7.5 Fattori primi FFT. Decomposizione di Good

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1 75 Fattori primi FFT Decomposizione di Good Tutti gli algoritmi FFT nel precedente paragrafo risultano dalla formulazione della FFT di Cooley-Tukey e sono noti come Common- Factor -Algorithms (CFA) algoritmi a fattore comune, perché in molti casi i valori della radice per due o più stadi hanno un fattore comune non unitario ( cioè, o ) Un'altra importante classe degli algoritmi FFT sono rime- Factor Algorithms (FA) gli algoritmi a fattore primo Usai Circuiti digitali 7_6

2 Questi algoritmi sono ottenuti trasformando la DFT monodimensionale in una DFT multidimensionale usando indici di mappatura basati sul Teorema CRT ( Chinese Remainder Theorem) Esso è applicabile solo se la lunghezza della DFT può essere decomposta in fattori che siano reciprocamente primi oniamo che questi fattori di siano,,, p cioè dove i e j mutuamente primi implica che: i /ab e j /ac a per tutti i valori di i j e i valori interi positivi di a, b, c Good [8]ha introdotto una mappatura univoca degli indici n e k in - tuples (n, n,,n p ) e (k, k, k p ) usando il teorema CRT (Chinese remainder Theorem) per ottenere la seguente decomposizione della DFT Usai Circuiti digitali 7_6

3 ( k,, k ) n 0 X x ( n,, n ) nk (75) n k dove i e -jπ/i Se questa espressione è uguale alla definizione originale di in (7) allora: nk nk nk n k (75) X ( k ) o nk n k + + n k (75) Usai Circuiti digitali 7_6

4 dove < > denota operazione modulo e i j i i Le operazioni modulo in (75) sono richieste perché Una breve introduzione al residuo aritmetico (modulo ) e del Teorema CRT (Chinese Remainder Theorem) è data in nell appendice di questo capitolo Si farà riferimento qui, invece, a qualche derivazione meno formale delle relazioni necessarie er derivare la mappatura di input da n a (n, n,,n p ), si assume la semplice mappatura di output k i <k> i (755) Cioè k i è il residuo di k modulo i j i (75) Usai Circuiti digitali 7_6

5 oiché i per tutti gli i, si ha dalla (755) che se k, allora k i per tutti gli i Sostituendo questi valori unitari dalla (75) si ottiene la mappatura di input: n<n +n + +n p p > (756) L'espressione della mappatura di output in (755) può essere invertita come segue : Si pone (n, n,,np) corrispondente a n, cioè: Quindi dalla (75), nk n k + + n k % % % (757) < n+ n + + npp > Usai Circuiti digitali 7_6 5

6 er trovare i valori di n i, poniamo k i Quindi dalla definizione della mappatura di output in (755), 0 j i k i < i > j < i > j j i perché i è multiplo di j per j i Sostituendo questi valori per k e k i nella (757) si trova che: n i i i dalle quali si capisce che, (759) n i i i (750) Usai Circuiti digitali 7_6 6

7 on è ovvio che questa definizione di n i comporti che la (758) sia soddisfatta, ma infatti ciò è dovuto alle proprietà della CRT Quindi per la (757) si ha l'inversa della mappatura di output: k k + + k (75) Date le mappe di input e output per la decomposizione multidimensionale in (75), la valutazione della DFT può procedere sommando per primo rispetto a n e poi rispetto a n e così sino a n p Usai Circuiti digitali 7_6 7

8 Cioè si calcola la DFT a punti: k, (( n b ( k n,, np ) x n, n,, np ) n 0 per ciascuna delle (-) -tuples (n,,n p ) Successivamente si calcola la DFT a punti :, k, n,, n p ) b ( k, n,, np ) n 0 n k c ( k er ciascuna delle (-) -tuples (k,n,,n p ) Continuando in questo modo, si produce finalmente la DFT desiderata: X ( k) X ( k, k, k p Si noti che l'importante proprietà degli algoritmi a fattori primi è che i fattori di rotazione non sono richiesti tra i successivi stadi della FFT e ci sono algoritmi a fattori comuni ) Usai Circuiti digitali 7_6 8

9 Usai Circuiti digitali 7_6 9 Convoluzione circolare er vedere come una DFT di lunghezza dispari viene convertita in una convoluzione circolare, si consideri la DFT a 5 punti scritta in forma matriciale come segue: Si noti che gli esponenti sono stati resi a modulo-5 (75 x () x () x () x () x (o) () () () () (0) X X X X X

10 Il primo passo è di separare il calcolo della X (0) dagli altri X ( k) per k 0 e poi separare il contributo di x(0) dagli altri per n 0 cioè: (0) X x ( n), X ( k) x (0) + X ( k), n 0 k,, -, (75) dove X ( k) n x ( n) kn (75) Sono le equazioni per la X ( k ) in (75) che possono essere espresse come convoluzione circolare come segue: X () X () X () X () x () x () x () x () (755) Usai Circuiti digitali 7_6 0

11 Questa è una correlazione circolare o convoluzione "backwards" della sequenza: { x(), x (), x (), x () } con la sequenza: {,,, } Fissando x () e scambiando gli elementi rimanenti del vettore, si produce la convoluzione circolare convenzionale ("forward") X () X () X () X () x () x () x () x () (756) Usai Circuiti digitali 7_6

12 La matrice degli esponenziali in (756) è nota come una matrice circolante (circulant) La mappatura generale degli indici n e k per convertire la DFT per primo (dispari) in convoluzione circolare fu dato da Rader [8] come riportato di seguito oniamo m n α, k α dove n e k comprendono i gruppi moltiplicativi (multiplicative groups) e m e l comprendono i gruppi adittivi (additive groups) m,l,,, - l, (757) Usai Circuiti digitali 7_6

13 L'intero α è una radice primitiva (-) di unità che soddisfa: α α i, per 0 < i < -, (758) che generano il gruppo moltiplicativo (,,, -), poiché ciascun elemento del gruppo può essere scritto come una potenza di α modulo- er esempio α uguale oppure per 5 rendendo α, il gruppo additivo l0,,, mappa per n,,, L'espressione per in (75) può essere scritta come: l X ( α ) m 0 x ( α m ) α ( l m) che è la convoluzione circolare desiderata come nella (756), l 0,,, -, (759) Usai Circuiti digitali 7_6