiene conto con un alto livello di realismo delle caratteristiche dei singoli impianti termoelettrici (curve quadratiche di costo, periodi di manutenzione programmata, indisponibilità accidentale). Si tiene conto di una percentuale di potenza riservata a contratti bilaterali fisici in funzione del carico totale e dell attitudine al rischio delle singole GenCo. In Fig. 2 si riporta un diagramma a blocchi d alto livello del simulatore SREMS. I dati della simulazione vengono letti da un file di dati in formato XLS (MS Excel). Tra i dati si trovano: carico orario in ogni zona; topologia della rete e limiti di transito tra zone; caratteristiche degli impianti termoelettrici: GenCo proprietaria, zona di appartenenza, potenza minima e massima, mix di combustibili e curve quadratiche di costo, coefficiente di indisponibilità accidentale, tipo di flessibilità (giornaliera o settimanale), calendario dei periodi di manutenzione; caratteristiche degli impianti idroelettrici: tipologia (bacino, fluente, pompaggio), GenCo proprietaria, zona di appartenenza, potenza massima producibile e (nel caso) di pompaggio, energie mensili prodotte e pompate mensilmente; percentuale oraria di bilaterali fisici zona per zona; parametri importanti di simulazione (altri parametri sono direttamente definiti all interno del codice). Letto il file d ingresso, il simulatore rielabora i dati mettendoli nel formato utilizzato internamente. Poi avvia il primo mese di calcolo compiendo le seguenti azioni: diminuisce la potenza massima mediamente disponibile dei generatori all interno del mese tenendo conto del calendario delle manutenzioni e del tasso di indisponibilità accidentale; sottrae dal carico, zona per zona, le produzioni degli impianti remunerati con modalità preferenziali extra-mercato (CIP6), le quantità relative a contratti di importazione di lungo termine 7 e le produzioni da impianti idroelettrici; viene calcolato lo unit commitment per ogni periodo di flessibilità (vedi oltre) all interno del mese; vengono sottratte dal carico contendibile zonale le potenze dei generatori allocati a contratti bilaterali fisici e i generatori stessi non vengono offerti sul mercato; per ogni ora del mese si calcolano la soluzione in concorrenza perfetta e la soluzione in presenza di uno o più leaders di mercato (il numero è un dato di input richiesto a linea di comando all avvio della simulazione). I risultati orari in concorrenza perfetta e oligopolistica vengono salvati su un file di output, anch esso in formato XLS, contenente: dispacciamento orario impianto per impianto; prezzi zonali orari; 7 Il programma è comunque anche in grado di gestire le zone virtuali mediante le quali vengono gestite attualmente importazioni ed esportazioni.

16 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 15/40 transiti orari tra zone; surplus orario dei produttori.

17 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 16/40 6 LA FASE DI PREPROCESSING 6.1 Indisponibilità e manutenzioni Per ciascun impianto termoelettrico, si calcola un coefficiente di disponibilità, tenendo conto: di un coefficiente unavail che fornisce una probabilità di indisponibilità per eventi accidentali; di un eventuale numero di giorni del mese corrente N_days_month in cui l impianto è fermo per manutenzione programmata. Combinando entrambi gli effetti, si calcola un coefficiente Ava che fornisce la probabilità complessiva di fermo nel mese corrente: 1 days _ main _ month Ava = * 1 N _ days month ( unavail) Tale coefficiente moltiplica le caratteristiche dell impianto in questione (minimo e massimo d impianto) al fine di ottenere la potenza mediamente disponibile per la formulazione di offerte sul mercato elettrico. Se tale potenza è nulla, l impianto non presenta offerte. 6.2 Transazioni preferenziali e impianti idroelettrici Il carico orario è considerato rigido (fisso) in ogni zona. In ogni periodo (es. mese) la domanda viene aggregata in una curva di durata del carico, zona per zona. Transazioni preferenziali o passanti (CIP6, importazione e impianti ad acqua fluente) vengono considerate costanti in ogni ora di un periodo e sottratte dalla curva di durata della zona alla quale si riferiscono. L energia prodotta dagli impianti idrici a serbatoio o consumata dagli impianti a pompaggio è allocata, in funzione della convenienza economica, rispettivamente nelle ore mensili di massimo o minimo carico della zona di appartenenza (Fig. 3) tenendo conto: - dell energia totale da produrre (pompare) nel periodo - della massima potenza che può essere prodotta (pompata) dagli impianti.

