INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO. box. Scopo della modellazione black-box. Limitazioni dell approccio black-box

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1 IGEGEIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTOLLO bo Prof. Carlo oss DEIS - Uversà d Bologa Tel: emal: cross@des.bo. Scopo della modellazoe black-bo S vole realzzare modello d ssema a parre dalla sola regsrazoe de da d gresso-sca Cò che s oee è esclsvamee a modalà per rappreseare ed lzzare l formazoe coea e da sess L obevo zale o è realzzable: ella modellazoe blackbo è sempre ecessaro serre della formazoe a pror sl ssema aezoe: se le poes o vegoo fae esplcamee, sgfca che e essoo d mplce Essoo sempre f modell che rappreseao da dspobl: l problema è qello d sceglere l mglore Lmazo dell approcco black-bo ecessa d a mole oevole d da spermeal o permee esrapolazoe l modello o pò essere lzzao codzo dverse da qelle c soo sa regsra da rage delle varabl freqeze codzo operave Le asszo ecessare alla modellazoe soo sere all zo e codzoao a la cosrzoe del modello E ecessara a oevole espereza per gesre l processo d modellazoe Il pla deve essere o è geeralzzable è lmao al sgolo esemplare, o s esede alla famgla

2 Vaagg dell approcco black-bo Pò essere molo semplce faor o rleva vegoo rascra aomacamee o rchede coosceza specfca del campo ecco relavo al parcolare processo o sempre vero S pò forzare la srra d modello secodo l lzzo che e verrà fao sego ses d corollor lear rchede modello leare E l co approcco pracable qado l processo è scoosco o roppo complesso Il processo d defcazoe Scop e ambee Possbl modell Legg fsche Progeo esperm. Modellazoe Iseme d modell Da msra Srra/orde secodo se Sma paramer Valdazoe s o Coosceza Espereza Check cosseza s o Modello fale Scela dell seme d modell E a scela mporae che codzoa l avà sccessva I modell possbl soo dvs class, lzzado crer dvers Modell paramerc o o paramerc modello paramerco è qello c l ssema è descro da mero lmao d qaà caraersche modell fsc soo paramerc, la srra è daa dall eqazo dela fsca a FdT è modello paramerco, c paramer soo coeffce o pol e gl zer modello o paramerco è caraerzzao dalla msra della fzoe del ssema mero molo grade (fo) d p modello o paramerco d ssema leare è dao dalla sa rsposa mplsva

3 Scela dell seme d modell Modell paramerc o o paramerc E pù semplce creare modello o paramerco dao che rchede more coosceza sl ssema. D alra pare modello paramerco è pù compao e maee a relazoe co l modello fsco Modell lear e o lear pracamee ssem soo o-lear la eora de ssem o lear è complessa e o be svlppaa, s cerca qado possble d lzzare a approssmazoe leare la scela ra modello leare ed o o leare s rdce sosaza e decdere qado a approssmazoe leare pò essere sffcee dpede pesaemeee dall obevo per c s vole svlppare l modello Scela dell seme d modell Modell lear e o lear aezoe: modello leare pò essere qao o pù complesso d modello o leare; pcamee l orde ecessaro per l modello leare sarà elevao la eora de ssem lear permee d affroare faclmee problem c l modello è d orde basso la scela reale cosse el defre se lzzare modello o leare sperado d oeere modello comqe semplce od modello leare d orde pù elevao s possoo eere va erambe le alerave e sceglere a poseror Modell a scaola baca o a scaola era s cosder che spesso è possble defre a srra paramerca del modello a parre da legg fsche e deermare paramer rame ecche d defcazoe paramerca: ale approcco è defo a scaola grga Il processo d defcazoe Scop e ambee Possbl modell Legg fsche Progeo esperm. Modellazoe Iseme d modell Da msra Srra/orde secodo se Sma paramer Valdazoe s o Coosceza Espereza Check cosseza s o Scaola era Modello fale

