E-BOOK01 INVALSI Matematica

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1 Sommario

2 E-book01 Preparazione alle prove INVALSI dell anno scolastico Le domande presenti in questo e-book sono prodotte e distribuite dall Istituto Nazionale per la Valutazione del Sistema Educativo di Istruzione e Formazione (INVALSI). Skill On Line srl ne ha curato la raccolta ed il commento. Sommario

3 Relazioni e funzioni Prova anno scolastico D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D Sommario

4 Prova anno scolastico Prova anno scolastico

5 Numeri D1 D1. Le potenze ( ) hanno lo stesso valore? A. No, la prima vale e la seconda B. No, la prima vale e la seconda C. Sì, valgono entrambe D. Sì, valgono entrambe La scrittura ( ) indica che l operazione potenza va effettuata sia al numeratore che al denominatore, pertanto si ha: La scrittura indica che l operazione potenza va effettuata solo al numeratore, pertanto si ha: Prova anno scolastico

6 Spazio e Figure D2 D2. Nella figura, la retta l è parallela alla retta m. la misura dell angolo DÂC è 55. Quanto misura la somma degli angoli: x + y? A. 55 B. 110 C. 125 D. 135 Possiamo rispondere utilizzando almeno due diversi ragionamenti, esaminiamoli entrambi: 1) Ricordando che due rette parallele(l,m) tagliate da una trasversale(ab) formano angoli alterni interni uguali, allora l angolo m A è uguale all angolo DÂC + x 2) considerando che l angolo piatto con vertice in B è pari a 180 si ha che: m A = (180 - y ) ; che BÂC = x ; DÂC = 55 che m A = x + DÂC cioè: 180 y = x + 55 x + y = Prova anno scolastico

7 Spazio e Figure x + y = 125 L altro ragionamento che possiamo fare è il seguente: 1) Ricordando che due rette parallele(l,m) tagliate da una trasversale(ab) formano angoli alterni interni uguali, allora l angolo BĈA è uguale a 55 2) Poiché la somma degli angoli interni in un triangolo è pari a 180 si può scrivere: x + y = x + y = 125 Prova anno scolastico

8 Spazio e Figure D3 D3. Una mamma deve somministrare al figlio convalescente 150 mg di vitamina C ogni giorno. Avendo a disposizione compresse da 0,6 g quante compresse al giorno deve dare al figlio? A. Un quarto di compressa B. Una compressa C. 2 compresse e mezzo D. 4 compresse Per rispondere correttamente occorre: 1) valutare quanti mg. corrispondono a 0,6 g, cioè fare la seguente equivalenza: 0,6 g = 0,6 x 1000 = 600 mg 2) ora che abbiamo la stessa unità di misura e poiché la compressa è più grande della dose da somministrare basterà fare il seguente calcolo: 600 mg: 150 mg = 4 dosi significa che per ogni compressa abbiamo 4 dosi quindi per comporre 1 dose sarà sufficiente ¼ compressa. Prova anno scolastico

9 Spazio e Figure D4 D4. Vuoi costruire un portapenne di forma cilindrica, di volume 192π cm 3. Se il diametro di base misura 8 cm, quanto sarà alto il portapenne? A. 3 cm B. 6 cm C. 9 cm D. 12 cm Per rispondere correttamente occorre considerare: 1) che il volume di un cilindro si calcola nel seguente modo: 2) che l altezza (h) si può ricavare dalla formula del volume e si ha: quindi passando al calcolo avremo: Prova anno scolastico

