Esempio applicativo n.2: calcolo delle caratteristiche di sollecitazione sull asta di un timone

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1 Esempio applicativo n.2: calcolo delle caratteristiche di sollecitazione sull asta di un timone L esempio illustra l impostazione del problema strutturale relativo all analisi dello stato tensionale dell asta di un timone. L indagine è tesa all individuazione delle tensioni nominali di flessione per la verifica dell asta tramite un modello a travi rettilinee con deformazione sul piano di giacitura. La pala del timone ha forma rettangolare ed è appoggiata al calcagnolo. L asta ha sezione costante dal coperchio della pala al cuscinetto di losca e sezione rastremata da quest ultimo al cuscinetto di agghiaccio. Il modello strutturale per la verifica dell asta deve comprendere oltre all asta anche la pala, quest ultima ridotta a trave equivalente. Tale struttura può considerarsi appoggiata sulle sezioni centrali della femminella del calcagnolo (nodo A) e dei cuscinetti di losca (nodo C) e agghiaccio (nodo D). Si identifica come nodo B la sezione in corrispondenza dell innesto dell asta nella pala. Per quanto riguarda i vincoli, gli appoggi dell asta sono fissi, mentre quello dell agugliotto di calcagnolo va considerato un appoggio elasticamente cedevole, la cui risposta è identificata dalla rigidezza alla traslazione. Il carico agente è quello generato dalle forze idrodinamiche e si risolve in una distribuzione omogenea lungo la campata della pala e in un momento torcente che matura linearmente lungo la campata stessa, quest ultimo equilibrato dalla timoneria all altezza della barra. Lo stato tensionale deformativo indotto dal momento torcente non è oggetto di questa analisi. Il piano di sollecitazione del modello strutturale viene identificato dall asse di rotazione della pala e dalla retta d azione delle forze. I dati per l impostazione del problema sono di seguito elencati: campata AB rigidezza alla traslazione del nodo A 0, N/m lunghezza 8,00 m area sezione resistente 0,10 m 2 spessore massimo sezione resistente 0,92 m momento d inerzia 1, m 4 carico per unità di lunghezza 16, N/m 30

2 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti campata BC lunghezza 1,50 m diametro sezione resistente 560 mm momento d inerzia 0, m 4 campata CD lunghezza 3,00 m area sezione resistente 495 mm momento d inerzia 0, m 4 modulo di elasticità normale del materiale 2, Pa Il modello è stato risolto analiticamente facendo ricorso al metodo della falsa posizione, introducendo al nodo B un appoggio allo scopo di ridurre il modello ad un sistema equivalente con campate a sezione costante. I tre sottosistemi di risoluzione sono stati definiti nel modo seguente: sistema (I) struttura su appoggi fissi con carico diretto, sistema (II) struttura con appoggio cedevole nel nodo A, sul quale viene applicato un cedimento unitario δ A = 1,0 m, sistema (III) struttura con appoggio cedevole nel nodo B,, sul quale viene applicato un cedimento unitario δ B = 1,0 m. I risultati parziali, in termini di momenti flettenti ai nodi B e C, sono i seguenti (positivi se rialzanti): (I) (II) (III) momento M B [Nm] 918, , , momento M C [Nm] -108, , , La risoluzione complessiva porge infine i valori M B =... Nm M C =... Nm. La risoluzione agli elementi finiti verrà condotta con riferimento ai tre sistemi appena introdotti, allo scopo di verificare i risultati parziali, e successivamente utilizzando il modello del sistema iniziale, nel seguito denominato sistema complessivo. Procedura per la definizione del sistema I passi da seguire per la definizione di un problema agli elementi finiti possono essere così riassunti: definizione della geometria definizione delle tipologie degli elementi strutturali (matrice di rigidezza, geometria intrinseca, materiale) 31

