LO SPIN. Facciamo riferimento agli stati dell elettrone ottico di un sistema idrogenoide o di un metallo alcalino.

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1 8/ / Effetti di un campo magnetico sugli stati a un elettrone Facciamo riferimento agli stati dell elettrone ottico di un sistema idrogenoide o di un metallo alcalino. Gli effetti di un campo magnetico possono essere stimati nel modo seguente. Una corrente circolare di intensità I che abbraccia una superficie S è equivalente a una lamina magnetica di momento µ = c I S. Se pensiamo che la corrente sia generata da un elettrone che percorre un orbita circolare di raggio r I e S hanno i valori e quindi I = e v 2πr, S = π r 2, µ = e 2m e c rm ev = e 2m e c ˆl, ovvero vettorialmente µ = e 2m e c l. In meccanica quantistica l e conseguentemente µ sono operatori e scriveremo dove è detto magnetone di Bohr. ˆµ = e 2m e c ˆl = µ B ˆl, µ B = e ħ 2m e c =, erg (gauss) Se lo stato a un elettrone è immerso in un campo magnetico omogeneo B e se descriviamo l interaione dell elettrone con il campo magnetico assimilando lo stato a un dipolo magnetico di momento µ (approssimaione di dipolo magnetico) la funione hamiltioniana classica è H = p2 2m e V (r) µ B e il corrispondente operatore hamiltoniano quantistico Ĥ = ˆp2 2m e V (ˆr) ˆµ B = Ĥ ˆµ B. Se B = B e, Allora [Ĥ, ˆl2 ] =, Ĥ = Ĥ ˆµ B = Ĥ µ B B ˆl. [Ĥ, ˆl ] =, [Ĥ, ˆl ], [Ĥ, ˆl ], e, scrivendo il problema agli autovalori dello hamiltoniano in assena di campo magnetico Ĥ come Ĥ w νlm = E νl w νlm, ˆl2 w νlm = l(l ) w νlm, ˆl w νlm = m w νlm, risulta Ĥ w νlm = E νlm w νlm, dove E νlm = E νl m µ B B. La degeneraione di ordine 2l dei livelli di dati ν e l in assena di campo magnetico è completamente rimossa dando luogo a 2l livelli distinti.

2 8/ / 2 Confronto con le risultane dell effetto Zeeman In un campo magnetico sufficientemente intenso le righe spettrali di un atomo si scompongono in più righe; in ciò consiste l effetto Zeeman. Sena entrare in una descriione dettagliata dell effetto, diciamo solo che, se si cerca di risalire con i metodi dell analisi spettroscopica dalla struttura delle righe a quella dei livelli, si trova che ogni livello di dati ν e l si scinde o si può scindere in 2(2l ) livelli invece dei 2l che ci si aspetta. L ipotesi di Goudsmit e Uhlenbeck dello spin dell elettrone Se l elettrone non ha un comportamento dinamico più ricco di quello di una particella sena struttura che si muove nello spaio non è evidentemente possibile ottenere una molteplicità di livelli di dati ν e l superiore a 2l. Ipotiare per l elettrone una dinamica più ricca di quello di una particella sena struttura significa attribuire a esso dei "gradi di libertà" interni. Se l elettrone, aniché una particella puntiforme, fosse un sistema esteso (ad esempio una pallina), esso avrebbe dei gradi di libertà rotaionali, cui sarebbero associati un momento angolare interno e, essendo carico, un momento magnetico interno. Consideraioni di questo tipo hanno condotto Goudsmit e Uhlenbeck ad avanare l ipotesi che all elettrone debba essere attribuito un momento angolare intrinseco (cioè interno) o spin s e corrispondentemente un momento magnetico intrinseco µ s le due grandee essendo legate dalla relaione µ s = g s e 2m e c s = g s µ B s. Nota Il valore del fattore g s è ammesso potere essere diverso da. In un modello di elettrone esteso il valore del fattore g s dipende dalle distribuioni radiali di carica e di massa. Il valore corrisponde alla coincidena delle due distribuioni, come nel caso dei momenti angolare e magnetico connessi con il movimento orbitale.

