Complementi di analisi complessa

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1 Complementi di analisi complessa Integrali di Fresnel Proviamo che + + cos t 2 dt = lim R + sen t 2 dt = lim R + R R π cos t 2 dt = 2 2, sen t 2 dt = π 2 2. Lo facciamo integrando e z2 sul circuito γ in figura e sfruttando il fatto che R + ir γ 3 π/4 γ 2 γ R Figura : Circuito per calcolare gli integrali di Fresnel + Il circuito è la concatenazione di γ,γ 2,γ 3 con e t2 dt = π 2. γ (t) = t, γ 2 (t) = R + it, γ3 (t) = t + it, dove t [,R]. Essendo z e z2 una funzione intera, usando il teorema integrale di Cauchy si ottiene = e z2 dz = dz + dz e z2 dz, e quindi γ γ e z2 γ e z2 d = Calcolando esplicitamente gli integrali si ottiene γ e z2 dz = R e t2 dt γ 3 γ 2 e z2 γ 3 e z2 dz e z2 dz. γ 2

2 γ 2 e z2 γ 3 Si osservi ed essendo si ottiene che Allora e quindi + i 2 dz = i R e z2 dz = ( + i) γ 2 e z2 lim R + R e (R+it)2 dt = ie R2 e 2iRt e t2 dt R e (t+it)2 dt = ( + i) = + i 2R ( cos s 2 isen s 2) ds 2 R e 2it2 dt s= 2t = + i 2R 2 e is2 ds R dz = e R2 e 2iRt R e t2 dt e R2 e 2iRt R e t2 dt = e R 2 e t2 dt, lim R + e R2 2R R e t2 dt = lim R + R e R2 e t2 dt lim e z2 dz =. R + γ 2 ( cos s 2 isen s 2) ds ds = lim R + γ 3 (H) = lim R + 2R = e z2 dz = lim e z2 dz R + γ + cos s 2 ds i + sen s 2 ds = 2 + i lim R + R e t2 dt = 2 2 π ( i) 2, da cui + cos s 2 ds = come si voleva. Serie di potenze + sen s 2 ds = π 2 2, Data una successione {c n } n N di numeri complessi, diciamo serie di potenze associata a {c n } n N e centro z la serie c n (z z ) n, () n= dove z C è fissato. È evidente che studiare l insieme dei numeri complessi z per cui () converge equivale a studiare l insieme dei numeri complessi z per cui converge n= c n z n. (2) 2

3 Infatti, () converge per z = ω se e solo se (2) converge per z = ω z. Il lemma che segue ci aiuta a capire come è fatto l insieme dove (2) (e quindi ()) converge. Lemma (di Abel) Siano {c n } n N successione di numeri complessi e ω C tale che {c n ω n } n N sia limitata. Allora la serie di potenze (2) associata alla successione {c n } n N converge assolutamente per z < ω. Dim. Sia M > tale che c n ω n M per ogni n N. Fissato z C tale che z < ω, si osservi che c n z n = c n ω n z n M z n n N. ω ω Poiché la serie di termine generale z/ω n converge essendo una serie geometrica di ragione z/ω <, per il criterio del confronto anche la serie di termine generale c n z n converge, come si voleva. Il lemma appena dimostrato dice in pratica che se (2) converge per qualche ω (e quindi la serie (2) con z = ω ha termine generale c n ω n infinitesimo), allora converge assolutamente per tutti i numeri complessi nella palla di centro z = e raggio ω. Questo ci permette di definire il raggio di convergenza di (2) come R = sup { z : a n z n converge }. (3) Se R > e z < R allora la serie (2) converge assolutamente, perché, grazie alle proprietà dell estremo superiore, esiste ω C con z < ω < R per cui n= c n ω n converge, e quindi {c n ω n } n N è limitata, da cui la conclusione grazie al lemma di Abel. Allora, una volta calcolato il raggio di convergenza R, la serie di potenze (2) converge (assolutamente) in B R (), non converge per z > R, mentre nulla si può dire se z = R. Studiando la convergenza della serie cn z n con il criterio della radice o del rapporto, è facile vedere che se esiste uno dei due limiti n= n L = lim cn, n + c n+ L = lim, n + c n allora il raggio di convergenza della serie di potenze associata a {c n } n N è /L se L R, L, R = + se L =, se L = +. Esempio Calcoliamo il raggio di convergenza della serie di potenze n= ( ) n 2n n4 n zn. 3

