Due osservazioni sulla diffusione dei raggi corpuscolari. come fenomeno di diffrazione. G. Wentzel a Lipsia

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Cecilia Spada
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1 Due osservazioni sulla diffusione dei raggi corpuscolari 1 come fenomeno di diffrazione. G. Wentzel a Lipsia (ricevuto il 19 novembre 196) 1. Nel caso limite della meccanica classica il quadrato dell ampiezza delle onde materiali di Scrödinger è identico alla densità di volume dei punti materiali di una corrente corpuscolare stazionaria.. Nel problema particolare della diffrazione ce corrisponde alla diffusione dei raggi il primo passo di un procedimento di approssimazione dato da Born fornisce esattamente la distribuzione angolare di Ruterford. 1. Born a di recente proposto, in analogia con note idee sulla natura della luce, di trattare l onda materiale di Scrödinger come un campo guida virtuale (privo d energia) per gli elettroni ed i protoni, mentre la vera energia materiale va pensata concentrata in questi. Il quadrato dell ampiezza dell onda determina allora la densità di volume dei punti materiali in un corrispondente fascio di radiazione corpuscolare. Born a usato questa ipotesi come base per una teoria degli urti elastici e anelastici; la diffusione dei raggi catodici e dei raggi risulta il più semplice dei problemi da trattare con questo metodo. Sorge ora la domanda: ce relazione c è tra questa teoria e i vecci calcoli di quella diffusione ce si fondano sulla meccanica classica e sul calcolo delle probabilità? Si pensi per esempio alla teoria di Ruterford della diffusione dei raggi, ce a trovato sempre nuove conferme sperimentali, ed è servita perfino alla determinazione quantitativa del numero di carice atomice. È possibile dimostrare ce in certi casi limite le asserzioni della veccia teoria corpuscolare e della nuova teoria ondulatoria risultano identice? Possiamo rispondere affermativamente a questa domanda per il 1 Zeitscr. f. Pys. 4, 59 (197). M. Born, Zeitscr. f. Pys. 37, 863 e 38, 83,

2 caso limite della meccanica classica. È noto ce il passaggio al limite corrispondente è analogo a quello dall ottica ondulatoria all ottica dei raggi; si compie con la sostituzione = Aexp[ is/], (1) dove A ed S sono funzioni del punto "lentamente variabili" (S = iconale ovvero funzione d azione). Per abbastanza piccolo dall equazione d onda di Scrödinger si ottiene in prima approssimazione l equazione differenziale alle derivate parziali di Hamilton per S, in seconda approssimazione la seguente equazione differenziale per la funzione d ampiezza A ( / n = derivata nella direzione del "cammino meccanico" grads): 1 S loga = -. () n grads D altra parte ci si persuade facilmente con l applicazione del teorema di Gauss S d = d S n ad un tratto infinitesimo di un "tubo di traiettorie" di sezione q, ce vale sempre: S log(q grads ) =. (3) n grads Confrontando la () e la (3) risulta: n (A q grads ) =, (4) ovvero, poicè grads significa l impulso meccanico mv: A qv = cost. (5) 3 lungo ogni traiettoria. Ma se si identifica A, come sopra preannunciato, con la densità di volume di una corrente corpuscolare, A qv significa la massa delle particelle ce attraversano la sezione q in un secondo, e l equazione (5) garantisce quindi la 3 Per una via alquanto diversa L. de Broglie (C.R. 3 agosto 196) deriva una relazione analoga per quanti di luce, tuttavia in questo caso la velocità v è più o meno ipotetica.

3 riciesta conservazione del numero di particelle. Appare perciò giustificato identificare A con il numero medio di particelle per centimetro cubo ance al di fuori del dominio di validità della meccanica classica.. Il solo caso di diffusione corpuscolare nel quale teoria ed esperimento siano confrontabili quantitativamente è quello della diffusione dei raggi già menzionato all inizio. Poicè è dubbio se questo processo abbia luogo interamente nel dominio di validità della meccanica classica è assai raccomandabile trattare lo stesso per una volta ance come problema di diffrazione, ed applicare un altro tipo di approssimazione rispetto a quella ce deriva dalla meccanica classica. Secondo un procedimento proposto da Born (l. c.) integriamo l equazione d onda 8 m + (W - V) = (6) mediante una serie: = + +, (7) 1 1/ = exp[ik( )], k = / = (mw), = 1. (8) dove indica l onda primaria: Si calcola la serie,,... con l integrale di volume 1 m exp[ik - ] = - d V( ) ( ). (9) i i-1 - Allora risulta infatti + k =, 8 m + k = V, (i = 1,,...) i i i-1 ed equazione differenziale e condizione al contorno sono soddisfatte. È tuttavia essenziale per la convergenza del procedimento ce il potenziale V vada a zero all infinito almeno come - r. Il puro campo coulombiano V = /r quindi non va bene, ma si deve tener conto per lo meno qualitativamente della scermatura dovuta al guscio elettronico esterno. L ipotesi più comoda è 3

4 V = exp[-r/r], (1) r dove R è dell ordine di grandezza del raggio atomico. Infatti allora l atomo (1) è all esterno (r R) completamente neutro, e all interno (r R) si aggiunge al campo del nucleo semplicemente lo "scermatura esterna": r R V = - +. Si dimostrerà ce la scelta particolare della funzione esponenziale nella (1) è del tutto irrilevante per il risultato finale; essa offre solo il vantaggio di assicurare nel modo più semplice la convergenza del procedimento. Si esegue ora la prima approssimazione. Poicè ci si può limitare a una distanza grande dall atomo, si può porre nella (9): ( ) - = - = r - ( ) ( = vettore unitario nella direzione del "raggio secondario"). Di conseguenza sarà per la (8): m exp[ikr] d = - exp - + ik( -, ). (11) 1 r R L integrazione si compie nel modo più semplice in un sistema di coordinate polari (,!," ) il cui asse giaccia parallelo al vettore ( - ): # % $ m exp[ikr] & = - % d" d! sin! d exp - + ik - ' cos! 1 r R exp[ikr] 1 =. (1) r W 1 - ( + k R Se si introduce ora l angolo di diffusione ) compreso tra ed, risulta - ' = sin() /), di conseguenza: exp[ikr] 1 =, (13) 1 r 4W 1 sin () /) + 4k R 4

5 e il rapporto delle intensità tra radiazione diffusa e radiazione primaria sarà: 1 1 * + 1 =,,. (14) - 4W. r * 1 + sin () /) k R Ma kr è dell ordine di grandezza: raggio atomico diviso lungezza d onda, cioè un numero assai grande. A prescindere dagli angoli di diffusione ) piccolissimi la (14) coincide quindi esattamente con l espressione di Ruterford per la distribuzione angolare delle particelle diffuse:,, 1 * W. 4 r sin () /) Perciò in questo caso + è l onda ce corrisponde esattamente 1 alla soluzione della meccanica classica. Non o potuto stabilire se questo derivi da un caso o da una connessione più profonda. Solo il termine successivo della serie (7),, sarà quindi caratteristico della meccanica ondulatoria, cioè rappresenterà il vero fenomeno di diffrazione. Resta ancora da capire sotto quali condizioni esso risulti dimostrabile in pratica. Leipzig, Institut für teoretisce Pysik, novembre

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