SISTEMI INSTABILI. U(t) k

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1 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 1 SISTEMI INSTABILI Esistono stati, detti instabili, che, pur non essendo stazionari, presentano tuttavia caratteristiche di stabilità tali per cui si trasformano lentamente o rapidamente (rispetto alla scala di tempi considerata) nella sovrapposizione dello stato instabile iniziale e di altri termini, ciascuno dei quali è identificabile come stato dei prodotti di un tipo di decadimento del sistema nello stato instabile, cioè (1) u i U(t) a(t) u i + dp f k,p (t) u k,p. k Vedremo in seguito come può essere caratterizzato lo stato u i affinché possa essere considerato uno stato instabile e non un generico stato non stazionario. Nota Per un dato sistema instabile, i tipi di decadimento possono essere in generale più d uno. Esempi di situazioni di questo genere sono i decadimenti alfa e beta dei nuclei radioattivi e le trasformazioni che subiscono le particelle elementari (tranne le poche perfettamente stabili). Grandezza canale Lo stato instabile iniziale e gli stati dei prodotti di decadimento di ciascun tipo contengono particelle diverse o considerate diverse in questa descrizione e appartengono pertanto a sottospazi ortogonali dello spazio di Hilbert in cui tutti sono descritti. Esiste quindi una grandezza fisica K, che possiamo chiamare grandezza canale, rappresentata da un operatore autoaggiunto ˆK i cui autovalori k distinguono tra lo stato instabile (diciamo k = i) e i prodotti di decadimento di ciascun tipo (l indice k che compare nella (1)). Ad esempio, nel caso di un nucleo instabile N che presenta radioattività alfa, oltre al canale iniziale N (k = i) è presente il canale di decadimento N + α (k = 1), dove N è il nucleo residuo.

2 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 Probabilità dinamica di non decadimento Se u i è lo stato instabile iniziale e U(t) è l operatore di evoluzione temporale, U(t) u i è lo stato al tempo t. La componente di U(t) u i sullo stato iniziale u i () u i U(t) u i = a(t) si dice ampiezza di non decadimento e il suo modulo quadrato (3) P (t) = u i U(t) u i = a(t), che diremo probabilità dinamica di non decadimento, rappresenta la probabilità di ritrovare lo stato u i in un accertamento effettuato al tempo t. Misurazione della probabilità dinamica di non decadimento Qualora si voglia effettuare una determinazione sperimentale della probabilità dinamica di non decadimento P (t), occorre, per ogni t di interesse, costruire un apposito ensemble E t costituito da N(0) sistemi tutti nello stato u i e, lasciato trascorrere il tempo t, accertare quale frazione (4) dei membri dell ensemble E t sia nello stato u i N(t) N(0) = P (t) (ad esempio rivelando se sono presenti o meno prodotti di decadimento). Non è possibile utilizzare il medesimo ensemble per determinare P (t) a due o più tempi, poiché un accertamento a un dato tempo altera l evoluzione ai tempi successivi. FIGURE Il procedimento può essere illustrato dalla figura seguente. E 1 t 1 E t E 3 t 3 E 4 t 4 E 5 t 5

3 E 1 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI t 1 09/10 3 E Probabilità operativa di non decadimento E 3 Di fatto la determinazione sperimentale della legge N(t) non avviene di regola accertando al tempo t quanti sistemi siano non decaduti E 4 t e ripetendo l accertamento su nuovi ensemble per diversi valori di t. t 3 t 4 Si accerta invece su ogni sistema di un unico ensemble di N(0) sistemi nello stato u i al tempo 0, E 5 ripetutamente con un periodo τ sufficientemente t 5 piccolo, se il sistema sia decaduto o no fino a che viene finalmente trovato decaduto e scartato dall ensemble. A ogni determinazione (tranne l ultima) il sistema viene ridotto di nuovo allo stato u i. Il procedimento può essere illustrato dalla figura seguente. E t 1 t t 3 t 4 t 5 Allora e quindi N(τ) = P (τ) N(0), N(τ) = P (τ) N(τ), N((n + 1) τ) = P (τ) N(nτ) 0 E1,0 0 E,0 0 Ei 0 N((n + 1)τ) N(nτ) τ = P (τ) 1 τ N(nτ), da cui, fingendo che il tempo t = nτ sia continuo, (5) dn(t) dt = γ N(t), avendo posto (6) γ = 1 P (τ) τ Intendendo che N(t) abbia il significato descritto qui, definiamo la probabilità operativa di non decadimento P (t) = N(t)/N(0) per la quale, come segue dalla (5), risulta (7) P (t) = exp( γ t).

