8 - STIMA MINIMI QUADRATI

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1 8 - SIMA MINIMI QUADRAI 8. Iroduzoe al prolea S surao odo dpedee re agol d u ragolo qualsas: α, α, α, oeedo le segue osservazo: α, α. α, Og sura α è ua esrazoe da ua varale casuale co eda α e varaza σ, lo scaro v α α è u errore ella sura. Se s cosderao gl error coe accdeal, s può supporre che le ede osservazo agolar soddso la relazoe caraersca del ragolo: α delle α α α π S cosder ora la varale casuale L α α α, che per quao deo a proposo delle uzo d varal casual, ha eda e varaza:

2 E [ ] α α α π L [ L ] σ σ σ σ Le osservazo, dao che soo cae dagl eval error d sura, o soddserao del uo l equazoe d codzoe, coè s oerrà: L α α α π. La relazoe d vcolo è u orazoe agguva a da uerc delle osservazo de re agol: ovvaee è coveee eere coo d erae le orazo ella rcerca d ua sa delle gradezze; del reso se volesso are de calcol coere co l ragolo, per esepo calcolare le coordae de verc, s rede ecessaro che le gradezze agolar sao copal co la relazoe geoerca espree l vcolo. Predao cosderazoe l caso cu le sure aao la sessa precsoe: σ σ σ σ Dao l errore d chusura : L π α α α π α α α π v v v v v v, poché, queso seplce caso gl error hao la sessa dspersoe, rsula uvo sceglere coe sa degl scar u erzo dell errore d chusura, per sera. S ha: dove s desce: vˆ vˆ vˆ vˆ α ˆ α. I odo che la sa della gradezza (l osservazoe saa) sa: ˆ α α vˆ α.

3 I ale aera s dsrusce l errore d chusura odo eguale su re agol. Co ale sa s coua a soddsare l vcolo: ˆ α ˆ α α α α α π. ˆ Iolre, s poree dosrare che le se delle osservazo soo eo dsperse delle osservazo sesse: σ σ. ˆ α La varale casuale a re deso: α α α α é dsrua uo spazo a re deso, e ha eda: α α α α. Fg. Poché s deve rspeare l vcolo del ragolo, sgca che l veore eda α deve sare sul pao π, ere l veore delle osservazo α o gace quel pao. E uvo pesare che lo saore dovrà gacere sul pao, a ella poszoe l pù vco possle (secodo u deerao crero d dsaza) al veore delle osservazo α. La gura llusra l coceo.

4 Fg. S cerca a queso puo d zzare la dsaza eucldea (la pù radzoale) e ello sesso epo s aee l vcolo: è oo che la rcerca del o vcolao s oee applcado u olplcaore d Lagrage. Se s roduce la dsaza eucldea, s zza propro ua ora quadraa, da cu l oe d sa quadra: α ˆ α ( α ˆ) α ( α ˆ) α ( α ˆ α ) vcolao alla codzoe: α π. La uzoe da zzare vee odcaa co l aggua della uzoe d vcolo, olplcaa per l cosddeo olplcaore d Lagrage: ( α ˆ α ) λ( ( ˆ ). α π Derezado rspeo ad ˆ α, s oee duque: ( α ˆ α ) λ 4

5 coè: λ ˆ α α. eedo coo uovaee del vcolo: ˆ α α λ π λ α π. I coclusoe, s oee lo sesso rsulao oeuo odo uvo: ˆ α α. Ne pross paragra vedreo l uso pù geerale de quadra. 8. Proezo orogoal e quadra Sappao che l prodoo ero d due veor ed y è y; esso è zero solo se ed y soo orogoal. Rcordao che la lughezza d u veore a deso è:... (geoercaee sgca applcare l eorea d Pagora - vole). Suppoao che dao u veore (u puo) ello spazo a deso s rcerch la dsaza (eucldea) da ua daa rea, ua drezoe a: s cerca lugo la drezoe a l veore (puo) p (secodo la ora eucldea) pù vco a. I queso caso la rea che coguge p e è orogoale al veore a. 5

6 p a Fg. Quello d cu aao sogo per l calcolo é solo la cosaazoe che la rea da al pù vco puo pa co quaà coga: ovvero: da cu segue che: (-a) a, a (-a), a. a a Quesa orula pora, coe cosegueza, u porae eorea dell algera leare: la dseguaglaza d Schwarz. Ia, se s calcola la dsaza ra e p, coè l valore del segeo p, s oee: a (a ) a ( )(a a) (a ) a a a. a a a a a a (a a) Quesa dsaza, e a aggor ragoe l suo quadrao, o può che essere posva, scchè l ueraore o può essere egavo: ( )(a a) (a ). Aggugedo a era er (a ) e esraedo la radce quadraa: 6

