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1 Problemi di Fisica

2 Nella sala in cui si svolge un convegno di fisici il termometro segna 9 K. A uanto corrisponde in C? A uanto corrisponde in F a correlazione tra le scale di temperatura è la seguente: t( C 1 t( F 3 18 T(K 73 1 Per trasformare i K in C dobbiamo utilizzare la seguente uguaglianza: t( C 1 T(K 73 t 1 T C Per trasformare i K in F dobbiamo utilizzare la seguente uguaglianza: t( F 3 18 T(K 73 1 x 3 18 dove abbiao posto t( F x (x x , F Sono date due sbarre lunghe 1 m. a sbarra A è fatta di argento (λ C -1 e la sbarra B di piombo (λ C -1. Se la temperatura passa da C a 5 C, uale delle due sbarre subirà l allungamento maggiore? Per stabilire uale delle due sbarre subisce l allungamento maggiore in seguito alla variazione di temperatura di 5 C, dobbiamo utilizzare la seguente legge della dilatazione lineare: 6 Δ λ Δt Δ A m,95 1 m,95mm 6 Δ B m 1,4 1 m 1,4mm Conclusione: la sbarra di piombo subisce un allungamento maggiore rispetto alla sbarra di argento.

3 Calcolare il coefficiente di dilatazione di un metallo non noto, sapendo che a la sua lunghezza è di 1,5 m e che a 96 C la lunghezza è diventata di 1,54 m. Il coefficiente di dilatazione lineare lo calcoliamo come formula inversa della legge della dilatazione lineare: Δ λ Δ 1,54 1,5 6 1 Δt λ 1,81 1 C Δt Δt 1,5 96 Determinare la temperatura a cui è arrivata una sbarra di ferro (λ C -1, sapendo che a C la sua lunghezza è di 4,5 m e che per tale aumento di temperatura ha raggiunto una lunghezza di 4,55 m. a temperatura finale a cui è arrivata la sbarra di ferro la calcoliamo come formula inversa della legge della dilatazione lineare: Δ Δ 4,55 4,5 λ Δt Δt 96 C λ λ ,5 Sono dati due cubi di lato 1,3 m. Il cubo A è fatto di alluminio (λ 3, C -1 ed il cubo B di ghisa (λ 1, C -1. Se la temperatura passa da C a 1 C, uale dei due cubi subirà la dilatazione maggiore? Per stabilire uale dei due cubi subisce la dilatazione maggiore in seguito alla variazione di temperatura di 1 C, dobbiamo utilizzare la seguente legge della dilatazione volumetrica: Δ V α V Δt ΔV 3 3,36 1 A ,3 1,15m ΔV B 3 1,75 1 1,3 1,71m dove: α 3 λ V 3 Conclusione: il cubo di alluminio subisce una dilatazione volumetrica maggiore rispetto al cubo di ghisa.

4 Un contenitore cilindrico di vetro con diametro di 8, cm e altezza 5, cm, chiuso ermeticamente e senza aria all interno, è riempito di mercurio fino a un altezza di 4,7 cm alla temperatura di C. Ipotizzando che uest ultima salga a un valore di 45 C, stabilisci se il contenitore di vetro, di cui si può trascurare la dilatazione, rischia di rompersi oppure no. a risposta va trovata nel confronto tra il volume del contenitore cilindrico di vetro e uello del mercurio alla temperatura alla temperatura di 45 C. Calcolo del volume del contenitore cilindrico di vetro: V cil cil π R h π cm 3 Volume del mercurio alla temperatura di 45 C: dove: V mer Vmer V (1 + α Δt 141 (1 + 1, π R h π 4 4,7 141 cm cm 3 Conclusione - Il contenitore di vetro non si rompe in uanto il suo volume è superiore al volume dilatato del mercurio: V cil > V mer Il contenitore di vetro non si rompe Un asta di ferro (λ C -1 è lunga 3 m alla temperatura di C. 1 Completa la seguente tabella: Δt ( C Δ (m Elabora un grafico riportando sull asse delle X le variazioni di temperature Δt e sull asse delle Y le variazioni di lunghezza Δ 3 Che tipo di proporzionalità intercorre tra le variazioni di temperatura e le variazioni di lunghezza? 1 Per completare la tabella dobbiamo utilizzare la seguente legge della dilatazione lineare:

