CENNI DI PROBABILITÀ E VARIABILI CASUALI

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1 CI DI PROBABILITÀ VARIABILI CASUALI PROBABILITA VARIABILI CASUALI Frequeza relativa e robabilità Mediate le le robabilità si si descrivoo i i feomei che che ossoo essere essere esati come come u u eserimeto il il cui cui risultato sia sia soggetto a cambiameto al al rietersi dell eserimeto stesso stesso (ur (ur mateedo le le medesime codizioi oerative). semio: serimeto: Lacio Lacio casuale di di u u dado dado (ogi (ogi volta volta i i modo modo leggermete diverso) Risultato: umero sulla sulla faccia faccia sueriore del del dado dado Isieme dei dei ossibili risultati risultati (elemetari): {,,3,4,5,6} veto: qualsiasi sottoisieme dell isieme dei dei risultati risultati A{,}; B{,4,6}; ecc. ecc. Se Se si si esegue esegue u u umero di di rove rove sufficietemete elevato, sia sia l eserieza sia sia la la teoria teoria della della robabilità mostrao che che la la frequeza relativa relativadei dei sigoli sigoli risultati risultati (,,3,4,5,6) (o (o di di u u qualsiasi eveto) è rossima alla alla loro loro robabilità: f A P( ) f P( A) ATTZIO: A B f P( B)... f P( A) A PROBABILITA VARIABILI CASUALI B

2 Istogramma dei risultati L istogramma dei dei risultati è il il grafico delle frequeze relative Lacio di u dado o truccato, esito di ua serie di rove Risultato del lacio Frequeza relativa dei ossibili risultati # rove Commeto: questo istogramma è sosetto! è troo regolare!! 3 PROBABILITA VARIABILI CASUALI S sazio degli eveti, cioè cioè isieme di di tutti tuttii i risultati elemetari A,B,C,... eveti (sottoisiemi di di S, S, iclusi lo lo stesso S e l isieme vuoto) AUB uioe di di A e B A B itersezioe di di A e B ota: la la robabilità di di AUB è sesso idicata co co P(A+B). ota: la la robabilità di di A B è idicata co co P(A,B) e detta robabilità cogiuta. U Cei di teoria della robabilità () U Assiomi della della teoria teoria della della robabilità (rorietà delle delle robabilità):.. Per Per ogi ogi A esiste esiste (cioè (cioè è defiita) P(A) P(A).. P(S) P(S) Se Se A e B soo soo mutuamete esclusivi (hao (hao itersezioe ulla) ulla) P(A+B)P(A)+P(B) ota: ota: o o soo soo altro altro che che le le rorietà elemetari della della frequeza relativa relativa Cosegueza (facilmete dimostrabile): P(A+B)P(A)+P(B)-P(A,B) bisoga cotare solo solo ua ua volta volta l itersezioe di di A e B! B! Si Si attribuiscoo alla alla robabilità le le rorietà della della frequeza relativa, erché erché i i risultati risultati del del calcolo calcolo delle delle robabilità siao siao a loro loro volta volta iterretabili come come frequeze relative. 4 PROBABILITA VARIABILI CASUALI

