Tecniche fuzzy per l elaborazione di immagini

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1 Tecniche fuzzy per l elaborazione di immagini G. Castellano 1 Di che colore è? COLOR QUANTIZATION G. Castellano 2 1

2 Troviamo i bordi EDGE DETECTION G. Castellano 3 Troviamo le regioni omogenee COLOR IMAGE SEGMENTATION G. Castellano 4 2

3 Che forma è? SHAPE MATCHING G. Castellano 5 Cosa vediamo? IMAGE ANALYSIS / INTERPRETATION G. Castellano 6 3

4 Incertezza nelle immagini La maggior parte delle immagini reali sono caratterizzate da incertezza e ambiguità Ambiguità di colore (scala di grigio) Non sempre è possibile stabilire con precisione il colore (livello di grigio) di una regione di pixel Ambiguità spaziale Non sempre è possibile stabilire con precisione caratteristiche geometriche delle forme presenti in un immagine (es. bordi, centroidi, ecc ) G. Castellano 7 Incertezza nell elaborazione di immagini L incertezza e l ambiguità caratterizzano molti aspetti dell elaborazione di immagini e del pattern recognition L applicazione di operatori precisi può portare a risultati errati o indesiderati Necessità di utilizzare tecniche che possano tener conto dell incertezza presente nelle immagini Fuzzy Image Processing Approcci che elaborano, rappresentano e interpretano un immagine (o segmenti o feature di essa) come fuzzy set G. Castellano 8 4

5 Fuzzy image processing Motivazioni Intelligent vision systems Sviluppare macchine intelligenti capaci di realizzare compiti complessi di pattern recognition, così come è in grado di fare l uomo Computing with words Realizzare meccanismi di elaborazione automatica per rappresentare ed elaborare concetti sfumati tipici del linguaggio e del ragionamento umano Comunicare con il computer usando il linguaggio naturale G. Castellano 9 Paradigma fuzzy Gran parte delle caratteristiche di un immagine corrispondono a concetti vaghi e imprecisi Un paradigma di computazione usato per rappresentare ed elaborare concetti vaghi e imprecisi è il paradigma fuzzy, basato sulla teoria degli insiemi fuzzy (Fuzzy Set Theory) G. Castellano 10 5

6 Introduzione alla Teoria degli Insiemi fuzzy G. Castellano 11 Concetto di insieme Secondo la logica classica, un insieme è definito come Qualunque aggregato (o collezione) di oggetti per il quale sia sempre possibile decidere se un generico oggetto appartiene oppure no all'aggregato stesso Il punto centrale della teoria degli insieme è la nozione di appartenenza ad un insieme G. Castellano 12 6

7 Concetto di insieme Esempio: Dato il dominio Z dell età delle persone, vogliamo determinare l insieme A definito come Insieme delle persone giovani in Z. Per poter definire questo insieme occorre definire la funzione caratteristica di A, detta anche funzione di appartenenza all insieme A µ A ( z) = 1 0 se z A altrimenti G. Castellano 13 Concetto di insieme Per definire l insieme A occorre stabilire una soglia Th sull età delle persone da includere nell insieme La funzione di appartenenza μ A sarà così definita: Per es. fissiamo Th=20 G. Castellano 14 7

8 Concetto di insieme Nella logica classica il concetto di appartenenza ad un insieme si riferisce unicamente alla condizione VERO-FALSO La funzione di appartenenza di un insieme è una funzione booleana Può assumere solo due valori 1= appartenenza 0= non appartenenza L insieme si dice Crisp µ A : Z { 0,1} G. Castellano 15 Concetto di insieme L uso di un insieme crisp è limitativo per rappresentare un concetto sfumato come ad es. quello di persona giovane Stando alla definizione dell insieme A data prima, possiamo dire che una persona la cui età è di 20 anni e 1 mese, non appartiene all insieme, cioè non è giovane! È quindi necessario riformulare il concetto di insieme in modo più soft, introducendo l idea di grado di appartenenza (membership) In questo modo è possibile definire una persona più o meno giovane all interno dell insieme G. Castellano 16 8

