Un sistema fuzzyper il miglioramento del contrasto

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1 Un sistema fuzzyper il miglioramento del contrasto G. Castellano 1 Fuzzy Contrast Enhancement(FCE) ContrastEnhancement: miglioramento del contrasto di un'immagine a scale di grigio (trasformazione di intensità) Possiamo formalizzare il problema mediante un modello fuzzycostituito dalle seguenti regole: IF un pixel è scuro THEN rendilo più scuro IF un pixel è grigio THEN lascialo grigio IF un pixel è chiaro THEN rendilo più chiaro G. Castellano 2 1

2 FCE: Definizione della variabile fuzzy di input Il dominio di input Z è il livello di intensità di grigio, quindi è l intervallo discreto [0,255] 0 corrisponde al nero, 255 corrisponde al bianco Definiamo tre valori fuzzy per questa variabile: Scuro: insieme fuzzy con funzione di membership Z-shaped(0,63,127) Grigio: insieme fuzzy con funzione di membership triangolare (63,127,191) Chiaro: insieme fuzzy con funzione di membership S-shaped(127,191,255) FCE: Definizione della variabile fuzzy di output Il dominio di output V è il livello di intensità di grigio, quindi è l intervallo discreto [0,255] 0 corrisponde al nero, 1 corrisponde al bianco Definiamo tre valori fuzzy per questa variabile: PiùScuro: insieme fuzzysingleton v +s Grigio: insieme fuzzysingleton v g PiùChiaro: insieme fuzzysingleton v +c Da definire 4 2

3 FCE: Definizione delle regole fuzzy Abbiamo quindi definito un modello fuzzysemplificato, costituito dalle seguenti regole: R 1 : IF (z isscuro) THEN (v isv +s ) R 2 : IF (z isgrigio) THEN (v isv g ) R 3 : IF (z ischiaro) THEN (v isv +c ) La scelta di un modello fuzzysemplificato consente di ridurre il costo computazionale legato all inferenza delle regole occorre infatti applicare l inferenza delle tre regole a ciascun livello di grigio!! G. Castellano 5 Inferenza di regole fuzzy (modello fuzzy semplificato) R R 1 1 ( x1isa1) AND ( THENyis ( x1isa1) AND ( x2isa2) THENyis 2 1: IF b 2: IF b R 1 R 2 1 A 1 1 A 2 2 Z A A 2 Z 2 0 ( ( 1) ( 2 ) 0 1z, z α =τ µ A µ A ( ( 1) ( 2 ) 0 2z, z α =τ µ A µ A Modello di Takagi-Sugeno di ordine zero Modello di Mamdani con conseguenti singleton v 0 α1b1 + α2b = α + α Z 0 T-norm z 1 Z 1 z 2 2 Antecedente: Prodotto cartesiano di fuzzy set G. Castellano - Conseguente: Valore crisp 6 3

4 Inferenza di regole fuzzy(modello fuzzy semplificato per FCE) R 1 R 2 SCURO GRIGIO Z α = 0 ( ) 1 µ SCURO z α = 0 ( ) 2 µ GRIGIO z ( zisscuro) THENvisv s ( zisgrigio) THENvisvg ( zischiaro) THENvisv c R 1: IF + : IF R 2 R 3: IF + R 3 Z CHIARO α = 0 ( ) 3 µ CHIARO z v 0 αv = + αv 1 + s 2 g 3 + c α + α + α αv 3 0 z G. Castellano 7 FCE: Inferenza delle regole L inferenza delle regole in corrispondenza dell input z 0 produce il seguente output crisp: G. Castellano 8 4

5 FCE: Un esempio di applicazione Immagine a basso contrasto Istogramma dei livelli di grigio G. Castellano 9 FCE: Un esempio di applicazione Immagine dopo l applicazione dell equalizzazione Istogramma dei livelli di grigio G. Castellano 10 5

6 FCE: Un esempio di applicazione Immagine dopo l applicazione del FuzzyContrastEnhancement Istogramma dei livelli di grigio G. Castellano 11 FCE: Un esempio di applicazione G. Castellano 12 6

7 Un sistema fuzzya due livelli per il miglioramento del contrasto G. Castellano 13 Fuzzy Contrast Enhancement-2 Il modello fuzzy per il Contrast Enhancement visto in precedenza richiede un elevato costo computazionale Applicazione del processo di inferenza ad ogni livello di grigio E possibile definire un modello fuzzyper il ContrastEnhancementche lavori solo su alcuni valori dell istogramma dell immagine Lavoro proposto da (Hsu, Lin, Chen, 2006) Ridotto costo computazionale G. Castellano 14 7

8 Istogramma e contrasto G. Castellano 15 Fuzzy Contrast Enhancement-2 Il primo modello fuzzyeffettua una trasformazione dell istogramma G. Castellano 16 8