4 Il processo d defcazoe Scop e ambee Possbl modell Legg fsche Progeo esperm. Modellazoe Iseme d modell Da msra Srra/orde secodo se Sma paramer Valdazoe s o Coosceza Espereza Check cosseza s o Modello fale Scaola baca Il processo d defcazoe Scop e ambee Possbl modell Legg fsche Progeo esperm. Da msra Iseme d modell Srra/orde Sma paramer Modellazoe Coosceza Espereza Scaola grga secodo se Valdazoe s Check cosseza s Modello fale o o Idefcazoe della srra Cosse ello sceglere modello specfco all ero d a classe esempo pco la decsoe dell orde d a FdT alro esempo è la decsoe d modello ra var cadda possbl co presazo eqvale Pò gà sfare la dspoblà de da spermeal la scela sarà codzoaa dalla qalà de da lzza rmore d msra codzo degl esperme l progeo dell espermeo d msra è passo chave per la mmzzazoe dell cerezza relava alla srra ed a paramer a srra d modello fssaa ha a capacà descrva lmaa la scela dell espermeo d msra e dell algormo d sma sfrao ale capacà descrva per prvlegare alc aspe a scapo d alr

5 Sma de paramer Ua vola defa la srra, è ecessaro smare paramer per caraerzzare compleamee l modello La msra spermeale è fodameale qesa fase T meod d sma edoo a mmzzare l effeo del rmore d msra sl rslao della sma Mol meod d sma combao seme la defzoe della srra e de paramer è mpossble verfcare la qalà d modello seza avere smao paramer bsoga decdere la srra prma che paramer possao essere sma Aezoe: la qalà (cerezza) della sma sarà comqe flezaa dalla qalà (rmorosà) delle msre Corollo de resd Cossce a prmo passo della valdazoe Esserao sempre dffereze ra la msra (delle sce) e le corrspode sme basae sl modello defcao Le dffereze, chamae resd, possoo possedere propreà sasche coosce o pozzae l corollo d al propreà sasche (valor medo, devazoe sadard) pò essere lzzao se essoo acora error ssemac d modello, ed qeso caso erare co le ove formazo el processo d cosrzoe Cross-valdazoe e corollo d cosseza Cosscoo la valdazoe effeva del modello La cross-valdazoe cosse el valare resd o rspeo a da lzza per la sma, ma rspeo ad alro se d da ella scela del secodo se d da s dovrebbero rspeare le lmazo mpose sl modello per esempo, o s dovrebbero eccare sarazo el ssema se s è lzzao ssema leare Il corollo d cosseza cosse el cofroare valor de paramer co valor oe co alre ecche d msra o per va eorca valore che s dscosa oevolmee da valore aeso è dce d problema sarebbe opporo avere almeo a sma dell orde d gradezza del paramero che s vole smare

6 Cosderazo geeral L defcazoe o sossce, ma affaca le ecche d msra radzoal L so d formazoe a pror è fodameale el processo d dervazoe d modello L defcazoe va combaa co la coosceza specalsca del pla L cerezza della sma cresce al crescere del mero d paramer da smare per a daa qaà d formazoe (da spermeal) s dovrebbero preferre modell semplc qado descrvoo da spermeal co precsoe acceable L cerezza della sma è proporzoale alla devazoe sadard del rmore d msra: la qalà de da spermeal è mporae U esempo d sma paramerca S vole smare l valore d a resseza elerca a parre da msre d esoe e corree I preseza d rmore s ha Vm, k V + vk k,,, Im, k I + k La srra del modello è dervaa dalla legge d Ohm V I V I 0 La preseza de rmor d msra da V m, k Im, k ek Per defre o smaore, s pò mmzzare l errore d eqazoe e k Pò essere fao defedo a fzoe d coso qadraca U esempo d sma paramerca Scela, o voca K e k ( Vm k I ), m, k k k Il valore d che mmzza l fzoale d coso è deo sma a mm qadra LS arg m K S pò calcolare esplcamee poedo a zero la dervaa d K rspeo ad LS Vm, k I ( ) k I m, k m, k k

7 U esempo d sma paramerca All ameare del mero d campo Il valore smao sembra covergere ad valore o vero la varaza della sma sembra covergere a zero Cosa sccede se l mero d campo ede all fo? valore vero evolzoe sma U esempo d sma paramerca S aalzzao le propreà sasche dello smaore Valore asoco: s assmoo rmor a meda lla, o correla p lm LS ( ) p lm Vm k Im k I,, m, k k k V I V k vk I vk k p lm k k k + + I I k k k k k p lm LS ( ) + σ I errore ssemaco dpedee dal rapporo segale rmore delle msre U esempo d sma paramerca Icerezza della sma: dao che la sma è a varable aleaora, è mporae deermare la varaza assocaa e la sa dpedeza dal mero d campo prededo l espressoe della sma Vm, k Im, k + k LS ( + )( d + d + ) + d Im, k k rascrado erm d orde sperore la secodo s oee σ σ LS σ v + V I Valdo per qas gl smaor. E mporae avere delle boe msre

