Capitolo 5. ii) Errori eteroschedastici ed eventualmente correlati (cioè

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1 Capolo 5 5- Il meodo GLS (per campo f 5- Il meodo (asoco FGLS (Feasble Geeralzed Leas Square 5-3 Sma de modell lear co error AR(; Lo smaore d Pras-Wse 5-4 Il meodo d Cochrae-Orcu 5-5 Appedce: Il es d Whe e l es d Breusch-Paga (sulla preseza d eeroschedasca` 5-6 Appedce: I modell AR, MA e ARMA per process sazoar auocorrela 5-7 Prevsoe e process ARMA Ne meod d sma OLS e NLS, presea e precede capol, l eveuale preseza d eeroschedascà (e eveualmee della auocorrelazoe egl error flueza solao la varaza asoca degl smaor; de smaor soo asocamee effce ua opporua classe d smaor (la classe degl smaor cosru co l meodo de mome se gl error soo omoschedasc (. I queso capolo s descrvoo procedure che coseoo, parcolar coes e preseza d eeroschedascà (e/o correlazoe, d cosrure smaor asocamee pù effce. Per semplcà s farà rfermeo a sol modell lear (ma rsula asoc soo vald ache per modell olear e zalmee, come d alrode è sao fao quado è sao preseao l meodo OLS, s farà ua veloce carrellaa su quao ga` oo el caso d campo f. 5- Il meodo GLS-Geeralzed Leas Square (per campo f E assegao l modello leare co le segue poes sugl error: y x β + per,, (o forma marcale y Xβ + u. u Srea esogeeà delle varabl x (coè E( u X per og,, ; Error eeroschedasc ed eveualmee correla (coè E( uu X Σ( σ Δ e Δ I ; se gl error soo o correla allora la marce Δ è dagoale. La marce Δ è compleamee oa (duque l uco paramero o oo ella varaza degl error è σ. Cosruzoe dello smaore GLS: S cosdera ua marce Ψ (quadraa d orde ale che ( Nauralmee se le varabl dpede soo esogee o predeermae e susssoo le usual poes su process che asscuro l defcabla` del modello e l asoca ormala` delle sme.

2 Δ ΨΨ ( e l modello leare (* Ψy ΨXβ + v, v Ψu, che, daa l`verblà d Ψ, è equvalee al modello orgaro. I esso, le varabl soo sreamee esogee e gl error soo omoschedasc; fa s ha ( E( v ΨX E( Ψu ΨX ΨE( u ΨX, E( vv ΨX E( Ψuu Ψ ΨX ΨE( uu ΨX Ψ σ ΨΔΨ σ I. * OLS * Defzoe : Poso βgls βols (essedo β lo smaore OLS d β per l modello (*, β GLS dces smaore GLS (de mm quadra geeralzza d β per l modello orgaro. Propreà dello smaore GLS (seguoo faclmee dalle propreà d parzale: GLS ha la seguee rappreseazoe * β OLS β ( ( β GLS è smaore correo d β ;. L eleco è comuque ( GLS β X Δ X X Δ y β + X Δ X X Δ u. β GLS è effcee (el seso che ha la mma varaza ra gl smaor corre e lear y ; ( ( var( β GLS X σ XΨΨX σ XΔX ; ( Se u X N(, σ Δ u e X soo dpede e u N(, σ Δ allora s ha s ( GLS β X N( β,var( β X ( I ( ( k y Ψ ΨXXΔ X XΨ Ψy k y Δ Δ XXΔ X XΔ y è uo GLS smaore correo d σ ; olre se gl error hao dsrbuzoe ormale allora β GLS e s soo dpede e s. σ ( k χ k Osservazoe: a La marce ΨX k k k Ψ Ψ Ψ ( orde X X ( ( X X X X è la marce (d k delle osservazo delle varabl dpede del modello (*. Se al uove varabl soo deoae co l smbolo x,, x k, la esma osservazoe d x j è combazoe leare ( Ua ale marce esse (e o è uca, quao la marce Δ e` a meo d ua cosae la marce d covaraza del veore degl error u e perao e` smmerca e defa posva.

3 delle osservazo della corrspodee varable (orgara eleme della e sma rga d Ψ. Da cò segue esogee; x j, cu coeffce soo gl (le varabl x soo sreamee esogee (le varabl x soo sreamee le varabl x e x o possoo essere coemporaeamee (solao esogee a meo che la marce Δ o sa dagoale. b β GLS mmzza la fuzoe obevo β y Xβ Δ y Xβ ; (la verfca è Q( ( ( mmedaa. Duque β GLS mmzza la dsaza d y da Xβ, dsaza defa dalla marce smmerca e defa posva degl error. Δ (che è a meo d u faore molplcavo l versa della varaza GLS c β e` lo smaore del paramero β (del modello orgaro cosruo co l meodo de mome, ulzzado l veore (d dmesoe k d varabl sreamee esogee w, la cu marce delle osservazo e` W Δ X (per la defzoe d al smaor ved 3-8. Ifa s ha ( k ( ( y GLS βw wx w WX W y X Δ X XΔ y β. d Per lo smaore OLS d β (che e` lo smaore co l meodo de mome oeuo ulzzado come varabl sreamee esogee x, s ha var( ( ( βols X XX XΣX XX e var( βols X var( βgls X. e Se Δ è ua marce dagoale (e duque gl error soo o correla, deoao co l elemeo dagoale d dce, la sma GLS d β del modello y x β + u è la sma OLS del y x modello β + v. S o che ques`ulmo modello o ha l`ercea e qud R c o è δ δ ulzzable per msurare la boà dell adaameo del modello a da. 5- Il meodo (asoco FGLS (Feasble Geeralzed Leas Square Nel precedee paragrafo s e` faa l poes che la marce Δ, ella rappreseazoe della varaza del veore degl error, fosse oa; poes del uo rragoevole preseza d da o spermeal, come ecoomera. E` opporuo rcordare che quado Δ o e` oa (e l campoe e` suffceemee grade la procedura d sma, frequeemee adoperaa e descra 3 δ op