9 Fuzzy Contrast Enhancement-2 Il secondo modello fuzzydetermina la trasformazione da applicare mediante LUTpartendo dall istogramma modificato con il primo modello REMIND: Una look-up table(lut) è un vettore di L elementi in cui l i-esimo elemento memorizza il risultato della trasformazione del livello i, indicato con T(i) LUT(i) = T(i) per i= 0, L-1 G. Castellano 17 Fuzzy Contrast Enhancement(FCE-2) Il modello è costituito da due modelli fuzzyin cascata Il primo modello migliora i picchi dell istogramma Il secondo modello usa i picchi migliorati per determinare l enhancement da applicare mediante la LUT Il modello a due livelli è applicato separatamente alla parte bassa (darkness) e alla parte alta (brightness) dell istogramma n. pixel darkness a b c brightness d Valore medio di luminanza = AVG 18 9

10 FCE-2: Modello fuzzy di primo livello IF (l altezza del picco è Grande) AND (la differenza tra il valore di luminanza del picco e il valore di luminanza AVG è Medio) THEN (applica una modifica Media al valore di luminanza del picco) IF (l altezza del picco è Piccola) AND (la differenza tra il valore di luminanza del picco e il valore di luminanza AVG è Medio) THEN (applica una modifica Piccola al valore di luminanza del picco) 19 FCE-2: Modello fuzzydi primo livello Definizione delle variabili di input Il modello utilizza due variabili di input: L altezza (numero di pixel) del picco (ordinata nell istogramma) La differenza tra il valore di luminanza del picco (ascissa nell istogramma) e il valore di luminanza medio (AVG) Ciascuna variabile di input è fuzzificata con quattro valori fuzzy: Grande, Medio, Piccolo, Nullo Definizione delle funzioni di membership n. pixel y a darkness a x a b (x AVG -x a ) brightness c d x AVG G. Castellano 20 10

11 FCE-2: Modello fuzzydi primo livello Definizione delle variabili di input Definizione delle funzioni di membershipper la prima variabile di input Altezza del picco Il range è l intervallo discreto [0, num_pixel_tot] Per definire i quattro insiemi fuzzysupponiamo di usare funzioni triangolari Nullo Piccolo Medio Grande (num_pixel_tot) G. Castellano 21 FCE-2: Modello fuzzydi primo livello Definizione delle variabili di input Definizione delle funzioni di membershipper la seconda variabile di input Differenza (valore assoluto) tra la luminanza del picco e la luminanza AVG Il rangeè l intervallo discreto [0,L-1] Per definire i quattro insiemi fuzzysupponiamo di usare funzioni triangolari: Nullo Piccolo Medio Grande 0 63,75 127,5 191, (L-1) G. Castellano 22 11

12 FCE-2: Modello fuzzydi primo livello Definizione della variabile di output Il modello utilizza una variabile di output: La modifica da apportare al valore di luminanza del picco (ascissa nell istogramma) La variabile di output è fuzzificatacon quattro valori fuzzy: Grande, Medio, Piccolo, Nullo Fuzzy set di output Grande Medio darkness brightness darkness brightness Piccolo darkness brightness Nullo darkness brightness 24 12

13 Fuzzy set di output Come definire in FuzzyJ tali funzioni? Si può pensare ad una modifica della funzione S-Shape che non abbia valori solo in [0,1]? Normalizzazione della scala di grigi tra 0 e 1 Per ottenere le altre funzioni si potrebbero poi applicare i modificatori fuzzy G. Castellano 25 Fuzzy set di output Come definire in FuzzyJ tali funzioni? Un altra soluzione potrebbe essere quella di definire quattro fuzzyset di tipo singleton fittizie poi associare ad ognuno, dopo l inferenza delle regole, la funzione corrispondente. Nullo Piccolo Medio Grande 13

14 FCE-2: Modello fuzzydi primo livello Definizione delle regole Output: Modifica alla luminanza Input 2: Differenza con la luminanza AVG Input 1: n. pixel del picco Grande Medio Piccolo Nullo Grande Grande Grande Medio Nullo Medio Grande Medio Piccolo Nullo Piccolo Grande Medio Medio Piccolo Nullo Grande Grande Grande Grande G. Castellano 27 FCE-2: Modello fuzzy di primo livello Il modello fuzzydi primo livello viene applicato solo a quattro picchi dell istogramma: I due picchi più alti della parte darknessindicati con ae b I due picchi più alti della parte brightnessindicati con ce d n. pixel n. pixel darkness b a b a brightness d c x AVG d c G. Castellano x AVG 28 14

15 FCE-2: Modello fuzzy di secondo livello Il secondo modello fuzzyusa i quattro picchi più alti (migliorati con il primo modello) per determinare l enhancement da applicare mediante la LookUp Table (LUT) Viene applicato separatamente ai due picchi più alti della parte brightness e ai due picchi più alti della parte darkness n. pixel a b c d x AVG 29 FCE-2: Modello fuzzy di secondo livello IF (la luminanza del primo picco più alto è Grande) AND (la luminanza del secondo picco più alto è Grande ) THEN (usa una funzione di enhancement Grande per la LUT) IF (la luminanza del primo picco più alto è Media) AND (la luminanza del secondo picco più alto è Piccola) THEN (usa una funzione di enhancement Media per la LUT) 30 15

