SCUOLA DI STUDI SUPERIORI Corso: Metodi Statistici Modulo: Metodi di valutazione delle politiche Lezione 3: Un accenno ai metodi

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1 SCUOLA DI STUDI SUPERIORI Corso: Metodi Statistici Modulo: Metodi di valutazione delle politiche Lezione 3: Un accenno ai metodi Docente: Guido Pellegrini Università La Sapienza, Roma

2 Modelli con selezione: il caso generale n Quale che sia la regola che conduce alla decisione di assegnazione dell intervento, essa può essere formalizzata in termini di una funzione indice. n IN i è un indice che misura il possesso da parte dell unità i delle caratteristiche richieste dal decision maker ai fini dell attribuzione dell intervento. L indice è funzione di caratteristiche osservabili (Z i ) e non osservabili (V it ). Per semplicità, consideriamo una specificazione lineare dell indice: n IN i = Z i + V t i

3 Modelli con selezione: il caso generale (2) n IN i = Z i + V t i n D i = 1 se IN i >0 n D i = 0 se IN i <=0 Y it = αx it + bd i + U it. E(U,D) 0 può essere spiegata o a causa della dipendenza stocastica tra U e Z, in tal caso si tratta di un processo di selezione basato su variabili osservabili, oppure a causa della dipendenza stocastica tra U e V, e quindi si tratta di un processo di selezione basato su variabili non osservabili.

4 Modelli con selezione: metodi di soluzione (1) Soluzione in caso di variabili di selezione osservabili e dati cross section riferiti a dopo il trattamento con conoscenza stato di trattamento: n stimatore della funzione di controllo n matching.

5 Modelli con selezione: metodi di soluzione (2) Soluzione in caso di informazioni cross-section su più anni a cavallo dell intervento o di dati longitudinali, noto lo stato delle unità rispetto all intervento: n stimatore delle differenze prime n stimatore random growth Nel caso in cui cross-section: n stimatore variabili strumentali n stimatore regression discontinuity design

6 Modello difference in differences n Nel modello difference in differences, la relazione stocastica tra le variabili non osservabili (U it ) e D i dipende da una componente specifica individuale (o effetto fisso) a i : U it = a i + v it, n Questo caso comprende quindi quello di selection bias nei livelli n una stima consistente dell impatto si ottiene regredendo la differenza (Y it - Y it ), dove t e t sono due momenti a cavallo del programma, su D i e sulla differenza (X it - X it ).

7 Modello difference in differences: un approccio alternativo DID=[E(x D=1,T=1)-E(x D=1,T=0)]-[E(x D=0,T=1)-E(x D=0,T=0)] Se E(x D=1,T=0)= E(x D=0,T=0)+a E(x D=0,T=1)=E(x D=0,T=0)+b E(x D=1,T=1)=E(x D=0,T=0)+differenze iniziali+crescita= E(x D=0,T=0)+a+b (in mancanza di effetti delle politiche) Se effetto delle politiche =c E(x D=1,T=1)=E(x D=0,T=0)+a+b+c DID=[E(x D=0,T=0)+a+b+c-E(x D=0,T=0)-a] -[E(x D=0,T=0)+b-E(x D=0,T=0)]=c

8 Modello difference in differences: un approccio alternativo Può quindi essere stimato come: Y= costante + a*dtempo+b*dtrattato +c*dtempo*dtrattato Dove: Dtempo dummy=1 se T=1, altrimenti 0 Dtrattato dummy=1 se D=1, altrimenti 0 Costante = E(y D=0,T=0)

9 Nel modello random growth rate n la relazione tra le variabili non osservabili e D i dipende da due componenti: a i e una componente specifica di crescita, b i : U it = a i + b i t + v it, n la stima dell impatto si ottiene applicando al modello alle differenze uno stimatore within che sottrae le medie temporali individuali a ciascuna osservazione, eliminando l effetto dei trend specifici di crescita.

10 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili n Lo stimatore con funzione di controllo individua una classe di stimatori: n Il metodo two stage, che consiste nella stima della funzione nota, che controlla il processo di selezione, e nell inserimento della stessa nella equazione outcome. n Il metodo diretto (direct nonlinear regression) consiste, invece, nella stima dell equazione outcome in cui il processo di selezione viene esplicitato direttamente, senza passare, quindi, attraverso la fase di stima della funzione.

