Equazione vettoriale del piano
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- Cristiano Riccardi
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1 Corso di Larea in Disegno Indsriale Corso di Meodi Nmerici per il Design 9 Marzo Piani e posizioni reciproche ree e piani F. Caliò Eqazione eoriale del piano Pagina
2 Osserazione (/) z P s r x n piano si pò pensare come insieme di pni appareneni a parallele ad na rea daa s, condoe araerso i pni di na rea r incidene la rea daa y Osserazione (/) z P (x, y,z ) s P(x, y,z) () () () r x y Al ariare dei de parameri e in R il pno rappresenaore del eore somma () descrie n piano passane per le de ree r e s incideni in P 4 Pagina
3 Pagina 5 Piano in forma eoriale Un qalnqe pno P rappresenaore di n eore algebrico p R R z y x p appariene al piano indiidao dalle de ree incideni in P (x,y,z ) R z y x r R z y x s 6 Veori di giacira R R z y x p esso passa per il pno P (x, y, z ) e ad esso apparengono le ree incideni in P ed aeni eori di direzione, che si dicono eori di giacira del piano Dao il piano Un eqazione eoriale di n piano è dnqe deerminabile araerso le coordinae di n pno e de direzioni (eori di giacira)
4 Esercizio: eqazione di n piano dao n pno e de direzioni Indiidare n eqazione eoriale del piano passane per O e aene eori di giacira, Una eqazione eoriale del piano è p R, R 7 Esercizio: eqazione eoriale di xy Si possono assmere come eori di giacira del piano coordinao xy i eori direzione dell asse x e dell asse y aeni come eqazioni eoriali, ad esempio: x R, y Dnqe n eqazione eoriale di xy è: R p R, R 8 Pagina 4
5 Esercizio: piano per de ree Deerminare na eqazione eoriale del piano passane per le de ree r ( r ) R Le de ree sono incideni nel pno P (,,) (dnqe deerminano n piano); i loro eori di direzione possono essere considerai come eori di giacira del piano. Una eqazione eoriale del piano è: p, 9 Esercizio: piano per re pni Deerminare na eqazione eoriale del piano passane per i re pni P(,,), Q(-,,), R(,-,-) Una eqazione eoriale della r rea da Q a P: Una eqazione eoriale della rea da Q a R: r ( ) R Le de ree non sono parallele ed hanno in comne il pno Q(-,,) (dnqe i re pni P,Q,R non sono allineai), i loro eori di direzione possono essere considerai come eori di giacira del piano. (conina) Pagina 5
6 (coninazione esercizio) Una eqazione eoriale del piano è: p, i ci eori di giacira sono: passa per il pno Q(-,,) passa per il pno S(,,), Perpendicolarià fra Rea e Piano na rea si dice perpendicolare a n piano qando è perpendicolare a e le ree del piano Pagina 6
7 Perpendicolarià: Condizione necessaria e sfficiene Una rea è perpendicolare ad n piano se e solo se è perpendicolare ad almeno de ree del piano disine e non parallele fra loro Necessaria: SE na rea è perpendicolare ad n piano ALLORA è perpendicolare a de eori di giacira del piano. Sfficiene: perché na rea sia perpendicolare ad n piano dao BASTA CHE sia perpendicolare a de eori di giacira del piano. Condizione necessaria (na rea è perpendicolare ad n piano se è perpendicolare a de eori di giacira del piano). Verifica: na rea DATA è perpendicolare ad n piano DATO se risla perpendicolare a de eori di giacira del piano. 4 Pagina 7
8 Condizione sfficiene (se na rea è perpendicolare a de eori di giacira del piano allora è perpendicolare al piano ). Cosrzione: DATO n piano, per cosrire na rea perpendicolare al piano si deermina na rea di direzione perpendicolare a de eori di giacira del piano. 5 Problemi slla perpendicolarià fra rea e piano Siano p () n piano e rw () w na rea Verifica di perpendicolarià: dee rislare: w e w Cosrzione della direzione perpendicolare al piano: si cosrisce w proporzionale a Λ 6 Pagina 8