8 Lo smaore deale S è vso che o smaore pò ache forre rsla o corrspode a valor real (o è deo che sa problema) Vedamo qal soo le propreà che s vorrebbero per o smaore deale Sma seza bas eora s vorrebbe che la probablà d avere a sma gale al valore vero fosse o o è persegble per rmor d msra o smaore s dce seza bas se l valore medo della varable d sma è gale al valore vero del paramero E[ θ s ] θ è pù facle oeere smaor asocamee seza bas lm E[ θ s ( )] θ Lo smaore deale Smaor effce o è solo mporae avere smaor co error ssemac pccol, ma ache avere a bassa cerezza sl rslao oeo; a vole s prefersce o smaore co bas se presea a cerezza more la varaza delle sme dova a rmor è daa dalla marce d covaraza; T C ˆ θ E[ ( θs θ )( θs θ ) θ ] erm slla dagoale s rferscoo al sgolo paramero, mere qell for dalla dagoale descrvoo dpedeze ra coppe d paramer Uo smaore seza bas s dce effcee se la sa marce d covaraza è more o gale d qella d qalsas alro smaore seza bas Lo smaore deale Smaor effce è baale rovare o smaore co covaraza lla se s ammee l bas; cò è però mpossble per o smaore seza bas pochè qeso caso esse lme ferore alla marce d covaraza Smaor robs mol smaor soo derva co delle asszo rgarda l rmore, per esempo a dsrbzoe ormale del rmore o smaore è deo robso se le se propreà s coservao ache qado le asszo fae ella sa dervazoe o soo verfcae propreà mporae elle applcazo prache, dove cò accade molo spesso

9 Iformazoe a pror s paramer Ache el caso d sma paramerca, s deve sfrare al massmo l formazoe dspoble a pror s paramer. Smaor d Baes Massma verosmgl. Smaor d Markov Coosceza a pror Propreà dello smaore Mm qadra Smaor d Baes chedoo la coosceza della desà d probablà de rmor d msra e de paramer da smare S basa slla probablà codzoale P [ paramer msre] P[ θ m ] S cerca l valore del paramero che massmzza la probablà d avere esaamee qel valore a parre dalle msre dae [ ] θ B ma P θ m θ S lzza la regola d Baes P [ ] [ m θ ] P[ θ ] P θ m P[ m ] E sffcee massmzzare l meraore, l deomaore o dpede da paramer Smaor d Baes - esempo Smare l valore g rame a msra affea da rmore g + S assme la dsrbzoe del rmore d msra coosca P ( 0, σ ) S assme la dsrbzoe del paramero coosca S oee Pg e P[ g ] C ( µ σ ) g, g + σ g ( g µ g ) P[ ] σ g

10 Smaor d Baes - esempo Per oeere la sma d Baes è sffcee massmzzare l logarmo del meraore, oeedo σ + µ g σ g gb σ + σ g S possoo dsgere de corb : l formazoe dervaa dalla msra µ g : l formazoe a pror sl paramero le de vegoo pesae co l verso delle varaze se la qalà dell formazoe a pror è ala rspeo a qella della msra, l rslao è ploao dall formazoe a pror se la qalà dell formazoe a pror è bassa rspeo a qella della msra, l rslao è ploao dalla msra Smaor d Baes - esempo Ameado l mero delle msre (rpezoe) s oee σ + µ g σ g g B σ + σ g c s vede che l fleza delle msre amea all ameare del mero delle msre sesse Qado l mero d msre ede all fo, l formazoe a pror o vee pù lzzaa La sma d Baes vee raramee lzzaa ella praca pochè rchede mola formazoe a pror; alr smaor possoo garare le sesse presazo a pao d avere mero d msre cresce Smaor a massma verosmglaza Se la desà d probablà de paramer o è dspoble, s pò assmere come dsrbzoe forme ed qeso caso dvee a cosae el meraore della formla d Baes I qeso caso la sma d Baes s rdce alla massmzzazoe della fzoe d verosmglaza (lkelhood) L ( m θ ) P( m θ ) Aalogamee al caso precedee, ormalmee s massmzza l logarmo della fzoe d verosmglaza La sma a massma verosmglaza rchede acora l formazoe slla desà d probablà del rmore d msra Come vso precedeza, la sma d Baes e qella a massma verosmglaza cocdoo per campo meros