4 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 4 Significato fisico della legge di decadimento esponenziale La legge di decadimento esponenziale espressa dalla (7) ha un significato fisico notevole. La legge di evoluzione (5) per N(t), equivalente alla legge esponenziale, può essere riscritta (8) dn(t) = ( N(t + dt) N(t) ) = γ N(t) dt. Poiché dn(t) è il numero di sistemi che decadono nell intervallo di tempo (t, t + dt) e N(t) è il numero di sistemi instabili ancora presenti al tempo t, la relazione (8) dice che il numero di sistemi che decadono nell intervallo di tempo (t, t + dt) è proporzionale, oltre che a dt, al numero di sistemi presenti al tempo t. Questo comportamento viene spesso descritto dicendo che il sistema instabile candidato al decadimento non ha memoria del tempo al quale è stato in origine creato. La perdita di memoria è evidentemente dovuta alla riduzione a u i che avviene a ogni tempo t = nτ. La probabilità Q(t, t + dt) che il sistema decada nell intervallo di tempo (t, t + dt) si ottiene dividendo per N(0) il numero di sistemi dato dalla (8) che decadono in tale intervallo ed è quindi data da Q(t, t + dt) = γ P (t) dt. Il valore medio del tempo di sopravvivenza o vita media t è pertanto t = t Q(t, t + dt) = γ 0 0 dt t exp( γ t) = 1 γ Nota Se N(t) e N(t + dt), anziché essere definiti operativamente come descritto, sono dati dalla (4) in termini della probabilità dinamica di non decadimento P (t), l interpretazione di dn(t) = ( N(t + dt) N(t) ) come il numero di sistemi che decadono tra t e t + dt non vale. L evoluzione temporale descritta dalla (1) porta sempre a una sovrapposizione dello stato non decaduto e degli stati decaduti e mai all uno o all altro di questi stati. Il sistema instabile può essere dichiarato non decaduto o decaduto a un certo tempo solo eseguendo un accertamento a tale tempo. Il numero di sistemi che decadono tra t e t + dt è definito solo se viene eseguito l accertamento sia a t che a t + dt, ma allora N(t + dt) N(0) P (t + dt) poiché N(t + dt) = N(0) P (t + dt) è il numero di sistemi non decaduti al tempo t + dt solo se non vengono fatti accertamenti ai tempi precedenti, compreso t.

5 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 5 Caratterizzazione dei sistemi instabili Avendo eliminato il moto del centro di massa, sia Ĥ l operatore hamiltoniano del sistema, con spettro continuo da E thr a + ed eventuali autovalori discreti E n < E thr. Siano E, s gli autostati dello spettro continuo normalizzati rispetto a E, cioè Ĥ E, s = E E, s, E, s E, s = δ(e E ) δ ss. Scrivendo lo stato instabile come (9) u i = la sua distribuzione in energia è s E thr de s c s(e) E, s, E, s ui = cs (E). s La condizione di normalizzazione di u i è u i u i = e l ampiezza di non decadimento risulta u i U(t) u i = de c s (E) = 1 E s thr de c s (E) exp ( i ) E s thr ħ E t.