7 a a. La suazoe è aaloga quado vece d ua rea cosderao u pao o pù geerale u soospazo S d R : ache queso caso s raa d rovare u veore p el soospazo l pù vco possle (secodo la ora eucldea) a, coè la proezoe d quel soospazo. Il prolea descro o a queso puo er geoerc è u classco prolea d ua soluzoe a quadra d u ssea sovradeerao: l veore rappresea da oeu da sere d espere o d quesoar, le osservazo, le sure, che coegoo error che o pereoo al veore d gacere el soospazo cosderao: alerava s scegle allora l veore p, quao gace el soospazo, a è l pù vco a. Dao u ssea A, a pra vsa s dce che ha soluzoe oppure o: se o è ello spazo delle coloe l ssea è copale e la elazoe d Gauss allsce. Predao l caso d u ssea d equazo ua sola coga: 4 esso è rsolule solo se sao el rapporo ::4, coè la soluzoe è uca ed esse solo se è lugo la drezoe deeraa dal veore a:. 4 Spesso è couque ecessaro cercare d dare ua soluzoe a ques sse copal; ua posslà poree essere quella d rovare la soluzoe per la pare del ssea copale, e rascurare l reso, l che o ha guscazoe se le equazo (osservazo) hao la sessa valdà, olre queso caso alcue osservazo o avreero alcu errore e le alre error d grade eà; ua soluzoe ulzzaa radzoalee è quella d edare l errore, dsrurlo, spalarlo, su ue le equazo 7

8 (osservazo). Coe s può agare essoo var od d oeere quesa edazoe, uava uo de pù o è quello d zzare la soa de quadra degl error: Σ (- ) (- ) (4- ) Solo se esse ua soluzoe, Σ, caso coraro, che ra l alro è quello pù coue, è ecessaro calcolare l o d ale uzoe paraolca: da cu la soluzoe: dσ d [( ) ( ) ( 4 ) 4] 4 ˆ. 9 Dao geerale u qualsas veore o ullo a, ed u qualsas veore, la orula geerale prevede la zzazoe dell errore, coè della lughezza del veore a-, ovvero del suo quadrao: Σ Σ [( a )... ( a ) ] ( a ) ( a ) a a a a / da cu s oee: dσ d a a a a ˆ. a a Quesa soluzoe, dal puo d vsa geoerco, è propro la proezoe pa. Coè l puo pù vco a sulla rea deeraa da a. 8

9 9 Suppoao ora che le sure o sao ugualee aedl, coè o sao adal allo sesso lvello, per esepo ua sura sa glore perchè oeua co aggore precsoe srueale oppure per u capoe pù grade, è uvo pesare che vece d zzare l quadrao della lughezza eucldea del veore degl scar: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Σ 4 ˆ 4 s zz l quadrao d ua lughezza pesaa : ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 p p p p Σ ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] p p p p d d 4 4 Σ p p p p p p p p ˆ. Esepo U pazee oeso vee pesao quaro oe dvers elle sesse codzo, oeedo le segue sure, espresse kg: 5, 5, 5, 4 5. Qual è l valore glore, el seso de quadra? a a a ˆ a ˆ

10 S raa duque della gà vsa eda poderaa el caso d sure dree. Fg. 4 Nella gura 4, u veore osservazo è proeao sul veore coloa d A (eda), ere el secodo caso, cu l valore d è pù adale dell alro, l veore osservazo vee proeao sepre sul veore coloa d A, a poché la eda poderaa sarà pù pccola della eda, è pù vca alla sura e per vsualzzare ale rsulao, s può agare l secodo asse srao, odo che aa aggore poraza. Il passo successvo rguarda u ssea pù geerale del precedee, e ua coseguee varae dell approcco geoerco. Se la proezoe d u veore su ua rea corrspode ad u ssea d equazo ua coga, vedao d seguo a che cosa corrspode u ssea a pù varal, coè d equazo coge, dove >, coè l ssea è copale. E proale che o essa ua scela d che verch da prese el veore, coè è proale che l veore o sa ua coazoe leare de veor che cosuscoo le coloe d A. S raa ache queso caso d redere o l errore el seso della ora L ( quadra). L errore è la dsaza ra e pa, che gace ello spazo delle coloe d A: Σ A. Duque p deve essere la proezoe d sullo spazo geerao dalle coloe d A e l veore dereza Aˆ deve essere perpedcolare a ale spazo.