10 Numeri D5 D5. In ottobre un maglione costa 100 euro. Prima di Natale il suo prezzo è aumentato del 20%. Nel mese di gennaio, con i saldi, il costo del maglione si è ribassato del 10% rispetto al prezzo natalizio. Quale affermazione è vera? A. Il maglione in gennaio ha un costo pari a quello di ottobre B. Il maglione in gennaio ha un costo maggiore rispetto a quello di ottobre dell 8% C. Il maglione in gennaio ha un costo inferiore rispetto a quello di ottobre del 10% D. Il maglione da ottobre a gennaio ha subito un rincaro del 10% Per rispondere correttamente occorre dapprima calcolare i prezzi nei vari periodi: 1) prima del periodo natalizio abbiamo: 2) per il periodo di gennaio abbiamo: quindi passiamo ad esaminare le varie alternative: A) È falsa in quanto il maglione in ottobre ha un costo di 100 ed in gennaio un costo di 108 C) È falsa in quanto il maglione in gennaio ha un costo di 108 e non di 90 D) È falsa in quanto se avesse subito un rincaro del 10% dovrebbe costare: invece a gennaio costa 108 B) È vera in quanto il costo del maglione a gennaio è pari a 108 che rappresenta proprio l 8% in più rispetto al prezzo di ottobre, infatti: Prova anno scolastico

11 Spazio e Figure D6 D6. Quale è il perimetro di un quadrato la cui area è di 100 m 2? Risposta: 40 m Per rispondere correttamente occorre considerare che: 1) l area di un quadrato si calcola nel seguente modo: 2) dalla formula dell area possiamo calcolare il lato, infatti: 3) il perimetro allora sarà uguale ad ( ) visto che il quadrato ha i quattro lati uguali, quindi: Prova anno scolastico

12 Dati e previsioni D7 D7. Il grafico mostra il numero dei cioccolatini di diversi gusti contenuti in una scatola caffè latte liquore nocciola cioccolatini Prendendo un cioccolatino a caso, qual è la probabilità di scegliere un cioccolatino alla nocciola? A. B. C. D. Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) Con riferimento alla definizione di probabilità bisogna considerare il rapporto fra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili supposti tutti ugualmente possibili. 2) Nel nostro caso abbiamo 40 cioccolatini (i casi possibili) come si può vedere dal grafico, cioè: 14 al caffè + 12 al latte + 8 al liquore + 6 alla nocciola = 40 cioccolatini 3) I casi favorevoli sono rappresentati dai 6 cioccolatini alla nocciola, quindi la probabilità sarà pari al loro rapporto tra i casi favorevoli e quelli possibili, cioè: Prova anno scolastico

13 Dati e previsioni D8 D8. Un padre e i suoi quattro figli si dividono la cifra vinta al Totocalcio in questo modo: al padre spetta dell intera somma, e il rimanente viene diviso in parti uguali tra i figli. Quale frazione della somma spetta a ognuno dei figli? A. B. C. D. Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) Se il padre ha preso della somma ne restano i, in quanto: 2) Poiché i figli sono quattro ognuno prenderà dei della somma restante, cioè: Prova anno scolastico

14 Spazio e Figure D9 D9. In una tavoletta babilonese del 1800 a.c. si legge il seguente quesito: Un bastone lungo 10 unità è appoggiato ad un muro (figura a). Poi, scivola di 2 unità (figura b). Di quante unità il piede del bastone si è allontanato dalla base del muro?. A. 6 unità B. 8 unità C. 10 unità D. 12 unità Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) Se il muro è perfettamente verticale ed il pavimento perfettamente orizzontale allora si viene a formare un triangolo rettangolo come in figura. 2) possiamo applicare allora il teorema di Pitagora; osserviamo che l ipotenusa del triangolo misura 10 unità perché il bastone conserva la sua lunghezza; il cateto (quello lungo il muro) misurerà 8 unità, infatti come si può vedere dalla figura dobbiamo sottrarre alla misura iniziale di 10 unità le 2 unità che si perdono per lo scivolamento dl bastone, pertanto si può scrivere: [ Prova anno scolastico