6 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 6 Funzione di Lorentz La funzione lorentziana è una campana centrata in E i, normalizzata in modo che sia L(E) = π 1 Ẽ (E E i ) + Ẽ + de L(E) = 1. L integrale non converge, + de (E E i ) L(E) ma Ẽ può ugualmente essere interpretato come larghezza della lorentziana. Assunzione Assumiamo che u i sia uno stato instabile quando la sua distribuzione in energia sia, con buona approssimazione, una lorentziana, cioè (10) cs (E) = L(E). s Ovviamente, poiché c s (E) è priva di significato per E E thr, s dobbiamo anche assumere che L(E) sia trascurabile per tali valori di E, cioè in concreto che sia Ẽ E i E thr. La caratterizzazione degli stati instabili mediante le (9) e (10) può essere giustificata nel modo seguente. Se u i fosse stabile, la sua distribuzione in energia sarebbe δ(e E i ). Non essendo stabile, ma con proprietà che lo rendono assimilabile a uno stato stabile, è naturale assumere che la sua distribuzione in energia sia una campana di larghezza non nulla. Perché tale campana sia proprio lorentziana è difficile da spiegare con mezzi elementari. Tuttavia le conseguenze di tale assunzione, come vedremo, la rendono estremamente plausibile. Il valore centrale E i ha il significato di energia approssimata dello stato u i e la larghezza Ẽ ha il significato di larghezza in energia di u i.

7 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 7 Conseguenze dell assunzione Ammesso che sia Ẽ E i E thr, il limite inferiore dell integrale di normalizzazione può, con buona approssimazione, essere portato a e u i risulta normalizzato. Sotto la medesima condizione, l ampiezza di non decadimento può essere scritta, con buona approssimazione, u i U(t) u i = + de L(E) exp ( i ) ħ E t ( ) ( = exp Ẽ ħ t exp i ) ħ E i t. La probabilità dinamica di non decadimento risulta quindi, con buona approssimazione, ( (11) P (t) = exp Ẽ ) ħ t = exp ( γ t), avendo posto Ẽ ħ = γ. Dunque una distribuzione in energia lorentziana, estesa inferiormente fino a, implica che P (t) sia una funzione esponenziale (decrescente) del tempo. Il parametro 1 γ può essere interpretato come il tempo di vita t caratteristico dello stato instabile. Vale quindi la relazione (1) Ẽ t = ħ, secondo la quale tanto più a lungo vive lo stato instabile, tanto più stretta deve essere la sua distribuzione in energia e viceversa.

8 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 8 In realtà si può dimostrare che P (t) non può essere esattamente esponenziale, come d altra parte non è affatto necessario che sia. Tuttavia la legge (13) P (t) = exp ( γ t) vale, con buona approssimazione, in un dominio temporale molto grande che si estende da una frazione molto piccola f a un multiplo molto grande M di Nelle condizioni concrete di applicazione della definizione di probabilità operativa di non decadimento l intervallo τ tra due successivi accertamenti del decadimento o non decadimento è grande rispetto a f 1 γ e piccolo rispetto a 1 γ. 1 γ. Poiché f 1 γ τ 1 γ risulta γ = 1 P (τ) τ 1 exp( γτ) τ γτ τ = γ. Il parametro dinamico γ può quindi essere determinato operativamente. Nota L appartenenza di τ al dominio di esponenzialità di P (t) si traduce nella sostanziale indipendenza di γ dal valore di τ. Se τ assumesse valori inferiori a f 1 γ, il valore di γ dipenderebbe criticamente da τ. Nota Poiché γ = γ, per i tempi t ai quali vale la (13), cioè tali che f 1 γ < t < M 1 γ, si ha P (t) = P (t). Tuttavia P (t) resta esponenziale a tutti i tempi, mentre per t > M 1 γ la probabilità dinamica P (t) devia significativamente dalla legge esponenziale.