5 Δ λ Δt Δt ( C Δ (m,18,36,54,7,9 Noti i valori di Δt ( C e di Δ (m, possiamo costruire il grafico: 3 Poiché il grafico è una retta possiamo concludere che la variazione di lunghezza Δ e la variazione di temperatura Δt sono direttamente proporzionali e la legge fisica che le mette in relazione è di tipo lineare, ossia rappresentata da un euazione di 1 grado. Due sbarre, una di ferro (λ 1 1, 1-5 C -1 ed una di rame (λ 1,7 1-5 C -1 sono saldate insieme ad una estremità. a lunghezza totale alla temperatura t 1 1 C vale 1 8,111 cm, mentre alla temperatura t 1 C vale 8,111 cm. Calcolare la lunghezza delle due sbarre alla temperatura t C Dette rispettivamente 1 e le lunghezze delle due sbarre alla temperatura t C, applicando le leggi della dilatazione lineare si ha: ( 1 + λ1t1 ( 1 + λ t (1 + λ t (1 + λ t 1 Quello ottenuto è un sistema di due euazioni in due incognite, che risolto ci dà i valori delle lunghezze 1 e alla temperatura t C. Per comodità di calcolo indichiamo con x e y le due incognite e risolviamo il sistema con il metodo di Cramer:

6 1,1x + 1,17y 8,111 1,1x + 1,17y 8,111 x 8,111 1,17 8,111 1,17 5 cm 1,1 1,17 1,1 1,17 y 1,1 1,1 1,1 1,1 8,111 8,111 1,17 1,17 3 cm In definitiva: 1 5 cm 3 cm Un trapezio isoscele ha i lati obliui e la base maggiore costituite da tre sbarre di ferro (λ 1 1, 1-5 C -1 che alla temperatura t C hanno tutte la stessa lunghezza 1 1 cm. a base minore è costituita da una sbarra di rame (λ 1,7 1-5 C -1 che alla temperatura t ha una lunghezza 99,85 cm. A uale temperatura il trapezio diviene un uadrato? Un trapezio isoscele diviene un uadrato uando la base maggiore 1 e la base minore hanno la stessa lunghezza, per cui la temperatura t richiesta, affinché ciò avvenga, sarà uella per cui: Esplicitando rispetto a t si ottiene: 1 1 (1 + λ1t (1 + λt + 1λ1t + λt ( 1λ1 λt , 85 1 t 3 C λ λ , 1 99, 85 1, Qual è la differenza tra i periodi di un pendolo semplice calcolati alle temperature t 1 3 C e t 6 C se il pendolo batte il secondo T 1 s alla temperatura t C ed il coefficiente di dilatazione lineare della sostanza di cui è fatto il filo è λ,4 1-5 C -1? Detti rispettivamente T, T 1 e T i periodi del pendolo alle temperature t, t 1 e t si ha: T π g T 1 π (1 + λt g 1 T π (1 + λt g

7 Ricavando dalla prima legge: T 4π g e sostituendolo nelle altre due si ha: T T g T g (1 + λt 1 (1 + λt 4 1 π π T 1 + λt1 T 4 π π T 1 + λt g g a differenza tra T e T 1 ci darà la differenza tra i periodi del pendolo semplice calcolati alle temperature t e t 1 : ΔT T 1 T 1 T 1 +, λt 6 T 1 +, λt 5 1 T 3 3,7 1 ( 1 + λt 1 + λt 4 s 1 Un cilindro di ottone di sezione S cm contiene una massa di 5 g di glicerina all interno di un volume V cm 3 di glicerina, compresso da un pistone di massa trascurabile che è schiacciato da una forza F 6 N. Trascurando la dilatazione dell ottone e supponendo di riscaldare il recipiente da t 1 6 C a t 16 C, calcolare: 1 Il lavoro meccanico compiuto dalla glicerina contro la forza F a uantità di calore assorbita dalla glicerina (γ 5,3 1-4 C -1 ; c,58 cal/g C 1 Dato che la forza F agisce lungo la direzione h dello spostamento del pistone, il lavoro meccanico compiuto dall espansione della glicerina è dato da: F h aumento di volume della glicerina lo calcoliamo come: 4 ΔV V γδt 5, ,6 cm per cui il pistone si alza della uantità: ΔV 1,6 Δ V S h h,53cm S In definitiva: 3 6,53 1 3,18 J Applicando la legge fondamentale della calorimetria calcoliamo la uantità di calore assorbita dalla glicerina: Δ Q mcδt 5, ,6 kcal

