ESERCITAZIONI DI ENERGETICA 1

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1 Dipartimento di ermoenergetica e Condizionamento Ambientale ESERCIAZIONI DI ENERGEICA Per allievi ingegneri meccanici A.A. 3-4

2 Corso di ENERGEICA (Mecc) ( AA 3/4 ) Esercitazioni con richiami teorici Conduzione (stazionaria) Richiami Nella conduzione termica il calore fluisce da una regione a temperatura maggiore verso una regione a temperatura minore attraverso uno o più mezzi posti a diretto contatto fisico. 'energia si trasmette per contatto diretto fra le molecole senza che queste si spostino sensibilmente, nei solidi opachi la conduzione è il solo meccanismo di scambio termico. Dalla teoria cinetica è noto che la temperatura di un corpo è proporzionale all'energia cinetica media delle sue molecole; quando le molecole di una regione possiedono una energia cinetica media maggiore di quella delle molecole di una regione adiacente, le prime ( a maggior temperatura ) cedono parte della loro energia alle molecole della regione più fredda. Il meccanismo di scambio energetico dipende dal particolare mezzo interessato al fenomeno: ad esempio, nei metalli è determinato dalla diffusione degli elettroni liberi più veloci verso le zone a temperatura minore, mentre nei fluidi lo scambio avviene per urto elastico. a relazione fondamentale della trasmissione del calore per conduzione è stata proposta da Fourier sulla scorta di osservazioni sperimentali. Essa afferma che la potenza termica trasmessa per conduzione è pari a ( caso monodimensionale ): q k A d W dx con k [W/mK] - conducibilità termica A [m ] - area della sezione attraverso la quale avviene lo scambio, misurata perpendicolarmente al flusso d/dx - variazione della temperatura rispetto alla coordinata spaziale nella direzione del flusso Questa relazione, che obbedisce alla seconda legge della termodinamica, associata alla legge di conservazione dell'energia, porta all'equazione della conduzione che, nel caso di continui omogenei, isotropi e con proprietà termofisiche costanti, assume la forma differenziale ( mono-dim ): ρ c k + q t x con ρ [kg/m 3 ] - massa specifica c [J/kgK] - calore specifico q''' [W/m 3 ] - sorgente volumetrica nel caso k e c dipendano dalla temperatura sarà invece: ρ( c ) ( ) ( ) t x k + q x

3 o, in altra forma ρ( c ) ( ) t k ( ) k ( ) q x + x + monodimensionale cilindriche: ρc t k r + q r r r monodimensionale sferiche: ρc t k r r r + q r Per ciò che riguarda lo scambio termico per convezione ed irraggiamento abbiamo in breve ( tanto per essere in grado di affrontare gli esercizi successivi ): convezione q h A ( s ) W Newton con h [W/m K] - coefficiente di scambio termico per convezione s - emperatura di parete - emperatura del fluido indisturbato q s solido fluido irraggiamento 4 4 q σ A ( ) W σ [W/m K 4 ] costante di Stefan-Boltzman fattore funzione della geometria e dell'emissività ε dei due corpi ε- emissività nel caso di un piccolo corpo con emissività ε racchiuso in una cavità con A >> A si ha: ε Per due cilindri concentrici indefiniti o due sfere concentriche ε A ε + + ε A ε dove il pedice () si riferisce alla sup interna. Per due piastre parallele indefinite: / ε + / ε 3

4 Esercizio Un forno industriale è costituito da pareti di mattoni refrattari, dello spessore di cm. aventi conduttività termica pari a k. [W/mK]. a superficie esterna del forno deve essere coibentata con un materiale con conduttività termica k 5 [W/mK]. Determinare lo spessore dell'isolamento necessario per limitare il flusso termico specifico disperso dalle pareti al valore di 9 [W/m ] quando la temperatura interna del refrattario è 9 C, e quella esterna dell'isolante vale 3 3 C. Determinare inoltre la temperatura all'interfaccia fra i due materiali. refrattario coibente 93 C 3 3 C k k 3 q R R 3 tot R R + R tot R ka ka R R q 3 ; + ka ka q A q k + k 3 Dobbiamo determinare : 3 k 5 9 4[ m] q k Consideriamo ad esempio il refrattario: q - 9 /. 8 C 75 C A / k Esercizio Una finestra con doppio vetro è costituita da due lastre di vetro dello spessore di 5 [mm] separate da uno strato di aria stagnante dello spessore di [mm]. a conduttività termica del vetro è 78 [W/mK] e quella dell'aria è 5 [W/mK]. Il coefficiente convettivo interno ( vetro-aria ambiente) vale [W/m K] mentre quello esterno (vetroaria esterna) vale 5 (W/m K). Si richiede: ) Determinare il flusso termico disperso per unità di area dalla finestra sapendo che la interna vale 5 C e la esterna -35 C. ) Comparare il risultato con quello che si otterrebbe utilizzando una finestra composta da un unico strato di vetro spesso il doppio ( mm ). 3) Calcolare nei due casi la temperatura * della superficie del vetro lato ambiente. 4

5 i * e h i k k k 3 h e 3 ) q A i e / h + / k + / k + / k + / h i 3 3 e q A 6 / + 5 / 78 + / / 78 + / 5. 6 W / m ) q A q i * q. ; * i C A / h Ah i i e 6 / hi + / k + / he / + / 78 + / * 5 C i W / m 5

6 Esercizio 3 Un tubo d'acciaio ( k 5 [W/mK] ) del diametro esterno D e 7.6 cm e dello spessore s.3 cm è ricoperto con un materiale isolante ( k [W/mK] ) dello spessore s cm. Un gas caldo alla temperatura di 3 C e con un coefficiente di scambio termico pari a [W/m K] fluisce all'interno del tubo. a superficie esterna dell'isolante è esposta all'aria alla temperatura di C, coeff. di scambio termico 5 [W/m K]. Calcolare: ) Il flusso termico disperso per un tubo lungo 5 m. ) le cadute di temperatura a- nel gas b- nell'acciaio c- nell'isolante d- nell'aria esterna isolante i 3 C e C acciaio r gas i h i [W/m K] k 5 [W/mK] k [W/mK] h e 5 [W/m K] r r 3 e aria r D e / 3.8 cm r r -s.5 cm r 3 r +s 5.8 cm 3 Ri 637. KW πrh i π 5 5 r 38. R ln ln 89. KW πk r π R R e r 3 58 ln ln πk r π KW πrh 3 e π i e q Rtot Ri + R + R + Re R q j R j tot 3 3 [ KW ] 3 R tot ( ) [KW - ] 3 q 35. kw gas K 3 acciaio K 3 isolante K K aria 6