4 Si ottiene ( ) n+ (2 n+ )/[(n + )4 n+ ] ( n L = lim n + ( ) n (2 n )/(n4 n ) = lim n + n + 2n+ 2 n ) = 4 2, e quindi il raggio di convergenza è R = /L = 2. Conseguenze del teorema di analiticità delle funzioni olomorfe Diamo la seguente Definizione Sia A C aperto. f : A C si dice analitica in A se per ogni z A e per ogni B r (z ) A si ha n= f (n) (z ) (z z ) n z B r (z ). n! In pratica, f è analitica se per ogni z A f è sviluppabile in serie di potenze in ogni intorno di z contenuto in A. In particolare, la serie di Taylor di f di centro z converge in ogni palla di centro z contenuta in A. Il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe afferma che una funzione olomorfa in un aperto A è necessariamente analitica. Poiché le funzioni analitiche sono olomorfe, questo implica che le funzioni analitiche in un aperto A sono tutte e sole le funzioni olomorfe in A. Il teorema che segue, che è conseguenza di questo fatto, caratterizza le funzioni intere (cioè olomorfe su tutto C) e limitate. Teorema (di Liouville) Sia f H(C) limitata. Allora f è costante. Dim. Sia f(z) M per ogni z C. Poiché f è intera vale n= c n z n z C dove Osservato che C R () f(ζ) ζ c n = f(ζ) dζ R >, n N. 2πi C R () ζn+ n+ dζ M R n+2πr = 2π M per R +,n, Rn si ottiene c n = per ogni n, da cui la conclusione che f() per ogni z C. In pratica il teorema di Liouville afferma che non esistono funzioni intere limitate non banali. Usando il teorema di Liouville si dimostra il Corollario (Teorema fondamentale dell algebra) Ogni polinomio a coefficienti complessi non costante ha almeno uno zero in C. 4

5 Dim. Sia p = a + a z + + a n z n polinomio a coefficienti a i complessi non costante. Se fosse privo di zeri, /p sarebbe una funzione intera e limitata perché ( p(z) = z n a z n + a ) z n + + a n per z, e quindi /p(z) per z. Per il teorema di Liouville /p (e quindi p) sarebbe costante, contro l ipotesi. Singolarità isolate La proposizione che segue permette di classificare le singolarità isolate di una funzione senza dover passare attraverso il suo sviluppo di Laurent. Proposizione Sia z singolarità isolata per f.. z è singolarità eliminabile se e solo e il lim z z f(z) esiste finito. 2. z è polo di ordine m se e solo se lim z z (z z ) m f(z) esiste finito e non nullo. In particolare, z è polo se e solo se lim z z. 3. z è singolarità essenziale se e solo se lim z z f(z) non esiste. Dim.. Sia z singolarità eliminabile. Allora in un intorno B r (z ) di z f coincide con una funzione ϕ H(B r (z )) perché la sua serie di Laurent di centro z non contiene termini con potenze negative di z z. Allora lim lim ϕ(z) = ϕ(z ), z z z z da cui la conclusione. Viceversa, supponiamo che f abbia limite finito in z, cosicché risulta limitata in un intorno di z. Allora, f(z) M per ogni z B r (z ) per qualche r,m >. Se n e < ρ < r, si ha c n = 2π C ρ(z ) f(s) (s z ) n ds M 2π ρn (2πρ) = Mρ n per ρ, sup f(s)(s z ) n L(Cρ (z )) 2π s sostegno C ρ(z ) e quindi nello sviluppo di Laurent di f di centro z i coefficienti di Laurent c n con n sono tutti nulli. Si conclude allora che z è singolarità eliminabile. 2. Sia z polo di ordine m. Allora lo sviluppo di Laurent di f si scrive c m (z z o ) m + c m+ (z z o ) m + + c z z + ϕ(z), (4) 5