3 modellazione delle entità geometriche con gli elementi strutturali definizione dei vincoli e dei carichi Ha inizio poi la fase di verifica dei dati e di esecuzione del calcolo numerico per la risoluzione del problema strutturale impostato. Allo scopo di effettuare una verifica dei sistemi impostati analiticamente il problema viene risolto, come precedentemente detto, dapprima con riferimento ai tre sottosistemi e poi considerando il modello strutturale complessivo. Le impostazioni dei tre sottosistemi comprendono alcune fasi comuni, differenziandosi solo per quanto riguarda la modellazione dei vincoli e dei carichi. Perciò nel seguito si presenterà dapprima un percorso comune e successivamente una ramificazione del procedimento per ogni sistema da impostare. (0) Creazione del database All avvio del programma compare una finestra tramite la quale va definito il nome dei files che dovranno contenere tutti i dati del problema. E conveniente creare dapprima una cartella con il nome identificativo del problema ed inserirvi poi l intero database. Nel caso in esame si intende creare un problema con nome identificativo TIMONE. Dopo l inserimento del nome del problema il programma è pronto per la definizione del problema stesso. Appare la schermata ove si possono identificare i seguenti campi: la barra con il titolo del problema, quella dei comandi di apertura delle cartelle, il blocco di comandi Geo Panel che contiene, oltre ai comandi della barra, anche alcuni tasti per la gestione grafica diretta e per il controllo dei dati riassuntivi del problema impostato, ed infine la Console ove compaiono i comandi in linea ed i messaggi generati dal programma. Il pannello di lavoro illustra le entità geometriche, gli elementi strutturali, i carichi agenti sulla struttura ed i vincoli impostati. Queste entità appaiono a schermo automaticamente quando vengono generate e possono essere richiamate con opportuni comandi, tramite i quali è possibile controllare esattamente ciò che si intende far apparire a schermo. La rappresentazione a schermo viene gestita utilizzando i comandi di editing. Il sistema di riferimento è illustrato al centro del pannello di lavoro; il punto di vista e la scala possono essere agevolmente modificati con i comandi del Geo Panel. 32

4 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti Sul pannello di lavoro appaiono inoltre anche i listati dei dati del problema, questi tabulati vengono richiamati a schermo con i diversi comandi di listing. (1) Generazione del modello geometrico La creazione della geometria consiste nella definizione di un reticolo di entità geometriche (in questo caso punti e curve) sul quale adagiare gli elementi strutturali che costituiscono il modello. Vi è un ampia scelta di procedure da seguire per la definizione della geometria di base. Il metodo più semplice prevede la creazione in maniera ordinata di tutti i punti utili e successivamente delle curve necessarie. Creazione del modello geometrico: punti. Nel sistema di riferimento globale il singolo punto viene generato utilizzando il comando appropriato contenuto nella cartella ove sono raccolti tutti i comandi di gestione della geometria (Geometry), e precisamente nella sotocartella relativa ai punti (Points) (Fig.3). Il punto viene definito da una etichetta e dalle coordinate cartesiane nel sistema di riferimento attivo all istante della generazione (in questo caso il sistema di riferimeno globale indicato con l etichetta CS=0 ed illustrato a schermo nel pannello di lavoro). Il comando di generazione dei punti Geometry/Points/Define fornisce automaticamente l etichetta del punto da creare (numerazione progressiva) e richiede le coordinate nel sistema di riferimento attivo (a tale riguardo si può controllare dal Geo Panel utilizzando il tasto Status 1). Fig.1 La schermata di lavoro. 33

5 Prima di procedere all impostazione del problema va definito il sistema di unità di misura, per operare con chiarezza può essere conveniente inserire tutti i dati nelle unità di misura del sistema internazionale (SI). Per utilizzare il comando sopra definito (Geometry/Points/Define) per la definizione del punto #1 si procede nel modo seguente: Keypoint = 1 X-Coordinate Value = 0 Y-Coordinate Value = 0 Z-Coordinate Value = 0 con l opzione repeat attivata, è sufficiente un doppio click sul tasto del mouse per richiamare il comando precedente e creare i tre punti rimanenti; in successione per la definizione del punto #2: Keypoint = 2 X-Coordinate Value = 8 Y-Coordinate Value = 0 Z-Coordinate Value = 0 per la definizione definizione del punto #3: Keypoint = 3 X-Coordinate Value = 9.5 Y-Coordinate Value = 0 Z-Coordinate Value = 0 ed infine per la definizione del punto #4: Keypoint = 4 X-Coordinate Value = 12.5 Y-Coordinate Value = 0 Z-Coordinate Value = 0 Con i comandi di editing è quindi possibile visualizzare i listati relativi alla geometria creata. Così con Edit/List/Points: Beginning Key point = 1 Ending Key point = 3 Increment = 1 Coordinate system = 0 si ottiene il seguente listato: Coordinate system 0 (Cartesian) Keypoint X-Coordinate Y-Coordinate Z-Coordinate e e e e e e e e e