11 Fg. 5 Og veore ello spazo d A è ua coazoe leare de veor coloa della arce A, è u veore della ora Ay. Ma per og coazoe deve valere la codzoe che sao perpedcolar al veore dereza (errore) Perao: y Aˆ. (Ay) (Aˆ ) [ A Aˆ A ]. Da cu s deduce la aosa soluzoe a quadra: A Aˆ A. S raa delle cosddee equazo oral: se le coloe d A soo learee dpede, allora la arce A A, dea arce orale, è verle, e la soluzoe uca a quadra è: ˆ ( A A) A. La proezoe d sullo spazo delle coloe d A è perao:

12 ( A A) A p Aˆ A. S raa d cosrure ua rea perpedcolare da allo spazo deo dalle coloe della arce A. La arce che peree quesa cosruzoe è la arce cosddea proezoe P: ( A A) A P A. ale arce proea, a, u veore qualsas sullo spazo delle coloe d A: scché pp è la copoee d ello spazo delle coloe d A, ere -P è la copoee el copleeo orogoale, ed è l veore errore. La arce proezoe ha due propreà odaeal: - è depoee, el seso che P P - è serca PP. 8. Regressoe leare Suppoao d esegure ua sere d espere e d avere pozzao l seguee odello: CD, coè ua uzoe leare della varale. Ad esepo s sura ad ervall d epo la dsaza d u saelle da ua cera sazoe: queso caso è l epo e la dsaza; ovvero s surao le deorazo su ua sruura carcaa odo varale: è l carco e la deorazoe. Se la relazoe è leare e o c soo error, gà due sole sure d a due dvers valor d deerao la rea: a geere c soo error e pu uleror o vao a cadere sulla rea, scché sao vogla a cercare ua qualche eda de var espere e a rovare ua rea u cero seso oale, che o doao coodere co la rea su cu s proeava l veore de da.

13 .. D C.... che è sezzale : A. ale ssea o è geerale rsolvle. No sceglao ora C e D odo che vegao zza gl error el seso de quadra, coè che vega zzaa la soa de quadra degl error, coe el caso precedee, o per va geoerca o per va algerca: - el pro caso, u veor A gaccoo el pao delle coloe d A e queso pao cerchao l veore che sa l pù vco a, che è la proezoe pa ˆ, rededo o l veore scaro v-p - el secodo, vee zzaa la lughezza al quadrao d A-: A. Pochè le coloe d A soo dpede, rcorrao alla sola sa quadra e oralzzao l ssea:.... A A A D C ˆ.

14 Esepo S cerch la rea che s avvca d pù a re pu: (,6), (,), (,). Sao cercado valor d C e D che soddso le re equazo: CD*6 CD* CD* ale ssea o ha soluzoe, quao l secodo ero, l veore o è coazoe leare delle coloe d A: A 6 La ecessara sa quadra peree d oeere: A Aˆ A ˆ 5 ˆ 5 ˆ p 5 v 6 v p5 p v- p- v 4

15 8.4 raazoe algerca della sa quadra.4. M quadra co equazo d codzoe Nelle segue raazo algerche, verrao usa segue sol: α valore osservao α valore eorco ˆ α valore sao ~ α valore approssao. C αα σ Q αα é la arce d varaza-covaraza delle osservazo, cu σ è ua cosae d proporzoalà a pror coga, che vee saa a poseror, ere la è dea arce de coaor. Se le sure soo dpede, la arce Q αα Q è dagoale e αα Q P, dove P è la cosddea arce de pes da arure alle osservazo, alle sure. αα S posa la relazoe d quadra relava agl scar ra valor osserva e valor sa: ˆ α α ) Q ( ˆ α α ). αα ( 5

16 ale ora quadraca cocde co quella ad espoezale della orale ad deso che copare ella uzoe d verosglaza (ell poes d dsruzoe orale). S deve perao rsolvere l prolea d o vcolao: ˆ α ) Q ( ˆ α α ) ( α αα β ˆ α C. S opera co olplcaor d Lagrage: ( ˆ α α ) Q ( ˆ α α ) ( βαˆ C) λ. αα Per coodà s ulzza la uzoe seguee: Φ / ( ˆ α α ) Q ( ˆ α α ) ( βαˆ C) Φ. αα λ S calcolao e s pogoo ugual a zero le dervae parzal: Φ ' λ ( βαˆ C) β ˆ α C ' Φ Q ( ˆ α α ) β λ. α αα Dopo segue passagg eleear: Q ˆ Q βαˆ C ααα ααα β λ ˆ α α Q β λ αα β( α Q β λ) C αα ˆ α α Q β λ αα βα βq β λ C αα 6

17 λ ( βq β ) ( βα C) αα ˆ α α Q β ( βq β ) αα αα. ( βα C) S roduce ache la quaà seguee: vˆ ˆ α α Q β ( βq β ) ( βα αα C). αα S può provare la correezza delle se. Iolre la varaza delle se è erore alla varaza de da d pareza; queso sgca che le se soo glor de da d pareza, delle sure: la sa è ecee. ralascao la dosrazoe, che è aaloga a quella svola per l caso de quadra co paraer agguv cog..4. Equazo co paraer agguv cog Le equazo rsolve co paraer agguv cog, soo del po: α A C, cu α soo le osservazo e paraer agguv cog. al equazo soo vercae e valor ed: α A C. S vogloo rovare delle se al che s aa: ( α ) Q ( ˆ α α ) ˆ α αα e ello sesso epo vega rspeao l odello: ˆ α Aˆ C. 7