6 dove ϕ(z) = k= c k (z z ) k è olomorfa in un intorno di z e c m. Ne consegue che lim (z z ) m [ lim c m + c m+ (z z ) + + c (z z ) m + (z z ) m ϕ(z) ] z z z z = c m, da cui la conclusione. Supponiamo ora che lim z z (z z ) m f(z) esista finito e non nullo. Allora la funzione ψ(z) = (z z ) m f(z) ha una singolarità eliminabile in z, grazie al punto, e quindi il suo sviluppo di Laurent di centro z non contiene potenze negative di z z, dove ψ(z) = (z z ) m n= d n (z z ) n, d = lim z z ψ(z) = lim z z (z z ) m f(z). Allora lo sviluppo di Laurent di f di centro z è ψ(z) + (z z ) m = d n (z z ) n m = n= d (z z ) m + d (z z ) m + + d m + d m+k (z z ) k, z z e quindi z è polo di ordine m, come si voleva. Il fatto che z sia polo per f se e solo se lim si deduce immediatamente riscrivendo ψ(z)/(z z ) m e sfruttando il z z fatto che ψ(z ). 3. Una volta osservato che z è singolarità essenziale se e solo se non è eliminabile né polo, la conclusione segue dai punti e 2. k= Residui Ricordiamo la definizione di residuo di una funzione di variabile complessa in una sua singolarità. Definizione 2 (di residuo) Sia z singolarità isolata per la funzione di variabile complessa f. Si dice residuo di f in z, res(f,z ), il coefficiente di (z z ) nello sviluppo di Laurent di f di centro z, cioè res(f,z ) = c = f(s)ds, dove γ è un qualsiasi circuito (curva chiusa semplice) regolare a tratti contenente z al suo interno. 6 γ

7 Esempio 2 Calcoliamo Poiché ( z 2 ) res (z i) 2,i. z 2 = (z i + i) 2 = + 2i(z i) + (z i) 2,, lo sviluppo di Laurent di z z 2 /(z i) 2 di centro z = i si scrive z 2 + 2i(z i) + (z i)2 = (z i) 2 (z i) 2 = (z i) 2 + 2i z i +, e quindi il residuo cercato vale 2i. Si noti che in questo caso lo sviluppo di Laurent è costituito da un numero finito di termini. In particolare, la parte regolare dello sviluppo (quella costituita dalle potenze non negative di z i) è, mentre la parte singolare (costituita dalle potenze negative di z i) è /(z i) 2 + 2i/(z i). Esempio 3 Calcoliamo res(senh(/z), ). La funzione z senh(/z) ha una singolarità essenziale in z =, perché, considerando la sua restrizione all asse immaginario, si ha [ ] lim senh(/iy) = lim isen(/y) y y e tale limite non esiste. Il suo sviluppo di Laurent si ricava da quello della funzione seno iperbolico e si scrive senh(/z) = (2n + )! z 2n+ = z + 3! z 3 + 5! z 5 + n= ed ha quindi solo parte singolare perché compaiono solo potenze negative di z. Il fatto che ci siano infiniti termini con potenze negative di z conferma che z = è singolarità essenziale. Poiché il coefficiente di z è, questo è il valore del residuo cercato. Osservazione Si osservi che se f ha una singolarità eliminabile in z, allora res(f,z ) =. Infatti, lo sviluppo di Laurent di f di centro z non contiene potenze negative. Ad esempio, se consideriamo (cos z )/z 2, la singolarità in z = è eliminabile perché z 2 /2 + o(z 2 ) PdS lim lim z z z 2 = 2. Lo sviluppo di Laurent di f di centro z = si deduce da quello di z cos z e si scrive z 2 + n= ( ) n z2n e non contiene potenze negative di z. (2n)! = + n= ( ) n z2n 2 (2n)! k=n = k= z 2k ( ) k+ (2k + 2)!, 7