8 Un calorimetro di rame (c 1,93 cal/g K di massa m 1 18 g, contiene un olio (c,5 cal/g K di massa m 8 g. Il liuido viene agitato con un mulinello che compie un lavoro 8854,8 J e la temperatura del sistema si innalza di ΔT5 K. Calcolare l euivalente meccanico del calore a uantità di calore assorbita dal calorimetro di rame è data da: Δ Q 1 a uantità di calore assorbita dall olio è data da: Δ 1 m1c ΔT 18,93 5 5,cal Q mc ΔT 8,5 5 8cal a uantità totale di calore assorbita dal sistema rame olio è: Δ Q ΔQ1 + ΔQ 5, ,cal Pertanto, l euivalente meccanico del calore,per definizione, è: j 8854,8 4,16J / cal ΔQ 13, Un soggetto con la febbre beve, litri di acua alla temperatura di 1, C. Sapendo che per raggiungere l euilibrio termico con il corpo l acua ingerita assorbe una uantità di calore pari a 5,7 kcal, calcolare la temperatura dell ammalato. a temperatura dell ammalato la calcoliamo come formula inversa della legge fondamentale della : 3 Q 5,7 1 Q mcδt Δt 8,5 C t 1, + Δt 1, + 8,5 38, 5 C mc 1 dove: c 1, cal/g C, litri g Una massa d acua alla temperatura di 17 C cade da un altezza di 9 m e tutta l energia potenziale si converte alla fine in calore che riscalda l acua. 1. A uale temperatura (in C si troverà l acua dopo la caduta?. a temperatura finale dipende dalla massa dell acua che cade? 3. Sapresti dare una spiegazione in analogia alla caduta dei gravi?

9 MODEO FISICO Nell ipotesi che non ci sia dispersione di calore all esterno, ossia considerare il sistema massa d acua come un sistema isolato, l energia potenziale posseduta dalla massa d acua dopo la caduta si trasforma in calore, che causa un aumento della sua temperatura, data l euivalenza tra energia e calore (esperienza di Joule EGGI ED EQUAZIONI energia potenziale U si converte totalmente in calore Q e sussiste la seguente relazione: con: e dove U (1 4, 186 J/cal Q U mgh mc(t t Q e t e temperatura di euilibrio t temperatura iniziale c calore specifico dell acua AGEBRICA Sostituiamo nella (1 le espressioni corrispondenti: mgh / mc(t / t e 4,186 gh 4,186 c(t e t da cui si ricava la temperatura finale: ( t e gh + 4,186 ct 4,186 c OSSERVAZIONE - Nei problemi di conservazione dell energia meccanica l energia potenziale di un corpo di massa m si trasforma integralmente in energia cinetica e la velocità finale non dipende dalla massa ( v gh. Analogamente succede per i problemi in cui l energia meccanica si trasforma in calore: la temperatura di euilibrio non dipende dalla massa del corpo coinvolto, come si evince dalla relazione (. NUMERICA Sostituendo nella ( i valori dati si ottiene il valore della temperatura finale: dove: c 1 3 cal/kg C t 3 e 9, , ,1 C 3 4,186 1