18 S opera co olplcaor d Lagrage, poedo la seguee codzoe: ( ˆ α ) Q ( ˆ α α ) ( ˆ α Aˆ C) λ Φ / α. αα L espressoe, qualora s scrva vˆ Aˆ C α e s pozzo le osservazo dpede Q P C αα σ Q, dvea: e αα αα Φ / vˆ Pvˆ ( vˆ Aˆ C ) λ α. S calcola duque l o rspeo v,, λ: Φ ' λ ' Φ Pvˆ λ 'v ' Φ A λ ' vˆ Aˆ C α. Rcavado dalla pra espressoe v sao e roducedolo ella erza s rcava: vˆ P λ P λ Aˆ C α λ P(Aˆ C α ). Iseredo l valore dλ ella secoda espressoe, s oee: ˆ (A PA) A P(Aˆ C α ) A PAˆ A P(C α ) [ A P(C α )] (A PA) [ A P( α C) ]. Sosuedo la sa d ell espressoe della sa d v: 8

19 vˆ Aˆ C α A(A A(A PA) PA) A Pα A(A PA) [ A P( α C) ] C α A PC C α [ I A(A PA) A P] α A(A PA) A PC C. S prova la correezza d ˆ : Poché: (A (A PA)E ˆ A P(C α C α E [ ˆ ]. (A PA)ˆ A P(C α ) [ ] A P(C E[ α ] [ ] A P(C α ) ) (A PA)E[ ˆ ] AE[ ˆ ] PA)E ˆ ) a sccoe sappao che A C α l equazoe precedee rsula vercaa. S calcola la arce d varaza-covaraza covaraza: C S prova la correezza d vˆ : ˆ σ ˆ σ [(A PA) A PQ PA(A PA) ] αα [(A PA) A PP PA(A PA) ] ˆ [(A PA) A IPA(A PA) ] ˆ σ [(A PA) A PA(A PA) ] ˆ σ [(A PA) I] ˆ σ [(A PA) ]. σ [ ] AE[ ˆ ] C E[ α ] A C α E vˆ vˆ ˆ α α Aˆ C α C co la legge d propagazoe della daa la correezza d ˆ e l ao che l odello leare è vercao e valor ed. S calcola la arce d varaza covaraza delle se degl scar: 9

20 ˆ σ C ˆ σ [ I A(A PA) A P] Q [ I PA(A PA) A ] vˆvˆ αα ˆ σ [ I A(A PA) A P] P [ I PA(A PA) A ] ˆ σ [ P A(A PA) A PP ][ I PA(A PA) A ] ˆ σ [ P A(A PA) A I][ I PA(A PA) A ] [ P A(A PA) A P PA(A PA) A A(A PA) A PA(A PA) A ] ˆ σ [ P A(A PA) A IA(A PA) A A(A PA) IA ] ˆ σ [ P A(A PA) A A(A PA) A ] ˆ σ [ P A(A PA) A ] ˆ σ [ P AQ A ]. ˆˆ S prova la correezza d αˆ : E E [ ˆ α ] α ˆ α Aˆ C [ ˆ α ] AE[ ˆ ] C A C α. S calcola la arce d varaza covaraza delle se delle osservazo C : ˆ α ˆ α C ˆ σ AQ A ˆ σ Q. ˆ α ˆ α ˆˆ ˆ ααˆ Coe s è vso: C vˆvˆ ˆ σ [ P AQ A ] C ˆ ααˆ C ˆˆ αα C C vˆvˆ αα C ˆ ααˆ e per er dagoale prcpale: σ α ˆ σ α σ v perao la sa d αˆ è ecee (ha ua varaza ore d quella delle osservazo.