6 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti e con Edit/Plot/Points si ottiene l illustrazione a schermo dei punti (colori ed etichette sono gestite dal Geo Panel). Creazione del modello geometrico: curve. La generazione delle curve viene qui effettuata sulla base dei punti precedentemente generati. Il comando relativo è ancora contenuto nella cartella ove sono raccolti tutti i comandi di gestione della geometria (Geometry), e precisamente nella sotocartella relativa alle curve (Curves). Il comando di generazione delle curve Geometry/Curves/ Line with 2 pts permette di definire un segmento fra due punti; esso fornisce automaticamente l etichetta della curva da creare (numerazione progressiva) e richiede i due punti di estremità (per visualizzare le etichette dei punti utilizzare la tavola riassuntiva Status 1); per esempio, per la definizione della curva #1 si opera nel modo seguente: Curve = 1 Keypoint = 1 Keypoint = 2 Con i comandi di editing è quindi possibile visualizzare i listati relativi alla geometria creata. Così con Edit/List/Curves: Beginning Curve = 1 Ending Curve = 2 Increment = 1 si ottiene il seguente listato: Curve Type Key points ed infine con il comando di richiamo della tavola Status 1 si possono visualizzare i dati riassuntivi dell intera geometria. (2) Generazione del modello strutturale: caratteristiche degli elementi In questa fase si associa ad ogni entità geometrica un elemento strutturale. Per operare in maniera ordinata è consigliabile definire preliminarmente le caratteristiche dell elemento che si intende generare. Il programma infatti associa ad ogni elemento, all atto della sua creazione, le caratteristiche attive in quel momento, ossia le ultime registrate in ordine di tempo. Le caratteristiche degli elementi consistono in: tipo di elemento (ossia di matrice di rigidezza), tipo di materiale e dimensioni intrinseche 35

7 dell elemento. Per esempio nel caso in esame si vogliono generare tre travi, una per ogni campata: la geometria del modello è limitata alla dimensione longitudinale delle travi, mentre la geometria dell elemento trave riguarda esclusivamente le caratteristiche geometriche della sezione resistente. Creazione del modello strutturale: tipo di elemento. La scelta del tipo di elemento strutturale viene effettuata con il comando Propsets/Element Group, in questo caso l elemento deve avere una matrice di rigidezza come quella definita per la trave snella classica. Il database del programma contiene questo elemento tipico fornendone due varianti: il tipo Beam2D per problemi bidimensionali ed il tipo Beam3D per problemi tridimensionali. Per il problema da impostare è sufficiente riferirsi al più semplice dei due utilizzando il sopra richiamato comando Propsets/Element Group: Element group = 1 Element name = beam2d Op4: Integration Type:0=Gauss;1=N-Cotes.... = 0 Op5: Material Type:0=LE;1=VMI;2=VMK;4=NLE;8=VEM. = 0 Op6: Displacement Formulation:0=Small;1=Large.. = 0 Creazione del modello strutturale: materiale. La scelta del materiale può essere agevolmente effettuata selezionando quello di interesse fra i materiali elencati nel database del programma utilizzando il comando Propsets/Pick Material Lib e richiamando l acciaio ( steel ); il comando permette di definire le caratteristiche del materiale in diversi sistemi di unità di misura, nel caso in esame va scelto il sistema SI: Material property set = 1 Material Name = steel Unit Label = SI Può essere necessario modificare una o più caratteristiche del materiale scelto, a tale scopo si ridefinisce la singola caratteristica con un opportuno comando (il comando Propsets/Change Element Prop). Creazione del modello strutturale: geometria intrinseca degli elementi. La definizione delle caratteristiche geometriche delle travi del modello viene eseguita con il comando Propsets/Real Constant, richiamato tante volte quante sono le diverse geometrie sezionali. Nel caso in esame le tre campate sono caratterizzate da sezioni diverse perciò sarà necessario utilizzare tre volte il sopra citato comando. Il comando sopra citato permette di definire alcune caratteristiche dell elemento che non riguardano la geometria ma che sono qui raggruppate 36