18 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 17/40 Fig. 3 Transazioni preferenziali e idroelettrico 6.3 Unit Commitment degli impianti termoelettrici Quella dello unit commitment è una tra le parti più delicate del programma. Infatti dallo spegnimento/accensione degli impianti termoelettrici dipende la loro disponibilità oraria a formulare offerte sul mercato dell energia. E evidente che i produttori non hanno interesse a che sul mercato sia presente un offerta di generazione troppo elevata. Infatti, per esigenze di stabilità di funzionamento, i generatori sono quasi sempre caratterizzati da una potenza minima di funzionamento diversa da zero (minimo tecnico). Se un generatore è acceso, esso è obbligato a produrre una potenza oraria almeno pari al minimo tecnico, qualunque sia il prezzo di clearing che si forma in esito alla borsa dell energia. Per tale ragione i minimi tecnici sono quasi obbligatoriamente offerti a prezzo nullo. Tuttavia, se la somma dei minimi tecnici è uguale o superiore al carico, il prezzo di clearing sul mercato sarà pari a zero e i generatori non saranno nemmeno in grado di recuperare i costi variabili di generazione. Per di più, una soluzione di borsa che preveda la parzializzazione dei minimi tecnici sarebbe tecnicamente irrealizzabile e obbligherebbe i generatori ad formulare offerte sul mercato dell aggiustamento. Infine, anche in assenza di situazioni estreme, l offerta di una quantità troppo elevata rispetto al carico dà luogo a prezzi bassi e va nel senso opposto rispetto all esercizio del potere di mercato da parte dei grandi produttori. Pertanto è interesse delle GenCo controllare il numero di impianti offerti in relazione al carico orario. Esistono, inoltre, due esigenze contrastanti nelle ore di basso carico ed in quelle di punta. Infatti, se di notte è importante che ci siano pochi impianti accesi cosicchè la somma dei minimi tecnici non superi il minimo carico notturno, nelle ore diurne è importante che esista sufficiente riserva per far fronte al carico di punta. L accensione/spegnimento degli impianti è una manovra che, pur incidendo sul clearing di mercato nelle singole ore, deve essere decisa su un orizzonte temporale più ampio, tenendo conto delle caratteristiche di flessibilità dei singoli impianti. Considerando il fatto che esistono impianti a flessibilità giornaliera (al massimo un accensione al giorno) e settimanale (al massimo un accensione alla settimana), è possibile

19 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 18/40 definire al massimo due periodi di flessibilità alla settimana, all interno dei quali si calcola uno unit commitment per le ore diurne ed uno per le ore notturne. Tenendo conto delle diverse caratteristiche del carico nei giorni feriali rispetto ai fine settimana, è ragionevole far coincidere tale classificazione con i due periodi di flessibilità settimanali. Si è ritenuto, inoltre, a differenza di quanto a suo tempo implementato nel vecchio simulatore di medio termine non zonale, che le decisioni di unit commitment, tipicamente compiute in netto anticipo rispetto al bidding orario sul Mercato del Giorno Prima, fossero prese più sulla base delle esigenze tecniche sopra esposte che sulla base di un esercizio esplicito del potere di mercato e che, pertanto, la fase di unit commitment dovesse essere ben distinta da quella del gioco per il bidding strategico. La programmazione dello unit commitment viene tradizionalmente ricondotta alla soluzione di un problema di dispacciamento idrotermico a minimi costi, di difficile soluzione a causa della notevole dimensione e della presenza di variabili a numeri interi (decisioni di on/off sugli impianti). Questo viene risolto applicando un algoritmo di ottimizzazione su tutte le ore del periodo di studio (per tener conto della presenza di vincoli di rampa e di