9 Perpendicolarià rea-piano: Esercizio di erifica Verificare che la rea " r " è perpendicolare al piano " p, Infai il eore di direzione della rea r: ha prodoo scalare nllo con i de eori di giacira del piano, 7 Perpendicolarià rea-piano: Esercizio di cosrzione Dao il piano 5 p, indiidarne la direzione perpendicolare. La direzione perpendicolare al piano è la direzione del prodoo eore dei eori di giacira del piano: Pagina 9
10 Parallelismo fra Rea e Piano na rea e n piano si dicono paralleli qando non hanno pni in comne 9 Parallelismo: Condizione necessaria e sfficiene Una rea è parallela ad n piano se e solo se non appariene al piano ed è orogonale alla direzione perpendicolare al piano Necessaria: SE na rea è parallela ad n piano ALLORA è orogonale alla direzione perpendicolare al piano e non i appariene. Sfficiene: perché na rea sia parallela ad n piano dao BASTA CHE non apparenga al piano e sia orogonale alla direzione perpendicolare al piano. Pagina
11 Condizione necessaria (na rea è parallela a n piano se è orogonale alla direzione perpendicolare al piano) Verifica: na rea DATA è parallela a n piano DATO se risla orogonale al prodoo eore di de eori di giacira del piano e non ha pni comni con il piano. Condizione sfficiene (se na rea è orogonale alla direzione perpendicolare al piano, allora è parallela al piano) Cosrzione: DATO n piano, per cosrire na rea parallela al piano si deermina la direzione perpendicolare al piano, qindi si considera na generica rea orogonale a ale direzione. Pagina
12 Problemi sl parallelismo fra rea e piano Siano p () n piano e rw () w na rea Verifica di parallelismo: dee rislare: w (Λ) Cosrzione di na parallela al piano: si cosrisce w proporzionale a (oppre a ) Parallelismo rea-piano: Esercizio di erifica " Verificare che la rea r " " è parallela al piano p, Veore di direzione della rea: eori di giacira del piano:, (conina) 4 Pagina
13 (coninazione esercizio) direzione perpendicolare al piano: I de eori: (direzione rea) 5 5 (perpendicolare al piano) sono orogonali perché il loro prodoo scalare è nllo: 5 Qindi la rea è parallela al piano oppre appariene al piano 5 Parallelismo rea-piano: Esercizio di cosrzione Deerminare na rea passane per P(,-4,) e parallela al piano p, " r 4 " " " Infai il eore di direzione della rea: passa per P ed è parallela al piano coincide con n eore di giacira del piano. 6 Pagina
14 Inersezione fra Rea e Piano 7 Pni comni rea-piano Esisono re sole possibilià. Una rea ha in comne con n piano: nessn pno: rea e piano sono paralleli de pni (i): la rea appariene al piano n solo pno: la rea è incidene il piano 8 Pagina 4
15 Primo Esercizio sll inersezione rea-piano: Dai: la rea e il piano " r " p ", sabilire la loro posizione reciproca R, R, R (conina) 9 (coninazione esercizio) L nica solzione è daa da qesa erna di alori: 5 Il piano e la rea dai hanno in comne il solo pno P( -5,-,-) Qindi la rea e il piano sono incideni Pagina 5
16 Secondo Esercizio sll inersezione rea-piano: Dai: la rea e il piano " r " " p, sabilire la loro posizione reciproca R, R, R (conina) (coninazione esercizio) Esise n infinià di solzioni, che deono soddisfare alle segeni condizioni: Il piano e la rea dai hanno infinii pni comni Qindi la rea appariene al piano Pagina 6
17 Terzo esercizio sll inersezione rea-piano: Dai: la rea e il piano " r " p ", sabilire la loro posizione reciproca R, R, R (conina) (coninazione esercizio) Non esise nessna solzione, che soddisfi alle segeni condizioni: Il piano e la rea non hanno pni comni Qindi la rea è parallela al piano 4 Pagina 7
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