7 Esercizio 4 Il lunotto posteriore di un'autovettura è attrezzato con un sistema anti-appannamento strutturato come dalla seguente figura. Un foglio di spessore trascurabile, applicato sulla faccia interna del lunotto è riscaldato elettricamente. Sapendo che la temperatura del foglio è pari a 8 C mentre le temperature all'interno ed all'esterno dell'autovettura valgono rispettivamente i C e e C, calcolare la potenza dispersa dall'interno attraverso il lunotto nei due casi a) resistore spento, b) resistore acceso. Calcolare inoltre la potenza per metro quadro dissipata dalla resistenza. Si assumano i seguenti dati : - spessore vetro 4 [m] - conduttività vetro 78 [W/mK] - coefficiente globale di scambio con l'esterno 35 [W/m K] - coefficiente globale di scambio con l'interno [W/m K] e h e k h i i q qsp A spento i e / h + / k + / h / / 78 + / e i [ W m ] / Dai dati a nostra disposizione siamo in grado di calcolare i flussi specifici lato interno e lato esterno rispetto al riscaldatore. q e 8 qe [ W / m ] A e / he + / k / / 78. q i 8 qi [ W / m ] A i / hi / (che rappresenta anche la potenza dispersa dall'interno, a riscaldatore acceso) Il contributo del resistore vale quindi: qr qe qi 8 W / m qe qr qi 7

8 Esercizio 5 (domanda orale) Un filo di cromel-nickel del diametro di 3 mm e conduttività termica k [W/mK] è riscaldato elettricamente dal passaggio di corrente elettrica, la quale provoca una generazione di calore uniforme pari a q''' 9 [W/m 3 ]. Se la superficie del filo è mantenuta alla temperatura di C determinare la temperatura che si stabilisce al centro del filo ( sull'asse). R R Eq. conduzione in coordinate cilindriche ( filo di lunghezza infinita) ρ c k r + q t r r r regime permanente ( ( ) t r d dr d rq r dr dr k r d dr + q k d r q r + C dr k d r dr r R R d rq C + dr k r d In r finita e d dr ; segue C d rq r q + C dr k 4k Rq in rr R ; segue C R + 4k qr r R r R + k R qr k 4 / 4 R q R (. 5 ) asse max R C 4k 4 8

9 Esercizio 6 (domanda orale) Una barra cilindrica di combustibile nucleare per un reattore refrigerato a gas ha raggio R cm e conduttività termica k [W/mK]. Il gas refrigerante ha una temperatura di 35 C ed il coefficiente di scambio termico convettivo vale h[w/m K]. Nell'ipotesi di poter considerare uniforme il calore generato all'interno dell'elemento di combustibile nucleare per effetto della fissione e pari a q''' 66 [W/m 3 ], calcolare la temperatura massima che si stabilisce all'interno della barra di combustibile. R h, d d r r dr dr + q k d r dr r R k d h ( ( R) ) dr d rq d r q r r + C dr dr k dr k In r finita e d dr ; segue C d rq C + dr k r d d dr d dr rq rq + C k 4k R Rq Rq ( R) + C k 4k k Rq Rq hc k 4k qr qr C + + h 4k avremo in definitiva q R q R r + + h k 4 R a temperatura massima si stabilisce sull'asse e corrisponde a C :.. max C 4 9

10 Esercizio 7 Una lamiera in ferro delle dimensioni m x m x 3 m, inizialmente alla temperatura di 3 C viene refrigerata in aria ambiente ( temperatura aria: C ). Il coeff. di scambio termico globale medio vale h 3 [W/m K]. a conduttività termica della lamiera è k45 [W/mK], la densità ρ 78 [kg/m 3 ] ed il calore specifico c 48 [J/kgK]. Calcolare il tempo impiegato per raggiungere la temperatura di 5 C, calcolare il calore complessivo ceduto all'aria fino a quell'istante. s m Controllo numero di Biot: heq V A* s Bi eq s / k A A * B i 3 5 << ok 45 A* m du q dt cmd ha () t dt ρcv d ha dt d ( ) ha ρcv dt d ( ) t t ha ρcv d τ ha ln ( ) cv t t ρ assumendo t e chiamando τ ( costante di tempo) il rapporto ρcv/ha, (τ 87.) scriviamo: ln t τ il tempo necessario affinché 5 C sarà ρcv t5 ln ln 48. s 7 ' ha roviamo il calore ceduto in questo periodo di tempo: Q ρcv i J Si può anche procedere in un altro modo ( non consigliato):

11 t t t / τ t5 / τ [ ] [ ] τ [ ]( ) 5 5 Q ha dt ha e dt ha e ρcv ha ha. / e 5. 6 t5 / τ t5 / τ [ ]( e ) ρcv [ ]( e ) [ ]( ) [ ] Esercizio 8 Una cartolina elettronica delle dimensioni xx3 [mxmxm] si trova inizialmente alla temperatura dell'aria ambiente a C. Durante il funzionamento essa dissipa una potenza elettrica pari a 3 [W] ed è refrigerata in convezione naturale dall'aria con un coeff. di scambio termico ( medio) h 8 [W/m K]. Nell'ipotesi di trascurare la resistenza termica conduttiva interna della cartolina e di assumere uniformemente distribuito il flusso termico dissipato, valutare la temperatura della cartolina dopo [s] dall'inizio del transitorio ed a regime. Determinare la costante di tempo del transitorio. Si assumano le seguenti proprietà termofisiche medie per la cartolina: ρ 7 [kg/m 3 ]; c [J/kg K] J A regime la potenza termica prodotta per effetto Joule deve essere uguale a quella dispersa per convezione: P ha( max a ) per cui P 3 max a C ha 8 ( ) Per ciò che riguarda la costante di tempo sappiamo che: ρcv 7 ( 3) τ ha 8 ( ) Il sistema ha risposta transitoria 56 s ' per cui se t-t [s] avrò: max a a e t t τ + ( 3. 7 )( ) C e 56

12 Esercizio 9 (domanda orale) a) Sia data una lastra piana di spessore con conducibilità termica dipendente dalla temperatura kk(). a temperatura sulle due facce della lastra valga e rispettivamente (sn e dx). Calcolare la conducibilità equivalente ( e res. termica equivalente). Si consideri il sistema a regime. q k A eq ovvero q keq (*) A ( ) occorre valutare q e ( - ) q k A d ( ) qdx Ak( ) dt q dx A k( ) d dx q e costante nello spazio perché siamo a regime (altrimenti si avrebbe accumulo e variazione di energia interna e quindi di temperatura). q A kd ( ) Sostituendo nella (*) si ottiene: keq kd ( ) ovvero una media integrale di k fra le temperature e. Sarà poi Rteq q keq A b) come caso precedente ma kk(x) q k x A d q dx dx ( ) Adt q A d dx k( x) k( x) q A dx k( x) Sostituendo nella (*) si ottiene: keq dx k( x) che è una media integrale armonica.