9 Concetto di insieme fuzzy Definizione dell insieme delle persone giovani CRISP FUZZY Il concetto di insieme fuzzy estende il concetto di insieme crisp mediante l introduzione di un grado di appartenenza G. Castellano 17 Concetto di insieme fuzzy Mediante il grado di appartenenza all insieme è possibile rappresentare affermazioni vaghe come: una persona di 15 anni è giovane una persona di 22 anni è relativamente giovane una persona di 27 anni è non tanto giovane G. Castellano 18 9

10 Concetto di insieme fuzzy In generale, un concetto sfumato (fuzzy) corrisponde ad un insieme di oggetti nel quale non c è un confine ben preciso o definito tra gli oggetti che vi appartengono e quelli che non vi appartengono Bello, giovane, chiaro, scuro, vicino, ecc, Alcuni concetti non sono fuzzy: Sposato, fratello, maschio, ecc Gli insiemi fuzzy permettono di sviluppare il formalismo necessario a gestire concetti imprecisi e sfumati 19 Teoria degli insiemi fuzzy La teoria degli insiemi fuzzy è stata introdotta più di 40 anni fa da Lotfi Zadeh Zadeh L.A., Fuzzy Sets, Information and Control, vol.8 (1965) pp G. Castellano 20 10

11 Definizione di insieme fuzzy Dato un dominio Z, con z generico elemento di Z, un insieme fuzzy A in Z è caratterizzato da una funzione di appartenenza (membership) μ A (z) che associa ad ogni elemento di Z un numero reale nell intervallo[0,1]. µ A : Z [ 0,1] Il valore di μ A (z) rappresenta il grado di appartenenza di z in A Per μ A (z)=1 diremo che z appartiene sicuramente ad A Per μ A (z)=0 diremo che z non appartiene ad A Per 0<μ A (z)<1 diremo che z appartiene parzialmente ad A, con un grado di appartenenza indicato da μ A (z) G. Castellano 21 Definizione di insieme fuzzy Un insieme crisp è un caso speciale di insieme fuzzy La funzione di membership assume unicamente valori 0 e 1 G. Castellano 22 11

12 Definizione di insieme fuzzy Un insieme fuzzy è composto da coppie ordinate di elementi del tipo: Quando il dominio Z è continuo, l insieme A può essere composto da un numero infinito di elementi. Quando il dominio Z è discreto, è possibile esplicitare tutti gli elementi dell insieme A. Per esempio, nel caso dell insieme delle persone giovani, considerando l età come dominio discreto (n. anni), abbiamo: G. Castellano 23 Insiemi fuzzy nelle immagini Esempio: definire il concetto scuro (dark) in un immagine a livelli di grigio Nella logica classica Nella logica fuzzy G. Castellano 24 12

13 Funzioni di membership > G. Castellano 25 Funzioni di membership G. Castellano 26 13

14 Funzioni di membership G. Castellano 27 Funzioni di membership G. Castellano 28 14

15 Funzioni di membership G. Castellano 29 Funzioni di membership G. Castellano 30 15

16 Qualche altra definizione Dato l insieme fuzzy A definito sul dominioz, si definiscono: Supporto di A: Core di A: C S { z Z ( ) >0} = z A µ A { z Z ( ) =1} = z A µ A core α-cut α-cut di A: { α} α [ A] = z Z µ ( z) A α supporto 31 Qualche altra definizione Insiemi fuzzy particolari fuzzy singleton ( z) { } S A = z 0 fuzzy set universale µ ( z) = 1. 0 z Z C ( z) Z A A = fuzzy set vuoto µ ( z) = 0. z Z S ( z) = A 0 A fuzzy set normale max µ x A ( z) =