gradiente) e algoritmi di branch-and-bound o di programmazione dinamica (per trattare le variabili a numeri interi). Una posizione del problema di unit commitment in questi termini all interno del problema principale di SREMS, che è quello del bidding strategico, cioè dell ottimizzazione delle offerte dei produttori in regime di oligopolio, genererebbe un modello di complessità troppo elevata. Pertanto, si è scelto di implementare un algoritmo semplificato tale da disaccoppiare lo unit commitment dal calcolo della produzione idroelettrica (risolto a monte, vedi par. 6.2) e da quello del bidding strategico per la determinazione del prezzo orario di borsa (risolto a valle). Ecco gli elementi salienti dell algoritmo: Gli impianti termoelettrici sono suddivisi in settimanali e giornalieri. Si individuano due sottoperiodi per settimana (giorni feriali e giorni festivi). In ciascun sottoperiodo si percorrono le seguenti fasi algoritmiche: Fase 1: Si estrae la domanda oraria nel sottoperiodo e si ripartisce in due fasce orarie (giorno: ore 8-22; notte: ore 23-7). Fase 2: si effettua un clearing zonale sui soli minimi tecnici degli impianti settimanali, selezionati in ordine crescente di costo fino a soddisfare il carico minimo notturno del sottoperiodo (ora in cui la somma dei carichi zonali è minima). Si aggiunge un generatore di slack di costo molto elevato in ogni zona affinchè l algoritmo non entri in crisi nel caso di impossibilità di soddisfare il carico di una o più zone con i soli minimi tecnici. Si spengono gli impianti settimanali con minimi tecnici non completamente dispacciati. Fase 3: si impilano gli impianti rimanenti (settimanali e giornalieri) effettuando un clearing zonale per soddisfare il massimo carico diurno nel sottoperiodo, eventualmente magnificato di un fattore R: una sola offerta da zero a potenza massima per impianto in ordine crescente di costo. Si spengono tutti gli

20 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 19/40 impianti che non risultino almeno parzialmente dispacciati (giornalieri e settimanali). Si ottiene in questo modo lo unit commitment delle ore diurne. Fase 4: si impilano gli impianti rimanenti per soddisfare il carico minimo della fascia notturna: - due offerte per gli impianti settimanali (minimi offerti a zero per forzarne l accettazione); - una sola offerta a costi medi per gli impianti giornalieri. Calcolata la soluzione zonale, si spengono (solo nelle ore notturne) gli impianti giornalieri o non accettati o dispacciati per una quantità inferiore al minimo. Quello che risulta è lo unit commitment delle ore notturne. 6.4 Contratti bilaterali fisici I contratti bilaterali fisici si suppongono tradotti dal mercato in: un carico senza indicazione di prezzo, indistinguibile dalla restante quota di carico zonale in virtù dell ipotesi di rigidità della domanda; un uguale quantità di generazione offerta a zero, sottratta direttamente dal carico zonale (è un offerta non modificabile strategicamente; l accettazione parziale del bid a zero non costituirebbe comunque un equilibrio di Nash). Si suppone che i contratti bilaterali Q B,z ammontino ad una percentuale del carico variabile di ora in ora. In una data zona z, una GenCo i riserva a contratti bilaterali una quota di produzione Q B,i,z proporzionale alla potenza installata P i corretta mediante un fattore di propensione al rischio w i, che è un parametro tipico del singolo produttore. Tale quota viene allocata: - prioritariamente a risorse nella stessa zona che usualmente verrebbero offerte sul mercato a prezzo zero al fine di garantirne il dispacciamento (idroelettrico Idro i,z, minimi tecnici MinTecn i,z, contratti di importazione di lungo termine Impor,z ) o con meccanismi extra-mercato (CIP6 z ); - solo per le quantità eventualmente eccedenti a offerte al di sopra del minimo tecnico, che