8 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti allo scopo di permettere una completa ed immediata definizione dell elemento strutturale. Tali caratteristiche riguardano in particolare i vincoli di estremità, ossia le modalità con cui l elemento trave viene collegato ad altri elementi o a vincoli esterni. Con riferimento al modello risolto analiticamente si fissi la seguente corrispondenza fra gli elementi: campata AB elemento #1 campata BC elemento #2 campata CD elemento #3 Per utilizzare il comando sopra definito (Propsets/Real Constant) si proceda nel modo seguente per la definizione dell elemento #1: Associated Element group = 1 ( BEAM2D ) Real Constant set = 1 Start location of the real costants..... = 1 Number of real constants to be entered... = 8 Rc1 : Cross-sectional area = e-001 Rc2 : Moment of inertia about z-axis (Iz)... = e-002 Rc3 : Depth of beam = e-000 Rc4 : End-release code (node 1) = Rc5 : End-release code (node 2) = Rc6 : Shear factor in elem. y-axis..... = 0 Rc7 : Temp. diff. in elem. y-axis..... = 0 Rc8 : Perimeter = 0 I codici alle righe Rc4 ed Rc5 si riferiscono alle modalità con cui l elemento trave viene collegato ad altri elementi o a vincoli esterni. Esso è composto da sei cifre per ognuno dei nodi di estremità, cifre che si riferiscono, nell ordine, ai sei gradi di libertà (tre traslazioni e tre rotazioni) nel sistema di riferimento globale, nell ordine (UX,UY,UZ,RX,RY,RZ). In tale codice è necessario riportare la cifra 0 per indicare che quel grado di libertà è vincolato, ossia che la forza viene trasmessa e deve quindi essere calcolata dal programma; con la cifra 1 si indica poi un grado di libertà concesso (il comando è utile per definire cerniere interne ad un sistema di travi) ma non deve essere utilizzato per il collegamento con vincoli esterni, per tale operazione esistono infatti istruzioni appropriate. Il dato richiesto alla riga Rc6 corrisponde all area che effettivamente lavora a taglio, adimensionalizzata con l area complessiva della sezione (tale valore viene calcolato per valutare le rigidezze alla deformazione). Per la definizione dell elemento #2 si procede nel modo seguente: Associated Element group = 1 ( BEAM2D ) Real Constant set = 2 37

9 Start location of the real costants..... = 1 Number of real constants to be entered... = 8 Rc1 : Cross-sectional area = e-000 Rc2 : Moment of inertia about z-axis (Iz)... = e-002 Rc3 : Depth of beam = e-000 Rc4 : End-release code (node 1) = Rc5 : End-release code (node 2) = Rc6 : Shear factor in elem. y-axis..... = 0 Rc7 : Temp. diff. in elem. y-axis..... = 0 Rc8 : Perimeter = 0 ed infine per la definizione dell elemento #3: Associated Element group = 1 ( BEAM2D ) Real Constant set = 3 Start location of the real costants..... = 1 Number of real constants to be entered... = 8 Rc1 : Cross-sectional area = e-000 Rc2 : Moment of inertia about z-axis (Iz)... = e-002 Rc3 : Depth of beam = e-000 Rc4 : End-release code (node 1) = Rc5 : End-release code (node 2) = Rc6 : Shear factor in elem. y-axis..... = 0 Rc7 : Temp. diff. in elem. y-axis..... = 0 Rc8 : Perimeter = 0 Si osservi che ogni volta che si definisce un set di caratteristiche geometriche di sezione, quel set rimane attivo e quindi viene utilizzato automaticamente dal programma nella successiva generazione di elementi strutturali. Per operare con ordine è perciò necessario, dopo aver definito i tre set di geometria sezionale, in successione attivarli e generare subito gli elementi associati. Per verificare se le caratteristiche appena definite sono quelle attive, si può richiamare la tabella Status 1 dal Geo Panel. In questa tabella compare la lista dei set attivi: le voci che interessano sono EG (Element Group) MP (Material Property) ed RC (Real Constant). Con i comandi di editing contenuti nel secondo blocco del menù Propsets è quindi possibile visualizzare i listati relativi alla situazione delle caratteristiche strutturali: il comando Propsets/List Element Group fornisce il listato dei tipi di elementi usati e tra questi indica quale è attivo: Element group: 1 (BEAM2D) (ACTIVE) Op1: Unused option = 0 Op2: Unused option = 0 Op3: Unused option = 0 Op4: Integration Type:0=Gauss;1=N-Cotes.... = 0 Op5: Material Type:0=LE;1=VMI;2=VMK;4=NLE;8=VEM. = 0 Op6: Displacement Formulation:0=Small;1=Large.. = 0 38