16 FCE-2: Modello fuzzy di secondo livello Definizione delle variabili di input Il modello usa due variabili di input: Valore di luminanza del primo picco più alto (b/d) Valore di luminanza del secondo picco più alto (a/c) Ciascuna variabile di input è fuzzificatacon quattro valori fuzzy: Alto, Medio, Basso, Nullo Definizione delle funzioni di membership Coincidono con Grande, Medio, Piccolo, Nullo?? G. Castellano 31 FCE-2: Modello fuzzydi secondo livello Definizione della variabile di output Il modello utilizza una variabile di output: L enhancement da apportare mediante la LUT La variabile di output è fuzzificatacon quattro valori fuzzy: Alto, Medio, Basso, Nullo Coincidono con Grande, Medio, Piccolo, Nullo 16

17 Fuzzy set di output Alto Medio darkness brightness darkness brightness darkness Basso brightness Nullo darkness brightness 33 FCE-2: Modello fuzzydi secondo livello Definizione delle regole Output: Enhancement LUT Input 2: luminanza del secondo picco più alto (a/c) Input 1: luminanza del primo picco più alto (b/d) Alto Medio Basso Nullo Alto Alto Alto Medio Nullo Medio Alto Medio Basso Nullo Basso Alto Medio Medio Basso Nullo Alto Alto Alto Alto Sono uguali alle regole del modello di primo livello!!! G. Castellano 34 17

18 FCE-2: Modello fuzzy di secondo livello IF (la luminanza del primo picco più alto è Grande) AND (la luminanza del secondo picco più alto è Grande ) THEN (usa una funzione di enhancement Grande per la LUT) IF (la luminanza del primo picco più alto è Media) AND (la luminanza del secondo picco più alto è Piccola) THEN (usa una funzione di enhancement Media per la LUT) 35 Fuzzy Look-Up Table ottenuta dall inferenza del secondo modello Livelli di grigio Enhancement function(lut) Grande darkness brightness μ Grande (0) μ Grande (1) μ Grande (255) G. Castellano 36 18

19 Passi da implementare Definire il primo modello fuzzy 1. Definire i valori fuzzyper la variabile di input altezzapicco 2. Definire i valori fuzzyper la variabile di input diffmedia 3. Definire i valori fuzzyper la variabile di output modifica 4. Definire le regole G. Castellano 37 Definizione del primo modello Definizione dei fuzzytermper le variabili di input num_pixel_tot G. Castellano 38 19

20 Definizione del primo modello Definizione dei fuzzytermper la variabile di output Problema da risolvere Qui è adottata la soluzione dei fuzzyset fittizi G. Castellano 39 Definizione del primo modello Definizione delle regole G. Castellano 40 20

21 Passi da implementare Definire il secondo modello fuzzy 1. Definire i valori fuzzyper la variabile di input primopicco 2. Definire i valori fuzzyset per la variabile di input secondopicco 3. Definire i valori fuzzyper la variabile di output funzionelut 4. Definire le regole G. Castellano 41 Passi da implementare INPUT: Immagine a L livelli di grigio di N x M pixel 1. Calcolare l istogramma dell immagine 2. Calcolare la luminanza media AVG nell istogramma La parte darkness dell istogramma è DARK={x x AVG} La parte brightness dell istogramma è BRIGHT={x x>avg} 3. Ricercare i due picchi più alti in DARK e memorizzarne ascissa e ordinata (x_a,y_a) (x_b,y_b) 4. Ricercare i due picchi più alti in BRIGHT e memorizzarne ascissa e ordinata: (x_c,y_c) (x_c,y_c) G. Castellano 42 21

22 Passi da implementare 5. Applicare l inferenza del primo modello fuzzyal punto (x_a,y_a) della parte darkness per ottenere la x_a modificata Input1: y_a Input 2: (AVG-x_a) 6. Applicare l inferenza del primo modello fuzzyal punto (x_b,y_b) della parte darkness per ottenere la x_b modificata Input1: y_b Input 2: (AVG-x_b) 7. Applicare l inferenza del primo modello fuzzyal punto (x_c,y_c) della parte brightness per ottenere la x_c modificata Input 1: y_c Input 2: (x_c-avg) 8. Applicare l inferenza del primo modello fuzzyal punto (x_d,y_d) della parte brightness per ottenere la x_d modificata Input 1: y_d Input 2: (x_d-avg) G. Castellano 43 Inferenza del primo modello G. Castellano 44 22

23 Passi da implementare 9. Applicare l inferenza del secondo modello fuzzyai punti (x_a,y_a) e (x_b,y_b) della parte darkness Input 1: x_a Input 2: x_b Risultato: funzione di enhancementper la LUT della parte BRIGHT Calcolo di T(i) per i=0 AVG 10.Applicare l inferenza del secondo modello fuzzyai punti (x_c,y_c) e (x_d,y_d) della parte brightness dell istogramma Input 1: x_c Input 2: x_d Risultato: funzione di enhancementper la LUT della parte DARK Calcolo di T(i) per i=avg+1 L-1 G. Castellano 45 23