11 Sma d massma verosmglaza - esempo Applcado la sma d massma verosmglaza all esempo precedee s ha Il valore smao rsla Esso cocde co l lme della sma d Baes l g C L e g L g m σ π σ σ MV g Propreà della sma MV La sma MV è asocamee seza bas La marce d covaraza della sma MV coverge asocamee all verso della marce d formazoe d Fsher La marce d Fsher msra la qaà d formazoe s paramer presee elle msre. E mpossble avere o smaore seza bas co a marce d covaraza pù pccola dell verso della marce d Fsher, l valore mmo è deo lme d Cramer-ao la sma MV è asocamee effcee θ θ θ θ θ θ θ l l l T T L E L L E F F C Ifleza del mero d paramer S cosder l segee esempo dove e soo le varabl msrae legae araverso dove rappresea l rmore d msra che s assme dpedee e co dsrbzoe ormale Caso : a e b da deermare b a + + ; l S S F C S S F b a C L µ µ µ σ µ µ µ σ σ Iversamee proporzoale al mero d campo

12 Ifleza del mero d paramer Caso : b coosco, a da deermare Cofroo l L C a b σ S F ; σ σ C S Ameado l mero d paramer da smare, l cerezza slla sma amea σ ( a) σ σ a σ a ( a, b) S S µ Sma d Markov Se l rmore d msra s assme addvo a caraerzzao da a dsrbzoe ormale co valor medo e varaza assegaa m G( θ, ) + T E 0 E [ ] [ ] la sma MV s rdce alla mmzzazoe della fzoe d coso qadraca T K ( m G( θ, ) ) ( m G( θ, ) ) Tale sma è dea sma d Markov è seza bas ache se la dsrbzoe del rmore o è ormale, se l valor medo è llo e se l modello è leare e paramer el caso la marce d peso sa a marce dversa da qella d covaraza del rmore, s parla d sma a mm qadra pesa Sma a mm qadra Se l rmore d msra è baco, la marce d covaraza è proporzoale all deà e la fzoe d coso dvea la somma qadraca dell errore T K ( G( θ, ) ) ( G( θ ) ) m m, S rcade el caso d sma a mm qadra Le propreà della sma a mm qadra soo qelle della sma MV solamee elle poes fae egl alr cas la sma a mm qadra pò essere co bas ed effcee, va aalzzao caso per caso

13 egressoe leare Dao modello d regressoe leare θ + θ + + θq q ed msre delle varabl dpede e dpede q θ Y Φ U q θ Θ q θ q la sma a mm qadra del veore de paramer è daa da T T ΘLS ( Φ Φ) Φ Y La varaza del dsro e della sma soo valabl come J ( Θ ) T ˆ σ LS Var( Θ ) Λ ˆ ( Φ Φ) LS σ q Idefcablà Codzoe ecessara per l cà della solzoe è > q T de Φ Φ 0 rak Φ q Il rago della arce pò rslare more d q se a coloa è learmee dpedee dalle alre. I qeso caso è possble rdrre l mero d paramer Cò sgfca che o l modello è sovraparamerzzao rspeo al feomeo che s vole descrvere: scela della srra d modello o l modello è sovraparamerzzao rspeo alla formazoe coea e da spermeal: progeo dell espermeo d sma Mm qadra o lear Se l modello è o leare e paramer la solzoe del problema o è forma chsa Y Φ( U, Θ) T J LS ( Θ) ( Y Φ( U, Θ) ) ( Y Φ( U, Θ) ) E ecessaro lzzare meod d solzoe d po eravo Il problem maggor soo da da preseza d mm local zalzzazoe degl algorm velocà d covergeza es d covergeza (fe)