13 Esercizio (domanda orale) Determinare la distribuzione di temperatura a regime in una lastra piana di spessore con conducibilità termica kk()k + k. Dall'esercizio precedente q vale A q A kd A k k d k k + + q ( ) ( ) ( ) * ripetendo l'integrazione fra la faccia di sinistra ed un punto generico x si ottiene: x x x A q dx A k d q A k k d k k * ( ) * ( + ) ( x x ) + x tale equazione rappresenta una parabola in ovvero una funzione del tipo: x a + b + c in particolare( con al posto di x ) A x k k + ( ) q * e, mettendo il valore di q*: x k k ( ) + k + k ( ) Andamento qualitativo campo termico x k > k < Ad esempio nel caso in cui k > la conducibilità è maggiore ad alte, quindi in x Di conseguenza sarà minore, in modulo, d/dx ( in quanto q è costante ). 3

14 Corso di ENERGEICA (Mecc) ( AA 3/4 ) Esercitazioni con richiami teorici richiami Convezione a convezione è un meccanismo di trasporto dell'energia termica che si attua mediante la combinazione di: conduzione accumulo di energia mescolamento. E' il più importante meccanismo di scambio termico fra una superficie solida ed un fluido. Dapprima il calore passa per conduzione dalla superficie alle particelle fluide adiacenti da cui l'aumento di temperatura di queste. Il movimento trasporta poi le particelle fluide in zone a minor temperatura con conseguente scambio di energia. A seconda delle cause che determinano il moto anzidetto si distingue fra convezione libera (naturale) e forzata. Nella prima il moto è causato da differenze di densità dovute a gradienti di temperatura, nella seconda il moto è indotto da un agente esterno. Siccome l'efficacia della convezione dipende in larga misura dal moto del fluido è necessario lo studio fluidodinamico del sistema Usualmente, la potenza termica ( W ) scambiata per convezione tra una superficie ed un fluido si esprime mediante la seguente: qc hc A () q c [W] potenza termica A [m ] area superficie di scambio s - [K] temperatura della superficie meno temperatura in punto specificato (solitamente lontano dalla parete) h c [Wm - K - ] valore medio del coefficiente di scambio termico convettivo. Il coeff. locale h c è definito da dq c h c da ( s - ) per cui: hc hcda A 'eq. () rappresenta una definizione per h c piuttosto che una legge fisica dello scambio termico per convezione. h c sarà una funzione complessa della fluidodinamica, delle proprietà termiche del fluido e dalla geometria del particolare sistema considerato. Uno degli aspetti più importanti dell'analisi fluidodinamica è quello di stabilire se il moto è laminare o turbolento. Nel caso il fluido si muove a strati e l'energia (termica) si trasmette solo per conduzione all'interno del fluido e all'interfaccia solido-fluido. Non si hanno correnti di mescolamento. Nel moto turbolento, invece, il meccanismo di scambio è favorito da vortici che trasportano gruppi di particelle di fluido attraverso le linee di corrente. Queste particelle agiscono come trasportatori di energia. A 4

15 Strato limite Indipendentemente dal tipo di moto le particelle vicine alla superficie sono rallentate da forze viscose e quelle adiacenti ad essa vi aderiscono. Un siffatto gradiente di velocità da luogo ad uno sforzo di taglio pari a : τ µ dw dy con τ- sforzo tangenziale [N/m ] w- velocità [m/s] y distanza dalle parete [m] µ- viscosità dinamica [ ] o spessore dello strato limite è definito come la distanza dalle superficie alla quale la velocità assume un valore pari al 99 % di quello della vel. indisturbata. Mediante l'introduzione di questo concetto risulta possibile porre in forma risolubile le eq. di Navier Stokes, calcolare le forze di attrito, etc. Nel caso esemplificativo di un flusso d'aria su lastra piana parallela alla corrente, lo spessore dello strato limite ed i profili di velocità assumono la forma seguente: y w w sottostrato laminare x x c laminare transiz. turbolento x a distanza alla quale lo strato limite cessa di essere laminare è detta x critico e viene espressa tramite una grandezza adimensionale detta n locale di Reynolds ρw xc w xc Rec µ ν che è un indice del rapporto fra forze di massa e forze viscose. Se queste ultime sono prevalenti ( ovvero R e > R e c ) si ha moto laminare, altrimenti turbolento. 'andamento dello spessore dello S.. dipende da x / se il moto è laminare e da x 4/5 nel caso turbolento. a transizione fra regime laminare e turbolento dipende, a parità di geometria e fluido, dall'entità dei disturbi all'interno della corrente che sono causati principalmente da: ) disturbi già presenti nella corrente indisturbata. ) rugosità della superficie. 3) modalità di scambio termico. In condizioni medie la transizione per piastra piana avviene per R e c

16 Scambio termico Nello studio dello scambio termico per convezione si possono seguire differenti approcci: ) a soluzione analitica delle equazioni dello strato limite ) o studio approssimato dello strato limite con metodi integrali 3) 'analisi dimensionale combinata con esperimenti 4) 'analogia fra trasporto di calore, materia e quantità di moto )- a soluzione matematica esatta delle equazioni dello S.. richiede la soluzione simultanea delle equazioni del moto e del trasporto di energia nel fluido. Occorre sottolineare che una descrizione matematica completa è possibile solo per il regime laminare e, anche per questo, le equazioni sono molto complesse e sono state risolte solo in un numero ristretto di sistemi semplici come ad esempio nel caso di moto su lastra piana. e equazioni necessarie sono: - Eq. di continuità - Eq. quantità di moto - Eq. energia o sviluppo dei calcolatori elettronici ha allargato molto il campo dei problemi trattabili matematicamente anche se la soluzione risultante è numerica. )- o studio approssimato dello strato limite parte dall'assegnazione di una funzione plausibile per descrivere la distribuzione di velocità e temperatura. I risultati ottenuti con tale metodo ben si accordano con le soluzioni esatte nei casi in cui queste siano disponibili; inoltre questo tipo di analisi approssimata è fattibile anche in condizioni di regime turbolento. Nello studio approssimato dello strato limite, invece di scrivere le eq. differenziali del caso ( con riferimento quindi ad un volume di controllo infinitesimo) si considera un volume di controllo finito opportuno pervenendo ad equazioni integrali nelle quali vengono assegnate delle ragionevoli distribuzioni di temperatura e velocità. a soluzione di tali eq. porterà ad espressioni per h c. 3)- 'analisi dimensionale, combinata con esperimenti, sebbene fornisca pochi contributi alla comprensione del fenomeno fisico, rende agevole la sua descrizione tramite correlazioni generali. Attraverso il teorema π di Buckingam è infatti possibile ridurre le variabili che influenzano il fenomeno ad un numero accettabile per il progetto di una campagna sperimentale parametrica che conduca a correlazioni fra pochi gruppi adimensionali. Nella ricerca di una espressione per h c, sebbene questo sia funzione di 6 variabili, risulta possibile correlare i dati sperimentali mediante 3 gruppi adimensionali indipendenti. Si parte da una espressione del tutto generale del tipo: h f( D, k, w, ρ, µ, c ) \ caso di un tubo c p D - diametro tubo k - conducibilità termica fluido w - velocità ρ - densità µ- viscosità dinamica c p - calore specifico a pcost. che mette in relazione 7 variabili. Con un procedimento analogo a quello visto per le perdite di carico ( λ λ(r e,ε/d) ) si perviene alla relazione: Nu f( Re, P D r ) che utilizza solo 3 gruppi adimensionali 6

