I quattro postulati della Meccanica. Piu avanti vedremo che occorre allargare il quadro per introdurre lo spin, le statistiche quantistiche...

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1 I quattro postulati della Meccanica Quantistica Piu avanti vedreo che occorre allargare il quadro per introdurre lo spin, le statistiche quantistiche... Postulato 1 Lo stato di un sistea si rappresenta con una funzione d'onda coplessa Y a (x; t) dove: x sta per l'insiee delle coordinate, t e il tepo, a un insiee (eventualente vuoto) di costanti del oto ( i nueri quantici). Se a contiene i valori di tutti gli osservabili copatibili (=che possono essere siultaneaente conservati), lo stato quantico ne risulta individuato

2 Y x, t Y x, t e contiene l info copleta a i ( x, t) a dx Y x, t 1 a 2 Non e vero! x tutti i gradi di liberta : la forulazione si estende a olte particelle e il ondo intero. Fra funzioni d onda vale il principio di sovrapposizione: Y(x,t), c(x,t) funzioni d onda iplica che lo e anche ogni cobinazione lineare FaY+bc Spazio di funzioni 2 2

3 Fra funzioni d onda il prodotto scalare e l overlap, un nuero coplesso ket bra Y F dxy * ( x) F( x) Se e nullo, le funzioni sono ortogonali * Noralizzazione: Y Y dxy ( x) Y( x) 1 Inglese: bracket=parentesi 2 per Y( x) L. 3 diensione d dello spazio = nuero assio di funzioni ortogonali Tranne qualche caso, d 3

4 Disuguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale La funzione d onda esprie lo stato di un sistea riferendolo ad una base di funzioni; si possono fare trasforazioni di base. Si estendono le nozioni valide in uno spazio vettoriale. fra vettori: rotazioni e riflessioni= trasforazioni lineari U che conservano i prodotti scalari fra funzioni: trasforazioni unitarie= trasforazioni lineari che conservano i prodotti scalari. Disuguaglianza di Schwarz in 3 diensioni: In 3d, a. b abcos a. b a b 4

5 Disuguaglianza di Schwarz in n diensioni: a. b a b analogaente, 2 Y F Y Y F F 1 fra vettori: espansione su una base d v (v, v,...v ) v, con. e e e 1 2 d i i i j ij i1 fra funzioni d onda: espansione su una base, in analogia con la trasforata di Fourier. Basi: onde piane, seni (buca a pareti finite) soluzioni dell oscillatore aronico, 5 5 5

6 Spazio norato e copleto L espansione su una base richiede che ci sia una nora (i vettori di base devono avere nora 1). Coplicazione: per olti problei d e infinito l espansione richiede una serie convergente. Esepio: I polinoi sono uno spazio vettoriale di diensione infinita, a non basta! Una funzione trascendente, coe sin(x), non e un polinoio ( una cobinazione lineare di polinoi con un nuero finito di terini). Ci vuole uno spazio vettoriale di diensione infinita, discreta o continua, che includa i liiti delle successioni convergenti. Un tale spazio si dice copleto

7 Spazio di Banach Uno spazio etrico norato copleto e uno spazio di Banach. Esepio: sia C[0,1] l insiee delle funzioni coplesse continue in [0,1]. C[0,1] e uno spazio vettoriale. Possiao definire la nora di una f f sup f ( x), x [0,1]. Una successione f n converge a una funzione f(x) se 0 n tale che n N, f ( x) f ( x), x [0,1] Questa e la convergenza unifore. Ma allora si diostra che f e continua. Quindi C[0,1] e copleto ed e di Banach. n 7

8 Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach norato e copleto rispetto alla nora indotta da un prodotto scalare. Il contesto e quello di Fourier. Lo spazio di Hilbert e quello in cui si definiscono le funzioni d onda. E sepre possibile espandere la y su un set copleto 2 Si diostra: L e' uno spazio di Hilbert ad es.: f L 2 ikx vale Fourier; a e non e' l'unica base. Per la Meccanica Quantistica y deve essere definita in uno spazio di funzioni in cui una base abbia coe vettori le autofunzioni di un operatore osservabile (per esepio, le onde piane che sono autofunzioni dell ipulso)

9 Prio postulato in 1 pagina: Y xt, a a A, B, C,... insiee degli osservabili copatibili varie scelte possibili: per la particella libera E,p oppure E, L a A, B, C,... insiee degli osservabili copatibili individua lo stato due stati diversi hanno aleno un nuero quantico diverso 9 9 9

10 Postulato 2 Gli osservabili Q sono rappresentati da operatori Q ˆ lineari, cioe' Q( ˆ ay + bf) aqˆ Y + bqˆ F heritiani, cioe' Q ˆ = Qˆ ovvero F Qˆ Y = Q ˆ F Y, dotati di un set copleto di autovettori (cioe' ogni Y puo' essere espansa in una serie convergente nelle autofunzioni di qualsiasi Q). ˆ Se lo stato e' Y, il valore di aspettazione di ogni Q ˆ e' dato da Y ˆQ Y = Q ˆ Y Y