15 Numeri D10 D10. Una bottiglia di vetro, che vuota pesa 260 g, contiene 350 g di succo di frutta mentre una bottiglia di vetro, che vuota pesa 320 g, ne contiene 700 g. Quanto vetro si risparmia confezionando 6 bottiglie da 700 g invece che 12 da 350 g? Risposta: 1200 g Per rispondere correttamente possiamo considerare che: ci vogliono 2 bottiglie da 260 grammi cioè 520 grammi per contenere lo stesso quantitativo di succo di frutta (700 grammi) 1 bottiglia da 700 grammi pesa 320 grammi quindi basta fare ( ) x 6 = 1200 grammi di vetro risparmiato oppure 1) confezionando 12 bottiglie da 350 g. si ottengono: 12 x 350 = 4200 grammi di succo e si impiegano: 12 x 260 = 3120 grammi di vetro 2) confezionando 6 bottiglie da 700 g si ottengono: 6 x 700 = 4200 grammi di succo come sopra, impiegando 6 x 320 = 1920 grammi di vetro 3) pertanto calcolando la differenza fra la quantità di vetro impiegata nel primo e secondo confezionamento si ricava: = 1200 grammi di vetro risparmiato Prova anno scolastico

16 Relazioni e funzioni D11 D11. Il triangolo ABC è iscritto in una circonferenza di centro O, come in figura. Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo? Sì No Per rispondere correttamente occorre ricordare che: Il teorema degli angoli al centro ed alla circonferenza stabilisce che: <In ogni circonferenza l'angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco> quindi nel nostro caso l angolo al centro AÔB è pari a 180 ed è il doppio dell angolo alla circonferenza AĈB che insiste sullo stesso arco, pertanto quest ultimo risulterà pari a 90 e allora si può concludere affermando che il triangolo ABC è un triangolo rettangolo. oppure ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza (l'ipotenusa del triangolo coincide con il diametro della circonferenza) è rettangolo, infatti l'angolo AĈB è metà dell'angolo piatto AÔB (è conosciuto anche come teorema di "Dante"; se non sai il perché cercalo in rete). Prova anno scolastico

17 Relazioni e funzioni D12 D12. Alcuni fiammiferi sono disposti come indicato nelle figure. Se si continua la sequenza delle figure, quanti fiammiferi verranno usati per fare la figura 10? A. 30 B. 33 C. 36 D. 42 Per rispondere correttamente occorre osservare che: la sequenza aumenta ad ogni passo di un fattore 3 infatti abbiamo: 6, 9, 12, allora se continuiamo fino al 10 passo otteniamo 33 Prova anno scolastico

18 Spazio e Figure D13 D13. I due triangoli A e B sul piano cartesiano sono ottenuti con una simmetria centrale. Quali sono le coordinate del centro di simmetria? A. (4;4) B. (4;5) C. (5;4) D. (5;5) Per rispondere correttamente occorre ricordare che: 1) si possono ricavare le coordinate del centro di simmetria con le relazioni: 2) nel nostro caso applicando le relazioni al punto B(2,4) e al punto B (8,4) otteniamo: quindi le coordinate del centro di simmetria sono pari a (5,4) Prova anno scolastico

19 Spazio e Figure Puoi verificare che applicando le relazioni agli altri punti B e C del triangolo ottieni ovviamente le stesse coordinate. La soluzione si può anche ottenere per via grafica come in figura; basta congiungere i vertici corrispondenti dei due triangoli ed osservare che le coordinate del punto di simmetria centrale P sono pari a (5,4). Prova anno scolastico

20 Dati e previsioni D14 D14. Da una lamiera a forma rettangolare viene eliminata la parte non quadrettata come in figura. Quale percentuale della superficie della lamiera è rimasta? A. 60% B. 70% C. 75% D. 80% Per rispondere correttamente: 1) calcoliamo l intera area della figura moltiplicando il numero dei quadretti su di un lato per quelli presenti sull altro lato, cioè: 8 x 5 = 40 quadretti 2) calcoliamo l area della parte eliminata; per farlo contiamo il numero dei quadretti sui lati indicati dalla linea rossa che risultano 4 su un lato e 5 sull altro pertanto l area risulterà pari a: 5 x 4 = 20 quadretti; poi dividiamo il risultato ottenuto per 2 perché la linea divide in due parti l area contrassegnata, quindi l area eliminata sarà pari a 10 quadretti; 3) L area che è rimasta sarà pari a: = 30 quadretti 4) Per stabilire quale percentuale dell area sia rimasta possiamo impostare la proporzione: 30 : 40 = X : 100 Prova anno scolastico