4 e precedee capol, e` quella d ulzzare l meodo OLS (rsp. NLS e smare la varaza asoca dello smaore del (veore paramero co lo smaore d Whe (HC preseza della sola eeroschedasca` o co quello d Newey-Wes (HAC se e` presee ache l`auocorrelazoe. Δ Il meodo FGLS ulzza eveual formazo dspobl (o solao pozzae sulla marce (e qud sul processo degl error e l meodo GLS, per cosrure smaor d β asocamee pu` effce d quell OLS. E` mporae osservare che l effceza delle sme e` solao asoca e perao o e` deo che s coserv ache per campo f che peralro e` l ambo cu s lavora. S cosdera l modello leare (ma o c soo modfche da apporare se l modello fosse oleare Osservazoe: y u x β + co E( u Ω e x Ω, per,,. S sa assumedo che le varabl dpede del modello soo esogee; se l processo degl error e` auocorrelao allora le varabl dpede devoo ragoevolmee essere sreamee esogee ( parcolare ra le varabl dpede o c possoo essere rard della varable dpedee. Per o appesare l esposzoe o sarao dcae esplcamee, ma s rerrao sempre valde, le poes che coseoo d ulzzare, quado se e prese la ecessà, qualche versoe della legge de grad umer e del eorema del lme cerale. Pur o essedo sreamee ecessaro, ella descrzoe del meodo d sma s e` prefero dsguere l caso cu l processo degl error o e` auocorrelao, che e` quello che s cora pu` spesso, da quello cu l processo degl error e` auocorrelao. Il meodo FGLS quado l processo { u } e` o auocorrelao ( parcolare quado da soo del po cross-seco I queso caso, per og, la marce d covaraza Σ σ Δ del veore degl error è dagoale; sao δ (per,, gl eleme dagoal d Δ e duque s ha E( u ( Ω σ δ. I asseza d uleror formazo sul processo degl error, u modello suffceemee ampo per la varaza codzoaa (coeree co la posva` della varaza e comuque relavamee semplce e` l seguee: ( 4

5 u Ω z γ co z Ω per og, (e E( exp( l γ R o oo ( 3. La cosruzoe dello smaore FGLS (descra e pass da a : S sma l modello orgaro co l meodo OLS ( β e` ua sma cossee d β e s cosdera l processo de resdu { u } ; ( 4 S sma l paramero γ, co l meodo OLS, ulzzado l modello d regressoe leare auslaro log( u e sao z γ, per,,, valor prevs; Poso δ exp( z γ ( / OLS z γ + resd, s sma l modello auslaro y x β + resd co l meodo OLS. δ δ Defzoe: La smaore OLS d β oeuo dal modello (che s prova essere cossee, dces smaore de mm quadra geeralzza realzzable (FGLS d FGLS orgaro e s deoa co l smbolo β. β (del modello Osservazoe: FGLS β e` duque lo smaore GLS del modello orgaro el quale gl eleme dagoal della marce Δ soo sa sosu co δ. d Dsrbuzoe asoca d β FGLS : S prova faclmee ( β (,Avar( FGLS β N β FGLS co Avar( FGLS σ p lm xx δ β ; uo smaore cossee della varaza asoca e` evdeemee ( 3 Per da cross-seco, Ω e` cosuo dal complesso delle formazo dspobl ella ua` sasca e qud z c porebbero essere varabl prese oppure o x ; alvola lo scaer-plo della coppa ( u, z, essedo serre { u } resdu della sma OLS del modello e z z. Ivece per da del po me-seres, Ω, puo` essere ule.per selezoare le varabl z da Ω e` pu` ampo perche` esso c soo ceramee o solo le varabl dpede prese el modello co loro rard, ma ache rard della varable dpedee. Va comuque segalao che preseza d da del po me-seres soo sa rodo alr (e pu` eresa modell per la varaza codzoaa degl error che pero` rchedoo dffere procedure d sma. 4 S o che dalla cosseza d segue ( p β( β OLS ( ( max x j, j u u X β β β β (per e cò gusfca pass successv, cu s sosuscoo gl error per qual o soo dspobl le osservazo co resdu, operazoe gà effeuaa precedeemee, ma gusfcaa modo dfferee. Quesa propreà` s esprme dcedo che l processo de resdu e` cossee per l processo degl error. 5