9 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 9 DECADIMENTI PROVOCATI DA UNA PERTURBAZIONE Esistono situazioni in cui l operatore hamiltoniano totale del sistema Ĥ si può scomporre in due termini (14) Ĥ = Ĥ0 + Ĥ1 tali che Ĥ0 è compatibile con l operatore canale ˆK e Ĥ1 è tale da poter essere trattato come una perturbazione. Se non fosse presente Ĥ1 (o se anche Ĥ1 commutasse con ˆK) il decadimento non avrebbe luogo. Un esempio tipico è il decadimento beta del neutrone o di un nucleo. Ci proponiamo di sviluppare una teoria per calcolare, in questo tipo di situazioni, le probabilità dinamiche di decadimento e non decadimento. Autostati di Ĥ 0 e ˆK Siano k gli autovalori discreti di ˆK (che numerano convenzionalmente i canali). Gli autostati simultanei di Ĥ 0 e ˆK sono individuati, oltre che da k, da indici continui (la cui struttura dipende da k) che indichiamo complessivamente con p, cioè ˆK u k,p = k u k,p, Ĥ 0 u k,p = Ek,p 0 u k,p, u k,p u k,p = δ kk δ(p p ). Se trascuriamo l interazione tra i prodotti di decadimento eventualmente presente in Ĥ0, per ogni k, p è il momento lineare dello stato instabile iniziale o il complesso dei momenti lineari dei prodotti di decadimento; inoltre, per ognuno dei prodotti di decadimento, (15) u p (x) = 1 ( ) i (πħ) exp 3/ ħ p x. Se si elimina il moto del centro di massa (ovvero si suppone fermo il sistema instabile iniziale) p sparisce nel canale dello stato instabile iniziale k = i e diventa nel canale k i, nel quale il numero dei prodotti di decadimento è n k, p [k] = {p 1,..., p nk } con la condizione p p nk = 0 (per la conservazione del momento lineare totale contenuta negli elementi di matrice di Ĥ 1 ), Possiamo scegliere come momenti lineari indipendenti nel canale k p [k] = {p 1,..., p nk 1}. Per alleggerire la notazione, quando non siano possibili confusioni tra i canali, indicheremo semplicemente con p il complesso dei momenti lineari indipendenti in ciascun canale.

10 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 10 Energie imperturbate L espressione relativistica dell energia di una particella libera di massa a riposo m e momento p è E 0 = c m c + p ; se la massa a riposo è nulla E 0 diventa E 0 = c p ; se la massa a riposo non è nulla e p m c FIGURE si può usare per E 0 l espressione non relativistica E 1 E 0 = m c + 1 m p. Poiché le somma delle energie a riposo dei prodotti di decadimento è sempre inferiore E all energia a riposo del sistema instabile iniziale (la differenza fornisce l energia t di movimento dei prodotti di decadimento), le energie a riposo devono essere ritenute anche se si usa l espressionenon relativistica. E 3 Avendo eliminato il moto del centro di massa, l energia imperturbata E 4 E 0 i nel canale iniziale k = i è semplicemente l energia a riposo m i c. L energia imperturbata nel canale k i è E 5 t 1 t 3 t 4 t 5 n k n k n k n k 1 Ek,p 0 = jm jc + jt j(p j) = jm jc + jt j(p ( j) + T nk (p1 + + p nk 1) ), dove, secondo i casi, T (p ) = cp o 1 m p o c m c + p m c. Nell ultimo termine in Ek,p 0 intervengono gli angoli tra i vettori p 1,..., p nk 1. n k E Il valore minimo Ek,0 0 = jm jc dell energia imperturbata Ek,p 0 t 1 t t 3 t 4 t 5 nel canale k 1 è detto energia di soglia del canale k. Le energie di soglia dei diversi possibili canali di decadimento devono essere tutte inferiori all energia imperturbata del sistema instabile iniziale. 0 E 0 1,0 E 0,0 E 0 i