17 Fuzzy logic in Java FuzzyJ Toolkit è una libreria di classi Java sviluppate dal National Research Council dell istituto canadese per l Information Technology che permette di manipolare concetti fuzzy Due package: nrc.fuzzy: permette di utilizzare la libreria in modalità standalone per creare regole fuzzy ed effettuare ragionamenti in ambiente Java; nrc.fuzzy.jess: permette l integrazione delle funzionalità offerte dal package nrc.fuzzy con Jess ( la shell per sistemi esperti sviluppata nei Sandia National Laboratories. 33 Insiemi fuzzy in FuzzyJ La classe del toolkit FuzzyJ che implementa gli insiemi fuzzy è FuzzySet permette di rappresentare gli insiemi fuzzy come un insieme di coppie u i /x i, dove u i è il valore di membership per il numero reale x i { u 1 /x 1, u 2 /x 2,..., u n /x n } con i valori x i in ordine crescente. I valori precedenti ad x 1 hanno la stessa membership di x 1 mentre i valori successivi ad x n hanno la stessa membership di x n 34 17

18 Insiemi fuzzy in FuzzyJ Esempio di codice per la creazione di un FuzzySet (triangolare) così definito { 0.0/0.3, 1.0/0.5, 0.0/0.7 } FuzzySet fset = new trianglefuzzyset( 0.3, 0.5, 0.7 ); 35 Funzioni di membership in FuzzyJ SFuzzySetSFuzzySet La libreria FuzzyJ mette a disposizione diverse tipologie di funzioni di membership organizzate gerarchicamente 36 18

19 Funzioni di membership in FuzzyJ Gli insiemi di tipologia LRFuzzySet possono essere rappresentati in diagrammi con tre parti distinte: una parte sinistra con valori di membership crescenti una parte destra con valori di membership descrescenti una parte centrale con tutti i valori di membership uguali ad 1 Un esempio di FuzzySet di questa tipologia sono quelli di forma trapezoidale (TrapezoidFuzzySet) 37 Confronto tra fuzzy set Inclusione A B ( z) µ ( z) z Z µ A B A B Uguaglianza A = B µ ( z) = µ ( z) z Z A B Similarità (in termini di distanza) distanza di Hamming d ( A, B) = µ A ( z) µ B( z) Z distanza Euclidea 2 d( A, B) = [ µ A ( z) µ B( z) ] dz Z... dz 38 19

20 Operazioni su insiemi fuzzy Complemento Dato un insieme fuzzy A, si definisce complemento di A, e si indica con A, oppure Not(A), l'insieme fuzzy con funzione di membership tale che ( z) = ( z) z Z µ 1 A µ A A 39 Unione Operazioni su insiemi fuzzy Dati due insiemi fuzzy A e B, si definisce unione di A e B, e si indica con A U B, l insieme fuzzy con funzione di membership tale che ( z) = σ ( µ ( z) ( z) ) z Z µ, A B A µ B dove σ è un operatore chiamato S-norm o T- conorm, che può essere implementato in vari modi 40 20

21 Operazioni su insiemi fuzzy L operatore T-conorm (Triangular conorm) è una funzione σ : 0,1 0,1 0,1 Gode delle seguenti proprietà: simmetrica, associativa, monotona, con elemento neutro 0 Esempi [ ] [ ] [ ] Massimo Somma Somma limitata σ σ σ ( a, b) = max{ a, b} ( a, b) = a + b ab ( a, b) = min{ 1, a + b} 41 Operazioni su insiemi fuzzy Unione di insiemi fuzzy mediante massimo ( z) max( µ ( z) ( z) ) µ, A B = A µ B z Z 42 21

22 Operazioni su insiemi fuzzy Intersezione Dati due insiemi fuzzy A e B, si definisce intersezione di A e B, e si indica con A B, l insieme fuzzy con funzione di membership tale che µ x = τ µ x, x ( ) ( ( ) ( )) A B A µ B dove τ è un operatore chiamato T-norm che può essere implementato in vari modi 43 Operazioni su insiemi fuzzy L operatore T-norm (Triangular norm) è una funzione τ : 0,1 0,1 0,1 [ ] [ ] [ ] Gode delle seguenti proprietà: simmetrica, associativa, monotona, con elemento neutro 1 Esempi minimo prodotto prodotto limitato τ τ τ ( a, b) = min{ a, b} ( a, b) = ab ( a, b) = max{ 0, a + b 1} 44 22