17 hc D Nu k ρ w D Re µ numero di Nusselt numero di Reynolds cp µ ν Pr k α numero di Prandtl e risulta solitamente realizzata nella classica forma N n C R m u 4) 'analogia fra trasporto di calore, materia e quantità di moto è infine particolarmente impiegata per analizzare i fenomeni di trasporto turbolento. Quest'ultimo è descritto mediante modelli semplificati e, secondo uno di questi, tanto il trasporto del calore quanto quello della quantità di moto sono dovuti ad un moto di mescolamento in direzione normale a quella prevalente. Il moto di mescolamento può essere descritto su base statistica con un metodo simile a quello usato per descrivere il moto delle molecole nella teoria cinetica dei gas. Convezione naturale Nella convezione naturale la fisica del problema comporta che la velocità del fluido non è più una quantità indipendente in quanto dipende dalla forza ascensionale che obbedisce alla legge di Archimede ed è in relazione al coefficiente di dilatazione β del fluido definito come: ρ ρ v v + β( ) ovvero β ρ( ) per i gas perfetti, ad esempio, risulta ( a p cost.) β Ciò comporta l'introduzione del numero adimensionale G r ( numero di Grashof ) che rappresenta il rapporto fra forze ascensionali e viscose. 3 ρ gβ( ) Gr µ I risultati sperimentali in convezione libera ( naturale ) possono essere correlati da una equazione del tipo: Nu ϕ( Gr) ψ( P r ) Per gas aventi la stessa atomicità il numero di P r e costante, avremo quindi Nu ϕ( Gr) Nel caso siano trascurabili le forze di inerzia il parametro di similitudine è il prodotto G r P r ( R a - numero di Rayleigh ) e si avrà: N ϕ( R ) r u Quando il rapporto G è maggiore di gli effetti della spinta ascensionale non Re possono essere trascurati rispetto alla convezione forzata. ed a P r 7

18 Convezione forzata all'interno di tubi e condotti Come sempre la potenza termica scambiata si esprime con una espressione del tipo: qc hc A( sup fluido ) h c si ricava dal numero di Nusselt hc Deq / k dove, per tubi lunghi area della sezione normale al moto D eq 4 perimetro bagnato Come temperatura del fluido si assume m, temperatura di massa, detta anche temperatura di mescolamento in tazza. Questo permette di fare rapidamente i bilanci termici poiché a regime permanente la variazione di m fra due sezioni è proporzionale alla potenza termica scambiata: q Gcp m matematicamente m è definita in termini di energia termica: Se c v può essere considerato costante Se inoltre il fluido è incompressibile m m A c dg v c m A v dg G v A wda A G ρwc da v ρwc ρwda A Au v m da wda Se la temperatura di parete della condotta è costante si pone fluido f m ingresso + m uscita f e proprietà termofisiche del fluido vanno invece calcolate alla temperatura media del film ovvero + sup * fluido Influenza del numero di Reynolds Assegnato il fluido ( fissato quindi P r ) il numero di Nusselt dipende da R ed. In condotti lunghi ( ovvero trascurando gli effetti di imbocco ) la transizione fra moto laminare e turbolento si ha per < R e D < Il meccanismo di scambio termico risulta favorito dalle condizioni turbolente come si nota nel seguente diagramma ( aria in un tubo ): 8

19 Nu Nu α Re 8 laminare transizione turbolento Nuα Re 3 Re 5 Un aumento del coeff. di scambio si ottiene quindi aumentando la turbolenza in modo che i vortici penetrino maggiormente nel sottostrato laminare. Ciò si può ottenere tramite vorticatori e aumentando la velocità ma si avrà un aumento della potenza di pompaggio richiesta a causa delle perdite per attrito. Influenza del numero di Prandtl Il numero di Prandtl è funzione solo delle proprietà del fluido e correla la distribuzione di temperatura alla distribuzione di velocità. I profili di temperatura e velocità sono simili per fluidi aventi Pr unitario. Se Pr << allora il gradiente di temperatura è minore di quello di velocità in prossimità della parete; se Pr >> avviene il contrario. s- s-asse 8 6 Pr 4 Re r - re Alcune correlazioni per moto su piastra piana (conv. naturale) sup verticale h c / Nu. 555 Ra < Ra < k h c 3 / 9 Nu. 3 Ra Ra > k 4 9 9

20 sup orizz. ( faccia calda verso l'alto) h c 4 / 5 7 Nu. 54 Ra < Ra < k h c / Nu. 4 Ra < Ra < 3 k 3 7 sup orizz. ( faccia calda verso il basso) h c / Nu. 7 Ra 3 < Ra < 3 k 4 5 semplici applicazioni (con elementi di irraggiamento) Esercizio Si vuole misurare la temperatura dell'aria all'esterno di un locale. Per realizzare questa operazione si dispone di un termometro a capillare, inizialmente alla temperatura di C. Il termometro può essere immaginato come un cilindro di vetro ( conducibilità termica. W/mK, densità kg/m 3, calore specifico 75 J/kgK) alto cm ed avente diametro di 3 mm; la temperatura esterna è di 8 C, lo scambio termico è convettivo forzato e si assume la seguente correlazione di scambio: N 4. R P u D ed r assumere inoltre: velocità dell'aria all'esterno m/s, conducibilità 5 W/mK, calore specifico.4 kj/kgk, viscosità dinamica.79-5 m /s. Si richiede di valutare: ) Il coeff. convettivo esterno. ) 'applicabilità del modello di corpo sottile. 3) Il tempo necessario affinché il termometro (inteso come corpo sottile ) si porti ad una temperatura che differisce di 5 C da quella esterna. ) D πd π 3 V. 77. m 4 4 πd 4 S πd m 4 V m ( circa r / ) eq S w D 3 R e D 5 ν 4. c µ p aria P 7. r k 5 aria u e r N 4 R P D D

21 ) karia W mk h N /. 6 W / m K ud D 3 m B i h eq k. vetro 4 4 < ok! 3) ransitorio di corpo sottile hs ρcv t e C 8 C * C * * ρcv t ln 7.4 ln 63 hs 6 Esercizio In un tubo sottile in rame, a sezione circolare ( D e 5 mm ) e lungo m, scorre una portata G.35-3 kg/s di acqua. Vengono misurate le temperature di massa all'ingresso e all'uscita del condotto ottenendo: i 4.9 C e u 4.95 C. enendo presente che il tubo cede energia all'ambiente circostante sotto forma di calore attraverso i due meccanismi della convezione naturale e dell'irraggiamento (ε85), determinare: ) la potenza termica ceduta all'esterno per convezione naturale fra le sezioni di ingresso e di uscita. ) il coefficiente di scambio convettivo medio tubo-aria hc 3) Confrontare infine il risultato ottenuto con opportuna correlazione. [] s i u G D e q c q irr q tot q c + q irr Consideriamo dapprima il bilancio energetico fra le sezioni di ingresso e di uscita del tubo, sarà ( assumendo c 486 [J kg - K - ] ): q G c( ) ( ) 4. 8 W tot i u 3 a potenza ceduta sarà la somma di due contributi qc, dovuto alla convezione, e q irr, dovuto all'irraggiamento. Determiniamo q irr mediante la seguente: 4 4 q A σ irr e ( ) s amb dove