vengono accumulate in ordine crescente di costo fino alla completa copertura della quota di bilaterali della GenCo e sottratte al mercato. Si dimostra, infatti, che almeno in regime di concorrenza perfetta sussiste un vantaggio economico per un produttore nell allocare ai contratti bilaterali gli impianti a costo più basso. In tal modo, alcuni impianti, risultando completamente assegnati ai bilaterali, non vengono considerati nel meccanismo di clearing di mercato pur essendo conteggiati per il calcolo del producer surplus. Nel calcolo del producer surplus si suppone che il prezzo di settlement dei bilaterali fisici coincida con quello di mercato della stessa ora. Questo corrisponde a imporre un ipotesi di perfetta trasparenza del mercato (prezzi reali coincidenti con prezzi forward). Q wi Pi = max [ Q CIP6 Import ] Idro MinTecn, 0 NGenCo B, z z z i, z i, w jpj j= 1 B, i, z z

21 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 20/ Offerte dei generatori SREMS suppone che ogni impianto termoelettrico formuli due offerte sul Mercato del Giorno Prima: un offerta a prezzo zero per il minimo tecnico, così da assicurarne il dispacciamento ed evitare lo spegnimento dell impianto. Non essendo un offerta strategica ma fissa, si elimina detraendola dal carico zonale. Questo corrisponde a supporre che le offerte relative ai minimi tecnici siano tutte accettate (un accettazione parziale è possibile nella realtà ma non darebbe luogo ad un equilibrio di Nash). un offerta competitiva per l intervallo tra minima e massima potenza. Tale offerta è ottenuta da un offerta a prezzo minimo aggiungendo un bid-up il cui livello è stabilito dal gioco. L offerta competitiva a prezzo minimo tiene conto, conformemente a quanto stabilisce la teoria economica, dei costi variabili (costo unitario a massima potenza ricavato a partire dalla curva quadratica di costo). E possibile facoltativamente tener conto dei costi fissi (costi di investimento e costi di Operation and Maintenance) attualizzati sulla base dell NPV e ripartiti su base oraria 8. E possibile, infine, definire due tipi di capping sul prezzo di borsa: definito dal regolatore, unico per tutto il mercato (tipicamente 500 /MWh); volontariamente imposto dalle società alle proprie offerte, variabile per fascia oraria. 8 Questo aspetto rimasto invariato rispetto al vecchio simulatore di medio termine non zonale. Pertanto, per dettagli si rimanda a [3].

22 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 21/40 7 CALCOLO DELLA SOLUZIONE IN CONCORRENZA PERFETTA Il calcolo della soluzione zonale in condizioni di competizione perfetta costituisce il primo step del clearing orario. E utile in quanto: costituisce un benchmark rispetto al quale valutare la soluzione in presenza di bidding strategico e gli indici di potere di mercato; è utile per inizializzare la prima iterazione dell algoritmo di calcolo della competizione strategica. Fig. 4 Calcolo concorrenza perfetta Il calcolo della soluzione di borsa (Fig. 4) viene compiuto mediante la funzione di programmazione lineare linprog(.) che appartiene all optimization toolbox di Matlab. Tale funzione rende disponibili due diversi algoritmi, uno adatto a sistemi di media dimensione (basato su un metodo di proiezione) ed uno adatto a sistemi di grandi dimensioni (basato sull algoritmo del punto interno) 9. Inizialmente viene utilizzato l algoritmo per sistemi di media dimensione, più veloce, e solamente in caso di non convergenza il calcolo viene ripetuto con l algoritmo adatto ai sistemi di grande dimensione. In caso di ulteriore non convergenza (tipicamente dovuta a dati non corretti e non a ragioni numeriche) il programma carica il vettore delle soluzioni di zeri che hanno lo scopo di place holders e di segnalazione del problema addizionale al session diary. Infine, sulla base delle soluzioni viene determinato il punto di inizializzazione per l algoritmo Vampiro di strategic bidding (vedi oltre). Questo richiede sia il calcolo di variabili primali che di moltiplicatori di Lagrange dei vincoli del problema. 9 Vedi: Optimization Toolbox for use with MATLAB. User s guide. Version 2