6 Avar( FGLS s xx δ FGLS β co s calcolao co l modello. Lo smaore β e` ceramee asocamee pu` effcee d β (ques`ulmo co lo smaore d Whe per la varaza, pero`, come ga` precedeemee segalao, quado soo ulzza co campo f o e` deo che la predea effceza cou a susssere. Ua aurale cosegueza d quao ora deo e` che la procedura d sma usuale, preseza d modell lear (o o lear per da cross-seco (comuque del po f qu cosdera, e` l meodo d sma OLS o NLS, co l uco dubbo (ma geeralmee e` reua ua cerezza se e` opporuo ulzzare lo smaore d Whe per la varaza asoca; asce cos` l esgeza d cosrure srume ( sasca s chamao es che possa drzzare la scela. Due ra prcpal es sulla preseza d eeroschedasca soo rpora ell appedce 5.5. Il meodo FGLS per modell (lear o olear co auocorrelazoe egl error. S segala mmedaamee, ma co` apparra` charo ella successva dscussoe che l meodo, che o presea alcua dffcolà` d po eorco, e` realzzable solao cas molo parcolar. Cosruzoe dello smaore FGLS: Se per og, la marce d covaraza del veore degl error e` del po l ( Σ ( σ Δ co Δ Δ( γ e γ veore o oo d R dpedee da 5 ed olre e` dspoble uo smaore cossee γ d γ, allora lo smaore FGLS d β s oee smado l modello (che deve avere le varabl dpede sreamee esogee se la marce Δ o e` dagoale co l meodo GLS cosderado pero` come marce d covaraza degl error la marce ( Σ σ Δ γ. Osservazoe: S ralasca d rporare le proprea` asoche degl smaor (che peralro soo prevedbl e la loro prova (che vece ecessa d qualche accorgmeo. Geeralmee la cosruzoe d γ o presea parcolar dffcolà, vece problem d po umerco s possoo preseare ella cosruzoe della marce Ψ che verfch la codzoe ΨΨ Δ (quado la marce Δ o e` dagoale essedo Δ d grosse dmeso. op 5-3 Sma de modell lear co error AR(; lo smaore d Pras-Wse I queso paragrafo s presea la sma co l meodo FGLS d u modello leare co error OLS ( 5 Come s pora` oare quello che ora s dra` e` valdo ache se la marce Δ e` dagoale 6

7 del po AR(. I ale modello la marce cosee d dvduare faclmee la marce o e` dagoale, ma l aals della sua sruura Ψ. E` mporae segalare che co ecche d smulazoe e` sao mosrao che geeralmee l meodo FGLS per al modell (quado e` ulzzable; fa e` rchesa la srea esogeea` delle varabl dpede, e` pu` effcee d alr meod ache per campo f (u alro meodo d sma e` sao preseao el paragrafo 4.6. S cosdera l modello ecoomerco e s suppoe che y u x β + u Δ,...(, σ ρu + d, ρ <,,, a ra le varabl dpede o c soo rard della varable dpedee (e duque le varabl x soo sreamee esogee; b l processo { u } e` AR( (l uca soluzoe sazoara dell equazoe alle dffereze u ρu +. c l valore del paramero ρ o e` oo. Osservazoe: I 4-6 e` saa descra ua procedura d sma per u modello che appare molo smle a quello qu cosderao, ma che e` realà molo pu` geerale. Qu l processo degl error e` sreamee sazoaro e le varabl dpede soo sreamee esogee, 4-6 vece l processo { } u e` (solao ua soluzoe d u ρu + co ρ < (perao e` debolmee sazoaro e olre ra le varabl dpede c possoo essere ache rard della varable dpedee y. Cosruzoe dello smaore. La procedura descra e successv pass da a v fu proposa da Pras e Wse el 954; per quesa ragoe leeraura lo smaore e` dcao co l loro ome. Sa β FGLS u fssao ero aurale: Rappreseazoe della marce d covaraza degl error Σ (, per u processo ρ σ AR(. S ha (per la prova ved 5.6 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ρ, σ ( E( σ Σ uu ( σ Δ( ρ. ρ 3 ρ ρ ρ 7

8 Scela d ua marce Ψ ( ale che ΨΨ Δ ( ρ. La scela pu` mmedaa sembra essere ( / Ψ Δ ( ρ, ma evdeemee l calcolo per dvduare la sua rappreseazoe e` umercamee complesso; qu d seguo s presea ua procedura drea per dvduare ua(alra Ψ. S osserva che alla marce Ψ s rchede semplcemee d rasformare l veore u degl error auocorrela u veore (della sessa dmesoe d varabl o correlae e co varaza cosae, ma ua ale Ψ e` descra mplcamee elle poes. Ifa, essedo l processo soluzoe dell equazoe alle dffereze u ρu +, { } { u } d...(, σ, esso e` ecesssaramee soluzoe d u problema d valore zale u ρu + per,, e dalla sua sazoarea` u u segue (faclmee che deve essere u / ρ. Qud { u },, e` soluzoe del problema u ρu + per,,, la cu versoe marcale e` ρ u ρ u ρ u. u ρ u I defva ua marce che soddsfa la codzoe rchesa e` Ψ ρ ρ. ρ ( Ψ( ρ Cosruzoe d uo smaore cossee del paramero ρ. S cosdera l processo de resdu { u } oeu dalla sma OLS del modello orgaro (s o che la sma OLS d β e` cossee e s cosrusce ρ ulzzado dffereemee ua delle segue due procedure Il meodo OLS el modello auslaro u ρu + resd ; La correlazoe emprca del prm orde del processo de resdu e duque ρ uu. 8