11 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 11 Probabilità di un particolare decadimento Al fine di mantenere semplici le scritture consideriamo dapprima il caso del decadimento in un canale a 3 corpi. I momenti lineari indipendenti nel canale di decadimento sono (16) p = {p 1, p }. La probabilità di transizione perturbativa dallo stato instabile iniziale agli stati del canale considerato individuati dagli indici p entro il dominio dp risulta (17) P ip,dp (t) = π ħ dp 1dp p Ĥ1 i δħ/t (E 0 p E 0 i ) t Poiché la funzione δ ħ/t (Ep 0 E 0 i ) seleziona le transizioni per le quali l energia imperturbata è praticamente conservata, si ottiene un risultato significativo solo integrando sulle energie Ep 0 Ep 0 1 p. Posto (18) q = {Ω p1, Ω p, p 1 }, p = {q, p }, e introdotta la variabile (19) E 0 = E 0 q,p, invertendo (in funzione di q) la relazione tra E 0 e p otteniamo (0) p = p (q, E 0 ). Allora l elemento di volume dp 1 dp si può riscrivere (1) dp 1 dp 1 = dq dp p = dq de 0 p E 0 p (q, E 0 ), dq = dω p1 dω p dp 1 p 1. Integrando l espressione (17) nell energia Ep 0 = Eq,p 0 = E 0 otteniamo () P iq,dq (t) = π ħ dq de 0 p E 0 p (q, E 0 ) p Ĥ1 δħ/t i (E 0 E 0 i ) t.

12 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 1 La funzione δ ħ/t (E 0 E 0 i ) presenta un picco in E0 = E 0 i di larghezza ħ/t. Per t sufficientemente grande, i rimanenti fattori dell integrando sono di regola funzioni di E 0 praticamente costanti su un intervallo di larghezza ħ/t attorno a E 0 i. Possiamo pertanto approssimarli con il loro valore in E 0 i e portarli fuori dall integrale. Se inoltre la differenza tra E 0 i e il valore di soglia E 0 0 è grande rispetto a ħ/t possiamo portare il limite inferiore di integrazione fino a. Poiché + dx δ a (x) = 1, si ha allora la probabilità di decadimento per unità di tempo (3) P iq,dq = π [ ] ħ dq p E 0 p (q, E 0 i ) p Ĥ1 0. E 0 =E 0 E 0 =E 0 i i Nota Le ultime approssimazioni fatte corrispondono evidentemente a sostituire δ ħ/t (E 0 E 0 i ) con δ(e0 E 0 i ) Nel caso generale del decadimento in un canale a n corpi in modo analogo si ottiene l espressione della probabilità di decadimento per unità di tempo (4) P iq,dq = π [ ] ħ dq pn 1 E 0 p n 1(q, E 0 i ) p Ĥ1 0, E 0 =E 0 E 0 =E 0 i i dove ora q = {Ω p1,..., Ω pn 1, p 1,..., p n }, dq = dω p1... dω pn 1 dp 1... dp n p 1... p n.

13 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 13 Espressione alternativa della probabilità di un particolare decadimento Supponiamo che gli stati di decadimento siano normalizzabili e quindi caratterizzati da un complesso di indici discreti n. La probabilità di transizione perturbativa agli stati di decadimento appartenenti al set f è P if (t) = π ħ ( f) n n Ĥ1 δħ/t i (En 0 E 0 i ) t. Consideriamo un piccolo intervallo energetico de 0 f attorno a un valore E 0 f. Sia ϱ f (E 0 f ) de 0 f = numero di stati di decadimento f in de 0 f. Allora, intendendo che f non contenga specificazioni relative all energia imperturbata e assumendo che per n f si possa porre n,e 0 H 1 f i = f,e 0 H 1 f i, si può scrivere ( f,e 0 n de0 f ) n [ ] = ϱ f (E 0 f ) de 0 f [ ]. Integrando nell energia imperturbata E 0 f si ottiene P if (t) = π ħ def 0 ϱ f (Ef 0 ) f,e 0 f H 1 i δħ/t (E 0 f E 0 i ) t. Con lo stesso tipo di approssimazioni già usate si ottiene in definitiva la probabilità di transizione per unità di tempo (5) P if = π ħ ϱ f (E 0 i ) f,e 0 H 1 i. i L espressione della probabilità di transizione in questa forma si designa di solito come regola d oro di Fermi. La quantità ϱ f (E 0 f ) si dice densità di stati finali.