21 Calcolao e la sa della varaza ˆ σ : r [ Pv] r[ E[ vˆ Pv ] E[ r[ vˆ Pv ] E[ r[ Pvˆv ] r[ E[ Pvˆv ] r[ PE[ vˆvˆ ] [ PC ] ˆ σ r[ PQ ] ˆ σ r[ I PA(A PA) A ] ˆ σ [ r[ I ] r[ PA(A PA) A ] vˆvˆ vˆvˆ ˆ σ [ r[ I ] r[ A PA(A PA) ] ˆ σ [ r[ I ] r[ I ] ˆ σ [ ] E vˆ ˆ σ [ Pvˆ ]. E vˆ Pochè la eda o è eeuale, s poe: vˆ Pvˆ ˆ σ. S dosra che ale sa è correa: E [ ˆ ] [ Pvˆ ] σ ( ) E vˆ σ. σ E da oare che se (-) ede ad o, la sa della varaza ede a zero: perao le se d ˆ, ˆ, α vˆ soo cosse, quao la loro varaza va a zero, quado l uero d osservazo ede ad o..5 Applcazo de quadra V soo due applcazo prcpal: L erpolazoe, ovvero l adaaeo d u odello ad u see d da: l odello è oo, a o soo o suo coece che, perao, vegoo sa. Coe dao d pareza s hao le osservazo, le relave precso e le eveual correlazo; l dao d arrvo cosse elle se de coece, co le relave precso ed eveual correlazo. Osservao che u odello s dce grgo se ha ora d legge, ero se o è oa la legge d po aeaco segua dagl eve, al caso o è dele u odello eorco a esso deve essere

22 pozzao a pror (ache queso caso, l odello d sa orsce ucaee coece e o l odello); Re, ovvero uo cò che sa scheazzale per ezzo d u grao (see d verc collega da la). Dao d pareza soo le osservazo su la, co le precso e le correlazo; dao d arrvo soo paraer de verc (le coordae elle re opograche) co le precso e correlazo relave. Esepo Sa dao l crcuo elerco gura, d cu soo oe le resseze R ed R, ere soo sae surae co la sessa precsoe ed odo dpedee le esà d corree I I ed I. E possle scrvere le equazo d codzoe e sare a quadra le osservazo, a è ache possle rsolvere l prolea co l eodo de paraer cog, quel caso la sa delle osservazo segue la sa del paraero agguvo cogo. R I A I B Meodo delle equazo d codzoe I Le osservazo sao: R,44 α,55 espresse [A]., Mere da o: R 5 Ω e R 4 Ω. Le equazo d codzoe esproo le legg della sca: I I I R I R I coè: β α C.

23 Nel caso esae: Il prodoo βα : β C. 5 4 βα,6,7 K ββ 4 K ( ββ ),666,8,8,46 β K,958,6885,67,475,66,8 β K,97,96,74 ˆ α α β K,44967,554959,99896 Osservao coe s guga allo sesso rsulao co la sa quadra a paraer cog. L equazoe alle osservazo, queso caso è: cu: α A C α I I I, A /R /R /R /R, V, C

24 A,,5,45, A A,,5,45, N A α,6775, ˆ Vˆ ( A A),44967 ˆ α Aˆ,554959,99896 A,5, A N α,986 7,8689 Esepo - Regressoe leare Sao dae le segue osservazo α corrspodeza delle varal dpede ed : α 85, - - 7, 7,4,54 7 -, ,6 85 7,9, ,6 -,54 S pozz u odello leare: α e s so re paraer cog. Scrura del prolea: Marce dsego A - -,54 -,54 - -,54 -,54 4

25 Marce orale N 6, ,95494 Marce versa N -,,488 -,6 -,6,488 Veore de er o oralzza 757, -67,8-45,9 Veore delle soluzo ˆ 75,7 ˆ 8,8469 ˆ,479 Veore delle osservazo sae αˆ 85, ,46 74,748 77,45 85, ,46 75,7 64, ,7 86,465 5

26 Veore degl scar sa vˆ, ,8769,6748 5,45 -,4 9,86-9,9-5,945 7,7 -,748 Marce d varaza-covaraza de paraer cog C ˆ ˆ 5,97,46-6,5777-6,5777,46 Perao le precso de paraer rsulao: ˆ σ ˆ σ,7 ˆ σ,87.6 I prole o lear La raazoe, qu svola, su prole quadra ha rguardao esclusvaee l'ao leare d ques. D'alra pare, la aggor pare de eoe e process soo olear e ale caraersca s rpercuoe, evalee, ella loro odellazoe. Perao ache la raazoe de prole quadra deve poers esedere ao oleare, oredo odell ada all'aals de da d ques eoe e process. La o-learà de prole quadra può eressare: l odello uzoale; l odello socasco. 6

