STATISTICA. Tabelle di contingenza test di indipendenza test di buon adattamento

Transcript

1 STATISTICA Tabelle di contingenza test di indipendenza test di buon adattamento

2 Tabelle di contingenza

3 Tabelle di contingenza Statistica-1c

4 Tabelle di contingenza tabella a doppia entrata, Y TOT distribuz. marginale di (somma nelle colonne) X distribuzione congiunta TOT distribuz. marginale di (somma nelle righe)

5 Le tabelle di contingenza Vogliamo vedere se la credenza nell aldilà è ugualmente diffusa tra uomini e donne. Selezioniamo un campione casuale di soggetti che classifichiamo nelle 2 2 caselle, rispetto alle due variabili:

6 Le tabelle di contingenza Vogliamo vedere se la credenza nell aldilà è ugualmente diffusa tra uomini e donne. Selezioniamo un campione casuale di soggetti che classifichiamo nelle 2 2 caselle, rispetto alle due variabili: la credenza è indipendente dal genere

7 Le tabelle di contingenza Vogliamo vedere se la credenza nell aldilà è ugualmente diffusa tra uomini e donne. Selezioniamo un campione casuale di soggetti che classifichiamo nelle 2 2 caselle, rispetto alle due variabili: Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio (Agresti. p. 21) Se la proporzione di credenti è la stessa nei due generi, allora possiamo dire che non c è associazione con il genere.

8 Le tabelle di contingenza Vogliamo vedere se la credenza nell aldilà è ugualmente diffusa tra uomini e donne. Selezioniamo un campione casuale di soggetti che classifichiamo nelle 2 2 caselle, rispetto alle due variabili: Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio = = Se la proporzione di credenti è la stessa nei due generi, allora possiamo dire che non c è associazione con il genere. probabilità condizionate di essere credente sono le stesse h = ( )

9 Confronto di proporzioni variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio ipotesi sulla distribuzione dei dati campionamento multinomiale

10 Confronto di proporzioni variabile risposta variabile esplicativa Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio ipotesi sulla distribuzione dei dati campionamento multinomiale Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = campionamenti binomiali indipendenti test di cfr di prop. = non posso rifiutare l ip. nulla di uguali proporzioni

11 Confronto di proporzioni variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio ipotesi sulla distribuzione dei dati campionamento multinomiale Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = campionamenti binomiali indipendenti test di cfr di prop. IC asint = ( 0.026, 0.068)

12 Confronto di proporzioni variabile esplicativa variabile risposta Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina (Agresti. p. 27) (Statistica-5c p. 9) stabilito in anticipo = ; rischio relativo 2! IC asint. (95%): ( , ) > cioè l aspirina sembra diminuire il rischio di infarto miocardico.

13 Rischio relativo Infarto miocardico rischio relativo Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 IC asint. (1- )%: ( , ) ( , ) (exp)

14 Rischio relativo Infarto miocardico rischio relativo Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 IC asint. (1- )%: ( , ) ( , ) (exp) quale più informativo? = ; IC asint. (95%): ( , )

15 Rischio relativo Infarto miocardico rischio relativo Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 IC asint. (1- )%: ( , ) ( , ) (exp) quale più informativo? = ; IC asint. (95%): ( , ) = e = 0.41 = = 1.02;

16 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = indicatore di indipendenza ODDS RATIO (1 ) (1 ) odds di successo in F = = odds di successo in M

17 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = indicatore di indipendenza ODDS RATIO (1 ) (1 ) odds di successo in F = = odds di successo in M

18 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = indicatore di indipendenza ODDS RATIO (1 ) (1 ) odds di successo in F = = indicatore di indipendenza odds di successo in M = odds odds + 1 > 1 >

19 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = 1.03 (1 ) (1 ) 1 indicatore di indipendenza = 1.14

20 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = 1.03 (1 ) (1 ) 1 indicatore di indipendenza = 1.14 Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 (1 ) (1 ) 1 indicatore di dipendenza = 1.83