11 Matrici degli operatori: Date due funzioni d'onda, si definisce l'eleento di atrice: F ˆ Y F Y FY ( ) ˆ ( ) * A A dx x A x dx integrazione su tutte le coordinate. F Â Y prodotto scalare di F per Aˆ Y. Qui, le coponenti sono F( x), Y( x) Heisenberg: invento la teoria delle atrici pria della invenzione dell equazione di Schroedinger; risulto poi che i due foralisi sono equivalenti

12 * A x A ˆ ˆ ( ) ˆ y y A y A dx y x, y, con Aˆ che agisce su l ket. * Se Aˆ agisce sul bra : Aˆ y dx Aˆ y ( x) x. Ma in genere, Aˆy y Aˆ. Esepio :se A i, y Aˆ i y, Aˆy i y. ˆ ˆ Esiste Bˆ tale che Bˆ y y A? Si, sappiao che Bˆ A ˆ ˆ ˆ A e' definito da: A y y A, y, ˆ y y Aˆ significa: A Definizione di coniugato Heritiano di A a partire da A * ˆ y ( ) dove ˆ agisce solo su y ( ) y ( ) * ˆ dx A x x A x dx x A x 12 12

13 Ricordate l'oscillatore aronico: 1 d 1 d 2 dq 2 dq creazione a q annichilazione a q +. Il coniugato heritiano di A e' A. Coe trovare la atrice del coniugato Heritiano di A a partire da un A qualsiasi.. A A * ˆ y,, y ˆ y In parole: la regola per la atrice dell operatore coniugato Heritiano: trasporre e prendere il cc 13

14 T y Tˆ y T Osservabile il risultato di ogni isura deve essere reale! valore di aspettazione dell operatore T nello stato y E la edia di olte isure dell osservabile T sullo stato y. y T y * y T y T devono coincidere sepre * T T osservabile T T * Definizione A A A A A A autoaggiunto o Heritiano antiheritiano ia Heritiano 14

15 Gli autovalori di una atrice heritiana sono reali Sia autovalore di un operatore Tˆ ˆT y = y. Allora, prendendo y noralizzata, * y T y y Ty dxy Ty y y ricordando che a b = b a : *. Prendiao il c.c. * * * * y Ty ( dxy Ty ) dxy ( Ty ) * Ty y T heritiana T T * Ty y y Ty. e allora possiao anche dire: * Quindi T T cvd 15

16 * ˆ ˆ ˆ atrice heritiana T n n T n T T n Gli osservabili classici hanno operatori Heritiani T T Esistono operatori con autovalori reali non osservabili: ad esepio la parita' ha autovalori 1, -1, a non esiste un paritoetro Esistono osservabili non corrispondenti a operatori, a di tipo topologico (esepio: integrali di fasi di Berry lungo caini chiusi) 16 16

17 Inoltre, se T e heritiano autovalori diversi autovettori ortogonali: infatti, T t T n tn n n T t n T n t n n prendendo il coniugato, n n * T n t n n T t n n T t n n T t n * n T tn n ( se T T ) n T tn n Sottraendo, 0 t t n. n Questo iplica che se t t 0, allora n 0. Significato fisico: se la isura da valori diversi gli stati sono ortogonali, cioe utuaente esclusivi. Lo stesso teorea vale anche per gli operatori unitari. n 17 17

18 L ipulso e heritiano? d p i e' coplesso a la edia su ogni stato legato ( y dx p 0 y (l'unico nuero coplesso che e' anche reale) ) e' nulla Charles Herite ( ) Aˆ Aˆ Aˆ A A * Heritiano con ab ( ) ba. Troviao p. d pi dx d i dx f x dx * f p g i dx f ( x) g x d dx * * [ ( ( ) g x ) g x f ( x)] d dx * * ( f ( x) g x ) i dxg x f ( x) + d dx 18 18

19 ( f ( x) g x ) 0 se f, g L * 2 d * f p g dxg x ( i f ( x)) pf g dx Charles Herite ( ) 2 p e' Heritiano su L N.B. Questo e lo spazio di Hilbert; vale anche per le onde piane nella scatola e ik x n L, k n 2 n L * ( f ( x) g x ) 0 perche' sono periodiche, p= k

20 Copletezza Deve esistere un set copleto { > } di autostati T > = t > per ogni operatore osservabile T. Ad esepio, l ipulso P ha coe autostati le onde piane. Significa che preparando il sistea in qualunque stato fisico e sottoponendolo a isure di T si ottera counque un risultato, e questo deve essere uno degli - L opposto sarebbe aettere che ci sono stati del sistea in cui T non si puo isurare in linea di principio, entre invece la isura e sepre fattibile. Set copleto significa: Y Y con Y 1 relazione di chiusura apiezza di in Y 20 20