22 Ae superficie di scambio: A π D 57 m e e σ costante di Stefan-Boltzmann: σ [ Wm - K -4 ] - ε 85 ( piccola superficie in grande cavità ) s ( i + u )/ ( ) / K temperatura media superficie esterna del tubo amb 4. C 98.4 K temperatura ambiente q ( ). 5 irr W Per la quota di potenza termica ceduta per convezione sarà allora: qc [W] A questo punto, attraverso l'eq. di Newton, potremo ricavare il coefficiente di scambio convettivo come: qc 3.9 W hc. A ( ) 57( ) m K e s amb Una correlazione appropriata per convezione naturale di aria all'esterno di un tubo orizzontale è data da: che fornisce / 4 s h.3 c [W/m K] De / h c.3 [W/m K] 5 l'errore percentuale relativo alla correlazione vale e% (.-)/ % accettabile! Esercizio 3 Una termocoppia, ( diametro esterno.79 mm ) è posta orizzontalmente in una cavità molto grande le cui pareti sono a 38 C. a cavità contiene aria stagnante da considerarsi perfettamente trasparente. a f.e.m. della termocoppia indica una temperatura di 3 C. Si determini la vera temperatura dell'aria se l'emittenza della termocoppia vale 8 ( assumere termoc. in equilibrio termico con aria e pareti ). pareti tc a termocoppia misura la temperatura di se stessa. 'equilibrio termico impone che non vi sia flusso termico netto ceduto dalla termocoppia, ovvero: q + q irr c Siccome q irr è ceduto q c dovrà essere acquistato, quindi aria > tc

23 4 4 e tc pareti e c aria tc A σε( ) A h ( ) dove h c non è nota. utilizzeremo la correlazione 4 / aria tc hc 3. De per cui: / σε ( tc pareti ) 4 / ( aria tc ) D / 45 / 4 σε D e 4 4 ( aria tc ) ( tc pareti ) 3. e / 45 / ( 79 ) 4 ( ) (. ). [ K] aria tc ovvero aria 39.8 C Esercizio 4 Dell'acqua ad 8 C ed a 7.5 m/s scorre in un sottile tubo di rame, avente un diametro interno di 5 cm. Il condotto si trova in un locale a 6 C e il coefficiente di scambio all'esterno vale h e W/mK. a) determinare il coefficiente di scambio termico sulla superficie interna. b) valutare la lunghezza del tubo che dia luogo ad una caduta di temperatura dell'acqua pari ad C. ) valutiamo il numero di Reynolds per stabilire il regime di moto, ci occorre la viscosità cinematica: la interpoliamo dalle tabelle: SBAGIAOν( 8) ( ) 368 m / s R e D w D ν > turbolento utilizzeremo allora la seguente correlazione ( conv. forz. all'interno di condotti, moto turbolento): N 3 R P u ed r Dalle tabelle si ottiene, interpolando, P r N u 3 ( 3. 6 ) Dalle tabelle si ottiene, interpolando, k HO 67 [W/m K] infine ricaviamo h i come 3

24 h i k Nu D 5. HO 66 W / m K Riguardo la caduta di temperatura lungo il tubo facciamo un bilancio del tipo: Gc( ) Ah( ) i u s D π ρ cw ( i u) π Dh e( s ) 4 ρcwd( i u) h ( ) 4 66 e s m Esercizio 5 Due grandi piastre piane parallele, opache e grigie, a piccola distanza l'una dall'altra, si trovano rispettivamente alla temperatura K e 5 K ed hanno una emissività pari a ε 6 e ε 8. Calcolare il flusso termico radiativo netto scambiato tra le lastre. 4 4 q A σ ( ) ε A ε + + ε F A ε ma A A, F /. /. ε ε q ϕ ( 5 ) 764 W / m A Esercizio 6 Una stanza cubica di 3 m x 3 m x 3 m è riscaldata mantenendo il soffitto alla temperatura 7 C mentre le altre pareti laterali ed il pavimento si trovano alla temperatura di C. Assumendo che tutte le superfici abbiano una emissività ε8 determinare il flusso termico radiativo scambiato dal soffitto. A K ε 8 A m 3 m A 83.5 K ε 6 A m 4

25 ma F - e A /A /5 A ε ε + + ε F A ε ( 8) q q A σ ( ) ( ) 9. 5 W Esercizio 7 Un blocco cubico ( m x m x m ) è sospeso, con una faccia orizzontale, in una stanza ove vi è aria stagnante a C. utte le superfici del cubo ( ε 6) sono mantenute alla temperatura di 5 C mentre le pareti della stanza si trovano alla temperatura di C ed hanno emissività 8. Valutare il flusso termico scambiato complessivamente fra cubo e ambiente ( convezione + irraggiamento ) A m A Contributo radiativo 4 4 q A σ ( ) ma F - e A >>A q A ε A ε ε + + ε F ε 6. + ε ( ) 5 4 Contributo convettivo: emperatura del film per il calcolo delle proprietà termofisiche dell'aria: f ( s + )/ ( 5 + )/ 8 C W 5

26 Per tale temperatura si ricava: ν( 8) (.. 68) m / s P r 7 k3 [W/mK] β.85-3 [/K] calcoliamo il numero di Grashof 3 βg ( ) 3 3 s ( 5 ) 6 G 896. r 4 ν ( 9 ) laterali: 4 / 6 4 / N 56 ( G P ) 56 ( ) 8. u r r k h N u. W / m K alto 4 / 6 4 / N 54 ( G P ) 54 ( ) 7. u r r k h N u. W / m K basso 4 / 6 4 / N 7 ( G P ) 56 ( ) 3. 6 u r r k h N u. W / m K quindi q ( )( 5 ) c q q + q W tot i c W 6

27 Convezione forzata Ancora richiami a potenza termica ( W ) scambiata per convezione tra una superficie ed un fluido si esprime mediante la seguente: qc hc A () qc [W] potenza termica A [m ] area superficie di scambio w - [K] temperatura della superficie meno temperatura in punto specificato (solitamente lontano dalla parete) h c [Wm - K - ] valore medio del coefficiente di scambio termico convettivo. Il coeff. locale h cx è definito da dq c h cx da ( w - ) per cui: hc hcxda A Strato limite Indipendentemente dal tipo di moto le particelle vicine alla superficie sono rallentate da forze viscose e quelle adiacenti ad essa vi aderiscono. Un siffatto gradiente di velocità dà luogo ad uno sforzo di taglio pari a : du τ µ dy con τ- sforzo tangenziale [N/m ] u- velocità [m/s] y distanza dalle parete [m] µ- viscosità dinamica o assoluta[pa s ovvero Ns/m ] o spessore dello strato limite è definito come la distanza dalla superficie alla quale la velocità assume un valore pari al 99 % di quello della vel. indisturbata. Mediante l'introduzione di questo concetto risulta possibile porre in forma risolubile le eq. di Navier Stokes, calcolare le forze di attrito, etc. Nel caso del flusso di un fluido su lastra piana parallela alla corrente, lo spessore dello strato limite ed i profili di velocità assumono la forma seguente: A Convezione su lastra piana 7