14 Meod erav Soo meod d omzzazoe che a parre da a sma oea al passo -esmo, deermao la sma all erazoe sccessva secodo relazoe geerale Θ + Θ +α f dove f rappresea a drezoe d rcerca oea base alle formazo slla forma del fzoale d coso a pass precede e α coeffcee fsso o varable co le erazo α pccolo mglora la capacà d covergeza a scapo della velocà possoo essere classfca come Meod che s basao slla sola valazoe del fzoale d coso Meod che lzzao a valazoe aalca o merca del gradee Meod che lzzao a valazoe aalca o merca del gradee e della marce Hessaa Process casal sazoar U processo casale è espermeo che prodce a fzoe del empo Ua sere d da rlevaa da espermeo è almeo pare casale per la preseza d error d msra S pò pesare come veore fo d varabl casal Se s fssa l sae, ( ) rsla a varable casale U processo casale è sazoaro se per qalsas, scel comqe sa l veore delle varabl casal [(,...,()] ha la sessa drbzoe d probablà d [(+),...,(+)] per og possble valore d le caraersche probablsche del processo soo vara rspeo a raslazo emporal Mede del PC sazoaro Valor medo: I geerale m () E[ ] è a fzoe del empo; se l processo è sazoaro, l so valor medo è cosae Per smare l valore medo d processo sazoaro basa calcolare la meda campoara. Fzoe d aocovaraza: γ (, ) Cov[ ( ) ( )] γ ( ) S o che γ ( 0) Var[ ] γ ( τ ) γ ( 0) τ

15 more baco Defzoe: () è rmore baco se scel sa,..., le varabl casal ( ),..., ( ) soo mamee dpede. Ierpreazoe: è come se () fosse l rslao d espermeo casale, l c eso è del o dpedee da valor precede e fr del processo casale rmore baco è compleamee mprevedble Esempo: la seqeza de mer sc alla rolee La fzoe d aocovaraza del rmore baco è daa da σ γ ( τ ) 0 τ 0 τ 0 Spero Lo spero, o desà sperale d poeza, d processo casale sazoaro è la rasformaa d Forer della fzoe d aocovaraza τ [ ] + jωτ Γ ω F γ τ γ τ e τ Esempo: rmore baco w() [ ] Γww ω F γ ww τ σ Spero Esempo: () w() w(-) γ ( τ ) E ( τ ) m 0 m E[ τ 0 ] E[ ( w( τ ) w( τ ) )( w( 0) w )] Γ ( ω ) γ jω + γ ( 0) + γ jω e e [( )] γ 0.5σ τ.5σ 0.5σ τ τ 0 τ [ ( e jω + e jω )] σ.5 + cos( ω ) [ ] σ

16 Propreà dello spero è reale e posvo è a fzoe par d ω è perodco co perodo π è sffcee cooscerlo ella bada [0,π] Φ [ ] jω Γ ω Φ ( e ) ( z) Z γ ( τ ) π Γ π ( ω ) dω π Var[ ] ω Γ ω ( ω ) dω π Var[ ] proporzoale all eerga del processo ella bada [ω,ω ] Faorzzazoe sperale caoca Spero all sca d processo sazoaro () G(z) Se () è PC sazoaro e G(z) è sable, allora () coverge ad PC sazoaro ale che E[ () ] G() E[ () ] Φ Γ () ( z) G( z) G( z ) Φ ( z) jω ( ω ) G( e ) Γ ( ω ) Flrado PC medae a fd, s camba la rparzoe dell eerga elle vare bade d freqeza Faorzzazoe sperale caoca Dao PC () co spero assegao, se s resce a rovare a fd ale che Φ ( z) σ G( z) G( z ) s pò mmagare () come l sca d G(z) almeaa da rmore baco S dce qeso caso che () è a spero razoale e G(z) è faore sperale Se () è a spero razoale essoo sempre f faor speral: e esse o percolare, deo caoco, ale che l grado relavo è zero meraore e deomaore soo moc zer e pol soo sabl (modlo more dell à) Il faore sperale caoco pò essere lzzao per caraerzzare l PC sazoaro

17 Famgle d modell damc Le famgle d modell lzza ella defcazoe leare soo cas parcolar del modello, co l rmore e() asso baco G( z) + H ( z) e () G(z) e() H(z) v() () v() H(z) e() rappresea sa dsrb che feome o modella H(z) è l faore sperale caoco S pozza che G(z) sa a grado relavo maggore d zero Specalzzado a cas parcolar le srre d G(z) e d H(z) s oegoo dverse famgle d modell, chama el complesso black-bo Predzoe T meod d defcazoe cercao d mmzzare l errore ra l sca msraa e qella predea Il po d predzoe lzzaa deerma la pologa del meodo mmzzazoe errore d eqazoe: s basa slla predzoe ad passo, coè l valore dell sca predea all sae sfra le sce msrae fo all sae - mmzzazoe errore d sca: s basa s a predzoe s orzzoe fo, coè la predzoe dell sca o sfra la msra dell sca sessa Per oeere l predore, s cerca a forma c l dsrbo baco compaa dreamee: qeso caso l predore omo è semplcemee qello che s oee poedo l dsrbo a zero Predzoe Molplcado per l verso del faore sperale e sommado () ad eramb membr s oee H ( z) H ( z) G( z) + e () H ( z) + H z G z + e () () () S o che l secodo membro dpede da valor dell gresso e dell sca fo all sae - per le propreà del faore sperale caoco. S prede qd come predore ad passo ( ) + H ( z) G( z) ( / ) H ( z) p Co dverse scele d H(z)) s possoo cacellare ache le dpedeze da valor passa d (), fo al caso lme d H(z), c l predore dpede solo dall gresso