21 La funzione d'onda di 1 particella libera si espande: Y a e la serie converge. Ad esepio, puo' essere una coponente del oento angolare. In generale occorrono altri nueri quantici a,b,c... di operatori A, B,C... ˆ copatibili con T per individuare Y (ad esepio, l'energia della particella, che corrisponde all'operatore H). Significato: a la isura di T da' t. Y apiezza di probabilita' che Non e' tutto. Se una isura di T su Y il sistea non e' piu' in Y a collassa in uno stato con l'autovalore copatibili. t da' t dopo la isura e con gli altri nueri quantici Una volta localizzata la particella ha una posizione definita 21 21

22 Matrici coe Rappresentazioni degli operatori Il prodotto degli operatori ha una atrice che e il prodotto delle atrici Le atrici hanno gli stessi autovalori degli operatori. Si prendono tutti gli eleenti di atrice su una base : A y Aˆ y B y Bˆ y ij i j ij i j y AB ˆ ˆ y y Aˆ y y Bˆ y i j i k k j k 1 esprie la copletezza della base { } AB ˆ ˆ AB ˆ ˆ Quindi, Aik Bkj ij ij y k i AB ˆ ˆ y j Una equazione differenziale agli autovalori possiao sepre riscriverla coe equazione atriciale: T > = t > iplica <n T > = t n Un operatore e rappresentato da una atrice diagonale sulla base delle sue autofunzioni 22 22

23 Sulla reinterpretazione quantistica delle relazioni cineatiche e eccaniche Invece, le forulazioni di Schroedinger e di Heisenberg sono equivalenti. 23

24 Rappresentazioni di x e p in 1 diensione: Base : x posizione xˆ oento p=-i ˆ d dx d Base : onde piane p posizione i oento p= ˆ k dp Base : oscillatore n n a 0 n! x n p n Qualunque set copleto e ortonorale va bene! Cabiaento si base: Aˆ n n Aˆ ovvero A UAU

25 Cabiaento di Rappresentazione degli operatori. Trasforazioni canoniche in eccanica quantistica Matrici e trasforazioni unitarie Un cabiaento base si realizza con una trasforazione unitaria U delle apiezze, y U y. Trasforazione significa che U escola fra loro le funzioni di base, coe ad esepio fa' una rotazione degli assi. Che vuol dire unitaria? U unitaria U U dove U U 1 * n n gode della proprieta' che y UUy y y 1. In altri terini, U conserva la nora. y UU y 1 25

26 Sia A un operatore qualsiasi: Poiche' 1, U U A U UAU U y y y y quindi ediare A su y e' equivalente a ediare UAU su U y. y Ay y y U UAU U y A y Si tratta di una diversa rappresentazione della stessa fisica. y U y, A UAU Per esepio se un capione viene ruotato o traslato rispetto all apparato di isura, la sua funzione d onda subisce una trasforazione unitaria a facendo la stessa rotazione o traslazione sugli operatori avreo gli stessi risultati. Fisicaente possiao anche usare diverse tecniche per caratterizzare un pacchetto d onde: ad esepio con isure di x o di p. L info e la stessa a eno di una trasforata di Fourier. Una rappresentazione puo essere la piu adatta per un particolare problea. Le trasforazioni canoniche in eccanica quantistica Sono cabiaenti di rappresentazione.

27 L Lagrangiana del rotatore rigido piano classico ( x, y) T ( x + y ); trasforazione puntuale x cos x sin y sin y cos L (, ), 2 I I si trova anche da p x, p y, che L xp yp I z y x x y Lz L(, ) 2 Lz Lz H ( L, z ) Lz L(, ) Hailton equation 2I I I ciclica L 0 L z( t) L z(0)

28 Rotatore rigido piano quantistico Calcolo dell operatore L z ˆ ˆ L H ( Lz, ) 2z I L xp yp z y x Dobbiao stabilire una iportante regola di coutazione oento-angolare-angolo 2 Vogliao trovare che in coordinate polari (, ) L z i analogo a pz i E i z Analogaente al coutatore fondaentale p, x i px> il coutatore L, i coporta l'indeterinazione L z t z 28

29 Lˆ xpˆ ypˆ con p i, p i, z y x x y x y va esso in coordinate polari x y cos sin x + y 2 2 y arctan x Passiao da pˆ, pˆ a derivate rispetto a, + x x x + y y y y x 29 29

30 Usando x y + x x x + y y y cos sin d arctan du x + y 2 2 y arctan x u u 2 1 y y 1 y x y x x y x x + y x x 1 y x y y y x x + y 1+ x sin cos, x y Inoltre, x cos, y x y sin 30 30

31 Mettendo insiee tutti i risultati sin cos cos sin + x y x cos p i, p i, Lˆ xpˆ ypˆ x y y sin x y z y x Si trova Lˆ cos p sin p i [cos sin ] z y x y x cos sin i [ cos (sin + ) sin(cos )] 2 2 cos sin i [ + ] i Lz i L z, i

32 Risolviao l'equazione agli autovalori Lzy y i y Altre conseguenze di Lz y i y e i 2 deve avere un solo valore e 1 e y y y i i2 i2 0, 2 e 1 intero: quantizzazione natura facit saltus! L z Lz L'energia del rotatore e' quantizzata: E. 2I 2I 32 32