11 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili n Nel modello classico con probabilità di selezione (two stage), si stima la probabilità che una unità sia selezionata e si inserisce tale probabilità in un modello di regressione lineare della variabile outcome: n Pr(D i =1 Z i ) = P(Z i ) = π i (Z i è il set di variabili che condizionano la partecipazione al programma) n Ŷ i = bx + gπ i + ad i + u it, dove Ŷ i è il tasso di crescita del variabile outcome, e π i è la probabilità di partecipazione al programma

12 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili (2) n L ipotesi statistica sottostante è che esiste una distribuzione congiunta delle caratteristiche non osservabili che influenza la partecipazione e l outcome n Modellando esplicitamente la partecipazione, possiamo derivare una variabile che quindi controlla (parzialmente) per le variazioni delle variabili non osservabili n Affinché abbia risultati, richiede la presenza di una variabile nel processo di partecipazione (strumento) non presente nella stima dell outcome. n Ma dipende molto dalla scelta della variabile e dall assunzione rispetto al tipo di distribuzione

13 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili (3) n Perché conviene inserire nel modello la probabilità (il propensity score) piuttosto che direttamente le singole variabili? n Perché l effetto dell inserimento delle variabili di selezione dipende dalla parametrizzazione del modello (ma anche per il propensity score!) n Si mostra che l uso del propensity score rende il modello meno sensibile alla scelta funzionale fatta.

14 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili: IV (var. strumentali) Lo stimatore con variabili strumentali fa ricorso ad almeno una variabile che è correlata con il processo di selezione ma non alla variabile outcome, se non attraverso la partecipazione all intervento. La relazione tra variabile strumentale e variabile outcome, che varia al variare dei diversi gruppi partecipanti all intervento, identifica l impatto dell intervento senza problemi di selezione.

15 Ripasso IV econometria n Yi=bXi+ei n b^=cov(x,y)/var(x) =(bvar(x)+cov(x,e))/var(x) =b+cov(x,e)/var(x) n Se cov(z,x) 0 cov(z,e)=0 Scrivo: ZY=bZX+Xe

16 Ripasso IV econometria n ZYi=bZXi+Zei n b =ZYi-Zei/ZXi b=e(b^^)=e(zy)/e(zx)-e(ze)/e(zx) Se cov(z,x) 0 cov(z,e)=0 b=e(b^^)

17 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili:iv (2) n Se vi sono regressori nella regola di selezione, un metodo che sfrutta l informazione in essi contenuta è il metodo delle variabili strumentali. Il metodo delle variabili strumentali richiede le seguenti condizioni. n Tra i regressori Z di IN deve esistere almeno una variabile, Z*, tale che: IN i = bz i + V t, E(U X,Z*)=0 E(D X,Z*)=Pr(D=1 X,Z*) dipende da Z*

18 formalmente n IV1) (Exclusion Restriction) Z non ha alcuna influenza sul termine d errore una volta che si controlla per le X: E(ui Xi, Zi) = E(ui Xi) = 0; n IV2) La probabilità di partecipare al programma è influenzata dal valore di Z anche controllando per le X: n P(Di =1 Xi,Zi =z*) P(Di =1 Xi,Zi =z**),dove z* e z** diversi

19 assunzioni n La prima assunzione non è testabile e va giustificata in base alla teoria economica o all osservazione di un esperimento naturale. n La seconda assunzione è invece testabile e determina la forza di uno strumento, cioè quanto un suo cambiamento di valore influenzi la probabilità di partecipare al trattamento

20 Strumento binario n Nel caso semplice in cui X=0 n E(Y Z=1) = be(d Z=1) + E(e Z=1) E(Y Z=0) = be(d Z=0) + E(e Z=0) Sottraendo la seconda equazione alla prima e raccogliendo il termine b si ha b = E(Y Z=1) E(Y Z=0)/ P(D=1 Z=1) P(D=1 Z=0)