21 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = 1.03 (1 ) (1 ) 1 indicatore di indipendenza = 1.14 Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 (1 ) (1 ) 1 indicatore di dipendenza = 1.83 (1 ) (1 ) = 1 1 per entrambi vicini a 0 (1 ) (1 )

22 Rischi relativo e odds ratio variabile esplicativa variabile risposta Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina = Maschio = = 1.03 (1 ) (1 ) 1 indicatore di indipendenza = 1.14 (regola del pollice) 1 Infarto miocardico = 1.82 Gruppo Sì No Hosmer & Lemeshow Applied Placebo Logistic Regression (1 ) Aspirina = 1.83 P(successo) (1 ) 0.10 indicatore di dipendenza (1 ) (1 ) = 1 1 per entrambi vicini a 0 (1 ) (1 )

23 Odds ratio variabile risposta variabile esplicativa Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 OR= 1.83 Gruppo IM Placebo Aspirina Sì 189/293= / No /21778=0.498 /21778 = = 1.29 OR= 1.83 OR tratta in modo simmetrico la variabile risposta e quella esplicativa. Indifferente al condizionamento.

24 Odds ratio variabile risposta variabile esplicativa Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina = 1.82 OR= 1.83 Gruppo IM Placebo Aspirina Sì 189/293= / No /21778=0.498 /21778 = 1.29 OR= 1.83 OR tratta in modo simmetrico la variabile risposta e quella esplicativa. Indifferente al condizionamento. OR=

25 variabile risposta Odds ratio: caso-controllo Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) variabile esplicativa studio retrospettivo Ogni caso (262 donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate.

26 variabile risposta Odds ratio: caso-controllo Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) variabile esplicativa le 262x3 u.s. non si distribuiscono casualmente nelle 4 caselle. Ogni caso (262 donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate = 1 3 non è una stima della frazione di infartuati nella popolazione = 0.5 non è la prob. che a una donna venga l infarto sapendo che fuma.

27 variabile risposta Odds ratio: caso-controllo Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) variabile esplicativa non è calcolabile le 262x3 u.s. non si distribuiscono casualmente nelle 4 caselle. Ogni caso (262 donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate = 1 3 non è una stima della frazione di infartuati nella popolazione = 0.5 non è la prob. che a una donna venga l infarto sapendo che fuma.

28 variabile risposta Odds ratio: caso-controllo Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) (1 ) = (1 ) variabile esplicativa le 262x3 u.s. non si distribuiscono casualmente nelle 4 caselle. non è calcolabile / = = = Ogni caso (262 donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate = 1 3 =. non è una stima della frazione di infartuati nella popolazione = 0.5 non è la prob. che a una donna venga l infarto sapendo che fuma.

29 variabile risposta Odds ratio: caso-controllo Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) (1 ) = (1 ) variabile esplicativa le 262x3 u.s. non si distribuiscono casualmente nelle 4 caselle. non è calcolabile / = = = Ogni caso (262 donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate = 1 3 =. non è una stima della frazione di infartuati nella popolazione = 0.5 non è la prob. che a una donna venga l infarto sapendo che fuma.

30 Odds ratio: caso-controllo variabile esplicativa variabile risposta Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) Ogni caso (donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate (campionamenti binomiali dipendenti). siccome la probabilità che donne non anziane abbiano IM dovrebbe essere piccola indipendentemente dallo stato di fumatore (1 ) (1 ) = = 3.82

31 Odds ratio: caso-controllo variabile esplicativa variabile risposta Gruppo IM Controllo Fumatore Non fumatore (Agresti. p. 26) Ogni caso (donne di età<69 ricoverate presso unità di cura coronarica in Nord Italia con IM acuto tra il ) accoppiato con 2 controlli (pazienti ricoverati agli stessi ospedali per altri disordini acuti) marginali di colonna fissate (campionamenti binomiali dipendenti). siccome la probabilità che donne non anziane abbiano IM dovrebbe essere piccola indipendentemente dallo stato di fumatore (1 ) (1 ) = = 3.82 si stima che donne che sono state/sono fumatrici abbiano probabilità di IM pari a circa 4 volte la probabilità di quelle che non han mai fumato.