3 8/ / 3 La dinamica interna nel formalismo quantistico Il formalismo quantistico permette di descrivere l esistena di un momento angolare intrinseco sena bisogno di attribuire alla particella alcuna struttura interna se non quella associata alla pura esistena del momento angolare intrinseco, cioè continuando a considerare la particella come puntiforme. La dinamica interna (cioè tralasciando per il momento quella connessa al movimento della particella nello spaio) è semplicemente costituita dall esistena di una grandea fisica rappresentata dagli operatori ŝ {ŝ, ŝ, ŝ } = {ħŝ, ħŝ, ħŝ } ħŝ che agiscono in un opportuno spaio di Hilbert H s e hanno le proprietà di un momento angolare, cioè sono caratteriate dalle regole di commutaione ] [ŝi, ŝ j = i ε ijk ŝ k. k Dalla teoria generale del momento angolare risulta che ŝ 2 = ŝ 2 ŝ 2 ŝ 2 e ŝ possono essere diagonaliati simultaneamente e che i rispettivi autovalori sono necessariamente s(s ), con s =, 2,, 3 2,... (ma s non assume necessariamente tutti questi valori) e, in corrispondena di ogni valore di s, m s con s m s s di in. Si assume normalmente che ogni particella che possa essere considerata elementare sia caratteriata da un unico valore di s, detto spin della particella. Lo spaio di Hilbert di spin H spin = H s in cui agiscono ŝ, ŝ, ŝ ha allora dimensioni 2s, cioè H s = l(m s ; m s Z s ) dove Z s = {s, s,..., s}.

4 8/ / 4 La descriione completa di una particella con spin Lo spaio di Hilbert H in cui sono descritte sia la dinamica connessa con il movimento della particella nello spaio sia la dinamica interna connessa con l esistena dello spin è lo spaio delle (2s )-uple di funioni di cioè H = L 2 (; d) l(m s ; m s Z s ). I suoi elementi, se si usa la rappresentaione di Schrödinger in L 2 (; d), sono di solito scritti ψ s () ψ s () ψ(, m s ) =., ψ s () dove intendiamo anche che sia usata la rappresentaione standard in l(m s ; m s Z s ). Il prodotto scalare in H è dato da ψ ψ = d 3 ψ (, m s ) ψ(, m s ) = m s La descriione completa dell elettrone Se assumiamo che, per l elettrone, s assuma l unico valore 2, d 3 ψ s () ψ s ()... ψ s () ψ s () ψ s ().. ψ s () lo spaio di Hilbert nel quale si decsrive la dinamica interna è H s=/2 = l(m s ; m s Z s=/2 ) e gli stati interni linearmente indipendenti sono precisamente 2. L assunione s = 2 è quindi fortemente suggerita dal fatto sperimentale che i livelli di dati ν e l di un atomo a un elettrone si possono scomporre in 2(2l ) aniché 2l livelli sotto l aione di un campo magnetico. Lo spaio di Hilbert in cui è descritta la dinamica completa dell elettrone è H = L 2 (; d) l(m s ; m s = 2, 2 ). i cui elementi sono ψ(, m s ), m s = 2, 2 il prodotto scalare essendo dato da che si scrivono solitamente ψ (), ψ () ψ ψ = d 3( ψ () ψ () ψ () ψ () ) = ( d 3 ψ () ψ ()) ψ () ψ () La separaione dei livelli di un atomo a un elettrone in un campo magnetico corrisponde con ottima approssimaione all attribuione al fattore g s dell elettrone del valore g e = 2 cioè del momento magnetico ˆµ s = 2µ B ŝ.

5 8/ / 5 Altre particelle L elettrone non è l unica particella dotata di spin. Il protone e il neutrone, ad esempio, hanno entrambi spin 2. Altre particelle, ad esempio i mesoni π, hanno spin o, ciò che è lo stesso, non hanno spin. Se una particella ha spin diverso da, essa può avere, e in generale ha, un momento magnetico intrinseco. Nel caso del protone il momento magnetico derivante dal suo moto orbitale, è, analogamente a quanto avviene per l elettrone, dove ˆµ = e 2m p c ˆl = µ N ˆl, µ N = e ħ 2m p c = 5, erg (gauss) è detto magnetone nucleare ed è circa 2 volte più piccolo del magnetone di Bohr. Il protone ha anche un momento magnetico intrinseco che possiamo scrivere ˆµ p = g p µ N ŝ, il valore sperimentale di g p essendo g p = 5, 585. Il neutrone, pur essendo neutro, ha anch esso un momento magnetico intrinseco dato da ˆµ n = g n µ N ŝ, dove g n = 3, In opportune condiioni, anche un sistema complesso come ad esempio lo stato fondamentale di un atomo può essere trattato come una particella puntiforme. Esso avrà, nello stato considerato, un momento angolare meccanico proprio Ĵ = ħĵ risultante dai momenti angolari meccanici orbitali interni (cioè rispetto al centro di massa) e intrinseci di tutti i suoi componenti, e un momento magnetico essenialmente dovuto, data la piccolea dei momenti magnetici nucleari, ai momenti magnetici orbitali e intrinseci degli elettroni.