8 Il teorema che segue permette di calcolare il residuo di una funzione in un polo senza passare attraverso lo sviluppo di Laurent. Proposizione 2 Sia z polo di ordine m per f. Allora res(f,z ) = (m )! lim d m [ (z z z z dz m ) m f(z) ]. (5) In particolare, se f = g/h con g e h olomorfe in un intorno di z con h(z ) = e h (z ), si ha res(f,z ) = g(z ) h (z ). (6) Dim. Poiché f ha un polo di ordine m in z, il suo sviluppo di Laurent di centro z si scrive come in (4) c m (z z o ) m + c m+ (z z o ) m + + c + ϕ(z), z z con ϕ funzione olomorfa in un intorno di z e c m. Allora e quindi (z z ) m c m + c m+ (z z ) + + c (z z ) m + (z z ) m ϕ(z), d [ (z z ) m f(z) ] = c m+ + 2(z z )c m c (m )(z z ) m 2 + dz + m(z z ) m ϕ(z) + (z z ) m ϕ (z) d 2 dz 2 [ (z z ) m f(z) ] = 2c m+2 + 6c m+3 (z z ) c (m )(m 2)(z z ) m 3 + m(m )(z z ) m 2 ϕ(z)+ + 2m(z z ) m ϕ (z) + (z z ) m ϕ (z) d m dz m [ (z z ) m f(z) ] = (m )!c + m dove si è sfruttata la formula di Leibniz. Poiché si ha k= ( ) m d k k dz k (z z ) m dm k ϕ(z), dzm k d k dz k (z z ) m z=z = k =,...,m, d m [ lim (z z z z dz m ) m f(z) ] = (m )!c, da cui si deduce (5). La formula (6) è una semplice applicazione di (5) nel caso di poli semplici. In soldoni, per calcolare il residuo di una funzione in una sua singolarità isolata si procede in questo modo: 8

9 - se la singolarità è eliminabile, il residuo è nullo (osservazione ); - se la singolarità è un polo, si usa la proposizione 2; - se la singolarità è essenziale bisogna necessariamente passare attraverso lo sviluppo di Laurent della funzione centrato nella singolarità. Esempio 4 Calcoliamo i residui di e /(z 2) /(3 z) nelle sue singolarità. Queste sono z = 3, che si verifica facilmente essere un polo del primo ordine, e z = 2, che si verifica essere una singolarità essenziale perché, restringendosi all asse reale, e /(x 2) lim x 2 3 x =, lim x 2 + e /(x 2) 3 x = +, e quindi non esiste il limite di f per z 2. Il residuo in z = 3 si calcola facilmente res(f,3) = lim z 3 (z 3) lim z 3 e /(x 2) = e. Per il residuo nella singolarità essenziale bisogna passare attraverso lo sviluppo di Laurent di centro z = 2. Poiché 3 z = + (z 2) = (z 2) k, per z 2 <, si ha e /(z 2) 3 z = = p= n= k= ( + ) p! (z 2) p (z 2) k = ( k p=n k,p k= ) (z 2) n. p! p,k= (z 2)k p p! Allora res(f,2) = c = k p= k,p p! = p=k+ k,p + p! = k= (k + )! = e. Esempio 5 Calcoliamo ( (e iz ) 2 ) res ( cos z) 2,. Osserviamo che z = è un polo del secondo ordine. Infatti, poiché si ha e iz = + iz z2 2 + o(z2 ), cos z = z2 2 + o(z3 ), (7) [ z(e iz ] 2 [ ] ) z(iz + o(z)) 2 [ ] PdS iz 2 2 lim z z2 lim = lim z cos z z z 2 /2 + o(z 2 = lim ) z z 2 = 4. /2 9