32 Facciamo un salto in Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina = ; > prop.test() 2-sample test for equality of proportions with continuity correction data: z X-squared = , df = 1, p-value = 7.71e-07 alternative hypothesis: two.sided 95 percent confidence interval: di sample estimates: prop 1 prop Script4b.R

33 Le tabelle di contingenza X Lieve o assente Moderato Y Grave Molto Grave TOT TOT

34 Le tabelle di contingenza Vogliamo vedere se la credenza nell aldilà è ugualmente diffusa tra uomini e donne. Selezioniamo un campione casuale di soggetti che classifichiamo nelle 2 2 caselle, rispetto alle due variabili: Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio = = Se la proporzione di credenti è la stessa nei due generi, allora possiamo dire che non c è associazione con il genere. probabilità condizionate di essere credente sono le stesse l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello corrispondente all indipendenza delle variabili

35 Ripassino veloce Gli eventi A e B sono indipendenti se = ( ) Le variabili casuali X e Y, discrete o categoriche, sono indipendenti se = = = = ( = ) per qualunque coppia di valori (, )

36 Le tabelle di contingenza Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127 ferme restando le distribuzioni marginali, quale valore dovrei avere al posto di 509 nell ipotesi di indipendenza? Consideriamo la prima cella: un individuo scelto a caso nel campione può finire (1) o meno (0) nella cella:,, i.i.d. ~ ( ì ). Il numero atteso di individui nella prima cella è = = Sì = ì = = ~ (, ì ) se c è indipendenza.

37 Le tabelle di contingenza Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127 ferme restando le distribuzioni marginali, quale valore dovrei avere al posto di 509 nell ipotesi di indipendenza? = = Sì = ì = = frequenze attese o teoriche nell ipotesi di indipendenza = =

38 L indice del chi-quadrato frequenze osservate Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127 frequenze attese sotto indip. Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127

39 L indice del chi-quadrato frequenze osservate Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127 = frequenze attese sotto indip. Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127

40 L indice del chi-quadrato frequenze osservate Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127 = 0 indica assenza totale di associazione, o indipendenza = frequenze attese sotto indip. Credenza nell aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio =1127

41 L indice del chi-quadrato Perfetta interdipendenza tra le due variabili Credenza aldilà Sesso Sì No Femmina Maschio Perfetta dipendenza della Credenza dal Gruppo. Credenza aldilà Gruppo Sì No F adulta M adulto Bambino 807 0

42 L indice del chi-quadrato Indicazione di dipendenza tra le due variabili Tipo di vacanza N. figli Estero Mare Montagna

43 L indice del chi-quadrato = (, ) = min ( 1, 1) 0 1 = = =, indipendenza =

44 Il del chi-quadrato Sotto l ipotesi di indipendenza tra le due variabili: ~ ( 1)( 1) Rifiuto a livello di significatività se l indice è superiore al quantile ; 5 test asintotico, non-parametrico!

45 Il del chi-quadrato Sotto l ipotesi di indipendenza tra le due variabili: ~ ( 1)( 1) Rifiuto a livello di significatività se l indice è superiore al quantile ; 5 Prendiamo i dati della nostra patologia e identifichiamo le coppie di variabili per cui è interessante testare l indipendenza. test asintotico, non-parametrico!

46 Il del chi-quadrato con R > chisq.test(x) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In chisq.test(x) : L'approssimazione al Chi-quadrato potrebbe essere inesatta a logical indicating whether to apply continuity correction when computing the test statistic for 2 by 2 tables: one half is subtracted from all O - E differences; however. the correction will not be bigger than the differences themselves. No correction is done if simulate.p.value = TRUE.

47 Il del chi-quadrato con R > chisq.test(x) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In chisq.test(x) : L'approssimazione al Chi-quadrato potrebbe essere inesatta > chisq.test(x, correct=f) Pearson's Chi-squared test data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In chisq.test(x, correct = F) : L'approssimazione al Chi-quadrato potrebbe essere inesatta a logical indicating whether to apply continuity correction when computing the test statistic for 2 by 2 tables: one half is subtracted from all O - E differences; however. the correction will not be bigger than the differences themselves. No correction is done if simulate.p.value = TRUE.