10 Calcolare la temperatura di euilibrio di una massa d acua m 1 5 g che, inizialmente a 3 K, riesce a fondere completamente una massa m 1 g di ghiaccio Nell ipotesi che la uantità di calore ceduta dall acua più calda sia interamente assorbita dal ghiaccio per fondere e successivamente dall acua derivante dal ghiaccio fuso (acua calda + ghiaccio + ghiaccio fuso sistema isolato, si deve avere Q ceduto Q assorbito Sostituiamo alle uantità di calore scambiate le loro espressioni matematiche (le variazioni di temperatura Δt vanno prese positive e dall euazione ottenuta ricaviamo la temperatura di euilibrio: m1c 1(T1i T e m f+ mc (Te T i T ,6T e Te Tf 8K 51 f In un recipiente termicamente isolato vengono mescolati, litri di acua alla temperatura di 7 C con 1 g di acua alla temperatura di 4 C. Determinare la temperatura finale di euilibrio, supponendo che la uantità di calore ceduta dall acua più calda sia interamente assorbita dall acua più fredda Nell ipotesi che la uantità di calore ceduta dall acua più calda sia interamente assorbita dall acua più fredda (acua calda + acua fredda sistema isolato, la somma algebrica dei calori scambiati deve essere nulla: Qi Q1 + Q dove Q 1 è negativo in uanto è calore ceduto e Q è positivo in uanto è calore assorbito. Sostituiamo alle uantità di calore scambiate le loro espressioni matematiche (le variazioni di temperatura Δt vanno prese positive e dall euazione ottenuta ricaviamo la temperatura finale di euilibrio: m1 c(t 1i t e + mc(t e ti m 1t1i + m1t e + mt e mti (m1 + mt e m1t1i + mt i t m1t1i + mti C m + m + 1 e 1

11 In un recipiente contenente,9 kg di olio d oliva (c olio 17 J/kg C viene immerso un pezzo di 35 g di acciaio (c acc 5 J/kg C. a temperatura iniziale dell olio è di 15 C, mentre uella di euilibrio raggiunta alla fine euivale a 1 C. Calcolare la temperatura iniziale dell acciaio Nell ipotesi che la uantità di calore ceduta dall olio più caldo sia interamente assorbita dall acciaio più freddo (acua calda + acciaio freddo sistema isolato, si deve avere Q ceduto Q assorbito Sostituiamo alle uantità di calore scambiate le loro espressioni matematiche (le variazioni di temperatura Δt vanno prese positive e dall euazione ottenuta ricaviamo la temperatura iniziale dell acciaio: t m1c t + m c t m1c acc(t1i t e mcolio (t e ti (1 m c t m c t m c t m c m 1 acc 1i 1 acc e olio e olio ti 1cacct1i m1c acct e + mcolio t e mcolio ti m c t, ,9 17 1, ,35 5 acc e olio e olio i 1 i m1c acc 74,4 C OSSERVAZIONE Se si trovano difficoltà ad operare come sopra, si può trasformare la (1 in una semplice euazione numerica la cui soluzione dà la temperatura iniziale dell acciaio: m1c acc(t1i t e mcolio (t e t,35 5 (x 1,9 17 ( x x 138 x 74,4 C 176 i Si consideri un corpo di capacità termica non costante, ma che dipenda dalla temperatura secondo una crescita lineare del tipo: C(T at + b con a,1 J/K b 167,4 J/K 1. Disegnare sul piano cartesiano il grafico C(T;. Calcolare l effettiva uantità di calore assorbita dal corpo uando la sua temperatura varia da T 1 C a T 8 C

12 1. euazione da riportare sul grafico è la seguente: che rappresenta, ovviamente, una retta: C(T,1T + 167, 4. a uantità di calore assorbita dal corpo uando la sua temperatura passa da T 1 C a T 8 C è data dall area del trapezio ABCD: dove: BC + AD Q Area DE 6 576J BC C(T, , 4 99 J /K AD C(T 1, , J /K DE T T K Attenzione: per come le costanti a e b sono espresse, le temperatura vanno indicate in kelvin (K. Determina la temperatura superficiale del Sole, nell ipotesi di corpo nero, considerando che si registra un massimo di intensità di emissione di radiazioni alla lunghezza d onda di 5 nm. MODEO FISICO Nelle ipotesi di corpo nero, per ogni temperatura il massimo della curva di distribuzione spettrale si ha in corrispondenza di una particolare lunghezza d onda, che risulta inversamente proporzionale alla temperatura stessa.