28 y u u sottostrato laminare x x c laminare transiz. turbolento x a distanza alla quale lo strato limite cessa di essere laminare è detta x critico, x c, e viene espressa tramite il n locale di Reynolds ρu xc u xc Rec µ ν che è un indice del rapporto fra forze inerziali e forze viscose. Se queste ultime sono prevalenti ( ovvero R e < R e c ) si ha moto laminare, altrimenti turbolento. Se il moto è laminare valgono le correlazioni a pagina. Se il moto è turbolento, un'espressione in grado di correlare il coefficiente di attrito locale è: 5 C fx 59 Re / 5 7 x 5 < Re x < dove τwx C fx ρu / mentre per lo spessore dello strato limite idrodinamico abbiamo: 37 x δ.re / Confrontando δ turb con δ lam si nota che lo spessore dello strato limite turbolento cresce più rapidamente di quello laminare ed infatti tale spessore dipende da x 4/5 se il moto è turbolento e da x / nel caso laminare. a riduzione con x del coefficiente di attrito è meno rapida, si ha: 5 / / Cfx turb. x anzichè Cfx lam. x Nel regime turbolento lo sviluppo dello strato limite è influenzato fortemente dalle fluttuazioni casuali nel fluido e non dai processi di diffusione molecolare. Una correlazione per lo scambio termico valida per il regime turbolento su lastra piana è: 45 / 3 / N 96 Re Pr 6 < Pr < 6 N ux u x 45 / 3 / 37 Re Pr Se la transizione fra regime laminare e turbolento avviene verso la fine della lastra, ovvero: xc 95. < < 5 x " 8

29 allora le correlazioni valide per il regime laminare possono essere applicate a tutta la piastra con errore trascurabile. uttavia, se la transizione avviene in un punto ancora lontano dall'estremità della piastra ( x c / <.95 ) il coefficiente di scambio termico medio sarà influenzato sia dal tratto in regime laminare che da quello turbolento. Si ha allora una situazione di strato limite misto. h x c hlamdx + h xc con h lam x / dove si è ipotizzato che la transizione avvenga improvvisamente in corrispondenza di x c. Integrando si ottiene l'espressione: ; h turb turb x dx / 5 N / + 45 / 45 / 3 / u 664 Re x 37 (Re c Re x ) Pr c che può essere scritta come dove N u 37 Re A Pr 45 / 3 / A 37Re 664 Re 45 / / xc xc Se come valore di Re xc si assume quello tipico Re xc 5 5 si ottiene: N u 37 Re 87 Pr 45 / 3 / valida per 6 <Pr < <Re < 8 Re xc 5 5 Risulta evidente che nelle situazioni in cui >>x c ( Re >>Re xc ) si ha: 45 A << 37Re / e si riottiene la correlazione valida per regime turbolento 45 / 3 / 37 Re Pr N u 9

30 Convezione esterna su superfici affusolate Nel primo tratto il fluido accelera ed il gradiente di pressione negativo è favorevole. Infatti dall'eq. di Bernoulli: δe δatt + vdp + udu + gdz in assenza di lavoro esterno, trascurando le variazioni di quota si ha: vdp ( δ att + udu) Se il fluido accelera ( du > ) la pressione diminuisce. Nel secondo tratto il fluido decelera ed il gradiente di pressione diventa contrario al moto non appena udu diventa, in modulo, maggiore del termine δ att. Quando il fluido decelera il gradiente di velocità, in direzione ortogonale alla parete u y y può diventare negativo. In questo punto si ha la cosiddetta separazione dello strato limite: vicino alla parete il fluido non ha sufficiente quantità di moto per vincere il gradiente di pressione avverso ed il moto in avanti, in tale punto, diventa impossibile. Questa è la condizione per cui lo strato limite si "stacca" dalla parete e si forma un wake ( scia ) nella regione a valle. Il flusso nella regione adiacente alla superficie è caratterizzato dalla formazione di vortici ed è molto irregolare. Come detto la condizione per il detachment dello strato limite è u y y Alcune correlazioni sono date nell'esercizio 4. 3

31 Convezione forzata in condotti Regime laminare Re D < ; Pr > 7 Condotti lunghi (/D>) N u D.86 (Re Pr D / ) Condotti corti < Re D Pr D/ < 5 ; Pr > 7 Re Pr D Nu D ln Pr (Re Pr D) Regime turbolento 8. n Condotti lunghi (/D>) Dittus-Boelter Nu f 3 Re f Pr f n 4 for heating n3 for cooling) 8. / 3 Colburn Nu f 3 Re f Pr f Sieder-ate 4 8 / 3 µ m N u m 3 Re Pr m m µ w a b Sleicher-Rouse Nu m Re f Pr w a 88 4 / ( 4 + Pr ) b / 3+ 5 e 33 5 µ µ w 6. Pr w m w 4 con 4 < Re f < 6 ; < Pr w < 5 Condotti corti < D/ < ; Pr > 7 Nuf 3 + ( D / ) Re Pr Applicazioni Esercizio Un fluido alla temperatura di 6 C ed alla pressione di bar scorre lungo una piastra larga 3 cm alla velocità di 3 m/s. Sapendo che la piastra si trova alla temperatura di 6 C calcolare per x 3 cm le seguenti grandezze: a) spessore dello strato limite; b) coefficiente di attrito locale e medio; sforzo tangenziale locale dovuto all'attrito; d) spessore dello strato limite termico; e) coefficiente di scambio termico locale e medio; f) flusso termico scambiato per convezione. Svolgere i calcoli per i seguenti tipi di fluido: aria, acqua e olio leggero 3

32 Prop. termofisiche ( film ) Aria H O Olio leggero ρ [kg/m 3 ] c p [J/kg K] µ [N s/m ] λ [W/m K] v [m /s] Pr Correlazioni, calcoli e soluzioni sono a pag. Esercizio Dell'aria alla pressione di 6 kn/m ed alla temperatura di 3 C scorre alla velocità di m/s su di una lastra piana lunga 5 m. Valutare il flusso termico che occorre sottrarre alla piastra per unità di larghezza se si vuole mantenere la sua superficie alla temperatura di 7 C. p 6 kn/m 3 C w m/s 7 C 5 m Proprietà termofisiche dell'aria alla temperatura del film f 437 K, p atm: viscosità cinematica ν384-6 m/s, conduttività k W/mK, Pr 687. Nota: le proprietà quali k, Pr ed µ possono essere assunte indipendenti dalla pressione con eccellente approssimazione. uttavia la viscosità cinematica vµ/ρ varia con la pressione in proporzione inversa alle variazioni di densità. Applicando la legge di stato dei gas perfetti si ha che, a parità di temperatura : p p p ρ ρ ρ ρ p essendo µ costante sarà anche: νρ νρ ν ν ρ ρ ed infine v v p p Pertanto la viscosità cinematica dell'aria a 437 K ed alla pressione di 6 kn/m risulta v v p 5. 3 N / m m / s 3 p 6 N / m Il flusso termico scambiato per unità di larghezza della piastra varrà: 3