10 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti Op7: Unused option = 0 Op8: Unused option = 0 il comando Propsets/List Material Props fornisce il listato delle caratteristiche dei materiali usati e tra questi indica quale è attivo: listato dei tipi di materiale con Propsets/List Material Props Label Name Temp/BH_Cr Value A 1 EX e+011 A 1 NUXY e-001 A 1 GXY e+010 A 1 ALPX e-005 A 1 DENS e+003 A 1 C e+002 A 1 KX e+001 A 1 MPERM_R e+000 in cui si osservi che: GXY=EX/[2*(1+NUXY)]. I singoli valori possono poi essere modificati utilizzando un comando opportuno presente nella stessa cartella. Il comando Propsets/List Real Constant fornisce in questo caso il listato delle caratteristiche delle travi usate, tra le Real Constants elencate indica quale è attiva ed inoltre mostra a quale tipo di elementi (Element Group) ciascun set è associato. (3) Generazione del modello strutturale: elementi strutturali In questa fase si associa ad ogni entità geometrica un elemento strutturale (fase di modellazione o di mesh). Per operare in maniera ordinata è consigliabile definire preliminarmente le caratteristiche dell elemento che si intende generare. Il programma infatti associa ad ogni elemento, all atto della sua creazione, le caratteristiche attive in quel momento, ossia le ultime registrate in ordine di tempo. La maniera più diretta per eseguire l operazione di generazione del modello strutturale è quella di associare ad ogni entità geometrica uno o più elementi (metodo parametrico). Nel caso in esame ad ogni curva vanno associati un certo numero di elementi trave. Il comando da utilizzare per creare gli elementi strutturali da associare alle curve precedentemente definite è Meshing/Parametric mesh/curves, il quale richiede anche il numero di elementi che si intende creare su ogni curva e la loro lunghezza relativa. Nel caso in esame si vogliono definire elementi di lunghezza costante pari a circa 0,50 m; la modellazione delle curva #1 si effettua nel modo seguente: 39

11 Beginning Curve = 1 Ending Curve = 1 Increment = 1 Number of nodes per element = 2 Number of elements on each curve = 16 Spacing ratio = 1 Keypoint to define principal axis id 3 nd/el.. = analogamente la modellazione delle curva #2: Beginning Curve = 2 Ending Curve = 2 Increment = 1 Number of nodes per element = 2 Number of elements on each curve = 3 Spacing ratio = 1 Keypoint to define principal axis id 3 nd/el.. = ed infine quella della curva #3: Beginning Curve = 3 Ending Curve = 3 Increment = 1 Number of nodes per element = 2 Number of elements on each curve = 6 Spacing ratio = 1 Keypoint to define principal axis id 3 nd/el.. = Poiché ogni volta che viene generato un elemento vengono generati assieme anche i relativi nodi, è necessario alla fine fondere assieme i nodi che si trovano sugli stessi punti geometrici. Questa operazione si effettua con il comando Meshing/Nodes/Merge (lasciando inalterate tutte le opzioni). E conveniente utilizzare poi il comando Meshing/Nodes/Compress per compattare la numerazione dei nodi. Con il comando Meshing/Elements/List si ottiene il listato degli elementi assieme alle loro caratteristiche (EG, MP, RC) ed all elenco dei nodi di estremità: Elem Eg Mp Rc Ec NODES (4) Vincoli e carichi Sistema (I) Per definire i vincoli anelastici si annullano i gradi di libertà posseduti dagli elementi sui nodi utilizzando il comando LoadsBC/ 40

12 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti Structural/Displacement/Define by Nodes; nel caso in esame vanno collocati solo appoggi fissi. Per collocare nei nodi #1, #17, #20 e #26 un appoggio fisso con reazione vincolare lungo Oy nel sistema di riferimento globale, è necessario fornire i seguenti dati: Beginning Node = 1 Displacement label = UY Value = 0 Ending Node = 1 Increment = 1 Additional Displacement labels if any..... = Il comando viene ripetuto per ogni nodo. In alternativa può essere comodo selezionare i nodi interessati e definire il vincolo contemporaneamente su tutti i nodi contenuti nel set appena definito. E infatti possibile creare gruppi di entità geometriche o strutturali e lavorare solo su di essi: con il comando Control/Select/by Picking si inseriscono i nodi #1, #17, #20 e #26 nel set di lavoro #1, si controlla che il set appena creato sia attivo utilizzando il tasto Status 3 e si procede poi all impostazione dei vincoli, quest ultima operazione risulterà efficace solo sui nodi del set attivo. In aggiunta ai vincoli inseriti è poi necessario bloccare i moti di corpo rigido vincolando lo spostamento lungo Ox e lungo Oz su un solo nodo, per esempio quello relativo al cuscinetto di agghiaccio cosicché sul nodo #26 è necessario ripetere il comando di definizione dei vincoli e procedere nel modo seguente: Beginning Node = 26 Displacement label = UY Value = 0 Ending Node = 26 Increment = 1 Additional Displacement labels if any..... = UX,UZ Il comando LoadsBC/Structural/Displacement/List fornisce a schermo il listato dei vincoli introdotti: Node Csid UX UY UZ RX RY RZ e e e e e e I carichi distribuiti omogenei agenti sulle travi si applicano utilizzando il comando LoadsBC/Structural/Pressure/Define Beam Element Load. Nel 41