13 EGGI ED EQUAZIONI Il massimo della curva è dato dalla legge di Wien: 3 λ T,898 1 m K NUMERICA a temperatura superficiale del Sole è: T,898 1 λ 3 e uindi, sostituendo il valore di λ in corrispondenza del uale si ha un massimo di emissione si ottiene: T, K a temperatura di Rigel, una stella nella costellazione di Orione, è di 118 K. Determinare ual è il colore più intenso che la stella emette. Considerando valide le ipotesi dell esercizio precedente, dalla legge di Wien si ricava la lunghezza d onda corrispondente alla massima emissione: λt, mk λ, ,6 nm a radiazione non cade nello spettro del visibile ma nell ultravioletto (1 4 nm CONSIDERAZIONI FINAI A seconda dell intensità dello spettro luminoso le stelle si possono suddividere in tipi spettrali. Per esempio il Sole appartiene alla classe spettrale G, stelle con temperature superficiali comprese tra 4 K e 6 K, caratterizzate da righe spettrali che evidenziano la presenza di metalli e calcio. Rigel fa parte della classe spettrale A, con temperature tra 8 K e 1 K, che presentano le righe caratteristiche dell idrogeno. Altre stelle di classe A sono Altari, Sirio e Vega. a Stella Polare è invece di classe F, stelle con temperature comprese tra 6 K e 8 K. In una casa una parete di mattoni (λ mattoni,81 W/m K di spessore 1 cm, ha una superficie di m e in una giornata invernale la differenza fra le temperature delle due facce è di C. Calcolare la rapidità con cui il calore attraversa la parete

14 Il meccanismo di propagazione del calore attraverso la parete è la conduzione, per cui la legge della conduzione termica è: Q Δτ Δt λ S (1 Sostituendo nella (1 i dati del problema, ricaviamo la rapidità con cui il calore attraversa la parete: Q Δτ,81,1 34J / s a parete esterna esposta al Sole di una stanza di 4m di larghezza per 3m di altezza, si trova alla temperatura uniforme di 5 C. Il suo spessore è di 3 cm ed è costituita da mattoni (λ mattoni,81 W/m K. Determina la uantità di calore che un condizionatore deve asportare ogni secondo per mantenere all interno della stanza una temperatura di C. Il meccanismo di propagazione del calore attraverso la parete è la conduzione, per cui la legge della conduzione termica è: Q Δτ Δt λ S da cui: Δt Q λ S Δτ (1 Sostituendo nella (1 ì dati del problema, calcoliamo la uantità di calore che il condizionatore deve asportare, ogni secondo, per mantenere costante la temperatura a C all interno della stanza: ( 5 Q, , J dove: S m,3 Una stanza ha una parete in pietra calcare (λ calcare, W/m K dello spessore di 4 cm con una larghezza di 5, m e un altezza di 3,5 m. Se la temperatura della faccia interna è di 16 C e vengono forniti alla stanza ogni ora,5 1 6 J in termini di calore, uanto vale la temperatura esterna? Il meccanismo di propagazione del calore attraverso la parete è la conduzione, per cui la legge della conduzione termica è: Q Δτ Δt λ S (1

15 Ricaviamo dalla (1 la differenza di temperatura: Δ t Q λ S Δτ 6,5 1,4, 17,5 36 7, C dove: S 5, 3,5 17,5 m Δτ 1 ora 36 s Dalla conoscenza della differenza di temperatura possiamo risalire al valore della temperatura esterna: Δ t tint erna testerna testerna tint erna Δt 16 7, 8,8 C Per una gita, alcuni ragazzi portano bottiglie da 1,5 l di bibite fresche (calore specifico C b 3,98 kj/(kg. K, densità ρ 1, kg/l; essendo estate, la temperatura esterna è abbastanza alta (T est 38 C e i ragazzi decidono preventivamente di mettere le bottiglie all'interno di una borsa termica, che presenta una superficie complessiva S 15 cm, uno spessore delle pareti d 95 mm e una conducibilità k 11,7 1 - W/(m. K. Se i ragazzi desiderano bere le bibite dopo 3 ore, almeno alla temperatura di 15 C, uale temperatura ci deve essere inizialmente all'interno della borsa termica? a uantità di calore ceduta dalle bibite alla borsa termica è data da: Q mbc b(tb T int a uantità di calore ceduta per conduzione dalla borsa termica è data da: Q S(T T est int k τ Dall uguaglianza di ueste due relazioni otteniamo un euazione nell incognita T int (temperatura iniziale all interno della borsa termica: S(T T m c (T T k d est int b b b int τ d 3, (15 T int,117,15 (38 T 18,95 int T T int Tint Tint 11,3 C 1333 int dove: mb ρ V 1, 3 3,6kg Attenzione: usare le unità di misura del SI.

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