23 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 22/40 8 CALCOLO DELLA SOLUZIONE IN CONCORRENZA OLIGOPOLISTICA In Fig. 5 è riportato il diagramma di flusso relativo all algoritmo utilizzato da SREMS per il calcolo del clearing orario di borsa in presenza di uno o più leaders che esercitino il potere di mercato tramite una politica di bid up 10 e un capacity withholding 11 e di un certo numero di altre GenCo che attuano un comportamento da price-taker (tutta la potenza offerta a prezzo minimo). Inizialmente le offerte sono poste uguali a quelle a minimo prezzo per tutti gli impianti di tutte le GenCo. Nel corso delle iterazioni le quantità offerte diminuiscono ed i prezzi d offerta aumentano. Il cuore dell algoritmo iterativo è costituito dalla routine Vampiro (dettagli in par.8.1) che calcola la quantità ottima prodotta da un leader in ciascuno dei suoi impianti date le offerte dei competitori in modo tale da massimizzare il profitto. Il successivo passaggio (dettagli in par.8.2) è la trasformazione di questi risultati nella strategia di bid del leader stesso (coppie prezzo-quantità) e l aggiornamento del vettore delle offerte, che viene eseguito solo se i risultati ottenuti dall ottimazione comportano effettivamente un maggior surplus per il leader corrente 12. Alla fine di ogni iterazione, cioè dopo che ogni leader ha compiuto una mossa, se nessuno dei leaders ha migliorato il suo surplus 13 viene ripristinata la soluzione dell iterazione precedente, il procedimento iterativo si arresta e si passa all ora successiva. Altrimenti, si itera finchè nessun leader ha più convenienza a modificare le proprie offerte rispetto all iterazione precedente oppure, in alternativa, finchè la somma dei surplus dei leaders aumenta in percentuale meno di una data soglia, che si può scegliere piccola a piacere. Viene stabilito anche un numero massimo di iterazioni per poter uscire con sicurezza dal loop anche in caso di non convergenza dell algoritmo iterativo (p.es. nel caso, finora mai verificatosi nelle iterazioni, di non convergenza verso un punto di equilibrio). 10 Per price bid up si intende un deliberato incremento del prezzo d offerta al di sopra del livello minimo (p.es. costi marginali o unitari). E conveniente se il minore ricavo dovuto alla minore quantità dispacciata è superato dal maggior ricavo ottenuto dal maggior prezzo di borsa dovuto al fatto che diventano marginali impianti più costosi. 11 Per capacity withholding si intende un deliberato trattenimento di quote di capacità di produzione, che non vengono offerte sul mercato al fine di incrementare il prezzo di mercato. E conveniente se il minore ricavo dovuto alla minore quantità dispacciata è superato dal maggior ricavo ottenuto dal maggior prezzo di borsa dovuto al fatto che diventano marginali impianti più costosi. 12 Considerando il fatto che un vincolo è inserito penalizzato nella funzione obiettivo al fine di ottenere un problema di programmazione quadratica, questo controllo è necessario, in particolare quando il punto di partenza della mossa corrente giace nell intorno di un punto di ottimo per il giocatore. 13 All interno di un iterazione, ogni leader muove massimizzando il surplus a spese degli altri giocatori. Alla fine di una data iterazione non è detto che almeno un giocatore abbia realizzato un migliore surplus rispetto alla precedente: ad esempio, l ultimo giocatore in ordine di mossa potrebbe essere riuscito a migliorare il surplus di una quantità inferiore alla somma dei peggioramenti subiti per effetto delle mosse dei giocatori precedenti.