27 Nel pro caso s ha, dreaee, la o-learà delle equazo d codzoe pure, osservazoe, pseudo-osservazoe, vcolo, ecc.; el secodo caso la arce d varaza-covaraza delle osservazo o è del uo oa, solo a eo d ua cosae. Lo schea geerale per l'auazoe d dea procedura s copoe de segue pass:. zalzzazoe del prolea e preparazoe de da d pareza, ase a orazo a pror d sucee approssazoe;. avvo d u coaore per l corollo delle erazo;. eeuazoe d u passaggo ao leare ed oeeo d rsula ered; 4. calcolo d ua ora su rsula ered oeu per l corollo delle erazo; 5. esecuzoe d u es d'arreso del cclo eravo, capace d valuare alerava l coeeo della suddea ora al d soo d u'opporua sogla pressaa, oppure l superaeo da pare del coaore d u uero asso d'erazo cosee; 6. arreso del cclo eravo ed oeeo de rsula dev, se l es d'arreso è soddsao; oppure aggoraeo de da d pareza ase a rsula ered oeu, se l es d'arreso o è soddsao; 7. creeo del coaore per l corollo delle erazo; 8. rpezoe della procedura descra, a parre dal passo. S osserv coe ale procedura, perquao del uo geerale, ee s presa alla soluzoe erava d u e re cas sopracca d o-learà de prole quadra. Ia, essuo d ess, pur ella sua speccà, presea aoale al da dover ar aadoare uo schea olo geerale e, cosegueeee, olo collaudao e scuro. La gura 6 seguee llusra lo schea a locch della procedura erava appea esposa. 7

28 zalzzazoe er erer sol. d u prolea leare arreso vero es d corollo delle erazo also aggoraeo Fg. 6 La o-learà del odello uzoale s aesa, coe gà deo, elle equazo d'osservazoe e pseudo-osservazoe. Cosderazo aaloghe valgoo, ovvaee, per le equazo d codzoe pure e per le equazo d vcolo; uava la raazoe a segure resrgerà l'aezoe alle sole equazo d'osservazoe e pseudo-osservazoe, gudcado l'uso d equazo d codzoe pure esreaee raro e rcordado la posslà d passaggo dalle equazo d vcolo (e da pù geeral equazo d codzoe) alle equazo d pseudo-osservazoe. S cosder l seguee ssea o leare: α α α (,... ) (,... ) (,... ) S learzz l ssea d equazo alle osservazo per ezzo d uo svluppo sere d aylor approssao al pro orde: 8

29 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~... ~... ~ ~, ~ ~... ~... ~ ~, ~ ~... ~... ~ ~, ~ α α α Sa ~ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~, ~ ~ ~ ~, α α α Perao dao u ssea d'equazo o lear d'osservazoe e pseudo-osservazoe: ( ) F α, oo (o cooscuo per alra va) u veore d opporu valor approssa de paraer ~, l suo svluppo sere d aylor, arresao al orde, ha ora: ( ) ( )( ) ( )( ) ~ ~ J ~ ~ ~ F ~ F α α essedo ( ) ~ J la arce Jacoao della uzoe d pù varal F.

30 S raa d u odello paraerco e o leare, che può vere asslao oralee ad u odello leare, asa a porre: ~ α C J ( ~ ) A ( ~ ) e s oee l e oo odello leare: αac. Il veore α ~ cosusce u veore d cosa uerche, da addzoars alle osservazo, per orre l veore ere oo. Ad og erazoe, oeuo l veore delle uove coge ( ˆ ~ ) ed aggorao l veore delle coge orgare ˆ ~ ( ˆ ~ ), ques'ulo vee cosderao u uovo veore d pù opporu valor approssa de paraer, ase al quale eeuare ua uova learzzazoe, puo d pareza d ua uova erazoe. La procedura coua, eravaee, o ad oeere la covergeza del eodo alla soluzoe cercaa. I praca, ad og erazoe, e succede ua uova, ché le uove coge soo aasaza grad da dare u qualche coruo, ule all'aggoraeo delle coge orgare. Al coraro, quado queso coruo svasce (coè ue le uove coge soo ora pressoché ulle), la procedura è arresaa, perché s è oeua la covergeza del eodo alla soluzoe cercaa. La procedura è arresaa, alresì, el caso savorevole cu, dopo u uero asso d'erazo cosee, o s ha alcua covergeza. La ora calcolaa sulle uove coge, ase alla quale gudcare l'ulà del coruo all'aggoraeo delle coge orgare, è largaee arrara. Ua ora dell'esreo superore: a, ( ˆ ~ ) può essere cosglale, perché garasce che, eevaee, ue le uove coge sao, ora, pressoché ulle.