3 Cei di teoria della robabilità () semio: lacio lacio di di u u dado dado (iotesi: dado dado o o truccato > > risultati risultati equirobabili) A{,,3} (l eveto A si si verifica verifica se se il il risultato elemetare è coteuto i i A) A) B{,4,6} (l eveto B si si verifica verifica se se il il risultato è u u umero ari) ari) Per Per calcolare la la robabilità di di u u eveto eveto basta basta cotare i i risultati risultatiche lo lo comogoo! P(A) P(A) A / A / dove dove A è A il il umero di di risultati risultati coteuti i i A e il il umero totale totale di di risultati. P(A)P(B)3/6 P(A+B)P({,,3,4,6})5/6 (o (o ache ache P(A+B)P(A)+P(B)-P(A,B)3/6+3/6-/65/6, ma ma i i questo questo caso caso o o coviee) P(A) P(A) A / A /uò essere essere ua ua defiizioe geerale di di robabilità? O Oerché esistoo ache ache i i dadi dadi truccati truccati (itezioalmete o o); o); otrebbe essere essere P().5 e P()...P(6).. I I questo questo caso caso si si avrebbe P(A).7, P(B).3 e P(A+B).9. Regola Regola geerale: el el caso caso dei dei risultati risultati equirobabili, il il calcolo calcolo delle delle robabilità richiede solo solo di di saer saer cotare; se se i i risultati risultati o osoo equirobabili occorre saer saer sommare..b.:.b.: il il umero di di termii termiida da sommare uò uò essere essere eorme, o addirittura ifiito! ifiito! 5 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Idiedeza statistica semio: lacio lacio di di due due dadi dadi (o (o truccati) A{ A{ el el rimo rimo lacio lacio (e (e risultato qualsiasi el el secodo lacio)} lacio)} B{3 B{3 o 4 el el secodo lacio lacio (e (e risultato qualsiasi el el rimo rimo lacio)} lacio)} P(A,B)P({ el el rimo rimo lacio, lacio, 3 o 4 el el secodo lacio})/36 (ifatti (ifatti vi vi soo soo coie coiedi di risultati risultati equirobabili: le le coie coie (,3) (,3) e (,4) (,4) costituiscoo l eveto cogiuto) I I questo questo caso caso risulta risulta P(A,B) P(A,B) P(A)P(B), cioè cioè la la robabilità cogiuta è uguale uguale al al rodotto delle delle robabilità: si si dice dice che che gli gli eveti eveti A e B soo soo statisticamete idiedeti (o (o idiedeti). ffettivamete i i laci laci soo soo idiedeti, a meo meo che che si si voglia voglia credere che che il il dado dado ha ha memoria!! Si Si assume a riori riori l idiedeza statistica, e quidi quidi si si usa usa la la regola regola P(A,B)P(A)P(B), quado quado A e B soo soo eveti eveti relativi relativi a eserimeti idiedeti. semio tiico: tiico: rietizioe di di uo uo stesso stesso eserimeto, cioè cioè rove rove rietute (dette (dette ache ache rove rove di di Beroulli )..B.:.B.: el el caso caso di di eserimeti idiedeti vale vale la la regola regola P(A,B)P(A)P(B) ache ache se se i i risultati risultati elemetari o osoo equirobabili (dado (dado truccato). 6 PROBABILITA VARIABILI CASUALI

4 Variabile casuali discrete (distribuzioe di robabilità) Si Si dice dicevariabile casuale u u umero reale associato al al risultato dell eserimeto. Se Se i i ossibili risultati soo umerabili la la variabile casuale è detta discreta. Ad Ad esemio all eserimeto lacio lacio del del dado dado (o (o truccato) associamo la la variabile casuale che che uò uò assumere i i valori valori iteri iteri comresi tra tra e 6 co co robabilità /6. /6. ota: ota: se se ivece ivece vogliamo idicare le le facce facce del del dado dado co co a,b,c,d,e,f o o defiiamo ua ua variabile casuale. Si Si dice dice distribuzioe di di robabilità (o (o talvolta desità discreta di di robabilità) della variabile casuale la la fuzioe P(a) P(a) (o (o talvolta (a)), che che rareseta co co quale robabilità la la variabile casuale assume il il valore a. a. Se Se i i risultati soo i i umero fiito si si tratta di di ua ua raresetazioe del del tutto tutto equivalete ad ad ua ua tabella coteete le le robabilità P(a). ell eserimeto lacio del dado la distribuzioe di robabilità della variabile casuale vale /6 er i valori di a iteri comresi tra e 6, e zero altrove. /6 Distribuzioe di robabilità della variabile casuale PROBABILITA VARIABILI CASUALI Le Le variabili casuali soo cotiue quado ossoo assumere u u isieme cotiuo di di valori (e (e quidi i i ossibili risultati soo i i umero ifiito). semio: la la temeratura di di ua ua staza staza misurata (co (co recisioe ifiita! ifiita! otteedo u u umero reale) reale) ad ad u u istate istate di di temo temo casuale. Temeratura misurata umero di rove Variabili casuali cotiue Il Il cocetto di di frequeza relativa relativaviee viee recuerato arossimado l isieme cotiuo di di valori valori co co u u umero fiito fiito di di itervallii di di misura misura (discretizzazioe). Ad Ad esemio, se se la la temeratura della della staza staza uò uò variare variare co co cotiuità tra tra e 3 3 gradi, gradi, o o commettiamo u u grosso grosso errore errore arossimado l itervallo cotiuo co co 5 5 itervallii cotigui di di.. gradi gradi ciascuo. La La variabile casuale è divetata discreta (ci (ci soo soo 5 5 ossibili risultati risultati dell eserimeto) e ossiamo arossimare la la robabilità come come limite limite della della frequeza relativa relativa er er elevato. 8 PROBABILITA VARIABILI CASUALI