14 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 14 Calcolo della densità di stati finali Per rendere normalizzabili gli autostati di H 0 imponiamo condizioni al contorno di periodicità in un volume cubico V = L 3. Gli autostati normalizzati di H 0 sono allora (per ciascun prodotto di decadimento) u (V p ) (x) = 1 ( ) i exp V ħ p x, p = πħ L n. Il volume occupato da uno stato nello spazio dei momenti è ( ) 3 πħ = (πħ)3 L V e quindi il numero di stati entro un volume d 3 p è V (πħ) 3 d3 p. Nel caso del decadimento in un canale con n prodotti di decadimento e n 1 momenti indipendenti, il numero di stati con le specificazioni p 1, d 3 p 1..., p n 1, d 3 p n 1 è ( ) n 1 ( ) n 1 V (πħ) 3 d 3 p 1... d 3 V p n 1 = (πħ) 3 dq p n 1 E 0 p n 1 de 0 }{{} ϱ q,dq (E 0 ) La quantità indicata è la densità di stati finali da inserire nella (5). Confronto Apparentemente l espressione (5) differisce dalla (4) per il fattore ( ) n 1 V (πħ) 3. Ma tale fattore è compensato dalla diversa normalizzazione degli stati finali negli elementi di matrice dell interazione. Infatti nella (5) gli stati finali sono (per ogni momento indipendente) u p (V ) (x) = 1 ( ) i exp V ħ p x, mentre nella (4) sono u p (x) = 1 (πħ) 3/ exp ( i ħ p x ).

15 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 15 Probabilità totale di decadimento La probabilità totale di decadimento per unità di tempo si ottiene integrando l espressione (4) in dq e sommando sui canali; risulta (6) P if = π ħ ( i) k dq p nk 1 E 0 k E 0 k =E0 i p n k 1(q, Ei 0 ) k,p Ĥ1 i E 0 k =E0 i. Condizioni di validità Per l applicazione della teoria perturbativa Possiamo assumere come ragionevole criterio che la probabilità di transizione sia molto minore di 1, cioè (a) P if t 1. Per le approssimazioni successive Sia D la quantità più piccola tra 1) l intervallo energetico attorno a E 0 k = E 0 i nel quale i fattori dipendenti da E 0 k non hanno variazioni apprezzabili, ) la distanza di E 0 i dalla soglia di E 0 k. Allora deve essere (b) ħ t D. ( Le condizioni (a) t 1 ) ( ) ħ e (b) P D t sono di regola compatibili, cioè esiste un dominio temporale (di solito molto ampio) ( nel quale sono entrambe soddisfatte P 1 ħ ). D Relazione con la legge esponenziale In conclusione le probabilità dinamiche di decadimento P if (t) e di non decadimento P (t) sono espresse in termini di P if data dalla (6) da P if (t) = P if t = 1 exp( P if t), P (t) = 1 P if t = exp( P if t), } per tempi tali che ħ D t 1 P if La quantità P if è da identificare con la quantità γ che caratterizza la probabiltà dinamica di non decadimento nel dominio di esponenzialità.

16 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 16 DECADIMENTO BETA DI UN NUCLEO Un nucleo instabile N decade (unico canale) in un nucleo residuo N, un elettrone e e un opportuno neutrino ν. Ci proponiamo di valutare la forma dello spettro di emissione dell elettrone prescindendo dal valore assoluto della probabilità di decadimento. Eliminando il moto del baricentro, cioè supponendo il nucleo instabile inziale fermo, per la conservazione del momento linere totale, sarà p e + p ν + p N = 0. Assunta nulla la massa del neutrino, le energie imperturbate in termini dei momenti lineari sono date da E 0 i = E0 N = m N c nel canale iniziale, Ee 0 = c m ec + p e, Eν 0 = c p ν, EN 0 = m N c + 1 p N m N nel canale di decadimento. Con riferimento alle formule particolarizzate per il caso di un decadimento a tre corpi, identifichiamo i prodotti di decadimento 1,, 3 con 1 = e, = ν, 3 = N. Allora q = {Ω pe, Ω pν, p e }, p = p ν, (7) E 0 = E 0 q,p ν = c m ec + p e + c p ν + m N c + 1 m N p ν = p ν (q, E 0 ). p N }{{}, = (p e + p ν ) Conviene introdurre l energia = m N c m N c che rappresenta l energia fornita dalla transizione nucleare, con il che la condizione E 0 = E 0 i si scrive (8) = c m ec + p e + c p ν + 1 p N m N cioè si suddivide nelle energie di e e di ν e nell energia 1 p N m di rinculo di N. N

