Trasformazioni nel piano come modello applicativo per le matrici:

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1 1 Trasformazioni nel piano come modello applicativo per le matrici: Rappresentazione di una trasformazione con matrici. Una generica trasformazione lineare ha equazioni X ax + by + c a b (1) con ae db 0 dx + ey + f d e potrebbe essere rappresentata dalle seguenti matrici a b c A d e f x B y C A matrice dei coefficienti, B, C vettori colonna delle incognite. Scritte in questo modo NON è possibile rappresentare la trasformazione come prodotto di matrice. Se invece si riscrivono le tre matrici con l aggiunta di una opportuna riga TUTTO funziona : a b c x a b c A d e f B y C anche in questo caso d e f ae db Si nota che, sulla base delle proprietà dell operazione prodotto definito, sulle matrici, la trasformazione (1) può essere rappresentata dal prodotto a b c x CA*B infatti d e f * y (2) Eseguendo il prodotto si ha ax+ by + c dx ey f La scrittura del sistema (1) è equivalente alla (2) se si astrae dall ultima riga 11 Esempio: Traslazione di vettore (1, -2) : X x + 1 (3) y 2 ottiene: può essere scritta anche x * y eseguendo il prodotto si 1 1x+ 0y + 1 0x 1y 2 + che equivale alla (3) 1

2 2 Come si Trasforma un punto P(x,y) con le matrici Assegnato il punto P(x, y) per ottenere il suo trasformato con la trasformazione T, simbolicamente si scrive P T(P), è sufficiente moltiplicate la matrice T di tipo (3,3) della trasformazione con la matrice colonna P di tipo (3,1). Si otterrà una Matrice (3,1) che rappresenta il punto P. X x + 1 Esempio: Assegnato il punto P(1,1) e la precedente Traslazione di vettore (1, -2) T la y 2 loro forma equivalente con le matrici diviene: T P 1 da cui moltiplicando T(P) P ' vedere che P (2,-1) è il corrispondente di P nella traslazione. Si può facilmente Come si Trasforma una Figura con le matrici Una figura disegnabile su un pannello grafico o su un foglio può sempre essere rappresentata da una poligonale (x i,y i ), se la figura è curvilinea è sufficiente prendere segmenti molto piccoli. Ne segue che, se un punto è una matrice colonna del tipo (3,1), un poligono (una figura) è una matrice del tipo (3,n) dove n è il numero di punti o vertici del poligono. Un rettangolo con lati paralleli agli assi e vertice sinistro-basso in (1,1) sarà rappresentata dalla matrice (3,4) seguente: F La figura trasformata F di F nella simmetria centrale di cento (0,0) S c(0,0) la si ottiene immediatamente come prodotto di

3 S c F F La Matrice inversa di una Trasformazione assegnata Coincide con la trasformazione inversa. E noto che il prodotto di una trasformazione geometria del piano per la corrispondente trasformazione inversa genera la trasformazione identica. Questo fatto corrisponde alla definizione di inversa di una matrice quadrata nella struttura delle matrici. Ne consegue che Assegnata la matrice di una trasformazione T del tipo (3,3), determinando la sua inversa si determina l equazione della trasformazione geometrica inversa T -1 di T. Esempio: Si ricorderà sicuramente che l inversa di una traslazione di vettore (1,-2) è la traslazione di vettore (-1, 2) T (1,-2) T -1 (-1, 2) Ma anche che l inversa di una simmetria ortogonale di asse x0 è ancora la simmetria ortogonale stessa S (x0) S -1 (x0) E facile verificare, con semplici calcoli che T*T -1 I ed anche che S*S -1 I Composizione di trasformazioni: Se le matrici quadrate del tipo (3,3) formano un gruppo non commutativo rispetto al prodotto ne segue che le trasformazioni lineari del piano sono un gruppo non commutativo. Esempio: verifichiamo che la composizione di due traslazioni T1 e T2 genera una Traslazione T3 di vettore pari alla somma vettoriale dei due vettori componenti.

4 T (2,1) T (1,2) T (3,3) infatti Verifichiamo anche che la composizione di due simmetrie ortogonali con assi perpendicolari tra loro genera una simmetria centrale di centro l intersezione dei due assi. Si ricorda che una simmetria ortogonale di asse xa ha equazione: X x + 2a X x S (xa) quindi che la simmetria ortogonale di asse ya vale S (ya) y y + 2a Se componiamo due simmetrie, una di asse x1 e l altre di asse y1 si avrà: S (x1) S (y1) Sc (1,1) infatti Il risultato è una simmetria centrale di centro (1,1) che ha equazione X x + 2 vale S c(1,1) y + 2 Situazione problematica non elementare: Sarebbe desiderabile realizzare un programma che consenta di rappresentare Figure su un sistema di Assi Cartesiani e consenta di applicare alle figure stesse le Trasformazioni geometriche studiate visualizzandole. Realizzare il progetto per fasi: Analisi, disegno e codifica facendo il caso semplificato nel quale si utilizza come unica trasformazione una Traslazione. Successivamente generalizzare il problema cercando di realizzare tutte le trasformazioni note del piano. CASI D USO (L utente quali funzionalità desidera?) CLASSI (Quali? Ricordate CHI FA CHE COSA?) Relazioni Tra le classi (HA UN? E UN?)

5 5 Ipotesi di Soluzione: CASI D USO Crea_figura Crea_trasform Trasforma_fig Crea_pann_assi Disegna_figura

6 6 Disegno Classi : CHI FA CHE COSA -Matrice A; Classe : Figura Figura(double a[][]) Figura(double x[], y[]) + get() : Matrice; +tostring() : String -Matrice A; Classe : Trasfor Trasfor(double a, double b) + trasfor(figura F) :Figura ; +tostring() :String Classe : Assi extends JFrame - int L, H, Xmin, Xmax, min, max ; - altro??? Assi() Assi(int larga, int alta) Assi(int larga, alta, xmin, xmax, ymin, ymax ) +disegna(figura, Color):void +dis_assi():void

7 7 Codifica: Cominciamo dal Main(). Senza la classe ASSI public class pro_tra{ public static void main(string arg[]) { Figura F new Figura(...); System.out.println(F);// stampa le coordinate di F per controllo Traslazione Tnew Traslazione(...); System.out.println(T); // stampa la matrice traslazione per controllo Figura F1T.trasla(F); System.out.println(F1);// stampa le coordinate di F1 per controllo } } Codifica: Cominciamo dal Main(). CON la classe ASSI public class pro_tra{ public static void main(string arg[]) { double f[][]{{1,1,2,2,1},{1,3,3,2,2}}; Figura F new Figura(f); Assi Anew Assi(); A.disegna(F); Traslazione Tnew Traslazione(-3,2); Figura F1T.trasla(F); A.disegna(F1); }