5 Istogramma Ache Ache er er le le variabili casuali casuali cotiue, ua ua volta volta discretizzate, è ossibile tracciare l istogramma come come grafico grafico della della frequeza relativa relativa dei dei risultati risultati i i ogi ogi itervallio i i cui cui si si è suddiviso l isieme cotiuo dei dei risultati. ATTZIO: i i valori valori dell istogramma er er le le variabili casuali casuali cotiue, ua ua volta volta discretizzate, diedoo dalla dalla dimesioe dell itervallio scelto: scelto: iù iù è iccolo iccolo l itervallo iù iù soo soo bassi bassi i i valori valori dell istogramma. 3 3 Temeratura misurata umero di rove 8 ISTOGRAMMA Frequeza relativa 9 PROBABILITA VARIABILI CASUALI 6 4 Temeratura misurata Per Per itrodurre il il cocetto di di desità desità di di robabilità (a) (a) di di ua ua variabile casuale cotiua a artire artire dall istogramma occorroo i i segueti assi: assi: --Utilizzare itervallii iccoli iccolicosì così da da oter oter riteere la la dd dd costate al al loro loro itero itero --Dividere il il valore valore dell istogramma er er la la dimesioe dell itervallio (i (i modo modo che che il il risultato sia sia idiedete dalla dalla dimesioe dell itervallio) 3 --Utilizzare u u umero molto molto elevato elevato di di rove rove (tato (tato iù iù elevato elevato quato quato iù iù iccolo iccolo è l itervallio) i i modo modo che che frequeze relative relative e robabilità quasi quasi coicidao umero di rove Desità di robabilità (dd) PROBABILITA VARIABILI CASUALI dd

6 Uso della desità di robabilità di ua v.c. cotiua La La desità desità di di robabilità (a) (a) di di ua ua variabile casuale cotiua è duque defiibile come come ( a) P( a < lim da a + da) da.b.: se o è evidete di quale variabile casuale si sta arlado si scrive (a) Dalla Dalla desità desità di di robabilità (a) (a) è facile facile calcolare la la robabilità che che la la variabile casuale assuma u u valore valore comreso i i u u itervallo a,, a.. Basta Basta sommare! si si ottiee ottiee l area l area sottesa sottesa dalla dalla dd ddell itervallo d iteresse. P ( a < a ) Si oti che P a a ( a) da ( < < ) da Duque l area l area sottesa sottesa dalla dalla dd dd di di ua ua qualuque variabile casuale è uitaria a a PROBABILITA VARIABILI CASUALI Desità di robabilità cogiuta I I modo modo del del tutto tutto aalogo si si defiisce la la dd dd di di due due (o (o iù) iù) variabili casuali casuali (desità di di robabilità cogiuta): ( a, b) P( a < lim da db a + da, b < da db b + db) La La desità desità di di robabilità cogiuta (a,b) (a,b) è utilizzata er er calcolare la la robabilità che che le le variabili casuali casuali e assumao (cogiutamete) valori valori comresi i i ua ua regioe del del iao. iao. Basta Basta itegrare ella ella regioe d iteresse (itegrale doio). Le Le variabili casuali casuali e soo soo dette dette statisticamete idiedeti se se ( a, b) ( b) er ogi a e b Si Si assume a riori riori che che le le variabili casuali casuali e siao siao statisticamete idiedeti se se otteute da da eserimeti svolti svolti i i codizioi idiedeti (esemio: rove rove rietute). PROBABILITA VARIABILI CASUALI

7 Valor medio di ua variabile casuale Il Il valor valor medio medio µ,, detto detto ache ache valore valore atteso atteso [] [] o mometo (statistico) di di ordie ordie uo, uo, di di ua ua variabile casuale è defiito defiito come come segue. segue. Se Se l eserimeto viee viee eseguito volte volte ( (grade) µ è iterretabile arossimativamete come come media media aritmetica dei dei risultati: µ [] a (a) da i i Il valor medio di ua variabile casuale è l ascissa del baricetro dell area sottesa dalla desità di robabilità. (a) (a) µ X a a µ X 3 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Prorietà del valor medio () La La rorietà fodametale del del valor valor medio medioè la la seguete. Se Se dalla dalla variabile casuale si si ottiee ottiee ua ua uova uova variabile casuale attraverso la la fuzioe f(), f(), dove dove f() f() è ua ua fuzioe refissata (i (i tal tal caso caso si si dice dice che che è fuzioe di di variabile casuale), il il calcolo calcolo del del valor valor medio medio di di o o richiede di di determiare la la dd dd (cosa (cosa che che otrebbe essere essere difficile). Si Si uò uò ivece ivece rocedere el el seguete modo, modo, mediate la la dd dd della dellavariabile : : [ ] f da Aalogo risultato vale vale er er ua ua fuzioe di di iù iù variabili casuali. La La dimostrazioe di di questa questa imortate rorietà o o è affatto affatto baale. baale. Tuttavia il il risultato o o sorrede, se se si si esa esa all iterretazioe del del valor valor medio medio come come media media aritmetica di di u u gra gra umero di di risultati: [ ] i f ( i ) semio: la la variabile casuale ha ha dd dd uiforme (cioè (cioè costate) ell itervallo (,) (,) e ulla ulla altrove. altrove. La La variabile casuale è defiita defiita come come cos(). Il Il valor valor medio medio di di è i 4 PROBABILITA VARIABILI CASUALI i [ ] cos da cos da si().84