9 v Sma FGLS d β e sua dsrbuzoe asoca. β FGLS e la sua dsrbuzoe asoca s oegoo smado co l meodo OLS l modello Ψ( ρ y Ψ( ρ Xβ+ co d...(, σ, che forma veorale ha la seguee rappreseazoe ρ y ρ x β + y ( ρy x ρx β + per,, d σ,...(, U cofroo ra gl smaor d Pras-Wse e NLS (cosruo 4.6 Qu s segalao (d uovo le dffereze e modell e quado erambe le procedure soo ulzzabl vaagg e gl svaagg ell ulzzo dell uo o dell alro smaore. Il meodo FGLS ( parcolare lo smaore d Pras-Wse rchede che le varabl dpede sao sreamee esogee e qud o porà essere ulzzao se l modello è damco (coe` ra le varabl dpede c è qualche rardo della varable dpedee. Quesa resrzoe o e` ecessara se s ulzza l meodo NLS. Il meodo FGLS ulzza ue le osservazo, mere l meodo NLS sacrfca (almeo la prma osservazoe (fa el modello oleare c`è scuramee y. Co l meodo NLS s oee la sma cogua ( β, ρ. co le ul formazo sulla sua dsrbuzoe asoca, mere ella procedura FGLS la sma d β è codzoaa a quella d FGLS perao β può rsere dell eveuale effceza d ρ. v (La dffereza e modell Nel modello 4-6 l processo { u } e` solao (ua soluzoe dell equazoe alle dffereze u ρu NLS NLS +, mere queso paragrafo { } ρ, u e` la (uca soluzoe sazoara della precedee equazoe. Puo` essere ule rcordare che la geerca soluzoe dell equazoe e` somma della soluzoe sazoara e d ua compoee deermsca del po aρ. v Quado soo ulzzabl erambe le procedure lo smaore FGLS d β e` asocamee pu` effcee d quello NLS (co ecche d smulazoe e` sao mosrao che l`effceza sussse ache per campo f. op 5-4 Il meodo d Cochrae-Orcu Il meodo ulzzable per l modello 5-3, fu preseao da Cochrae e Orcu u arcolo del 949; la procedura d sma e` erava e rchede che le varabl dpede sao sreamee esogee. S prova che co queso meodo s oee la sma FGLS, olre come s 9

10 pora` oare seguo, l meodo ha l vaaggo d o rchedere la sazoarea` del processo degl error (ma solao d essere soluzoe dell equazoe alle dffereze e d poer essere faclmee adaao al caso cu l processo degl error è AR ( p co p (o pu` precsamee soluzoe d u equazoe alle dffereze sable d orde p co erme oo d...(, σ. Cosruzoe della sma d Cochrae-Orcu: Iazuo s osserva che l modello y u x β + u, d...(, σ ρu +, ρ <,,, ha le segue due rappreseazo equvale: M.a ( y x β ρ( y x β + M.b ( y ρ y β( x ρx +. Procedura erava d sma: S cosdera l valore zale β β OLS sma OLS d β del modello y x β + u (ceramee cossee per l poes d srea esogeeà d x e per og s poe β β M.a e s deoa co ρ la sma OLS d ρ ; s poe ρ ρ M.b, s deoa co + β la sma OLS d β ; s rora al puo poedo β β +. S errompe la procedura erava (come e` cosueude quado due valor cosecuv d β soo suffceemee vc e la sma della varaza asoca della sma d β e` oeua dall ulma sma del modello M.b. op 5-5 Appedce: Il es d Whe e l es d Breusch-Paga (sulla preseza d eeroschedasca` egl error S segala che qu c s lma a descrvere come es soo cosru e l dea da cu hao rao orge, omeedo rsula eorc che cosuscoo l loro fodameale sosego. S suppoga assegao l modello leare y u x β + co E( u Ω e x Ω, per,,. per da cross-seco (o pu` geerale co error o vorrela e s suppoga (come al solo che susssao le poes che garascoo l ulzzo della legge de grad umer e del eorema del lme cerale quado se e presea la ecessa`. Il es d Whe (98 S deoa co z la varable (veorale le cu coordae z soo le

