3. DINAMICA TRASLAZIONALE Ovvero: La Meccanica Quantistica di sistemi semplici

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1 3. DINAMICA TRASAZIONAE Ovvero: a Meccaica Qatistica di sistemi semlici Particella libera assea di oteiale: moto ieriale velocità costate Sistema o cofiato fioe d oda i geerale o ormaliabile! Per cofiare il sistema: articella libera i a scatola. Sistema semlificato i a dimesioe Parete erfettamete elastica a ed a ghea della scatola t Traiettoria classica di a articella co velocità iiiale v mv mv medio el temo = t mv m 1

2 Descriioe qatistica: fioe d oda t Come teer coto degli effetti delle areti? Probabilità lla di trovare la articella fori della scatola. t er e Saio di ilbert del roblema: fioi itegrabili i modlo qadro co il vicolo: er e Osservabili rilevati: Ricerca degli atostati m i 1 m m dell amiltoiao: E K : si K cos K e Codiioi al bordo: si K si K K K

3 si / 1 3 Note. stesso atostato! : Normaliaioe: o ormaliabile! si / si / si / si / / d si / d si / si / / e i / e i i / e i e 4 i si / / si / si / Atovalori: E m m h h E E 1 E1 8m 8m 3

4 a Stato fodametale =1 4 D.A. McQarrie J.D Simo Chimica Fisica aroccio molecolare IV Ed. Zaichelli 1997 ag. 68

5 Pecliarità degli atostati: 1 e atofioi soo esrimibili come fioi reali o stato fodametale 1 o ha odi to i ci l atofioe cambia di sego. I geerale: mero di odi di 1 Ambede le rorietà si ritrovao i altri roblemi. Ifatti se q o è degeere i ttta geeralità si dimostra che è esrimibile come a fioe reale q Re q iim q ' q i " q Ĥ q E q E ' q i " q E ' i E " q q è oeratore reale: da fioi reali geera fioi reali E ' q E " q ' q " q Sia che soo atofioi e qidi devoo essere roorioali secodo a costate reale a o essedo l atostato degeere: Scegliedo '' q a ' q ' q i '' q 1 ia ' q 1/ 1 ia come fattore moltilicativo si ottiee l atofioe i forma reale Ache la rorietà è dimostrabile i ttta geeralità ache se i modo meo diretto. 5

6 imite classico: esiste a corrisodea tra la descriioe qatistica e la descriioe classica dello stesso sistema? E ossibile trovare a corrisodea solo comarado le revisioi s sigole rorietà. Prorietà: eergia. Meccaica Classica: ttti i valori reali ositivi soo ossibili E Meccaica Qatistica: solo valori discreti ositivi: E E er 1 E : E E 1 E E [ 1 ] E1 1 E1 1 1 E lim E Searaioe tra i livelli eergetici Searaioe relativa Nel limite la searaioe tra i livelli comarata alle eergie assolte diviee trascrabile avviciameto al cotio limite classico 1 6

7 Prorietà: desità di robabilità slla coordiata Meccaica Qatistica: desità di robabilità dell -esimo atostato si / Meccaica Classica: Probabilità che la articella sia i itervallo dell itervallo t / v Desità di robabilità costate: 1/ temo di ercorrea Nel limite la desità di robabilità qatistica r essedo itrisecamete diversa da qella classica rodce la stessa media di a data fioe f 7

8 Esemio: articella i a scatola E : E E 1 Esemio: Calcolare la differea di eergia fra i rimi de atostati della articella i a scatola i a dimesioe ei casi a di elettroe cofiato co. m tiico saio a disosiioe dell elettroe ell atomo di Idrogeo b di a molecola di aoto N i a coteitore co 1 cm cofiameto macroscoico a E N Avog E E E 1 3h 8m N E 1 Avog e E E 3 hn 8 m N e Avog Avog 3h 8m J/mol 719 kj/mol e J/mol 8

9 Se la trasiioe avveisse er emissioe di fotoe qesto avrebbe a lghea d oda: Esemio: articella i a scatola E h c ch E chn EN 9 Avog Avog m m Stesso ordie di gradea delle emissioi dell atomo di idrogeo! Particella ella scatola come modello er stimare le eergie degli elettroi delocaliati ei oliei ad esemio 3 C C C C 9

10 Esemio: articella i a scatola b N Avog E 3 hn 8 m N N Avog Avog J/mol 3 J/mol da cofrotarsi co l eergia termica traslaioale a 5 C m N v N Avog kbt RT N Avog J/mol 14 J/mol 1. 4 kj/mol 1

11 Aalisi delle osservabili ell iotesi che il sistema sia el -esimo stato staioario atostato ie / t t e h E : E1 valore certo dell eergia 8m Desità di robabilità slla coordiata: t / si d / : / er er o è simmetrica risetto a /! / 4 d d si / : / d si

12 g dg si d [ g g] 1 3 / si cos : rimitiva di si 16 / 3 : / 3 Massima variaa er distribioe omogeea 1/ Miima variaa er corrisode alla 1: 1 6 /

13 Qali ossibili misre del mometo? e i / / si / i e i / Esiti delle misre del mometo: i e e i / i / i e i / co gal robabilità Stessi risltati dal calcolo del valore di asettaioe di e rovare! 1 h Relaioe tra misre di eergia e mometo: E m Miima icertea slla coordiata e sl mometo er =1 h 1 6 / 3 i accordo co il riciio di idetermiaioe di eiseberg: h / h m 13

14 14 14 Priciio di idetermiaioe Defiiioe di commtatore tra de oeratori: A B AB B A : È oeratore che si alla se i de oeratori commtao. Relaioe di commtaioe tra oeratori osiioe e mometo coigati i i i i i i i Cambia di sego se si iverte l ordie degli oeratori ] [ ] [ B A AB BA A B

15 Forma geeraliata del riciio di idetermiaioe vedere Aedice 3A: dati de oeratori  e B co commtatore [ A B] ik dove K è mero reale allora dove le icertee soo valtate secodo la variaa dei valori di asettaioe A B / A B K : A A : A A : B B : B B Ne cosege il riciio di idetermiaioe secodo eiseberg: A B K / 15

16 Diversità tra Meccaica Qatistica e Meccaica Classica a bassa eergia Miima eergia classica: E articella immobile = Miima eergia qatistica er =1 eergia di to ero: 1 h E 1 8m Ua eergia qatistica lla sarebbe icomatibile co il riciio di idetermiaioe! 1 Se E1 1 m h 16

17 17 Particella i a scatola bidimesioale Pareti elastiche a e m m m m v v Descriioe qatistica: t e er solo er m m m m i i oeratore alaciao :

18 18 Qali atostati? Prodotto degli atostati er il moto lgo e lgo / si / 1 / si / 1 Atostati: Nota: gli atostati soo catalogati da a coia di meri qatici. Verifica: m m m 8m h 8m h 8m h

19 19 E 8m h E Geeraliaioe ad amiltoiai costititi da arti idiedeti Gli atostati soo ortoormali ' ' ' * ' * ' ' * ' ' d d d d

20 R. Chag Phsical Chemistr for the Chemical Scieces U. Sciece Books 14. 4

21 / irraioale E R. Chag Phsical Chemistr for the Chemical Scieces U. Sciece Books Degeeraioe er simmetria ella scatola qadrata: Degeeraioe accidetale o casata da simmetria se Assea di degeeraioe se / irraioale / E E 1 raioale

22 Geeraliaioe alla scatola tridimesioale: t t r er m m m m m Atostati: E si si si 8m h E