13 caso in esame il carico interessa gli elementi dal #1 al #16 ed il comando va usato nel modo seguente: Beginning Element = 1 Force label = FY Value = -16.2e+04 Foot distance = 0 Ending Element = 16 Increment = 1 Value = -16.2e+04 Foot distance = 1 in cui si osservi che: le distanze sono misurate in coordinate parametriche dal primo nodo dell elemento, quello con numerazione più bassa, che corrisponde al primo punto della curva sottostante; tale informazione si può ottenere selezionando dal pannello Status 1 la voce mark e rigenerando il disegno con il comando Paint (sempre dal Geo Panel); la direzione e il verso della forza è relativa al sistema di riferimento locale (CS=-1); il valore della forza va inteso come segue: in [N] per carico concentrato (foot distances uguali) ed in [N/m] per carico distribuito (foot distances diverse); in quest ultimo caso il carico è pari al prodotto tra il valore della forza e la distanza tra gli estremi di applicazione; è possibile applicare carichi concentrati in qualsiasi punto della campata, oppure distribuiti, anche in maniera lineare, su tratti parziali. Sistema (II) I vincoli fissi si definiscono come per il precedente modello: per i nodi #17, #20 e #26 si pone uguale a zero lo spostamento verticale, per il nodo #1 si imposta uno spostamento verticale unitario. Come nel caso precedente vanno eliminati i moti di corpo rigido. Non vi è alcun carico da inserire. Sistema (II) I vincoli fissi si definiscono come per il precedente modello, definendo ora uno spostamento unitario sul nodo #17. Come nel caso precedente vanno eliminati i moti di corpo rigido. Non vi è alcun carico da inserire. Sistema Complessivo Per Per la definizione dei vincoli del sistema complessivo è necessario definire un appoggio cedevole elasticamente lungo Oy nel nodo #1, un appoggio fisso lungo Oy nel nodo #20 ed un appoggio nelle tre direzioni di riferimento nel nodo #26. La definizione del vincolo elastico viene effettuata inserendo una molla, con la rigidezza voluta, esattamente sul nodo. Il primo passo consiste perciò 42

14 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti nel definire l elemento del tipo molla, a tale riguardo è utile riferirsi alla molla concentrata con il comando Propsets/Element Group: Element group = 2 Element name = spring Op1: Spring Type:0=Axial;1=Rot;2=Both.... = 0 Op2: Number of nodes:1=1-node;2=2-node.... = 1 Op3: Dof = 2 (uy) Op5: Spring behavior:0=linear;1=nonlinear... = 0 Op6: Disp formulation:0=small;1=large.... = 0 la cui rigidezza viene inserita utilizzando il comando Propsets/Real Constant per la definizione della geometria intrinseca dell elemento: Associated Element group = 2 (SPRING) Real Constant set = 4 Start location of the real costants..... = 1 Number of real constants to be entered... = 1 Rc1 : Axial stiffness = 0.25e+08 Infine si procede alla modellazione della molla creando, con il comando Meshing/Parametric mesh/points un elemento molla nel nodo #1: Beginning Point = 1 Ending Point = 1 Increment = 1 Si rammenta che dopo la generazione dell elemento molla è necessario procedere ancora una volta all operazione di merge. Il carico è lo stesso definito per il sistema (I). Con i comandi di listing e di editing si possono visualizzare tutti i dati forniti al programma, sia per quanto riguarda i carichi che i vincoli. (5) Risoluzione del problema strutturale Prima della risoluzione del modello strutturale è consigliabile effettuare una verifica della bontà dei dati inseriti nel programma. A tale scopo si può controllare il modello creato utilizzando il comando Analysis/Data Check oppure il più completo Analysis/Run Check (con le opzioni di default), quest ultimo crea un file con estensione chk leggibile nel database. Se il problema è stato impostato correttamente tale file si presenta nel modo seguente: Output from CHECK program 43

15 Problem name: timone Title : Maximum node label = 26 Number of nodes = 26 Maximum element label = 25 Number of elements = 25 Check all elements (Aspect ratio, Connectivities) Total number of elements checked = 25 Total warnings found 0 Total errors found 0 Checking completed L esecuzione del calcolo si lancia con il comando Analysis/Static/Run Static Analysis. Il programma abbandona momentaneamente l interfaccia Geostar e mostra l avanzamento del calcolo (per la struttura in esame le schermate correranno così veloci che non sarà possibile valutare i singoli passi di avanzamento). Alla fine della procedura risolutiva ricomparirà la schermata di Geostar. (6) Valutazione dei risultati Tale operazione può essere effettuata in tre modi differenti: visualizzando diagrammi, utilizzando i listati, oppure uscendo dal pannello di lavoro e richiamando il file con estensione out contenuto nel database. I diagrammi ed i listati vengono richiamati dalla cartella Results: i primi forniscono una comoda verifica qualitativa per una prima valutazione dei risultati. Caratteristiche di sollecitazione Per disegnare i grafici delle caratteristiche di sollecitazione si utilizza il comando Results/Plot/Beam Diagrams. Vale la pena ricordare che le caratteristiche di sollecitazione sono definite nel sistema di riferimento locale (CS=-1) di assi (r, s, t) e che esse sono considerate positive se, sulla faccia della sezione trasversale avente normale positiva, sono equiverse con il sistema di riferimento locale dell elemento. Nel caso in esame (struttura bidimensionale) interessano le sole componenti Fr, Vs, ed Mt, definite come segue: Fr Vs Mt forza normale in direzione Ox taglio in direzione Oy momento flettente in direzione Oz (flessione sul piano xoy) 44