8 Prorietà del valor medio () Dalla Dalla rorietà fodametale del del valor valor medio mediosi si ottegoo immediatamete le le segueti rorietà, di di uso uso frequetissimo: Il Il valor valor medio medio della della somma somma+ +di di variabili casuali casuali è la la somma dei dei valori valori medi. medi. Se Se a e b soo soo costati [a+b] a [] [] + b. b. Se Se e soo soo variabili casuali casuali idiedeti e f() f() e g() g() soo soo fuzioi arbitrarie, [f()g()] [f()] [f()] [g()]. [g()]. I I articolare, se se e soo soo variabili casuali casuali idiedeti si si ha ha [] [] µ µ µ µ.. Variabili casuali casuali e tali tali che che sia sia [] [] µ µ µ µ soo soo dette dette icorrelate..b.:.b.: due due variabili casuali casuali ossoo essere essere icorrelate ache ache seza seza essere essere idiedeti. Variabili casuali casuali idiedeti soo soo ivece ivece semre icorrelate. 5 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Valore quadratico medio e variaza Il Il valor valor quadratico medio medio [ [ X [ ( ], ], detto detto ache ache oteza statistica o mometo (statistico) di di ordie ordie,, di di ua ua variabile casuale X mx ) è ] defiito defiito ( a mcome come ) f Xsegue. daarossimativamete, è la la media media aritmetica di di u u umero molto molto elevato elevato di di risultati risultati di di altrettati eserimeti: [ X ] m [ X ] + m [ X ] m m + m [ X ] m X X X X X [ ] a (a) da i i X La La variaza (detta (detta ache ache mometo cetrale di di ordie ordie ) ) di di ua ua variabile casuale è il il valore valore quadratico medio medio della della differeza tra tra e il il suo suo valor valor medio medio µ µ [( µ ) ] [ ] µ i i i.b.:.b.: dimostrare che che richiede u u iccolo iccolo calcolo. [ µ ) ] [ ] µ ( 6 PROBABILITA VARIABILI CASUALI

9 Deviazioe stadard La La radice radice quadrata della della variaza è detta detta deviazioe stadard (o (o scarto scarto quadratico medio) medio) della della variabile casuale La La deviazioe stadard è ua ua misura misura della della disersioe, risetto risetto al al valor valor medio, medio, dei dei valori valori assuti assuti ei ei vari vari eserimeti dalla dalla variabile casuale.. Più Più è elevata elevata la la deviazioe stadard iù iù i i risultati risultati soo soo disersi risetto risetto al al valor valor medio medio e la la dd dd è larga. larga > > PROBABILITA VARIABILI CASUALI Desità di robabilità gaussiaa (a) e ( a µ ) π π.66 π (a) X X.35 π X X µ X a P P P ( µ < µ + ) ( µ < µ + ) ( µ 3 < µ + 3 ) m + m µ + µ µ + 3 µ 3 π π π e ( a µ ) ( a µ ) ( a µ ) da PROBABILITA VARIABILI CASUALI e e da.683 da.954