21 Numeri D15 D15. Quale delle seguenti disuguaglianze è vera? A. B. C. D. Per rispondere correttamente utilizziamo la seguente rappresentazione; i numeri sono ordinati da - a + (dal più piccolo al più grande); es: -3 < -2 ; +3 > +2 ; passiamo ad esaminare i vari casi: a) - - è vera infatti come puoi notare in figura - si trova prima di - su una scala orientata dal più piccolo al più grande Prova anno scolastico

22 Numeri b) - è falsa in quanto un numero positivo non è mai minore di un numero negativo; infatti puoi notare in figura che si trova dopo - su una scala orientata dal più piccolo al più grande, quindi - c) - è falsa in quanto un numero negativo non è mai maggiore di un numero positivo; infatti puoi notare in figura che - si trova prima di su una scala orientata dal più piccolo al più grande, quindi - Prova anno scolastico

23 Numeri d) è falsa in quanto la prima frazione è maggiore di 1 e la seconda è minore di 1; infatti puoi notare in figura che si trova dopo su una scala orientata dal più piccolo al più grande, quindi Prova anno scolastico

24 Spazio e Figure D16 D16. La figura rappresenta un cubo ed M è il punto medio dello spigolo. Quale dei seguenti sviluppi piani corrisponde al cubo qui disegnato? Nella figura a lato puoi vedere il cubo e il suo sviluppo e anche la posizione del segmento che si trova sulla faccia 2 e sulla faccia 1 del cubo. Confrontando lo sviluppo a lato con le alternative proposte puoi subito verificare che corrisponde all alternativa A ; Prova anno scolastico

25 Spazio e Figure Comunque avresti potuto procedere anche escludendo subito le alternative B e D in quanto pur essendo dei possibili sviluppi per il cubo presentano i segmenti che passano per il punto M non allineati ed escludere anche l alternativa C in quanto lo sviluppo proposto non forma un cubo. Prova anno scolastico

26 Relazioni e funzioni D17 D17. Se x è un numero compreso tra 6 e 9, allora il numero (x+5) fra quali numeri è compreso? A. 1 e 4 B. 10 e 13 C. 11 e 14 D. 30 e 45 Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) la x può assumere tutti i valori compresi tra 6 e 9 2) attribuendo alla x il valore inferiore dell intervallo, cioè 6 abbiamo che: x + 5 diventa: = 11 3) attribuendo alla x il valore superiore dell intervallo, cioè 9 abbiamo che: x + 5 diventa: = 14 4) quindi si può concludere che (x + 5) assegnando alla x i valori dell intervallo (6,9) sarà compreso tra: 11 e 14 Prova anno scolastico

27 Relazioni e funzioni D18 D18. Qual è il valore di x che soddisfa l equazione 3(2x 1) + 2x = 21? A. B. C. D. Per rispondere correttamente occorre ricordare le regole per lo svolgimento di un equazione: 1) moltiplichiamo il 3 per i fattori in parentesi 6x 3 + 2x = 21 2) addizioniamo i termini con la x 8x 3 = 21 3) spostiamo il termine -3 al secondo membro cambiandolo di segno 8x = ) sommiamo i termini simili presenti al 2 membro 8x = 24 5) dividiamo entrambi i membri dell equazione per 8 otteniamo: x = 3 Prova anno scolastico