31 La procedura appea descra, oa coe eodo d Newo-Fourer (alre deo, co u'espressoe pù aca, degl perpa age), può essere oevolee seplcaa e svela scegledo, ad og erazoe dopo la pra, d rcalcolare solo l veore ~ y (ed adoado l eodo deo, dalle sesse pù ache espresso, degl perpa parallel), azché esso e la arce Jacoao. Coe evdee, uo cò accelera, ad og erazoe, l calcolo della soluzoe, geerale, seza arrecare alcu dao alla sessa ed al solo prezzo d qualche veloce erazoe pù. Esepo Sa dao l odello o leare: y a che s suppoe adao ad u deerao eoeo: soo sae esegue co la sessa precsoe ed odo dpedee le osservazo y corrspodeza delle varal dpede : α,7,988 8,6 4 4,99 E s cooscao valor approssa: a ~,9984; ~,9995. S so paraer agguv cog a e. Nella arce dsego vegoo sere le dervae rspeo alle due coge (coloe) per og osservazoe (rga), calcolae e valor approssa. (s rcorda che la dervaa della uzoe y è: y log). Marce dsego A (ovvero J):,775 9,8875,87

32 Marce rasposa A :,775 9,8875,87 Marce orale N : 4 4,847 4, ,49 Marce versa N - :,588 -,96 -,96,4 Veore de er o : α ( ~ ),7 8,,6 5,9,7,988,64 4,99 Veore de er o oralzza: A ( α - ( ~ )), -,757 La soluzoe è duque:,659 ( ~ ˆ N A ( α )).,65 Scché, la sa de paraer cog alla pra erazoe è: â,9984 ˆ,9995

33 Esepo - Calcolo d paraer elle rasorazo d sse d rereo I u ssea d rereo soo oe le coordae d due pu: ξ η ξ η. Le coordae d al pu vegoo po surae u alro ssea d rereo, y, rooraslao rspeo al precedee: X,87 Y,88 X, Y,89 η P P θ y y ξ S deero re paraer d rasorazoe, sapedo che loro valor approssa soo: ~ ϑ 45 X ~ Y ~ Le espresso che rappreseao le equazo alle osservazo soo: ~ ~ ~ ξ cosϑ η sθ ~ ~ y y~ ξ sϑ cosθ ~ ~ ~ ξ cosϑ η sθ ~ ~ y y~ ξ sϑ cosθ

34 Il ssea quadra copora la scrure dello Jacoao e la rsoluzoe de var o pass. Il veore delle osservazo α è oo: α,87 α,88 α α 4,89,89 Il veore C delle osservazo approssae è: C C C C 4,884,884,,98 La arce dsego A (ovvero lo Jacoao) è daa da:,444,8847,777, La soluzoe prevede, coe al solo, segue pass: Calcolo della arce orale N:, 4,949747, 4, Calcolo della arce versa N -,75 5,5 -, 5,5,75-4, ,-4,94975 Calcolo de er o oralzza: A α ( C),7,4,9 4

35 Calcolo delle soluzo: ˆ ~ ˆ,5,5 44,99995 Appedce Sasca copuazoale: eod dre I eod dre raggruppao u quegl algor della sasca copuazoale capac d pervere, odo esao, al calcolo della soluzoe d sse u solo passo. I pù o e coueee pega ra ques, soo gl algor d Gauss, quell Cholesky e d Householder. Nel proseguo, s llusrao gl algor d Cholesky, perché aggoree lessl e passl d geeralzzazo ed eseso, (l algoro d Gauss è e oo, ere gl algor d Householder soo propedeuc agl algor sequezal, o raa quesa sede).. Gl algor d Cholesky (algor d ase) Le copesazo a quadra rchedoo la cosruzoe e la soluzoe d u ssea leare, l ssea orale. Il eodo d Cholesky s applca alla soluzoe d ale ssea: C d cu C A A è la arce orale e d A (C-α ) è l veore de cosdde er o oralzza. Coe aao vso, esso deve essere preceduo, ua copesazoe, dalla oralzzazoe del ssea d equazo d'osservazoe, co paraer cog A v. Queso eodo cosse ella aorzzazoe della arce orale, seguo dalla soluzoe del ssea; dalla arce aorzzaa s calcola ache l'versa della arce orale daa. Faorzzazoe 5

36 Daa ua arce C, serca e dea posva coe è ovvaee la arce orale, s vuole calcolare ua arce, ragolare superore che sodds la relazoe (g. A.): C. (A.) Esplcado er scalar s oee: c c j j ( j ) c k k k ( ) c j j k k kj ( j ) Da quese espresso s oegoo edaaee quelle eevaee usae per l calcolo degl elee d : j c c j ( j ) c k k ( ) (A.) j ( c ) j k k kj ( j ) E' da oare che la arce può essere calcolaa sa per rghe che per coloe a parre dall'eleeo. Soluzoe del ssea S deve rsolvere l ssea: C d (A.) 6

37 d equazo coge, avedo a dsposzoe la aorzzazoe della arce C. Il ssea (A.) s scopoe coe segue: d (A.4) y d (A.5) y (A.6) La rsoluzoe successoe de sse (A.5) e (A.6) orsce la soluzoe d (A.4) che, per la (A.) è equvalee a (A.). La soluzoe d (A.5) e (A.6) è edaa, essedo ragolar le arc e. La pra equazoe d (A.5) è: y d e s può edaaee rsolvere: d y. La secoda equazoe è: y y d e da essa s può rcavare y, essedo oo y : y d y. Proseguedo dalla pra all'ula coga s ha geerale: y d y d y k k k ( ) (A.7) La soluzoe d (A.6) è del uo aaloga, a s za dall'ula equazoe, che coee solo l'ula coga: 7