23 Operazioni su insiemi fuzzy Intersezione di insiemi fuzzy mediante minimo ( z) min( µ ( z) ( z) ) µ, A B = A µ B z Z 45 Operazioni su insiemi fuzzy Prodotto cartesiano di insiemi fuzzy Dato l insieme fuzzy A definito sul dominio X e l insieme fuzzy B definito sul dominio Y, si definisce prodotto cartesiano di A per B, e si indica con l insieme fuzzy con funzione di membership µ A B A B : X Y [ 0,1] ( x, y) = τ ( µ ( x), µ ( y) ) µ dove τ è un operatore T-norm A B è un insieme fuzzy bi-dimensionale in X Y A B A B 46 23

24 Operazioni su insiemi fuzzy Prodotto cartesiano di insiemi fuzzy B A A B X Y 47 Operazioni su insiemi fuzzy in FuzzyJ Per implementare le operazioni sugli insiemi fuzzy si utilizzano i metodi della classe FuzzySet: Complemento (fuzzycomplement): restituisce il complemento dei valori di membership dei punti utilizzati per la creazione del FuzzySet 48 24

25 Operazioni su insiemi fuzzy in FuzzyJ Unione (fuzzyunion): restituisce l unione di due insiemi fuzzy per ogni x, il corrispondente valore di membership al nuovo insieme è calcolato come il massimo dei valori di membership dei due insieme fuzzy L unione è il sinonimo dell operatore logico OR. 49 Operazioni su insiemi fuzzy in FuzzyJ Intersezione (fuzzyintersection): restituisce l intersezione di due insiemi fuzzy e quindi (in FuzzyJ), per ogni x, il corrispondente valore di membership del nuovo insieme è calcolato come il minimo dei valori di membership dei due insieme fuzzy 50 25

26 Variabili fuzzy Una variabile i cui valori sono insiemi fuzzy viene detta variabile fuzzy Un valore della variabile può essere etichettato con un termine che ne indica il concetto in forma linguistica, quindi è anche detto fuzzy term Esempio La variabile età di una persona può essere definita mediante tre fuzzy term (concetti o attributi fuzzy) 1 GIOVANE ADULTO ANZIANO età 51 Variabili fuzzy Un aspetto fondamentale nella definizione di una variabile fuzzy è stabilire il numero di valori fuzzy (livello di granularità) non esistono regole per stabilirlo una linea guida è definirne minimo 3, massimo 7 Occorre rispettare dei vincoli Coverage: ogni elemento del dominio deve appartenere almeno ad un insieme fuzzy 52 26

27 Variabili fuzzy Come distribuire i fuzzy set? Più robustezza al rumore Più precisione dove è necessario 53 Variabili fuzzy La definizione dei valori fuzzy da associare ad una variabile non è univoca Può essere effettuata Manualmente in base alla conoscenza dell esperto del dominio Problema: soggettività nella definizione Automaticamente In base ai dati empirici relativi al dominio Si applicano algoritmi di apprendimento delle reti neurali Modelli Neuro-Fuzzy G. Castellano 54 27

28 Variabili fuzzy in FuzzyJ Una variabile fuzzy è implementata dalla classe FuzzyVariable. Le istanze di questa classe sono costituite da: nome della variabile; universo del discorso, cioè un range di variabilità definito da un limite inferiore ed uno superiore di possibili valori della variabile; unità di misura in formato testuale; insieme di termini fuzzy usati per descrivere concetti fuzzy associati alla variabile. G. Castellano 55 Variabili fuzzy in FuzzyJ Esempio di codice Java per la creazione di una variabile fuzzy per la temperatura: // Temperature has terms cold, medium and hot FuzzyVariable Temp = new FuzzyVariable("temperature", 0.0, 100.0, "Degrees C"); Temp.addTerm( Cold", new TrapezoidFuzzySet(0, 0, 5.0, 15.0)); Temp.addTerm( Medium", new TrapezoidFuzzySet(5.0, 15.0, 25.0, 35.0)); Temp.addTerm( Hot", new SFuzzySet(25.0, 35.0)); // medium can also be defined as: // Temp.addTerm("medium", "not hot and not cold"); G. Castellano 56 28

