Problemi Avventura in Matelandia Villafranca, 13 aprile 2012

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1 Problemi Avventura in Matelandia Villafranca, 13 aprile 2012 SISTEMI DINAMICI 1 Tre folletti infarinati Su questo sentiero trovi tre folletti. Uno di loro ti racconta la loro storia: All'inizio ciascuno di noi possedeva 1536 grammi di farina. La mia era gialla, quella di Tino bianca e quella di Gino marrone. Ogni mattina ciascuno di noi mescolava tutta la farina che possedeva e la divideva in 3 parti. Io ne regalavo una parte a Tino, e due parti a Gino. Tino ne regalava una parte a Gino, e due parti a me. Gino ne regalava una parte a me e due parti a Tino. Ti lascerò passare se riesci a dirmi quanti grammi di farina gialla possedevo al terzo giorno. Il Mago dei Numeri sta zitto e pensa tra se e se che problema noioso. [R: 512] 2 Ancora i tre folletti Questa volta i tre folletti ti hanno preceduto, e ti pongono un altro quesito. Ti ricorderai bene come noi ci scambiamo la farina ogni mattina. Oggi io possiedo 30 kili di farina. Tino ne possiede 39, Gino ne possiede 27. Ti lascerò passare se indovini quanti kili possedevo ieri. Il Mago dei Numeri mugugna e suggerisce Mmm qua la faccenda si fa già più matematica... Comincerei chiamando x,y,z le quantità di farina possedute ieri da questo folleto senza nome, da Gino e da Pino. Grazie alle informazioni che ci ha dato possiamo trovare tre equazioni soddisfatte da x,y,z, che possono essere risolte con il metodo della sostituzione. Se non conoscete il metodo della sostituzione, mostratemi le equazioni che trovate e vi aiuterò io. [R:29] TRUCCHI ARITMETICI 3 Un club costoso A fermarvi per strada è un signore ricco e benvestito. Sono ricco perchè ho avuto la brillante idea di fondare il club. Io, come fondatore, sono entrato gratis. Quando un nuovo membro vuole entrare nel club, ciascun membro già esistente (me compreso) va a chiedergli una moneta, e tutte queste monete vanno a me, perchè sono il fondatore. Oggi il club conta 179 membri. Sapreste dire

2 quante monete ho guadagnato con questa truffa? Il Mago dei Numeri suggerisce: possiamo fare un ragionamento del genere. In media quante monete vengono guadagnate per un nuovo membro? Sarà un numero che si colloca a metà strada tra 1 (il fondatore) e 178 (l'ultimo membro). Ora possiamo immaginare che ogni membro abbia pagato la stessa quota d'iscrizione... e concludere con una semplice moltiplicazione. [R: 15931=179*178/2] ARITMETICA MODULARE 4 Invasione di conigli. Il guardiano di questo sentiero racconta: L'altr'anno c'è stata una terribile invasione di conigli. Il primo giorno ce n'erano soltanto 43, ma si riproducevano così velocemente che da un giorno all'altro il loro numero diventava 17 volte tanto. Il decimo giorno abbiamo deciso di liberarcene. Ne prendevamo 9 alla volta, li chiudevamo in una gabbia e li spedivamo in una foresta da dove non potevano ritornare. Quando alla fine ne sono rimasti meno di 9, quelli li abbiamo risparmiati. Quanti conigli erano rimasti alla fine? Il Mago dei Numeri fa il seguente bel ragionamento: Ragazzi, io vi dico che si uò risparmiare un po' di fatica e di calcoli. Anche se i guardiani avessero deciso di spedire in colonia i conigli ogni giorno, 9 alla volta, fermandosi quando ne rimanevano meno di 9, il risultato sarebbe stato lo stesso. Infatti i conigli che vengono spediti in questo modo sono un multiplo di 9. Se anche fossero rimasti in Matelandia, la loro discendenza sarebbe comunque un multiplo di 9 (della forma 9x17x17x...) e quindi si poteva comunque spedire in colonia tutta la discendenza l'ultimo giorno, senza farne avanzare uno. Tanto vale immaginare di fare questa operazione sempre ed il più volte possibile, e vedrete che ci risparmiamo tanti calcoli. 5 Tre alla centoseiesima Questo guardiano è un matematico, e non ama raccontare molte storie. Chiede: Consideriamo 3 elevato alla centoseiesima. Qual è il resto della divisione per 5? Il mago suggerisce: Non serve fare centosei moltiplicazioni. Scrivete i resti di 3, 3x3, 3x3x3, 3x3x3x3, 3x3x3x3x3, 3x3x3x3x3x3 diviso 5, e trovate una certa regolarità. A questo punto è più facile indovinare quanto faccia 3 alla centoseiesima... [R: 4] 6 La sciagura dei roditori