48 Il del chi-quadrato con R > chisq.test(x) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In chisq.test(x) : L'approssimazione al Chi-quadrato potrebbe essere inesatta > chisq.test(x, correct=f) Pearson's Chi-squared test data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In > chisq.test(x, correct simulate.p.value = F) : = TRUE) L'approssimazione Pearson's Chi-squared al Chi-quadrato test with simulated potrebbe p-value essere (based inesatta on 2000 replicates) data: x X-squared = , df = NA, p-value = a logical indicating whether to apply continuity correction when computing the test statistic for 2 by 2 tables: one half is subtracted from all O - E differences; however. the correction will not be bigger than the differences themselves. No correction is done if simulate.p.value = TRUE.

49 Il del chi-quadrato con R > chisq.test(x) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In chisq.test(x) : L'approssimazione al Chi-quadrato potrebbe essere inesatta > chisq.test(x, correct=f) Pearson's Chi-squared test a logical indicating whether to apply continuity correction when computing the test statistic for 2 by 2 tables: one half is subtracted from all O - E differences; however. the correction will not be bigger than the differences themselves. No correction is done if simulate.p.value = TRUE. data: x X-squared = , df = 1, p-value = Warning message: In > chisq.test(x, correct simulate.p.value = F) : = TRUE) L'approssimazione Pearson's Chi-squared al Chi-quadrato test with simulated potrebbe p-value essere (based inesatta on 2000 replicates) > fisher.test(x) data: x X-squared = , df = NA, p-value =

50 Il del chi-quadrato con R La nostra patologia: associazione tra patologia (0/1) e genere/x2c Patologia Sesso Sì No F M > fisher.test(x) > chisq.test(x, simulate.p.value =TRUE,B=500000) oppure: associazione tra gravità della patologia (0-3) e genere Patologia Sesso F M

51 Il del chi-quadrato con R ( ),,,,. Se si rifiuta l ipotesi di indipendenza, è interessante capire il perchè. Gravità della patologia X2c residui > test1$residuals [0] [1]

52 Il del chi-quadrato con R ( ),,,, 1 1. residui standardizzati sotto sono asint. gauss. std. Se si rifiuta l ipotesi di indipendenza, è interessante capire il perchè. Gravità della patologia X2c > test1$stdres [0] [1]

53 Il del chi-quadrato con R ( ),,,, 1 1. residui standardizzati sotto sono asint. gauss. std. Se si rifiuta l ipotesi di indipendenza, è interessante capire il perchè. Gravità della patologia X2c > test1$stdres [0] [1]

54 Esempio Obstructive sleep apnea (OSA) is a common condition in which there are intermittent partial (viz., hypopneas) and complete (viz., apnea) limitations in airflow, with associated hypoxia and sympathetic arousals, during sleep. Because polysomnography, the standard test for diagnosing OSA, is expensive and time-consuming, questionnaires have been developed to identify persons with OSA. The Berlin questionnaire (BQ) reliably identifies middle-aged and older persons in the community who are at high-risk for OSA.

55 Esempio Obstructive sleep apnea (OSA) is a common condition in which there are intermittent partial (viz., hypopneas) and complete (viz., apnea) limitations in airflow, with associated hypoxia and sympathetic arousals, during sleep. Because polysomnography, the standard test for diagnosing OSA, is expensive and time-consuming, questionnaires have been developed to identify persons with OSA. The Berlin questionnaire (BQ) reliably identifies middle-aged and older persons in the community who are at high-risk for OSA. Studio retrospettivo su una popolazione italiana: OSA Non OSA Marginale BQ BQ=low risk BQ=high risk Marginale OSA

56 Esempio Obstructive sleep apnea (OSA) is a common condition in which there are intermittent partial (viz., hypopneas) and complete (viz., apnea) limitations in airflow, with associated hypoxia and sympathetic arousals, during sleep. Because polysomnography, the standard test for diagnosing OSA, is expensive and time-consuming, questionnaires have been developed to identify persons with OSA. The Berlin questionnaire (BQ) reliably identifies middle-aged and older persons in the community who are at high-risk for OSA. Studio retrospettivo su una popolazione italiana: OSA Non OSA Marginale BQ BQ=low risk BQ=high risk Marginale OSA = 0.044, = 0.83!