33 Vediamo il regime di moto Re q h ( ) u m / s 5 m v 5. m / s Il moto è laminare lungo tutta la piastra e si può pertanto applicare la correlazione w ed infine N u 664 Re Pr Nu k h / 3 / / 3 / W / mk 5. m 48. W / m K q ( 3 7) 57 W / m Esercizio 3 Una lastra piana di larghezza b m è mantenuta alla temperatura uniforme di 3 C usando riscaldatori elettrici indipendenti ciascuno della lunghezza di 5 mm. Dell'aria atmosferica alla temperatura di 5 C scorre lungo la parete alla velocità di 6 m/s. Quale è il riscaldatore che richiede il massimo input elettrico? Quale è questo valore? 5 C u 6 m/s 3 C insulation 6 5 mm Proprietà termofisiche dell'aria alla temperatura del film f 4 K, p atm: viscosità cinematica ν6.4-6 m /s, conduttività k W/mK, Pr 69 'individuazione del riscaldatore che dissipa la maggiore potenza richiede il calcolo del punto in cui si verifica la transizione da moto laminare a moto turbolento. Nel primo tratto il moto è sicuramente laminare ottenendosi per Reynolds: u Re 4. 6 v

34 Se si assume la transizione controllata da Re c 5 5 corrispondenza del 5 elemento, più precisamente: la transizione avverrà in v c xc 6 5 Re 6. 4 ( 5 ). m u 6 Il riscaldatore che richiede il massimo input è quello per il quale il coefficiente di scambio termico medio è più elevato. Conoscendo come varia h con x si può concludere che vi sono le seguenti tre possibilità:. Il riscaldatore poiché corrisponde al valore locale di h più elevato della convezione naturale.. Il riscaldatore 5 poiché corrisponde per un tratto al valore locale di h più elevato della convezione turbolenta. 3 Il riscaldatore 6 poiché le condizioni di regime turbolento esistono per tutta la superficie del riscaldatore e sebbene il valore di h sia inferiore a quello massimo dell'elemento precedente il valore medio potrebbe essere più alto. In assenza di disperdimenti per ciascun riscaldatore sarà P elettrica q conv. Per il primo riscaldatore : Il regime è laminare quindi qc, h( b)( w ) N u 664 Re / Pr / 664 (. 4 ) / 69 / 98 h Nu k W / mk 34 W / m K 5. m qc, 34 ( 5 )( 3 5) 37 W a potenza richiesta per il 5 riscaldatore può essere ottenuta sottraendo il flusso dissipato dai primi 4 riscaldatori a quello dissipato dai primi 5. Procediamo così in quanto abbiamo a disposizione correlazioni che danno h medio a partire dall'inizio della lastra. q h ( b)( ) h ( b)( ) c, w 4 4 w q h h ()( ) c, w N u 4. Re / 4 Pr /. (. ) /. / h 4 Nu4 k W / mk. m 67 W / m K N u 5. Re / 5 Pr /. (. ) / (. ) / h 5 N u5 k W / mk 5. m 74 W / m K qc, ( )( 3 5) 46 W 34

35 In modo del tutto simile la potenza richiesta per il 6 riscaldatore si ottiene sottraendo dalla potenza richiesta da tutte 6 le resistenze il flusso termico dissipato dalle prime N u 6. Re / 6 Pr /. (. ) / (. ) / h 6 Nu6 k W / mk 3. m 85 W / m K qc, ( )( 3 5) 435 W Risulta quindi q 6 >q >q 5 e la resistenza 6 dissipa la maggiore potenza. Esercizio 4 Un filo di platino lucidato, avente un diametro di 3 mm e lungo 6.3 mm, viene utilizzato in un anemometro a filo caldo per misurare la velocità di aria a C in un intervallo compreso tra. e 6 m/s. Il filo è montato nel circuito a ponte di Wheatstone di Fig. (a) e viene mantenuto alla temperatura di 3 C regolando la corrente col reostato. Per progettare il circuito elettrico occorre conoscere la corrente necessaria, in funzione della velocità dell'aria. a resistività del platino a 3 C è.7-7 Ω m. Siccome il filo è molto sottile si può trascurare il gradiente radiale di temperatura. Alla temperatura media del film di 5 C l'aria ha una conducibilità k 35 [W/mK] ed una viscosità cinematica pari a v 5-4 [m /s]. Alla velocità di. m/s il n di Reynolds vale. 3 u D. 3. Re 6. 5 v 5. mentre per u6 [m/s] avremo Re 3. In tale intervallo di valori ( compresi fra 4 e 4 ) possiamo usare una delle seguenti correlazioni ( ne esistono molte altre): 35

36 N N u u n C Re ( valida per l' aria ) n. C Re Pr. dove C ed n dipendono dal numero di Re secondo la seguente tabella Re D C n k 4k-4k 4k-4k Utilizzeremo la più semplice h c k C D Re n u 387 u / [ W m K ] Valutiamo ora la conduttanza per unità di superficie dovuta all'irraggiamento h i q A ( ) w i 4 4 σε( ) w ( ) w 'emissività del platino lucidato è circa 7 per cui si ricava un valore di h i pari a circa. [W/m K] e quindi il calore scambiato per irraggiamento è trascurabile rispetto a quello scambiato per convezione forzata. a potenza termica ceduta dal filo vale dunque: q h c A( w ) 387 w 385 π(3 3 )(6.3 3 )() q w 385 Siccome dovrà essere q P elettrica i R avremo R ρel 7. 3 A π( 3. ) / 4 8 Ω i q R u u 385 / [ A] da cui la corrente può essere facilmente calcolata in corrispondenza di ciascuna velocità. 36

37 Re x u x ρ µ assumendo Re c 5 5 x τ s C C f fx c δ 5x Re x τw 664 ρu / Re.33 C fxdx Re u 5 5 µ ρ x Risultati esercizio Aria Acqua Olio leggero m 4 m 44. m µ u u 33µ Rex y x τ s.47 - [N/m ] τ s.59 [N/m ] τ s 4. [N/m ] y 3 3 δ δt Pr 3 / δ t 7. m δ 3 / t 79. m δ 3 / t m 3 / hcx λ / 3 / 33 Rex Pr h cx 6.4 [W/m K] h cx 37 [W/m K] h cx 86 [W/m K] hc hc h c.8 [W/m K] h c 634 [W/m K] h c 37 [W/m K] q hc A ( w ) q 48.6 [W] q 43 [W] q 473 [W] Nota: Per l'acqua si vede che x critico < per cui il regime di moto sarebbe turbolento a partire da x. m. In questo confronto, comunque, il regime è stato considerato laminare. 37