11 varabl (dse ell seme { } { xxj, j,, k} ceramee ache se el modello orgaro maca la cosae. Cosruzoe del es d Whe: (duque ra le coordae d z c e` S sma co l meodo OLS l modello assegao e sa { u } l processo de resdu; S cosdera l modello auslaro cerao. La sasca R u z γ + resd ha dsrbuzoe asoca l e sa R l coeffcee d deermazoe χ (l e` la dmesoe d z se gl error el modello assegao soo omoschedasc; l es a lvello d sgfcavà α e` allora l seguee: S rfua l poes d error omoschedasc se R χl, α >. Alcue semplc cosderazo (che qualche modo gusfcao la procedura: Nel caso cu gl error dovessero essere omoschedasc deve avers e qud Le coordae d duque deve essere lm xx lm lm xx xx p u p u S p p u S xx. lm ( z, d cu s e` parlao precedeemee, soo eleme della marce xx e p u S z, lm ( d alra pare la rappreseazoe d ( u S ( z c fa pesare alla possbla` che c possa covergere dsrbuzoe verso ua ormale (se dovesse essere valdo l eorema del lme cerale per la sequeza (( u S rova z. Whe el suo arcolo del 98, prova che e` ulzzable l eorema del lme cerale e olre a la varaza asoca d ( c ; b u (opporuo smaore B della varaza asoca ale che la sasca cbc cocda co R d. Il es d Breusch-Paga S fa rfermeo allo sesso modello e qu s suppoe che c sao formazo sul feomeo che ducoo a sospeare che la eeroschedasca` possa essere del po

12 ( E( u Ω h( δ +z γ, co h ua fuzoe regolare o oa, e z Ω, co z o ecessaramee cocdee co. Cosruzoe del es d Breusch-Paga: x s sma l modello co l meodo OLS e sa { u } l processo de resdu; s cosdera l modello auslaro u b + zb γ + resd δ e sa R l coeffcee d deermazoe cerao; la sasca R ha dsrbuzoe asoca χ ( l e` la dmesoe d z se gl error el modello assegao soo omoschedasc; l es a lvello d sgfcavà α e` allora l seguee: l S rfua l poes d error omoschedasc se R >. χl, α Alcue semplc cosderazo (che qualche modo gusfcao la procedura: L poes d omoschedasca` degl error e` equvalee a γ u Ω h δ +z γ. Breusch e Paga, E( ( el loro arcolo del 979, zalmee assumoo che soo dspobl le osservazo per l processo { } u, cosderao l modello o leare u h( δ + z γ + v (su v s puo` solao dre che ha meda ulla e cosruscoo l es LM per l poes H : γ (cfr. 4-5 che ora s passa a descrvere brevemee. a Il modello auslaro d Gauss-Newo (se s deoa co h ( la dervaa prma d h( e` u h( δ + z γ h ( δ + z γ b + h ( δ + z γ zb + resd ; δ γ b Se fosse dspoble δ, ua sma -cossee d δ quado H e` vera s cosdererebbe l modello leare u h( δ h ( δ b + h ( δ zb + resd δ γ e s verfcherebbe l poes equvalee H : b ; γ c Nella suazoe auale, o serve la dspobla` d δ ma solao la sua esseza (che qu o e` provaa quao dvea u h( δ e h ( δ comuque soo due cosa e allora l precedee modello α + z δ + resd (co α h( δ + h ( δ bδ e δ h ( δ b e l poes H : b dvea H : δ, se e` h ( δ (come e` ragoevole che sa; γ d Breusch e Paga fe mosrao che el precedee puo c l processo { u } puo` essere sosuo dal processo { } u. γ op

13 5-6 Appedce: I modell AR, MA e ARMA per process sazoar auocorrela S descrvoo ora alcu modell per process (sreamee sazoar auocorrela che soo ulzza ecoomera. La classe d ques modell e` molo ampa e per lugo empo (quado l`uco seore applcavo delle me-seres era la eora de segal gegera s e` pesao erroeamee (suppora ache dal famoso Teorema d Wold del 938 sulla rappreseazoe de process debolmee sazoar che per le applcazo, ale classe s poesse sosazalmee far cocdere co quella d u process (sreamee sazoar. Receemee soo sa rodo alr modell per process sazoar, d grade eresse ecoomera, che coseoo la preseza d eeroschedasca` codzoale evdeemee o presee e modell che sarao descr queso paragrafo. I quao segue { } e` (sempre u processo Se { } varabl d.. (, σ ed è deomao rumore baco sreo (o fore; ( 6 x e` u processo socasco s poe Ω F ( x, (sgma algebra geeraa dalle x, ; esso o e` alro che l complesso delle formazo sul processo all sae se e` oo uo l suo passao. Defzoe (de process AR ( : La (uca soluzoe sreamee sazoara dell equazoe alle dffereze u ρu + co ρ < dces processo auoregressvo del prm orde ( breve AR(. Osservazoe: L`equazoe alle dffereze u ρu + co ρ < ha fe soluzo che dfferscoo da quella sreamee sazoara per u erme fesmo per ( del po cρ ; per quesa ragoe ue le alre soluzo s dcoo asocamee sazoare. Deoao co L l operaore rardo, defo su process dalla relazoe { } { } L( x x (o pù brevemee L( x x sussse la seguee rappreseazoe per l processo AR ( : ( ( I ρl u ( u I ρl u ρ L u ρ ( + ρ + ρ +... Propreà de Process AR(: ( 6 S o che quese lezo sara` sempre { } sussse ache se l processo { } d.. (, σ. S segala che molo (ma o uo d quello che s dra` verfca solao le segue codzo E(,E( σ,e( s per s; al caso l processo { } dces rumore baco debole. Ua poes ermeda ra rumore baco fore e debole e` l processo { } e` ua dffereza margala debolmee sazoara. 3