10 Per calcolare il residuo usiamo (5): d [z 2 (eiz ) 2 ] dz ( cos z) 2 = 2 z(eiz ) cos z d dz Poiché sen z = z + o(z 2 ) e sfruttando (7) si ottiene [ z(e iz ) ] cos z = 2 z(eiz ) cos z (eiz + ize iz )( cos z) z sen z(e iz ) ( cos z) 2. ( (e iz ) 2 ) d [ res ( cos z) 2, = lim z 2 f(z) ] = lim 2 iz2 + o(z 2 ) z dz z z 2 /2 + o(z 2 ) [ 2iz 3z 2 /2 + o(z 2 ) ][ z 2 /2 + o(z 3 ) ] z(z + o(z 2 )) ( iz z 2 /2 + o(z 2 ) ) Il teorema dei residui Diamo la seguente definizione PdS = lim 2 iz2 z z 2 /2 z4 /2 z 4 /4 = 8i. z 4 /4 + o(z 4 ) Definizione 3 (indice di avvolgimento) Data una curva chiusa γ regolare a tratti ed un punto z C non appartenente al sostegno di γ, si dice indice (di avvolgimento) di γ attorno a z (o rispetto a z ) la quantità ind(γ,z ) =. 2πi γ z z dz. (8) Si dimostra che l indice di avvolgimento di una curva chiusa attorno ad un punto è sempre un numero intero. Esso rappresenta il numero di volte che la curva gira attorno al punto, contate positivamente se gira in senso antiorario, negativamente se gira in senso orario. È possibile calcolare l indice di una curva chiusa in modo empirico. Consideriamo la curva γ in figura 2 (in rosso) che consideriamo percorsa una volta nel senso delle frecce nere. Fissato un punto z, consideriamo una semiretta uscente da z che non intersechi γ in alcun nodo (in blu in figura), orientata nel verso della freccia blu. Ad ogni intersezione con il sostegno di γ contiamo (in blue in figura) + ogni qual volta il versore della semiretta e quello tangente alla curva formano una base di R 2 con la stessa orientazione della base canonica, cioè si vede il versore della semiretta girare in senso antiorario per sovrapporsi al versore tangente spazzando l angolo più piccolo; ogni qual volta il versore della semiretta e quello tangente alla curva formano una base di R 2 con orientazione opposta a quella della base canonica, cioè si vede il versore della semiretta girare in senso orario per sovrapporsi al versore tangente spazzando l angolo più piccolo. La somma dei termini così ottenuti dá l indice di γ attorno a z, e quindi se z e z sono come in figura si ha ind(γ,z ) =, ind(γ,z ) =.

11 γ z + + z + Figura 2: Come calcolare l indice di una curva in un punto In figura sono riportati in rosso gli indici di γ in alcune delle regioni del piano che essa borda. Nel caso in cui γ sia percorsa k 2 volte, invece di contare + e come sopra riportato, si conta +k e k. Adesso abbiamo gli elementi per enunciare il Teorema 2 (dei residui) Siano A C aperto, z,...,z n A, f H(A \ {z,...,z n }. Sia γ curva chiusa regolare a tratti con sostegno contenuto in A \ {z,...,z n }, omotopa ad un punto in A. Allora n f(z)dz = 2πi res(f,z k )ind(γ,z k ). γ k= Si osservi che nel caso si consideri un circuito (curva chiusa semplice) γ regolare a tratti percorso in senso antiorario, fissato un punto z non appartenente al sostegno di γ si ha { se z appartiene all interno di γ, ind(γ,z) = se z non appartiene all interno di γ. Allora in tal caso il teorema dei residui si scrive γ f(z)dz = 2πi p res(f,ω k ), dove ω,...,ω p sono le singolarità di f che appartengono all interno di γ. Facciamo un paio di esempi per chiarire. k=