16 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti Per modificare le dimensioni di disegno dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si utilizza il comando Control/Utility/Set Symbol Size. Il listato delle caratteristiche di sollecitazione può essere richiamato utilizzando il comando Results/List/Shear Moment value. E possibile registrare i listati che compaiono a schermo attivando la funzione di scrittura contemporanea sia a schermo che su file. A tale scopo si utilizza il comando Control/Miscellaneous/List Log prima di richiamare il listato desiderato. Si richiama poi lo stesso comando per disattivare tale funzione. Il file contenente i risultati presenta le caratteristiche di sollecitazione in maniera analoga al listato. Reazioni vincolari Si utilizza il comando Results/List/Displacement Response Reaction per listare i valori delle reazioni vincolari: esse sono riferite al sistema di riferimento globale (CS=0). Per quanto riguarda la nomenclatura per le forze di reazione vale: RFX, RFY, RFZ, RFRES RMX, RMY, RMZ, RMRES per le forze per i momenti in cui il quarto termine delle due liste rappresenta il modulo della risultante rispettivamente delle forze e dei momenti. Il file contenente i risultati presenta le reazioni vincolari in maniera analoga al listato. Spostamenti nodali Si utilizza il comando Results/List/Displacement Response Reaction per listare i valori degli spostamenti assoluti, riferiti cioè al sistema di riferimento globale. Con il comando Results/Plot/Deformed Shape si può visualizzare, nella scala voluta, la deformata della struttura. Il file contenente i risultati presenta gli spostamenti in maniera analoga al listato. Tensioni Si utilizza il comando Results/List/Stress Component per listare i valori delle tensioni. Per gli elementi del tipo Beam è conveniente leggere le tensioni dal file dei risultati: qui vengono illustrate le tensioni longitudinali in grado di estremo sulla sezione resistente simmetrica. Il file contenente i risultati presenta le tensioni normali longitudinali (definite positive se le caratteristiche di sollecitazione sono positive) secondo la seguente nomenclatura: 45

17 P/A Mt/St SMIN SMAX tensione normale longitudinale indotta da Fr tensione normale longitudinale estrema indotta da Mt tensione normale longitudinale totale minima tensione normale longitudinale totale massima Si osservi che le tensioni dovute ai momenti flettenti sono riferite ai moduli di resistenza minimi relativi agli assi principali d inerzia della sezione, inoltre le tensioni totali sono calcolate con le seguenti formule: Smax = P/A + Ms/Ss + Mt/St Smin = P/A - Ms/Ss - Mt/St e fanno ovviamente riferimento a sezioni resistenti simmetriche rispetto agli assi principali d inerzia, perciò perdono significato se tale condizione non è verificata. Infine, le tensioni tangenziali da taglio non sono calcolate dal programma (il fattore di taglio viene usato per la valutazione della rigidezza a taglio). Per completezza, le tensioni tangenziali da torcente sono valutate in funzione dei due parametri CTOR (costante della sezione) e J (costante di torsione di De Saint Venant) e compaiono nel file dei risultati con la seguente nomenclatura: Tr*CTOR/Jp tensione tangenziale massima di torsione Per la sezione circolare piena di raggio r e momento d inerzia polare J P (pari a πr 4 /2) le costanti sopra definite valgono rispettivamente: CTOR = r J = J P si osservi però che per la valutazione contemporanea degli effetti del carico flettente e torcente è necessario utilizzare un modello con elementi finiti del tipo Beam 3D, ossia con deformata nello spazio. Segue il listato del file di generazione del problema strutturale relativo all esempio applicativo fin qui esposto. 46