14 La rappreseazoe del processo { u } come somma d ua sere e` saa oeua eurscamee, ma s prova che la sere coverge quas ovuque e meda quadraca, che l processo somma e` sreamee sazoaro ed ergodco, ed fe e` soluzoe dell equazoe alle dffereze. (Nella prova ha u ruolo fodameale la rapda covergeza a de coeffce della sere; u E( ( E( E( ; ( σ u u Ω u u ρu ; σ var( u per og (segue dalla ovva uguaglaza var( u ρ var( u + σ, ; ρ var( u Ω var( ρu + u σ ; Per og s ha s ρ ( corr( u, u ACF( s ACF( s s s s ; fa dalla uguaglaza ( cov( u, u E( uu E( u u E( u γ ρ + ργ per, s s s s s s s dvdedo per γ, s ha ρs ρρs ed essedo ρ segue ovvamee l assero; La marce d covaraza del veore u ( u,, u è ρ ρ ρ σ ρ ρ ρ Ω( ρ E( uu σ Δ( ρ ρ 3 ρ ρ ρ ( ( u Se l equazoe alle dffereze che defsce l processo e` erpreaa come u modello d regressoe leare allora la sma OLS d ρ e` cossee, asocamee ormale e asocamee effcee (movare le precede affermazo, scrvere la rappreseazoe e la sma della varaza asoca della sma. Defzoe (de process ( AR p : Sa β + β + + β + ( β ρ u u u pu p ( L u ua p equazoe alle dffereze, ale che l polomo β( z ( βz βp z ha radc modulo maggore d. La (uca soluzoe sreamee sazoara dell equazoe (alle dffereze dces processo auoregressvo d orde p ( smbol AR( p. Propreà de process AR( p : Il processo { } u (che ha ua rappreseazoe del po u α ( α( L co la sere d ; poeze ergodco; α z avee raggo d covergeza maggore d è sreamee sazoaro ed 4

15 I coeffce α ella precedee rappreseazoe possoo essere dvdua per rcorreza dalla dea` β ( z α ( z ; Le alre soluzo dell equazoe che defsce l processo AR( p, poché soo somma dello sesso processo e d u processo deermsco fesmo d orde espoezale, soo asocamee sazoare; E( u ; E( u Ω E( u u,, u βu + βu + + β u ; p p p var( u σ Ω ; La sequeza delle auocovaraze (e` soluzoe d u problema d valore zale per l`equazoe alle dffereze che ha β (/ z come polomo caraersco fa molplcado rpeuamee ell equazoe per u,, e calcolado l aspeazoe s oegoo le segue p + equazo ( p + coge u p γ βγ + + βpγ p + σ γ βγ + βγ+ + βpγ p γ βγ + βγ + + βpγ p γ βγ + βγ + + β γ p p p p la cu uca soluzoe forsce valor d γ, γ. D alra pare se (el modello orgaro s molplca per u (co s> p e s calcola l aspeazoe, s oee l equazoe alle dffereze s, p γ βγ + βγ + + β γ, s s s p s p che seme a valor (zal gà dvdua cosee l dvduazoe della sequeza delle auocovaraze del processo. La sequeza delle auocorelazo S oee rsolvedo l problema d valore zale (deomao ssema d Yule-Walker relavo all equazoe alle dffereze ρ βρ + βρ + + β ρ s s s p s p co le codzo zal che rsolvoo l ssema (co p equazo e p coge ρ β+ βρ+ + βpρp ρ βρ+ β + + βpρp. ρp βρp + βρp + + β p Segue dal puo precedee, o appea s dvde per γ sa l equazoe alle dffereze che le ulme p equazo, delle p +, che fssao le codzo zal. Evdeemee la sequeza delle auocorrelazo coverge a per espoezale. 5 modo

16 Se l equazoe alle dffereze che defsce l processo e` erpreaa come u modello d regressoe leare allora le sma OLS d ( β,, β p e` cossee, asocamee ormale e asocamee effcee (movare le precede affermazo. Defzoe (de processo ( MA q verbl: U processo { } u s dce MA( q (Movg Average oppure a meda moble d orde q verble, se ha la seguee rappreseazoe q u + α + + αq q( α( L co α( z αz per z e α. ( 7 Propreà de process MA( q : Il processo { u } è sreamee sazoaro ed ergodco (segue mmedaamee dalla sua rappreseazoe olre se s poe s ha β( z z per z B(, r B(, e α( z β β. β ( Lu β u q E(, σ u γ var( u E( u σ α ; u ( γ s per s> q (e` ovvo, parcolare le varabl del processo che hao ua dsaza emporale maggore d ; ( 8 q soo dpede, mere per ( s q s ha q q s γs σ αα s σ α+ sα s, q q+ s q ; fa s ha γ E( uu E( α α σ αα s s s s s s I process MA( : Quao deo fora coua a rmaere valdo per q +; s deve solao rchedere che α <+(e la somma ella defzoe del processo va esa meda quadraca. E` evdee che ache process AR( p soo process MA(. ( 7 La resrzoe sulla fuzoe α ( z sara` movaa pu` ava, comuque va deo che o è ecessara per provare la sazoarea` del processo. I ecoomera ale resrzoe è abbasaza aurale; fa se gl shock del passao perssoo allora l loro effeo sul processo ede a rdurs. D ora az l erme verble è soeso quado soo prese process MA. ( 8 S o l aaloga co la rappreseazoe de process AR(p, e cò gusfca l affermazoe che process MA hao ua rappreseazoe come processo AR( 6