38 Convezione naturale Ancora richiami Come per la convezione forzata, anche per quella naturale possono nascere instabilità idrodinamiche, ovvero eventuali disturbi possono essere amplificati trasformando il regime di moto da laminare a turbolento. In convezione naturale, la transizione nello strato limite dipende dall'entità relativa delle forze di galleggiamento e viscose presenti nel fluido. E' consuetudine correlare questo rapporto mediante il numero di Rayleigh, Ra, che è semplicemente il prodotto Gr Pr. Per pareti verticali il numero di Rayleigh critico vale: 3 βg ( w ) xc 9 Rac Grc Pr va Come nella convezione forzata, la transizione alla turbolenza ha un effetto notevole sullo scambio termico. Correlazioni empiriche per la convezione naturale: CONVEZIONE ESERNA Queste correlazioni hanno in genere la forma del tipo: h n Nu C Ra k dove il numero di Rayleigh è definito: 3 βg ( w ) Ra Gr Pr va ipicamente n/4 per regime laminare e n/3 per il turbolento. Per il moto turbolento risulta pertanto h indipendente da. utte le proprietà termofisiche sono valutate alla temperatura media del film w + f astra piana verticale Per superfici piane e cilindriche verticali (di diametro non troppo piccolo) isoterme (temperatura uniforme di parete): hcx x h Nux 4 Grx 4 / Nu 555 Gr 4 /. ( Pr). ( Pr) k k valida per regime laminare ( <Gr Pr< 9 ) mentre per regime turbolento: h 3 / 5 / Nu 3 ( Gr Pr) oppure Nu ( Gr Pr) k vedi figura a pagina seguente. 38

39 Nel caso in cui ci sia una condizione al contorno termica del tipo: flusso termico imposto, valgono ancora le equazioni precedenti se si usa come temperatura di parete significativa la w valutata a metà altezza della parete. x x Superfici orizzontali 39

40 w > verso l'alto o w < verso il basso ( casi b e c ) h 3 Nu 5. ( Gr Pr) / k per 7 <Gr Pr< 3 9 h 4 Nu 54. ( Gr Pr) / k per 5 <Gr Pr< 7 w > verso il basso o w < verso l'alto ( casi a e d ) 4 Nu 7. ( Gr Pr) / per 5 <Gr Pr < Se le piastre sono rettangolari si assume A/p ( pperimetro) a meno che i lati non siano eccessivamente diversi. Se è un disco 9 D. astra piana verticale ( correlazioni più accurate) Recentemente Churcill e Chu hanno proposto una correlazione che è valida in tutto il campo di Ra : N Ra / 6 u + 9 /6 [ + (49 / Pr) ] 8 / 7 Se il regime è laminare ( < Ra < 9 ) una migliore approssimazione può essere ottenuta usando la seguente correlazione: N u Ra 4 / + ( 49 / Pr) 96 / 49 / E' importante notare che i precedenti risultati sono stati ottenuti per pareti isoterme ( w costante ). Se vi è una condizione di flusso termico imposto la differenza di temperatura varia con x e ( w - ) f(x) aumentando con x a partire dal valore in x Si è notato che le correlazioni ottenute con w cost. possono estendersi con ottima approssimazione anche al caso di flusso termico imposto costante q'' se come differenza di temperatura significativa si assume quella a metà della piastra / w / -, quindi si definisce q'' h / e si utilizza una correlazione valida per w cost.. Ovviamente questo processo va iterato per determinare, per tentativi /. In pratica: / i+ q''( imposto) h( ) h infatti è fortemente influenzato da / attraverso il numero di Ra ed anche un po' dalla variazione delle proprietà termofisiche alla temperatura del film. Alla a iterazione si impone un valore di tentativo per h. / i 4

41 Vediamo di ricavare l'andamento della temperatura con un esempio: assumendo che N ux /4 Ra x su tutta la parete, ne segue che q x Nux '' 4 / 34 x / k quindi + / 4 3/ 4 5/ 4 / 4 / 5 x x x x / 5 / x 5. ( x / ) 5 / 5 / / x ( / ) e correlazioni per lastre verticali possono essere estese al caso di cilindri verticali di altezza se lo spessore dello strato limite δ è molto minore del diametro del cilindro D. Questa condizione è soddisfatta se : D / Gr Cilindri orizzontali + - α Nel caso di cilindro orizzontale in aria 4 / Nu 64 Gr D ϕ( α) α α ϕα ( ) Un'equazione valida per un coefficiente medio di scambio termico per fili e tubi orizzontali in convezione naturale è quella di Mc Adams: 4 / 3 9 NuD 53. ( GrD Pr) valida per Pr > 5. ; < GrD < Convezione naturale in spazi chiusi (aria) Caso dell'intercapedine verticale: δ N N uδ uδ hδ 8 Gr k 65 Gr / 3 δ / 4 δ δ δ / 9 / < Gr < Gr < < 3 βgδ ρ ( ) Grδ µ Se Gr δ < lo scambio termico è essenzialmente conduttivo cosicché in questo caso Nu δ δ δ 4 6 4

42 Per intercapedini orizzontali : Nel caso di aria nel caso di liquidi / N 95 Gr < Gr < 4 u δ δ D / N 68 Gr Gr > 4 u δ 3 5 δ D / N 69 Gr 3 < Gr Pr < 7 u δ δ D Applicazioni Esercizio Valutare il flusso termico scambiato in convezione naturale da una piastra verticale di dimensioni 3 5 [m] immersa nei seguenti fluidi: aria, acqua, olio. a temperatura del fluido sia [ C] mentre la temperatura della piastra è uniforme e vale 56 [ C].,3 e proprietà fisiche vanno calcolate alla temperatura media del film ovvero a: w f 38 C k,5 Se Gr Pr < 9 useremo h Gr ( Pr) / x k altrimenti h Gr 3 3. ( Pr) / Prop. termofisiche ( film ) Per l'aria Aria H O Olio leggero ρ [kg/m 3 ] c p [J/kg K] µ [N s/m ] k [W/m K] v [m /s] a β Pr βgρ /µ

43 3 βg ( w ) Ra Gr Pr v Pr. ( 5) < regime laminare k / h.555 ( Gr Pr) 555 ( 3.6 ) 4.[ W / m K] 5 q h A ( ) 4. ( 3 5) 36 W w Per l'acqua 3 βg ( w ) Ra Gr Pr Pr 75 v ( 5) > regime turbolento k / h.3 ( Gr Pr) 3 (.5 ) 87.8[ W / m K ] 5 q h A ( ) ( 3 5) W w Per l'olio βg( ) Ra Gr v regime turbolento k / 3 8 h.3 ( Gr Pr) 3 5 q h A ( ) 84. ( 3 5) W 3 w 5 3 Pr Pr 6 (5) > w 3 (.6 ) / 84.[ W / m K] Esercizio Una piastra quadrata di lato 3 [m] è immersa orizzontalmente in aria stagnante. Calcolare il flusso termico scambiato per convezione naturale con l'aria a [ C] mentre la temperatura della piastra è uniforme e vale 56 [ C]. 3 βg ( w ) Ra Gr Pr v Pr. ( 3) lato superiore: h 3 Nu 5. ( Gr Pr) k k / h.5 ( Gr Pr) 5 ( 7.84 ) 5.7[ W / m K ] 3 q h A ( ) 57. ( ) W w lato inferiore h 4 Nu 7. ( Gr Pr) / k k / h.7 ( Gr / Pr) W / m 3 q h A ( ) 6. ( ) W w ( ) [ K] 43