24 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 23/40 Fig. 5 Calcolo competizione oligopolistica 8.1 L algoritmo VAMPIRO Si tratta di una procedura che permette il calcolo delle quantità ottime che un leader deve offrire sul mercato dell energia per tutti i suoi impianti per massimizzare il suo producer surplus una volta che siano note le offerte, in termini quantità-prezzo, di tutti i competitori. In altre parole, si suppone che un leader conosca le offerte di tutti i suoi competitori e sulla base di queste voglia determinare la soluzione di mercato a lui più favorevole (massimo producer surplus), in termini di quantità prodotte in ogni zona e prezzi zonali. L algoritmo, messo a punto al CESI qualche anno fa e descritto in dettaglio in [26], percorre i seguenti passaggi: scrittura del problema di borsa; traduzione di questo nelle rispettive condizioni di Karush-Kuhn-Tucker (KKT); scrittura del problema del produttore; risoluzione di questo tenendo conto del problema di borsa sotto forma di vincoli dati dalle condizioni di KKT scritte. Risulta un problema di programmazione quadratica non convesso. Il calcolo viene compiuto mediante la funzione di programmazione quadratica quadprog(.) che appartiene all optimization toolbox di Matlab. Tale funzione rende disponibili due diversi algoritmi, uno adatto a sistemi di media dimensione (basato su un metodo di proiezione) ed uno adatto a sistemi di grandi dimensioni (basato sull algoritmo

25 Rapporto ESE Economia dei Sistemi Elettrici Approvato Pag. 24/40 Interior Reflective Newton Method). Tuttavia, la particolare struttura del modello di ottimizzazione non consente l impiego di quest ultimo. A causa della non convessità del problema risolto dal modello Vampiro, possono esistere minimi locali ed è importante guidare il modello inizializzando il calcolo con un punto che si suppone il più possibile vicino alla soluzione attesa. Supponendo che la soluzione ottima sia prossima a quella in concorrenza perfetta nelle ore notturne mentre si ottengano facilmente prezzi uguali o vicini 14 al price cap nelle ore di punta, questo criterio è stato assunto come criterio per l inizializzazione del primo turno di gioco della prima iterazione di ogni ora. Per le giocate successive e nelle iterazioni che seguono, l inizializzazione è fornita dal punto d arrivo della giocata precedente. E comunque possibile fissare particolari parametri per applicare criteri diversi. In caso di non convergenza della procedura di ottimizzazione della routine Vampiro con l inizializzazione applicata, il calcolo viene rieseguito senza fornire alcuna inizializzazione. In tal caso viene assunto un punto di partenza calcolato automaticamente in modo tale da trovarsi all interno della regione di ammissibilità. Se anche questo calcolo non converge, si assume che la non convergenza sia strutturale e il leader corrente termina la sua giocata senza aggiornare il vettore delle offerte. 8.2 Calcolo delle offerte strategiche La procedura Vampiro fornisce: le quantità ottime prodotte da leader e altri produttori i prezzi zonali in ogni area di mercato i transiti fra aree. Successivamente, è necessario tradurre l informazione sulle quantità ottime del leader in una strategia di offerta (prezzo-quantità) atta a ricavare la soluzione ottima di borsa. Tale problema ha infinite soluzioni. Infatti, scrivendo la funzione lagrangiana del problema di mercato tenendo separate le variabili relative ai bid del leader da quelle degli altri, derivando le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker ed isolando le derivate della lagrangiana rispetto alle quantità del leader, si ottiene: L = P Q ( j) L bidl ( j) λ ( i) µ min ( j) + µ max ( j) = 0 i = { 1, L, NZones} 14 Supponendo che non sia nell interesse dei leaders che si raggiungano prezzi troppo vicini al cap di sistema per non incorrere in misure da parte dell Autority, ognuno di essi può autoimporsi un tetto massimo d offerta inferiore, come già precedentemente enunciato nelle presenti note.