17 Ne process ( α uu e qud ρ (dode è mmedao + α MA s ha: γ ( E( ασ rcooscere che ρ è compreso ra / e / ; La marce d covaraza del veore aleaoro u ( u,, u e` + α α ( α + α α Ω( α E( uu σ σ Δ( α. α + α (I queso caso o e` alreao mmedao come el caso de process AR ( dvduare ua marce Ψ [ ] ale che ΨΨ Δ ( α. L espressoe che defsce u processo MA( q e` evdeemee erpreable come u modello, ma o e` u modello d regressoe leare. Qualche ceo su come rovare buoe sme de paramer, auralmee quado soo dspobl le osservazo del processo, sara` dao seguo. Defzoe (de process (, ARMA p q : U processo { } soluzoe sazoara dell equazoe alle dffereze co α q u βu + βu + + βpu p + + α + + αq q ( z α z, α e α( z B (, ; p e β( z β z β z β ( z B (, ; α ( z e β ( z o hao radc comue. Propreà de process ARMA: p I process ARMA hao ua rappreseazoe come process MA( e u L L β ( α( e u dces ARMA( p, q se e` la (uca α β ; ( L ( L u La fuzoe d auocovaraza γ s è soluzoe dell equazoe alle dffereze γ βγ + + β γ per s max( p, q+ s s p s p AR(. Ifa s ha (è suffcee moplcare per ell equazoe che defsce l processo e predere la meda, perao γ s, e qud u s ρ s, è fesma d orde espoezale per s +. 7

18 Per s< max( p, q+, γ s s oee come soluzoe d u ssema che qu o e` rporao, ma la sua dvduazoe o presea parcolar problem. I process ARMA d orde ( p, q o molo eleva ( ecoomera geeralmee è pq, 3 be approssmao process MA e AR d orde elevao. Tralascado ua rgorosa gusfcazoe, l rsulao è abbasaza prevedble ed è d grade ulà quado s devoo smare paramer d u modello MA o AR. Noa coclusva: I modell f qu cosdera soo u rfer a process (sazoar co meda ulla, ma quesa resrzoe può essere rmossa mmedaamee osservado che se { x } è u processo sazoaro co meda μ allora { x μ} è u processo sazoaro a meda ulla. La fuzoe Auocorrelazoe Parzale (emprca: U (ulerore e o ulmo ule srumeo per selezoare u modello ARMA( p, q che meglo erprea le osservazo su u processo (che s ree sazoaro è la versoe emprca della fuzoe PACF( k (Paral Auocorrelao Correlao Fuco. Qu c s lma a segalare ua eresae propreà d PACF( k ( u cero seso duale della fuzoe ACF e a forre ua procedura per la cosruzoe della sua versoe emprca. Se { u } è u processo AR( p allora ( Se { u } è u processo MA( q allora PACF k per k > p; PACF( k è fesma d orde espoezale; Se { u } u processo sazoaro ed ergodco d meda ulla e { u },, l processo delle osservazo, l auocorrelazoe parzale (emprca d orde k è la sma OLS ( ( k α PACF ( k k ( del paramero α k el modello leare auslaro k u α u + + α u + resd. ( k ( k k k Osservazoe: Dalla precedee procedura per la cosruzoe d PACF ( k e dal eorema FWL, s usce che PACF( k (porebbe essere defa come l lme probablà d ( k k α o è alro che la correlazoe ra u e quado da erambe è saa rmossa la pare spegaa dalle u k varabl u,, u k+. op 5-7 Prevsoe e process ARMA Il problema della prevsoe (cosruzoe d u modello, dvduazoe della sruura e sua ulzzazoe Ecoomera, come og alro seore applcavo, ha rcevuo grade aezoe, 8