18 L analisi strutturale con il metodo degli elementi finiti Listato del file di generazione del problema Sistema (I) C* geometria ********************************************************** PT,1,0,0,0 PT,2,8,0,0 PT,3,9.5,0,0 PT,4,12.5,0,0 CRPLINE,1,1,2,3,4,4 C* elementi *********************************************************** EGROUP,1,BEAM2D,0,0,0,0,0,0,0,0 PICK_MAT,1,STEEL,SI MPROP,1,EX,2.1E+11 RCONST,1,1,1,8,0.1,1.12E-02,0.92,0,0,0,0,0 M_CR,1,1,1,2,16,1 RCONST,1,2,1,8,0.25,0.48E-02,0.28,0,0,0,0,0 M_CR,2,2,1,2,3,1 RCONST,1,3,1,8,0.19,0.29E-02,0.2475,0,0,0,0,0 M_CR,3,3,1,2,6,1 NMERGE,1,28,1,0.0001,0,1,0 NCOMPRESS,1,28 C* vincoli ************************************************************ DND,1,UY,0,1,1, DND,17,UY,0,17,1, DND,20,UY,0,20,1, DND,26,UY,0,26,1,UZ,UX, C* carichi ************************************************************ PEL,1,-16.2E+04,1,16,1,2 C* Sistema (II) C* geometria ********************************************************** PT,1,0,0,0 PT,2,8,0,0 PT,3,9.5,0,0 PT,4,12.5,0,0 CRPLINE,1,1,2,3,4,4 C* elementi *********************************************************** EGROUP,1,BEAM2D,0,0,0,0,0,0,0,0 PICK_MAT,1,STEEL,SI MPROP,1,EX,2.1E+11 RCONST,1,1,1,8,0.1,1.12E-02,0.92,0,0,0,0,0 M_CR,1,1,1,2,16,1 RCONST,1,2,1,8,0.25,0.48E-02,0.28,0,0,0,0,0 M_CR,2,2,1,2,3,1 RCONST,1,3,1,8,0.19,0.29E-02,0.2475,0,0,0,0,0 M_CR,3,3,1,2,6,1 NMERGE,1,28,1,0.0001,0,1,0 NCOMPRESS,1,28 C* vincoli ************************************************************ DND,1,UY,-1,1,1, DND,17,UY,0,17,1, DND,20,UY,0,20,1, DND,26,UY,0,26,1,UZ,UX, C* 47

19 Sistema (III) C* geometria ********************************************************** PT,1,0,0,0 PT,2,8,0,0 PT,3,9.5,0,0 PT,4,12.5,0,0 CRPLINE,1,1,2,3,4,4 C* elementi *********************************************************** EGROUP,1,BEAM2D,0,0,0,0,0,0,0,0 PICK_MAT,1,STEEL,SI MPROP,1,EX,2.1E+11 RCONST,1,1,1,8,0.1,1.12E-02,0.92,0,0,0,0,0 M_CR,1,1,1,2,16,1 RCONST,1,2,1,8,0.25,0.48E-02,0.28,0,0,0,0,0 M_CR,2,2,1,2,3,1 RCONST,1,3,1,8,0.19,0.29E-02,0.2475,0,0,0,0,0 M_CR,3,3,1,2,6,1 NMERGE,1,28,1,0.0001,0,1,0 NCOMPRESS,1,28 C* vincoli ************************************************************ DND,1,UY,0,1,1, DND,17,UY,-1,17,1, DND,20,UY,0,20,1, DND,26,UY,0,26,1,UZ,UX, C* Sistema complessivo C* geometria ********************************************************** PT,1,0,0,0 PT,2,8,0,0 PT,3,9.5,0,0 PT,4,12.5,0,0 CRPLINE,1,1,2,3,4,4 C* elementi *********************************************************** EGROUP,1,BEAM2D,0,0,0,0,0,0,0,0 PICK_MAT,1,STEEL,SI MPROP,1,EX,2.1E+11 RCONST,1,1,1,8,0.1,1.12E-02,0.92,0,0,0,0,0 M_CR,1,1,1,2,16,1 RCONST,1,2,1,8,0.25,0.48E-02,0.28,0,0,0,0,0 M_CR,2,2,1,2,3,1 RCONST,1,3,1,8,0.19,0.29E-02,0.2475,0,0,0,0,0 M_CR,3,3,1,2,6,1 NMERGE,1,28,1,0.0001,0,1,0 NCOMPRESS,1,28 C* vincoli fissi ****************************************************** DND,20,UY,0,20,1, DND,26,UY,0,26,1,UZ,UX, C* vincoli elastici *************************************************** EGROUP,2,SPRING,0,1,2,0,0,0,0,0 RCONST,2,4,1,1,2.5e+007 M_PT,1,1,1 NMERGE,1,27,1,0.0001,0,1,0 C* carichi ************************************************************ PEL,1,-16.2E+04,1,16,1,2 C* 48