38 y y k k k ( ) (A.8) La soluzoe del ssea (A.) s oee duque applcado successoe le espresso (A.), (A.7), (A.8). Iversoe S deve calcolare l'versa C - della arce C, d cu è dspole ua aorzzazoe (A.). Dalla (A.). s oee: da cu: C ( ) ( ) (A.9) C ( ). (A.) Quese orule soo erae edaaee operave per l calcolo della arce versa. S rcord che ella soluzoe a quadra del ssea d equazo alle sure la arce versa ha sgcao sasco: essa, a, è proporzoale alla arce d varaza - covaraza delle coge, da cu s rcavao edaaee gl s.q.. delle coge. Nelle gure (A.) e (A.).s llusrao gl sche corrspode alle orule. S dcao co j gl elee d -, ach'essa ragolare superore. Idcado co c j gl elee d C - dalla (A.). s oee: γ k k k γ k k jk ( j > ) S rporao le espresso per l calcolo della arce versa C -, odcae per operare solo el ragolo superore, essedo la arce versa, coe oo, serca: 8

39 γ γ j γ k k kj ( se j k ) jk ( se j< k ) (A.) γ k kj k γ k k j jk ( j > ) γ γ k k k ( ) Fg. A. Fg. A. Fg. A. S o che è ecessaro ulzzare u veore d servzo che coega vola a vola gl elee eradagoal (c - j ) d ua rga della arce versa ave propro gl sess 9

40 dc, j degl elee eradagoal ( j ) d ua rga della arce ragolare superore, ed erae ecessare per l calcolo dell'eleeo dagoale (c - ) della arce versa.. Cosderazo sull'occupazoe d eora e odalà d eorzzazoe copaa delle arc I prole d erpolazoe soo caraerzza da ole osservazo e relavaee poch paraer; og equazoe alle osservazo covolge geerale u paraer. Perao la arce dsego A e la arce orale C soo quas copleaee pee. Nelle queso d re, l uero d osservazo è geerale d poco superore al uero d paraer; og equazoe alle osservazo covolge poch paraer (quell relav a verc del lao del grao su cu s soo operae le osservazo). Le arc dsego A e orale C soo, geerale, arc sparse, coè co ua pccola quaà d elee o-ull rspeo al uero oale d elee, a causa della sruura opologca de prole recolar, per esepo e prole geodec e oograerc. L'uso delle acche da calcolo auoache, pccole o grad, ell'esegure copesazo poe spesso l prolea d ecoozzare la eora occupaa. E' percò ecessaro dsporre d ecche per eorzzare odo copao le arc A e C, raadole po el calcolo aeedo ale ora. La arce dsego A può essere eorzzaa copaa regsrado: - per og equazoe (rga) l uero de coece o-ull ed coece sess, accopaga dal uero d'orde dell'coga (coloa) cu s rerscoo; - per og coga (coloa) l uero de coece o-ull ed coece sess, accopaga dal uero d'orde dell'equazoe (rga) cu s rerscoo. La arce orale C può essere eorzzaa copaa regsrado l suo ragolo superore essedo, coe oo, serca: - ora reagolare, se u gl elee o-ull soo coeu ua ada, ovvero se soo aasaza vc alla dagoale prcpale; - "a elee sola", coè per og coloa l uero de coece o-ull ed coece sess, accopaga dal uero d rga; - "a prolo", coè per og coloa l uero d u coece, ull o o-ull, a parre dal pro o-ullo, ed coece sess. 4

41 S osserv che la eorzzazoe della arce orale "a elee sola" serve parcolaree quado s vuole esegure la soluzoe del ssea co eod erav, d cu o s occupa l presee paragrao, ere quello "a prolo", è ule quado s vuole ulzzare u eodo esao che rchede la aorzzazoe della arce orale pra della soluzoe del ssea. Nelle re eorzzazo per coloa sovraespose, essedo varale la lughezza d og coloa, è ecessaro regsrare sequezalee u gl elee d u veore; olre per aclare l'accesso ad og sgola coloa è coveee sosure al uero che rappresea la lughezza d ua coloa u puaore che drzz dreaee al pro od all'ulo eleeo della coloa sessa. Nelle gure A.4, A.5, A.6, A.7 e A.8 s eseplcao gl sche d eorzzazoe delle arc dsego e orale. Fg. A.4 4

42 Fg. A.5 Fg. A.6 Fg. A.7 4

43 Fg. A.8 4