3 Il guardiano di questo sentiero vi racconta il suo sporco lavoro con i topi: Vedete, io caccio topi. Ho un permesso speciale che mi permette di ammazzarli soltanto di giorno e a gruppi di 43, e lo faccio sempre finchè posso. Ma quei maledetti, nel corso della notte si riproducono e il loro numero triplica ogni volta, anche quando ne rimane uno solo, sono topi magici! Il primo giorno di lavoro ce n'era uno solo infatti. Il centotrentesimo giorno ne ho fatti rimanere soltanto... me lo dite voi!? Il Mago dei Numeri suggerisce la sua solita brillante idea: State tranquilli, niente panico, non dovrete fare oltre cento moltiplicazioni! Invece che fare 3x3x3x3x...x3 centoventinove volte, provate a seguire questo trucco. 129 = Inoltre 128 = 2x2x2x2x2x2x2. Quindi se partiamo da 3 e lo eleviamo al quadrato per sette volte otteniamo 3 alla centoventottesima. Moltiplicando ancora una volta per 3 otteniamo 3 alla centoventinovesima, che è il numero di ratti che ci sarebbero stati l'ultimo giorno in assenza del guardiano. Il discorso fatto per i conigli vale ancora: ogni volta che otteniamo un numero maggiore di 43, possiamo sostituirlo con il suo resto nella divisione per 43. Se avete capito ciò che ho detto non dovreste metterci molto... il problema è capirlo! [R: 27] ALGEBRA 7 Somme di quadrati. Trovate un modo di esprimere 5330 come somma dei quadrati di due numeri interi e vi lascerò andare. Disperati all'idea di dover far migliaia di tentativi, vi rivolgete al Mago dei Numeri, che con molta flemma si toglie il cappello e leva da esso la seguente formula magica: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 Voi lo guardate con faccia sbigottita, lui vi guarda con un velo di disprezzo e fa: Ok... questa formula vuol dire che se trovate il modo di esprimere un numero X come somma di due quadrati, e il modo di esprimere un numero Y come somma di due quadrati, potete ricavare un modo di esprimere il prodotto XY come somma di due quadrati. Ora... scomponete 5330 in fattori primi... ed esprimete ciascun fattore come somma di quadrati... poi, usando più volte la mia formula, metterete insieme il tutto. [R: tante possibili...] GRAFI 8 Passeggiando per il villaggio Un signore che vagabonda per questo sentiero vi racconta di