12 Esempio 6 Calcoliamo C 2 (i) z 4 2z 2 8 dz, dove C 2 (i) è la circonferenza di centro i e raggio 2 percorsa una volta in senso antiorario. Riscriviamo la funzione integranda come z 4 2z 2 8 = (z 2 + 2)(z 2 4). Le sue singolarità sono z = ±i 2 e z = ±2, e sono tutti poli semplici. L unica che appartiene all interno di C 2 (i) è i 2. Il residuo di f in questo punto è e quindi l integrale è res(f,i 2) = Esempio 7 Calcoliamo C 2 (i) D(z 4 2z 2 8) z=i 2 = 4(i 2) 3 4i 2 = i 2 2, z 4 2z 2 8 dz = 2πires(f,i 2) = πi 6 2. C 3 () 2z + z(z + ) dz, dove C 3 () è la circonferenza di centro e raggio 3 percorsa una volta in senso antiorario. Le singolarità della funzione integranda f sono z = e z = e sono entrambe poli del primo ordine. Entrambe cadono all interno di C 3 (). Poiché res(f,) = lim z z, res(f, ) = lim (z + ), z dal teorema dei residui si ottiene 2z + z(z + ) dz = 2πi[ res(f,) + res(f, ) ] = 4πi. Esempio 8 Calcoliamo C 3 () C 2 () sen(/z) z dz, dove C 2 () è la circonferenza di centro e raggio 2 percorsa una volta in senso antiorario. Denotiamo con f la funzione integranda. Le sue singolarità sono z = e z = e cadono entrambe all interno di C 2 (). Poiché lim(z ) sen, z z = è un polo del primo ordine e res(f,) = sen. Per quanto riguarda il residuo in z =, si osservi che essa è una singolarità essenziale perché considerando la restrizione di f all asse reale si dimostra facilmente che essa non ha limite per z. Calcoliamo lo sviluppo di Laurent di f di centro z =. Poiché senh(/z) = k= ( ) k (2k + )! z 2k+, + z = z l, 2 l=

13 si ottiene Se ne deduce che res(f,) = l,k l 2k = l,k ( ) k (2k + )! zl 2k = ( ) k (2k + )! = l=2k l,k n= ( l 2k =n l,k ( ) k + (2k + )! = Con il teorema dei residui si ottiene sen(/z) z dz = 2πi[ res(f,) + res(f,) ] =. C 2 () Ordini di una funzione k= ) ( ) k z n. (2k + )! ( ) k = sen. (2k + )! Sia f una funzione olomorfa in un aperto A C e sia z A zero di f, f(z ) =. Supponiamo che f non sia identicamente nulla in un intorno di z. Poiché n= f (n) (z ) (z z ) n z B r (z ), r >, n! esiste m tale che f (j) (z ) = per ogni j =,...,m e f (m) (z ), cioè la prima derivata non nulla di f in z è quella di ordine m. Infatti, se tutte le derivate di f in z fossero nulle, f sarebbe identicamente nulla in B r (z ), contro l ipotesi. Allora se z B r (z ) possiamo scrivere dove n=m f (n) (z ) + (z z ) n = (z z ) m n! n=m k=n m = (z z ) m + k= Q(z) = f (n) (z ) (z z ) n m n! f (m+k) (z ) (z z ) k = (z z ) m Q(z), (m + k)! k= f (m+k) (z ) (z z ) k (m + k)! è una funzione olomorfa in B r (z ) tale che Q(z ) = f (m) (z )/m!. In tal caso, cioè se f si fattorizza come (z z ) m Q(z) in un intorno B r (z ) di z, dove m e Q H(B r (z )) con Q(z ), allora z si dice zero di molteplicità m per f. Per quanto esposto sopra, uno zero isolato di una funzione olomorfa ha sempre una molteplicità non nulla. Esempio 9 La funzione z sen z ha in z = uno zero di molteplicità. Infatti, dallo sviluppo di Taylor della funzione seno in z = si deduce che sen z = z sen z z = z n= z 2n ( ) n (2n + )! = zq (z), 3

14 dove Q (z) = n= z 2n ( ) n (2n + )! è olomorfa in C (è somma di una serie di potenze con raggio di convergenza pari a quello della serie di sen z, e quindi infinito) e Q () =. Analogamente si dimostra che la funzione z cos z ha in z = uno zero di molteplicità 2. Infatti, sfruttando lo sviluppo di Taylor in z = della funzione coseno si ottiene dove cos z = ( ) n z2n n= (2n)! = z2 ( ) nz2n 2 k=n n= Q 2 (z) = k= (2n)! + = z 2 ( ) k+ z 2k (2k + 2)! = z2 Q 2 (z), z 2k k= ( ) k+ (2k + 2)! è funzione intera per motivi analoghi a quelli per cui lo è Q. Inoltre, Q 2 () = /2. Un procedimento analogo di fattorizzazione di una funzione si può introdurre nel caso di un polo. Infatti, se z è polo di ordine m per una funzione f, allora lo sviluppo di Laurent di f di centro z si scrive come in (4) con ϕ funzione olomorfa in un opportuno intorno B r (z ) di z e c m. Da (4) deduciamo che dove = (z z ) m [c m + c m+ (z z ) + c (z z ) m + (z z ) m ϕ(z) ] (z z ) m P(z), P(z) = c m + c m+ (z z ) + c (z z ) m + (z z ) m ϕ(z) è olomorfa in B r (z ) e P(z ) = c m. Esempio Consideriamo la funzione Poiché ei(z ) (z ) 4. lim (z e i(z ) z )3 lim = i, z z z = è polo del terzo ordine per f. Si noti che sfruttando lo sviluppo di Taylor dell esponenziale di ottiene (z ) 4 (e i(z ) ) = k=n = (z ) 3 k= i n (z ) 4 n! (z )n = n= i k+ (k + )! (z )k = 4 (z ) 3P(z), (z ) 3 n= i n (z )n n!