6 8/ / 6 Misuraione di una componente dello spin Esperimento di Stern e Gerlach Vogliamo misurare una componente di ŝ, diciamo ŝ. Ciò può essere fatto mediante il dispositivo di Stern e Gerlach. FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 La nostra particella, che supponiamo neutra, abbia spin 2. FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 La sua funione di stato è allora in generale ψ () () Ψ(, m s ) = = ψ () ψ () ψ () Se, in particolare, la particella è in stati definiti di moto e di spin la funione di stato è del tipo a (2) ψ() b e, se lo stato di spin è l autostato di ŝ corrispondente all autovalore 2, essa è (3) ψ() Lo stato della particella sia preparato in modo che la funione d onda ψ() che compare nella (3) corrisponda a un pacchetto che si muove con velocità definita lungo l asse in modo che la particella attraversi lo spaio compreso tra le espansioni polari di un magnete. Allo stato di spin che compare nella funione di stato (3) è associato un dipolo magnetico µ orientato secondo l asse che rappresentiamo con il simbolo e che possiamo assimilare al dipolo costituito da due cariche magnetiche ν = ν >, ν = ν poste alla distana d cosicché µ = ν d. FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 Se le espansioni polari del magnete, viste dalla direione di incidena del pacchetto, hanno la forma il campo magnetico è, a parte effetti di bordo, sostanialmente omogeneo e le fore esercitate sulle due cariche magnetiche si bilanciano. FIGURE STERN GERLACH FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 boa 8/9 Il percorso del pacchetto attraverso il magnete è allora rettilineo FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 FIGURE STERN GERLACH boa 8/9

7 8/ / 7 Se invece le espansioni polari hanno la forma (magnete di Stern e Gerlach) il campo magnetico è ancora diretto come l asse ma è inomogeneo, il suo gradiente è pure diretto come l asse e le fore esercitate sulle due cariche magnetiche positiva e negativa non si bilanciano. Se il valore di B per = è B e la sua variaione è lineare, il valore di B è B = B ( f), le fore esercitate sulle due cariche magnetiche sono e la fora totale è FIGURE STERN GERLACH FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 boa 8/9 FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 FIGURE STERN GERLACH boa 8/9 F ν = νb f( d/2), Fν = νb f( d/2) Il percorso del pacchetto è allora del tipo F = νb f d = µ fb. Nella figura abbiamo aggiunto, dopo il percorso nel magnete, uno schermo. L evoluione della funione di stato attraverso il magnete può essere scritta ψ() ev. temp. ψ ()

8 8/ / 8 boa 7/ Se la funione di stato iniiale, aniché essere la (3), è (4) ψ() il dipolo magnetico associato è e il percorso del pacchetto è, il bilancio delle fore esercitate su di esso si inverte L evoluione della funione di stato attraverso il magnete è ψ() ev. temp. ψ () Se lo schermo rappresentato nelle figure è uno schermo rivelatore, la particella è certamente rivelata nella posiione superiore nel caso (3) e in quella inferiore nel caso (4) e alla componente ŝ dello spin della particella sono attribuiti con probabilità il valore m s = 2 se lo stato di spin è e il valore m s = 2 se lo stato di spin è, come doveva essere. a Se la particella è in uno stato di spin arbitrario, b cioè se la funione di stato iniiale è una sovrapposiione della funioni di stato (3) e (4) a (5) ψ() = a ψ() b ψ(), b l evoluione temporale, per la sua linearità, diventa a ψ() b ψ() ev. temp. a ψ () b ψ () Allora la particella è rivelata nell una o nell altra posiione con probabilità a 2 e b 2 e alla componente ŝ dello spin è attribuito il valore m s = 2 o m s = 2 con le medesime probabilità. La funione di stato è ridotta all uno o all altro termine a seconda del risultato.

9 8/ / 9 Se l esperimento è effettuato con un fascio di particelle nello stato (5), a una fraione a 2 del numero totale sarà attribuito il valore m s = 2 e a una fraione b 2 del numero totale sarà attribuito il valore m s = 2. Se l esperimento è effettuato con un fascio non polariato, cioè nel quale gli stati di spin iniiali delle diverse particelle sono distribuiti casualmente, a una fraione 2 del numero totale sarà attribuito il valore m s = 2 e a una fraione 2 del numero totale sarà attribuito il valore m s = 2, e, effettuato l esperimento, metà delle particelle saranno state ridotte nello stato ψ () Nota e metà nello stato ψ (). Se lo spin s della particella è diverso da 2 i momenti magnetici associati ai 2s stati con m s definito sono ancora diretti come l asse e il loro valore è proporionale a m s. Si hanno quindi 2s distinte funioni d onda spaiali ψ ms () e 2s distinte posiioni in cui può essere rivelata la particella, alle quali corrispondono i diversi valori di m s. Nota Se il valore s dello spin della particella non è noto, l esperimento con un fascio non polariato permette di determinare il valore (n )/2 di s dal numero n di posiioni in cui le particelle sono rivelate.