28 Dati e previsioni D19 D19. In un indagine sul numero di gelati consumati a Ferragosto sono state intervistate 100 persone. La seguente tabella registra le risposte. Numero gelati Numero persone a. Quanti intervistati hanno mangiato almeno 2 gelati? A. 15 B. 17 C. 21 D. 38 b. Qual è la media dei gelati mangiati dagli intervistati? Risposta: 1,5 Per rispondere correttamente alla domanda (a) occorre osservare che: 1) con l espressione hanno mangiato almeno due gelati vuol dire considerare le persone che hanno mangiato 2 o più gelati 2) dalla tabella si può leggere che le persone che hanno mangiato 2 o più gelati sono pari a: = 38 Prova anno scolastico

29 Dati e previsioni Per rispondere alla domanda (b) dobbiamo ricordare come si calcola la media aritmetica: 1) la media aritmetica si calcola sommando il numero dei gelati mangiati dalle persone diviso il numero complessivo delle persone 2) riportiamo nella tabella seguente per ogni gruppo di persone il numero dei gelati mangiati: totale persone --> persone gelati mangiati per persona totale parziale gelati mangiati <-- totale complessivo gelati Quindi, significa che mediamente una persona mangia 1 gelato e mezzo. Prova anno scolastico

30 Relazioni e funzioni D20 D20. Se x e y sono numeri interi, quali tra le seguenti è la relazione tra x e y per i punti disegnati nel grafico? A. x + 4y = 4 B. x + y = 4 C. y = x 4 D. x = y 4 Per rispondere correttamente occorre osservare che: 1) per il punto M le coordinate sono: M(0,4) per il punto N le coordinate sono: N(1,3) per il punto O le coordinate sono: M(2,2) per il punto P le coordinate sono: M(3,1) per il punto R le coordinate sono: M(4,0) Prova anno scolastico

31 Relazioni e funzioni 2) ricordando che la x rappresenta l ascissa ed y l ordinata prendiamo in esame le varie alternative proposte A- x + 4y = 4; sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo = 16 che non soddisfa la relazione C- y = x -4 ; sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 4 = 0-4 relazione D- x = y -4; sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo 0= 4-4 relazione; sostituendo le coordinate del punto N con x=1 e y=3 abbiamo 1= 3-4 relazione; = -4 che non soddisfa la = 0 che soddisfa la = -1 che non soddisfa la B- x + y = 4 ; sostituendo le coordinate del punto M con x=0 e y=4 abbiamo = 4 che soddisfa la relazione sostituendo le coordinate del punto N con x=1 e y=3 abbiamo = 4 che soddisfa la relazione sostituendo le coordinate del punto O con x=2 e y=2 abbiamo = 4 che soddisfa la relazione sostituendo le coordinate del punto P con x=3 e y=1 abbiamo = 4 che soddisfa la relazione sostituendo le coordinate del punto R con x=4 e y=0 abbiamo 4+ 0 = 4 che soddisfa la relazione. Pertanto l alternativa B è quella giusta in quanto la relazione è soddisfatta per tutti i punti. Prova anno scolastico

32 Numeri D21 D21. In una grande libreria gli impiegati sono così suddivisi: Mansione Numero di impiegati Magazzinieri? Cassieri 4 Venditori 8 Contabili 2 Qual è il numero dei magazzinieri? Risposta: 6 Per rispondere correttamente occorre osservare che: Dalla percentuale indicata nel diagramma a torta e dalla corrispondente voce si può ricavare il numero totale dei venditori; infatti la percentuale dei venditori è il 40% e ve ne sono 8 in tabella, pertanto: (si può scrivere anche la proporzione 8 : x = 40 : 100 e ricavare la x, si ottiene lo stesso risultato) Allora se 20 sono tutti gli impiegati il numero dei magazzinieri si ricava dalla differenza: 20 ( ) = = 6 Puoi provare per esercizio a verificare le percentuali di tutti gli altri impiegati riportate nella figura a lato. Prova anno scolastico