15 dove P(z) = k= i k+ (z )k (k + )! è funzione intera perché somma di una serie di potenze con raggio di convergenza infinito, ed inoltre P() = i. Per gli zeri isolati ed i poli di una funzione si dá la seguente Definizione 4 Sia z zero di molteplicità m o polo di ordine m per una funzione di variabile complessa f, m. Allora si definisce l ordine di f in z come ord(f,z ) = { m se z è zero di molteplicità m per f, m se z è polo di ordine m per f. Ad esempio, poiché per come abbiamo visto z = è zero di molteplicità 2 per z cos z, e z = è polo di ordine 3 per z (e i(z ) )/(z ) 4, si ha ord(cos z,) = 2, Teorema dell indicatore logaritmico ( e iz ) ord (z ) 4, = 3. Siano A C aperto, f : A C olomorfa, γ : [a, b] A curva chiusa regolare a tratti con sostegno in A non passante per alcun zero di f (f(γ(t)) per ogni t [a,b]). Allora f γ è una curva in C non passante per zero ed è quindi possibile calcolarne l indice di avvolgimento attorno a zero: si ottiene ind(f γ,) = 2πi f γ s ds = b 2πi a f(γ(t)) f (γ(t))γ (t)dt = f (s) 2πi γ f(s) ds, che dice quante volte la curva f γ gira attorno a z =. Il teorema dell indicatore logaritmico si propone di dare una formula per calcolare ind(f γ,) applicando il teorema dei residui per il calcolo dell integrale di f /f lungo γ. Nel seguito, data una funzione f meromorfa in un aperto A di C, indichiamo con Z(f) l insieme degli zeri di f in A e con P(f) l insieme dei poli di f in A, Z(f) = { a A : f(a) = }, P(f) = { a A : a è polo per f }. Teorema 3 (dell indicatore logaritmico o principio dell argomento) Siano A C aperto e f funzione meromorfa in A con un numero finito di zeri. Sia γ curva chiusa regolare a tratti in A il cui sostegno non contiene poli o zeri di f, omotopa ad un punto in A. Allora ind(f γ,) = 2πi γ f (s) f(s) ds = a Z(f) P(f) ord(f,a)ind(γ,a). Una funzione f si dice meromorfa in un aperto A di C se f è olomorfa in A tranne al più che in un numero finito di singolarità e queste sono tutte poli. 5