4 com'era fatto il suo villaggio. Da ogni casa partivano tre sentieri che portavano ad altre case. Inoltre, ricordo benissimo che se facevo una passeggiata per il paese, partendo e arrivando a casa mia, senza mai passare due volte per la stessa casa, vedevo sempre un numero pari di case (compresa casa mia). Vi lascerò passare se mi mostrate la mappa del mio villaggio! Il Mago commenta: Questo ubriacone sicuramente non ricorda com'era fatto il suo villaggio né quante case aveva. Qualsiasi mappa che soddisfa le proprietà dal lui dette, probabilmente andrà bene. [R: ad esempio un cubo] 9 Dimenticanza dei nomi A metà di questo sentiero c'è una locanda. Vi fermate a bere un po' d'acqua, e un ubriacone al banco vi racconta la sua storia. Eravamo in sei in quella casa. Alcuni tra di noi si conoscevano, altri no. Quella sera abbiamo fatto un gioco, e dentro un vaso ciascuno di noi ha messo un biglietto per ciascuna persona che conosceva, con scritto il proprio nome e il nome del conoscente. Poi abbiamo bevuto... abbiamo bevuto tanto... abbiamo bevuto così tanto che la mattina dopo nessuno ricordava il proprio nome, e tantomeno quello degli altri! Però guardando in faccia qualcuno si riusciva ancora a ricordarsi se lo si conosceva o no. Poi abbiamo trovato il vaso e... sai, noi ubriaconi siamo un po' smemorati ma mica stupidi! Abbiamo ragionato un sacco e entro mezzogiorno ciascuno aveva già ricavato con la logica il proprio nome. Ragazzi, se avete inteso bene la mia storia, vi chiedo di disegnare un grafico con sei punti, uno per ogni persona, e collegando con una linea le persone che si conoscevano. Se il grafico sarà giusto, vi offrirò da bere, altrimenti, scordatevi di uscire da qui. [R: ci sono più soluzioni, ad esempio una figura a casa (quadrato più triangolo con l'aggiunta di un segmento che parte da un vertice del quadrato] SIMMETRIE 10 Fabbricante di dadi Il personaggio che blocca questa strada è un fabbricante di dadi. Dice: è fondamentale che la somma dei numeri posti sulle facce opposte di un dado sia sempre 7. Tuttavia, esistono tipi di dadi diversi, nel senso che non possono essere posti uno a fianco all'altro in modo che le facce rivolte verso la stessa direzione mostrino lo stesso numero. Quanti tipi di dadi diversi possono esistere? [R: 2]

5 11 Fabbricante di cubi Il fabbricante di cubi vi narra: il tipo più semplice di cubi che vendo nel mio negozio ha ogni faccia dipinta di bianco o di nero. Ieri un cliente mi ha chiesto quanti cubi diversi di quel tipo potessi fabbricare. Cosa dovevo rispondergli? [R: 11] 12 SuperTetris! Entrate nella locanda a bordo strada per chiedere informazioni. Qui c'è un ragazzo che vi chiede una moneta per giocare ai videogiochi. Il mio gioco preferito è TETRIS dice lui lo conoscerete sicuramente: ci sono delle figure da incastrare, tutte formate da 4 quadretti. In totale ci sono cinque figure (quadrato, linea, T, L, e saetta), oppure possiamo considerarne 7 se distinguiamo tra quelle speculari fra loro. Tra poco però qui a Matelandia uscirà la nuova versione del gioco, che si chiama PENTIS, e avrà tutte le figure possibili che si possono ottenere combinando 5 quadretti. Quante sono? Non serve che distinguiate fra quelle speculari. Voi che volete sbrigarvela subito chiedete al Mago dei Numeri un suggerimento su come procedere, senza rischiare di dimenticarne una. Ogni figura con 5 quadretti si può ottenere da una con 4, e aggiungendo un quadretto dice lui quindi potreste partire dalle figure del TETRIS, e aggiungere quadretti in tutti i modi diversi. Ma occhio a non contare più volte la stessa figura! [R: 12] GIOCHI 13 Il giocatore Trovate la strada bloccata. C'è una pila con cinque sassi piatti, un'altra pila con tre, e poi un sasso isolato. Esce un cavaliere della matematica che vi sfida: a turno, ciascuno dovrà togliere uno o più sassi da una pila, e chi rimane senza sassi perde. Ovviamente vi lascerà passare solo se vincete. Voi che mossa fate? [R: da 5 a 2] INFORMATICA 14 Non fare troppe domande Vi lascerò passare dice la guardia con la lancia puntata verso di voi solo se mi dite il numero-chiave. Questo numero è compreso tra 1 e 124, l'età di mio trisnonno. Potete provare a indovinarlo: se voi mi dite un numero, io saprò

6 dirvi se il numero-chiave è più grande, più piccolo o uguale al vostro. Ma guai a voi se fate più domande dello strettamente necessario! Il Mago dei Numeri guarda con fastidio questa guardia arrogante e vi suggerisce Fate come volete, ma forse vi conviene ragionare al contrario. Con una sola domanda, tra quanti numeri al massimo potreste indovinare? Secondo me sono 3. Con due domande, sono 7, e lascio a voi capire perchè. Dovete avere abbastanza domande per distinguere almeno 124 numeri. [R: 6]