57 Esempio Obstructive sleep apnea (OSA) is a common condition in which there are intermittent partial (viz., hypopneas) and complete (viz., apnea) limitations in airflow, INDIPENDENZA with associated hypoxia and sympathetic arousals, during praticamente sleep. Because polysomnography, the standard test for diagnosing OSA, perfetta!!! is expensive and time-consuming, questionnaires have been developed to identify persons with OSA. The Berlin questionnaire (BQ) reliably identifies middle-aged and older persons in the community who are at high-risk for OSA. Studio retrospettivo su una popolazione italiana: OSA Non OSA Marginale BQ BQ=low risk 79 / / BQ=high risk 73 / / Marginale OSA = 0.044, = 0.83!

58 Test d indipendenza variabile esplicativa ordinale variabile dipendente ordinale OSA X1c Ind1 Ind1> Tot. % > Il test del tratta tutte le variabili come nominali e non permette di vedere trend. Si può fare un test basato su una correlazione tra gli scores dei dati: v. Agresti (p. 34). R-package coin

59 Digressione 7815 Packages cran.r-project.org/web/packages

60 Digressione manuale e, talvolta, tutorial

61 Digressione Install package(s) from local zip files 9 >library(nome package)

62 Digressione >install.packages( coin )

63 Digressione >install.packages( coin ) Una volta finito di lavorare, sgombriamo il tavolo si risparmia memoria e si evitano problemi con eventuali comandi con lo stesso nome >detach(package:coin)

64 Test di buon adattamento Esempio classico: il dado è equilibrato? Esito Fr = 120 F.r. oss. 20/120 30/120 20/120 25/120 15/120 10/120 LASCIARLO DI COMPITO A FAVORE DELL ESEMPIO SEGUENTE, POISSON.

65 Test di buon adattamento Esempio classico: il dado è equilibrato? Esito Fr = 120 F.r. oss. 20/120 30/120 20/120 25/120 15/120 10/120 F.r. att. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Fr. att =

66 Test di buon adattamento Esempio classico: il dado è equilibrato? Esito Fr = 120 F.r. oss. 20/120 30/120 20/120 25/120 15/120 10/120 F.r. att. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Fr. att = ( ).. ~ 1, > rifiutiamo l ipotesi che il dado sia equilibrato al livello del 5%

67 Test di buon adattamento Esempio classico: il dado è equilibrato? Esito Fr = 120 F.r. oss. 20/120 30/120 20/120 25/120 15/120 10/120 F.r. att. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Fr. att = ( ).. ~ 1, > rifiutiamo l ipotesi che il dado sia equilibrato al livello del 5% > chisq.test(c(20,30,20,25,15,10)) Chi-squared test for given probabilities data: c(20, 30, 20, 25, 15, 10) X-squared = 12.5, df = 5, p-value = Script4b.R

68 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > = = = 3.5

69 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > = = Script2.R QUANTO VALE? = 3.5

70 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > = = =

71 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > 0 = = = = 30 = = 2.2

72 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > 0 = = = = = 30 = = 2.2

73 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > 0 = = = = = 30 = Ci sono tutti i valori possibili 5,6,8,9, che non ho osservato! = 2.2

74 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > 0 = = = = = 30 = ( ),, ~ 1, = 2.2

75 Test di buon adattamento I dati seguono una distribuzione di Poisson? Ω {0,1,2, } = =!, > 0 = = = = = 30 = ( ),, ~ 1, = qchisq(0.95,4) Non possiamo rifiutare l ipotesi al livello del 5%, e la stima del parametro è 2.2

76 Dal nostro test

77 Dal nostro test