17 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 17 Dimostreremo che l energia di rinculo di N è sempre trascurabile rispetto alle energie di e e di ν. Le equazioni (7) e (8) diventano allora (9) E 0 = Eq,p 0 ν = c m ec + p e + c p ν + m N c, (30) = c m ec + p e + c p ν. Dalla (9) otteniamo e quindi Dalla (30) otteniamo inoltre p ν = 1 c (E0 c m ec + p e m N c ) p ν E 0 = 1 c p ν = 1 c ( c m ec + p e). La probabilità di transizione per unità di tempo risulta P NN e ν; p e,ω ν,dp e,dω e,dω ν = π ħc 3 p e Ovviamente possiamo sempre sostituire ( c m ec + p e dω e dω ν dω e dω eν dω e dϕ eν d cos ϑ eν. ) pe,pν Ĥ1 N dp e dω e dω ν. Ee 0+E0 ν = Per evidenti motivi di simmetria, l unica dipendenza effettiva dagli angoli di p e e p ν è quella dall angolo tra p e e p ν. Possiamo quindi integrare in dω e dϕ eν, ottenendo P NN e ν; p e,ω ν,dp e,dω e,dω ν = 8π π ħc 3 p e ( c m ec + p e ) pe,pν Ĥ1 N dp e d cos ϑ eν. Ee 0+E0 ν = Il calcolo dell elemento di matrice nucleare pe,p ν Ĥ1 N richiederebbe la conoscenza delle funzioni d onda interne dei nuclei N e N Tuttavia, poiché la dipendenza da p ( e dell elemento di matrice di Ĥ1 è verosimilmente poco pronunciata, il fattore cosiddetto cinematico p e c m ec + pe) dà in pratica lo spettro di pe. La correzione più importante a tale risultato proviene dall interazione coulombiana tra N e e nel canale di decadimento, della quale non abbiamo tenuto conto. Un ulteriore correzione potrebbe provenire da un eventuale massa non nulla del neutrino, che abbiamo assunto essere zero (anche se si potrebbe facilmente ripetere il conto con m ν 0). La figura che segue dà lo spettro di p e nei due casi m ν = 0 e m ν 0. I limiti sperimentali rendono impossibile la rivelazione dell eventuale massa del neutrino per questa via.

18 14/ DECADIMENTO DI SISTEMI INSTABILI 09/10 17 Energia di rinculo del nucleo residuo L energia di rinculo di N è massima in funzione dell angolo tra p e e p ν quando questi sono collineari. Inoltre, al variare dei moduli p e e p ν, essa è massima quando tutta l energia va a e che è dotato di massa piuttosto che a ν che ne è privo. 1 Dunque p N m è massimo rispetto a E0 e + Eν 0 quando p ν = 0; N allora, per la conservazione del momento lineare, p N = p e. Nella situazione descritta, la condizione (8) diventa (31) = c m ec + p e + 1 m N p e dove il primo termine è l energia E 0 e = E 0 e + E 0 ν e il secondo termine è l energia di rinculo di N. Posto l equazione (31) si scrive ( ) pe m m e c = x, e m = q, N m e c = δ, (3) δ = 1 + x + 1 q x. È sempre e, nei casi concreti, q 1 δ 30. La soluzione dell equazione (3) al primo ordine in q è x = (δ 1)(1 δ q), da cui, sempre al primo ordine in q, 1 q x 1 + x = δ 1 δ q. In conclusione 1 m N Ee 0 + Eν 0 p N δ 1 δ q 1.