18 Mmzzazoe dell errore d predzoe La sma de paramer avvee cercado d mmzzare l errore d predzoe precedeemee vso Θ ( () p arg m ( / ) ) Cò cossce a gl effe problema a mm qadra, che pò essere rsolo forma chsa se la dpedeza d p da paramer è leare o co meod erav se la dpedeza è o leare Modell AX S poe ello schema precedee B ( z) b z + + b z G z H ( z) A( z) z + a z + + a A( z) e() () () B(z) /A(z) Il dsrbo agsce sllo sao Modello a ( ) a ( ) + b ( ) + + b ( ) + e Predore p A ( z) B () ( z) / + () () e() z z Modell AX S defscoo veore de paramer e regressore come Θ [ a a a b b b ] T Φ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] Il modello rsla leare e paramer p ( / ) ΦΘ Il problema d sma ammee solzoe forma chsa Θ arg m ( () Φ() Θ) Φ() Φ T () Φ() () dove s è pozzaa la o sgolarà d S () Φ () Φ T

19 Modell AX Il predore dpede dalle msre passae dell sca vera e o dall sca predea agl sa precede Il modello oeo pò preseare ome capacà predve, ma rslare molo scadee come modello d smlazoe Se la srra del modello vero corrspode a qello lzzao s ha che La sma è o polarzzaa La sma della varaza dell errore è daa da p σ ( () ) Θ / + La sma della varaza de paramer è daa da Var Θ σ S [ ] Modell AMAX S assme C( z) H ( z) A( z) Il modello rsla pù flessble, s paga co l dover smare mero maggore d paramer a ( ) a ( ) + b ( ) + + b ( ) + + e() + c e( ) + + c e( ) Il predore rsla C ( z) A( z) B () ( z) p / + () C z C z Il predore è o leare e paramer o s pò rcavare o forma chsa per la solzoe Modell AMAX Se s assme la coosceza d C(z), s pò calcolare ad og sae z z c () () c () () C z C z Il predore rsla p C ( z) A( z) B () ( z) / c + z z e s recpera la learà e paramer; s rora al caso AX Idea: è possble sceglere opporamee l polomo C(z)? Irodzoe al flraggo de segal msra ed defcazoe bada c ()

20 Modell ad errore d sca OE S assme H(z) e rsla lo schema () B(z)/A(z) e() () I qeso caso l predore o dpede da valor msra dell sca B ( z) p / () A z p ( / ) a p ( / ) a ( / ) + + b ( ) + + b ( ) + e o leare e paramer U bo modello d predzoe è ache bo smlaore Famgle d modell coclso La ecca d mmzzazoe dell errore d predzoe è saa per la sma modell cosdera Essoo meros eseso cambado le asszo slle fd La sma de modell AX è semplce S oegoo modell affdabl come predor, meo come smlaor I modell arma rslao o lear e paramer Per semplfcare l problema s pò pozzare coosco l polomo C(z) Offroo comqe a flessblà maggore Per defcare modell da lzzare come smlaor del ssema è opporo lzzare modell OE slao comqe o lear e paramer Flraggo ed defcazoe bada E opporo fare aals el domo delle freqeze de meod d defcazoe S possoo rodrre modfche per oeere rsla mglor a bada d freqeza fssaa a pror per l corollo è mporae avere a boa coosceza della rsposa freqezale ell oro della plsazoe d aglo Il fzoale d coso da mmzzare pò essere modfcao come [ ( p Θ arg m L z ( / ) )] [ L( z) ε ] che eqvale a modfcare l modello del rmore * H ( z) e H ( z) e L ( z) H ( z) e