19 pero` bsoga dre che l mpego profuso, che comuque ha prodoo rsula eorc mpora e perao o e` sao ule, o ha dao fru spera; spesso, alla prova de fa, le prevso s rvelavao soddsface. La causa d queso (parzale successo e` dovuo alla dffcola` d dvduare buo modell (mglor d quell ulzza ell aals sruurale per la complessa` de feome ecoomc. I queso paragrafo, s roduce l problema della prevsoe per alcu parcolar modell ( process ARMA che, come ga` segalao, soo ulzza co successo alr seor dscplar. Izalmee s fa rfermeo ad ua fssaa sruura del modello (e duque s assume che paramer sao o, elle oe coclusve s segalao le eseso a modell de rsula oeu. I quao segue { u } e` u processo MA( verble e duque co u θ ( θ( L d...(, σ ; Z { } θ ; la fuzoe θ ( z θ z e` defa ella sfera apera B(, r co r > ed e` prva d zer B (, ; { } u e` sreamee sazoaro ed ergodco e s ha E( u e ( var( u u. σ σ θ Rappreseazoe del processo { u } come processo AR( : Poso ϕ( z [ θ( z ] ϕ ( z ϕ z ua sfera apera coeee B (, e prva d zer B (, ; ϕ ; allora s ha I coeffce ϕ possoo essere dvdua per rcorreza dalla sequeza d uguaglaze oeue dalla dea` ϕ( z θ ( z, ulzzado l prcpo d dea` delle fuzo aalche;. Il processo { u } e` soluzoe dell equazoe ϕ u ( ϕ( L u ϕ( L θ( L h > ({ us s } ({ s s } Defzoe: Sa e sa (per og geeraa dalle varabl aleaore { us s }. Allora ( F F F la σ -algebra la varable u E( h + u h + F dces prevsoe (faa all sae del processo { u } h pass ava; 9

20 e u u dces errore della prevsoe (e per esso s ha E( e + + ; + h + h h ( E( ( MSE u e E ( u h u + h + h + + h h, (la varaza della prevsoe dces errore quadraco medo (della prevsoe. Cosruzoe della prevsoe, dell errore e dell errore quadraco medo della prevsoe h- pass ava: Sa fssao e h. Dalle due rappreseazo del processo { u } s ha: u+ ϕu+ + + (rsp. u+ + + θ + (per h h h u+ h ϕu+ h ϕu+ h + + h (rsp. u+ h θ + h + θ + h (per h> h h dode, cosderado l aspeazoe codzoaa rspeo ad F, ed essedo E( + F per s s, s ha ϕu+ u ( E( u + F +, e u u θ + e (per h > Osservazoe: u ( E( u h h + Ω + ( h h h ϕu, ( ( E( h + h h θ + h h σ + h + MSE( u E( e θ. ϕu, MSE u e σ ; h e u u θ, + h + h + h + h Se per l processo { u } e` dspoble l processo delle osservazo { u },, F { s }, essedo ( u,, u F ( u s F, s ha che E( u+ hf ( u,, u (la prevsoe h- pass ava fae all sae co le formazo dspobl o cocde ( geerale co u + h e l suo calcolo e` pu laboroso. Per grade, come approssmazoe d h E( u + F ( u,, u (che per la legge della meda eraa cocde co E( u F ( u,, u, e` d uso ulzzare u + h + h defo per rcorreza dalla seguee

21 u + ϕu+ per h, h + h u + h ϕu + h ϕu+ h per h> h l cu errore quadraco medo s approssma el modo seguee Osservazoe: u + h h MSE( u ( + h MSE u E( e σ h h θ + +. e` sao oeuo rocado opporuamee la rappreseazoe d u + h ; pu` precsamee u h ϕu ϕ u + h s e` poso us ( E( us per s. + h + h h Prevso e process AR( p : Sa u αu + + αpu p +, AR( p sazoaro, osservao che d...(, σ u processo { } allora per > ϕ u co p, s ha ϕ, ϕ α per p, ϕ per > p, u E( u hf E( u hf ( u,, u ; + h ( + + u ( E( u F + ϕu+ αu+ ( u + ( E( p h p h p h + h α α h + h α + h α h u h h h u u F u u u u, (per + h> p maca l secodo addedo; ( ( + h ( + h h + ; MSE u MSE u σ θ (che coverge a Osservazoe: σ u per h. Ne process AR per p, quado paramer del processo soo o, le prevso esae. Per le prevso e process MA oppure ARMA s deve fare ecessaramee al rsulao geerale al rsulao geerale, og caso per u processo u + h soo MA( q s ha (per h> q u θ + h, dode E( u hf ( u,, u E( u F ( u,, u e allora s poe + h u + h h. + + h I rsula fora oeu soo vald co la sola poes che l processo { } e` u rumore baco

22 debole co qualche adaameo sulla erpreazoe d u E( h + u h + F ; el caso esame d...(, σ s puo` provare che u + h u+ h N(, σ θ (per. essedo { } Fora s e` assuo che paramer ( θ o ( ϕ che defscoo l processo { } h u soo o. Nelle applcazo ecoomerche, preseza d u modello ARMA ( cu dc p e q geere o superao 3, s ulzzao da a dsposzoe per smare paramer del modello e successvamee s ulzza l modello smao per fare le prevso. S ralasca d verfcare la valdà` asoca d quesa procedura, parcolare che u (, + h u+ h N σ θ (per. L aver cosderao process a meda ulla o e` per ee resrvo; se process soo a meda o ulla e` suffcee cosderare process cera ella meda (emprca o eorca a secoda che paramer sao o oppure sao sa sma. op h