21 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili:iv (2) n Z* non è completamente spiegata da X, in altre parole la probabilità Pr(D=1 X,Z*) è definita per due o più valori di Z*, così che essa è una funzione non triviale di Z*, e i suoi valori differiscono al variare di Z*, per lo meno per alcuni valori di X. Ne deriva che la dipendenza di Y da Z* opera solo attraverso D. n Se valgono le precedenti condizioni, allora Z* è una variabile utilizzabile come strumento per approssimare il disegno sperimentale: essa determina la partecipazione all intervento ma non influenza direttamente la variabile outcome

22 Disegni in presenza di selezione su var. osservabili:iv (2) Y it = bx it + a D i + U it. E(Y it X it,,z*)=bx it + a Pr(D i =1 X,Z*) t. E dati due valori di Z*, ovvero Z I 1i e ZI 2i, Lo stimatore sarà: ˆ α IV = Pr ( ) ( ) E Y X, Z I E Y X, Z I it it i1 it it i2 ( I ) ( I ) d = 1 X, Z Pr d = 1 X, Z i it i1 i it i2

23 LATE il LATE (Local Average Treatment Effect) stima l effetto medio della politica per un sottogruppo dei trattati Nel caso dello stimatore IV rappresenta l effetto medio della politica per gli individui che sono stati indotti al trattamento dal cambiamento di valore dello strumento.

24 LATE: Suddivisione in 4 categorie degli individui in base alla loro risposta allo strumento Z e al trattamento D

25 LATE n Never-taker: coloro che non partecipano mai (D=0) anche se Z=1 o Z=0 n Complier (che seguono correttamente quanto atteso): non partecipano se Z=0, partecipano se Z=1 n Always taker: coloro che partecipano sempre (D=1) anche se Z=1 o Z=0 n Defier: quelli che fanno il contrario: non partecipano per Z=1 e partecipano per Z=0

26 LATE n E(Y Z=1)-E(Y Z=0) (Law of Iterated Expectation) n =E[D(1)*Y 1 (1)+(1-D(1))*Y 0 (1) Z=1]- E[D(0)*Y 1 (0)+(1-D(0))*Y 0 (0) Z=0] =E[D(1)*Y 1 +(1-D(1))*Y 0 ]-E[D(0)*Y 1 +(1-D(0))*Y 0 ] =E[(D(1)-D(0)*(Y 1 -Y 0 )] questo è il valore atteso della variazione di Y al variare di Z, diviso in =E[(Y 1 -Y 0 ) (D(1)-D(0)=1]P(D(1)-D(0)=1) cioè chi Passa dal non partecipare al partecipare

27 LATE n diviso in =E[(Y 1 -Y 0 ) (D(1)-D(0)=1]P(D(1)-D(0)=1) cioè chi Passa dal non partecipare al partecipare per Z che passa da 0 a 1 -E[(Y 1 -Y 0 ) (D(1)-D(0)=1]P(D(1)-D(0)=-1) cioè chi Passa dal partecipare al non partecipare per Z che passa da 0 a 1, cioè =E(α complier)p(complier)-e(α defier)p(defier)

28 LATE n assunzione di monotonicità n D(1)>D(0) n Cioè se un individuo partecipa per Z=0 allora partecipa anche per Z=1 (non testabile) e quindi esclude i depier n In questo caso LATE=E(α complier)p(complier) Ma il gruppo di complier non è di solito rappresentativo di tutti i trattati e ancor meno di tutta la popolazione target;

29 Metodi di matching n La tecnica del matching statistico consiste, invece, nella stima degli effetti del programma mediante stratificazione delle unità beneficiate e delle unità escluse sulla base delle caratteristiche che condizionano il processo di selezione. L obiettivo è quello di minimizzare le differenze esistenti tra i due gruppi, riducendo in tal modo l effetto della selection bias.

30 Regression discontinuity design n Se esistono graduatorie di ammissione, si restringe il campo di analisi ai soggetti posizionati nell intorno del punto di discontinuità della graduatoria, e quindi molto simili

31 Modelli misti n Un ulteriore modello di stima dell impatto del programma di interventi è un estensione del modello difference in difference che utilizza la probabilità di partecipazione al programma per controllare l effetto di variabili osservabili condizionanti il processo di selezione. Il modello è applicabile solo a condizione che la funzione di probabilità sia costante nel tempo, affinché possa essere eliminata con le differenze prime.