21 Flraggo ed defcazoe bada Dal po d vsa praco, l rodzoe del flro L(z) o compora problem; è sffcee applcare gl algorm d defcazoe s segal flra secodo lo schema () ssema L(z) defcaore L(z) f () f f () L( z) () f () L( z) () Se segal flra o hao corbo formavo a cere freqeze, qese o flezerao l rslao della sma l modello smao cercherà d redere coo de da ervallo d freqeze c l coeo armoco è sgfcavo Aals freqeza S sppoga l ssema vero descro da () Go ( z) () + Ho( z) eo Go ( z) + v Il rmore ha spero dao da sla ε() H ( z) Φv ( jω ω σ H e ) o [ ] π () lm ε E ε () Φε ω dω 4π π * [ () ()] * G z ( H ( z) ) Go ( z) G( z) ( jω ) ( jω Go e G e ) Φ ( ω ) + Φv ( ω ) Φε ( ω ) * jω H ( e ) [ () + v() ] Aals freqeza La mmzzazoe dell errore d predzoe eqvale asocamee alla mmzzazoe rspeo alle coge G(z) e H*(z) del fzoale π Go J 4π π ( jω ) ( jω e G e ) Φ ( ω ) + Φv( ω ) * jω H ( e ) dω Da qesa formla s possoo dervare le caraersche freqezal de var cas parcolar, ochè crer d scela del flro L(z)

22 Modello del rmore fssao Se H*(z) è fssao a pror, gl smaor porao a mmzzare l fzoale π jω jω Φ ( ω ) J ( ω ) ω ( ω ) 4π Go e G e Q d Q π * jω H e coè l modlo al qadrao dell errore slla fd ra gresso ed sca pesao freqeza rame l peso Q(ω). Il peso pò essere erpreao ache come rapporo segale rmore alle dverse freqeze Per modell OE co H(z), se ache L(z) l errore vee pesao freqeza solao dallo spero del segale d gresso Modell AX I qeso caso G(z)B(z)/A(z) e H(z)z /A(z), e qd asocamee vee mmzzao π J Go 4π π ( jω ) ( jω ) Φ + Φ ( jω e G e ω ω A e ) dao che A(z)/z ha geere a caraersca passa-alo, asseza d rmore la mmzzaoe pora ad arbre peso maggore alle ale freqeze Cò è cogree co l fao che modello AX è bo predore ma o scadee smaore cofroo ad modello OE v dω Scela dell espermeo Qado è possble, s deve sceglere l segale d gresso al ssema per oeereda co adegao corbo formavo Ovvamee, reqso d base è qello d lzzare segale d gresso che cosea l defcazoe del modello S cosder modello AX a ( ) a ( ) + b ( ) + + b ( ) + e per l qale esse la forma esplca d solzoe Θ S ( ) Φ E ecessaro sceglere l gresso maera che la marce S() sa o sgolare

23 Esempo S cosder l modello S oee () () e b a + + () () Φ Φ T S lm Segal persseemee ecca I geerale, () è a meda campoara che qado l mero d campo ede all fo coverge a Codzoe ecessara e sffcee per l cà della sma co mero elevao d da è l verblà d Codzoe ecessara è l verblà d () Segal persseemee ecca U segale s dce persseemee eccae d orde se è verble (defa posva) Implso rsla 0 e qd l mplso o è persseemee eccae d alc orde Grado l grado è persseemee eccae d orde e cosee d smare maera adegaa solo paramero () τ τ + 0 lm () + lm τ τ

24 Segal perseemee ecca more baco: σ I l rmore baco è persseemee eccae per og orde: caso deale da qeso po d vsa U segale oeo flrado rmore baco è persseemee eccae d og orde U segale perodco d perodo M pò essere al pù persseemee eccae d orde M (aezoe alle ode qadre) Pò essere coveee eccare l ssema co segale persseemee eccae d orde opporo l c spero abba compoe sgfcave ella bada d freqeze d eresse Sma paramerca parzale I meod presea porao alla sma d paramer del modello Spesso s pò parre da modello fsco, c alc paramer soo coosc co precsoe ed alr o I qeso caso o covee far smare paramer all algormo s rcord che la varaza della sma cresce al crescere del mero d paramer da smare I qeso caso, c s pò rcodrre ad problema d regressoe I pacche d calcolo prevedoo meod d omzzazoe e roe che redoo semplce ale procedra IGEGEIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTOLLO bo - fe Prof. Carlo oss DEIS - Uversà d Bologa Tel: emal: cross@des.bo.