16 Dim. Si osservi che le singolarità di f /f sono gli zeri e le singolarità di f. Poiché il sostegno di γ non contiene zeri e poli di f, siamo nelle condizioni di applicare il teorema dei residui, cosicché f (s) 2πi f(s) ds = res(f /f,a)ind(γ,a). γ a Z(f) P(f) Calcoliamo i residui di f /f. Sia a zero di molteplicità m per f. Allora (z a) m Q(z) con Q olomorfa in un intorno di a e tale che Q(a), e quindi Allora si ottiene f (z) = m(z a) m Q(z) + (z a) m Q (z) = f (z) [ ] lim (z (z) z a a)f lim m + (z a) Q (z) = m, z a Q(z) m z a + Q (z) Q(z). e quindi z = a è polo di ordine per f /f e res(f /f,a) = m = ord(f,a). Sia ora a polo di ordine m per f, cosicché P(z)/(z a) m con P olomorfa in un intorno di a e tale che P(a). Procedendo come sopra si ottiene Allora f m (z) = (z a) m+p(z) + P (z) (z a) m = f (z) m z a + P (z) P(z). [ lim (z (z) z a a)f lim m + (z a) P ] (z) = m, z a P(z) e di nuovo z = a è polo di ordine per f /f e res(f /f,a) = m = ord(f,a). Se ne deduce che f (s) 2πi f(s) ds = res(f /f,a)ind(γ,a) = ord(f,a)ind(γ,a), γ come si voleva. a Z(f) P(f) a Z(f) P(f) Se la curva γ che compare nel teorema dell indicatore logaritmico è un circuito con interno U, allora gli unici punti con indice di avvolgimento non nullo sono quelli appartenenti ad U, che hanno indice, come già abbiamo osservato. Allora il teorema implica che ind(f γ,) = { numero degli zeri di f in U } { numero dei poli di f in U }, dove gli zeri sono contati con la loro molteplicità e i poli con il loro ordine. Esercizi. Si classifichino le singolarità delle seguenti funzioni di variabile complessa f (z) = cos z z 3 (z 2π), f 2(z) = f 4 (z) = e/z (2πiz ) 3, f 5(z) = senh(/z), f 3(z) = cosh z z 4 (z 2πi) 2, z (z 2 + z + ) 2 (z 4 6) 3, f 6(z) = 6 e iπz + (z 3 )(z 2 + ).

17 2. Si calcolino i residui delle seguenti funzioni di variabile complessa nelle loro singolarità e iz f (z) = (z 2 2z + 2) 2, f 2(z) = z 2π cos(z 2 ), f 3(z) = cosh(/z), z f 4 (z) = senh cos(z + i) z z 4, f 5 (z) = e2iz z 2 (z 2 + ) 2, f 6(z) = (z 2) 2e ( z) Si scriva una funzione f di variabile complessa olomorfa in C\{, 4i, 4} che abbia una singolarità essenziale in z = 4i, un polo del primo ordine in z =, un polo del secondo ordine in z = 4, e che soddisfi f(z) dz = 5πi, C 5 () dove C 5 () è la circonferenza di centro l origine e raggio 5 percorsa una volta in senso antiorario. Si calcoli poi il seguente integrale C 3 () ( cos(πz) ) 2f(z) (z 2) 4 dz. (È possibile prendere visione della soluzione alla pagina web marson/didattica/aa78/corapp3.pdf) 4. Sia m Z e si ponga Si classifichino le singolarità di f m e si calcoli f m (z) = ez (z 2πi) m,. C 3π () f m (z) dz al variare di m Z, dove C 3π () indica la circonferenza centrata nell origine e raggio 3π percorsa una volta in senso antiorario. (È possibile prendere visione della soluzione alla pagina web marson/didattica/aa78/corapp5.pdf) 5. Siano c C, c, e e/z z + cz sen(πz).. Si classifichino le singolarità di f al variare di c C, c. 2. Si determini c in modo che C (/2) f(z)dz =, dove C (/2) è la circonferenza di centro /2 e raggio percorsa una volta in senso antiorario. 7

18 (È possibile prendere visione della soluzione alla pagina web marson/didattica/aa89/corapp.pdf) 6. Sia f funzione olomorfa in C tranne che in un numero finito di singolarità z,...,z n. Dimostrare che se lim z, allora n z i= res(f,z i) =. (È possibile prendere visione della soluzione alla pagina web marson/didattica/aa89/corapp2.pdf) 7. Sia data la funzione di variabile complessa dove a C è un parametro. e z (z 2 + 4) 2 + a ez sen(πz/2) + z cosh z,. Classificare le singolarità di f al variare di a C. 2. Determinare a in modo che γ f(z) dz =, dove γ è il rettangolo di vertici 3 i, 3 + 3i, + 3i, i percorso una volta in senso antiorario. (È possibile prendere visione della soluzione alla pagina web marson/didattica/aa89/corapp4.pdf) 8