10 Fuzioe Q e fuzioe errore comlemetare (erfc).66 π (a) CB B B µ + β β Q e π erfc ( a µ ) β da µ X β β a t Q(t) t Q(t), 5,-,8,9-,5 4,8-,,587-, 4,6-,,5-,5 4,44-,4 8,8-, 4,7-,6 3,86-,5 4,3-,8 3,59-,3 3,8-,,8-,35 3,6-,4 8,-3,4 3,446-,8,6-3,45 3,64-3, 6,87-4,5 3,85-3,6,59-4,6,743-4, 3,67-5 s erfc(s) s erfc(s),,+,6,37-, 8,875-,8,9-, 7,73-, 4,7-3,3 6,74-,,9-3,4 5,76-,4 6,885-4,5 4,795-,6,36-4,6 3,96-,8 7,5-5,7 3,- 3,,9-5,8,579-3,3 3,57-6,,573-3,7,67-7, 9,7-4,,54-8,4 4,77-5,,537- er er t > 3 e Q( t) e s > erfc( s) ( t / ) π t ( s ) π s 9 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Somma di variabili casuali Si ossoo dimostrare molte otevoli rorietà: Il Il valor valor medio medio della della variabile casuale z+ z+è ari ari alla alla somma somma dei dei valori valori medi. medi. Se Se e soo soo variabili casuali casuali idiedeti, la la variabile casuale z+ z+ha ha come come dd dd la la covoluzioe delle delle due due dd: dd: z Se Se e soo soo variabili casuali casuali idiedeti, la la variabile casuale z+ z+ha ha variaza ari alla ari alla somma somma delle delle variaze: + z La La somma sommadi di u u umero grade grade di di variabili casuali casuali idiedeti i ha i ha dd dd rossima alla alla gaussiaa, idiedetemete dalle dalle sigole sigole desità! (teorema limite limite cetrale) ( a µ ) ( )... ( ) e a a π La La dd dd uò uò essere essere rossima alla alla gaussiaa ache ache er er relativamete iccolo iccolo (5 ). PROBABILITA VARIABILI CASUALI

11 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Stima della robabilita co rove rietute () evidete che vale co robabilita D/M e zero co robabilita q-. Quidi: Sodaggi elettorali. Problema semlificato: gli M di elettori italiai votao solo il cetro-destra o il cetrosiistra. Alla fie delle elezioi si sa che D elettori hao votato il cetro-destra. Co quale recisioe si riesce a stimare D saedo cosa hao votato solo <M elettori? Suoiamo che le dichiarazioi di voto siao idiedeti tra loro (o si fao i sodaggi solo resso gli idustriali o solo ei cetri sociali). Alla dichiarazioe di voto associamo ua variabile casuale che vale er il cetro destra e er il cetrosiistra. La stima di D/M (ercetuale di chi ha votato cetro-destra) sara allora: ˆ [ ] [ ] ) ( ; ; PROBABILITA VARIABILI CASUALI Stima della robabilita co rove rietute () Si verifica facilmete che il valore medio della stima di coicide co : [ ] [ ] ˆ eraltro iu iteressate calcolare quato e disersa la stima di risetto al suo valor medio. La disersioe, come saiamo, e legata alla variaza: [ ] [ ] ( ) [ ] { } [ ] [ ] [ ] ) ( ˆ ˆ + +

12 Stima della robabilita co rove rietute (3) Duque, al crescere di, la stima di e semre meo disersa itoro a (legge dei gradi umeri). Ad esemio se la deviazioe della stima vale: ( ) ( ) ˆ (. 5 ) eraltro evidete che se fosse u milioe, la deviazioe sarebbe /, ma a questo uto il camioe sarebbe cosi elevato da redere irragioevole u sodaggio. 3 PROBABILITA VARIABILI CASUALI Prove rietute () semio: laci laci (idiedeti) di di ua ua moeta truccata, che che dà dà testa testa co co robabilità.. Cosideriamo la la variabile casuale umero di di teste teste totali totali (o (o ci ci iteressa l ordie). Si Si ossoo otteere teste teste i i rove rove i i modi modi distiti, distiti, ciascuo avete avete robabilità ( ) (rodotto delle delle robabilità), e quidi quidi P( ) ( ) evidete che all aumetare di la frequeza relativa si discosta semre meo da (legge dei gradi umeri) 4 PROBABILITA VARIABILI CASUALI

13 Prove rietute () Variaza del del umero di di successi i i rove rove idiedeti: se se è la la robabilità di di successo ella ella sigola sigola rova rova si si uò uò dimostrare che che la la variaza del del umero di di successi è e quidi quidi la la variaza della della frequeza relativa relativaf f/ è tedete a ifiito. ifiito. ( e tede tede a zero zero er er Gli Gli scarti scarti quadratici medi medisoo dati dati risettivamete da da e.. 5 PROBABILITA VARIABILI CASUALI ) ( ) / semio: ( ) ( ) / ( ) ( ) / Come Come si si vede vede lo lo scarto scarto quadratico medio mediodel del umero di di successi aumeta (ma (ma iù iù letamete di di ), ), metre metre lo lo scarto scarto quadratico medio mediodella della frequeza relativa relativadimiuisce. Si Si comrede evidete che come come all aumetare sia sia ossibile di i ratica la ratica frequeza misurare relativa ua ua si robabilità, discosta semre eseguedo meo da l eserimeto u u umero sufficiete (legge di di dei volte volte gradi (secodo umeri) la la recisioe desiderata).