29 Variabili fuzzy in FuzzyJ Gli insiemi fuzzy possono essere utilizzati per definire i termini linguistici di una variabile fuzzy Esempio: codice per definire una variabile fuzzy con due FuzzySet: ZFuzzySet e SFuzzySet FuzzyVariable age = new FuzzyVariable( age, 0, 120, years ); age.addterm( young, new ZFuzzySet(25, 50)); age.addterm( old, new SFuzzySet(45, 65)); G. Castellano Valori fuzzy in FuzzyJ Un valore fuzzy permette di creare uno specifico concetto fuzzy per una variabile fuzzy, cioè associa ad una FuzzyVariable un espressione linguistica che descrive un concetto fuzzy. La classe del toolkit FuzzyJ che permette la creazione di valori fuzzy è FuzzyValue. Ad es. è possibile aggiungere alla variabile temp (temperature) precedentemente definita un FuzzyValue che rappresenta il concetto very hot or cold FuzzyValue badtemp = null; badtemp = new FuzzyValue(temp, "very Hot or Cold"); G. Castellano 58 29

30 Insiemi fuzzy e valori fuzzy Differenza tra insieme fuzzy e valore fuzzy in FuzzyJ: un FuzzySet è usato per definire la forma di un insieme fuzzy e non è legato ad alcun concetto; un FuzzyValue associa un FuzzySet ad una FuzzyVariable attribuendo, quindi, un significato all insieme fuzzy. i termini associati alla variabile sono conservati internamente come valori fuzzy G. Castellano 59 Modificatori fuzzy in FuzzyJ Un modificatore fuzzy modifica la forma di un insieme fuzzy in modo tale da adattarla al significato di un concetto che si vuole rappresentare I modificatori sono usati in espressioni linguistiche Es. (very Hot or Cold) L insieme dei modificatori di un FuzzyValue disponibili nel toolkit FuzzyJ è costituito dai metodi della classe Modifiers G. Castellano 60 30

31 not Modificatori fuzzy in FuzzyJ restituisce il complemento del FuzzyValue passato come argomento not norm Normalizza il FuzzyValue passato come argomento in modo tale che almeno un punto abbia membership uguale ad 1; norm 61 Modificatori fuzzy in FuzzyJ more_or_less aumenta di un fattore pari ad 1/3 tutti i valori di membership del FuzzyValue passato come argomento; more_or_less somewhat aumenta di un fattore pari ad 1/2 tutti i valori di membership del FuzzyValue passato come argomento; somewhat 62 31

32 Modificatori fuzzy in FuzzyJ plus aumenta di un fattore pari ad 1.25 tutti i valori di membership del FuzzyValue passato come argomento; plus very aumenta di un fattore pari a 2 tutti i valori di membership del FuzzyValue passato come argomento; very 63 Modificatori fuzzy in FuzzyJ extremely aumenta di un fattore pari a 3 tutti i valori di membership del FuzzyValue passato come argomento extremely intensify esegue una modifica al FuzzyValue passato come argomento che enfatizza la sezione con membership>0.5 e minimizza la sezione con membership 0.5; intensify 64 32

33 Modificatori fuzzy in FuzzyJ slightly esegue la seguente modifica al FuzzyValue passato come argomento: intensify [ norm (plus A AND not very A) ] plus AND not very norm G. Castellano 65 Modificatori fuzzy in FuzzyJ above identifica il primo valore in cui viene raggiunto il massimo valore di membership. Tutti i valori di membership sotto questo punto sono settati a 0, mentre quelli superiori sono settati a 1-y above below identifica il primo valore in cui viene raggiunto il massimo valore di membership. Tutti i valori di membership sopra questo punto sono settati a 0, mentre quelli inferiori sono settati a 1-y. below 66 33