IL CERCHIO COME FUNZIONE COMPLESSA

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Fabia Martelli
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1 IL CERCHIO COME FUNZIONE COMPLESSA Si perde nella notte dei tempi, l'importanza ed il fascino di un oggetto geometrico come il cerchio. La semplicità delle caratteristiche del cerchio, la sua perfetta simmetria, hanno indotto Euclide a sceglierlo, nei suoi "Elementi", come un ente geometrico fondamentale. Ed è anche noto che i matematici greci accettavano esclusivamente figure geometriche costruite con riga e compasso: rette e cerchi. Il cerchio era considerato una figura perfetta. L'angolo poi può ess ere inteso come una frazione del cerchio, ed anch'esso è importantissimo in geometria. Gran parte della geometria e della matematica greche è dedicata alla ricerca rigorosa della quadratura del cerchio. Archimede, cercando il limite tra poligoni regolari inscritti e circoscritti, pervenne al valore di 3,1428 per, il numero trascendente che rappresenta il rapporto tra la circonferenza ed un suo diametro. Di (i Greci non utilizzavano questo nome: il simbolo fu introdotto nel 1700) si rinvengono tracce tra i Babilonesi e nella Bibbia: valeva 3. Eccezionale il valore di 3,1605 attribuito all'egizio Ahmes e rinvenuto nel Papiro Rhind che risale addirittura al 1600 a.c. Ed è anche eccezionale la precisione raggiunta da un astronomo cinese, Tsu Ch'ung-Chin, nel V secolo d.c., esatta fino al milionesimo: = 355/113. Ma già nel 350 a.c. si andava oltre il semplice cerchio, con le sezioni coniche di Menecno. Il cerchio fece infatti presto parte delle Coniche. Un primo trattato risale al 320 a.c. ad opera di Aristeo, poi seguito da quello di Euclide del 300 a.c.; en trambi sono andati perduti. Nell'antichità il culmine fu raggiunto nel 225 a.c. con il trattato di Apollonio "Le Coniche", in 8 volumi. La trattazione è praticamente quella odierna. Intorno al 1700 rifiorì la pratica del calcolo delle cifre di. Il record spetta al matematico inglese Shanks che calcolò i decimali di per ben 20 anni. Egli giunse così nel 1783 ad ottenere manualmente 707 cifre, ma un errore alla 528ª cifra rese errate tutte le altre. Oggi il calcolo di centinaia di migliaia di cifre di serve da rodaggio (qualcuno allude ai gargarismi) ai nuovi modelli di computers. Il record attuale, raggiunto con super calcolatori che lavorano in parallelo, è dell'ordine dei due miliardi di cifre. Una volta riportate le note e curiosit à storiche di cui sopra, cominciamo col considerare l equazione che rappresenta il cerchio nel campo reale y 2 + x 2 = r 2, ovvero y = r 2 x 2. 1

2 Riferendoci ad essa, possiamo scrivere nel campo complesso l equazione equivalente, nel sen so che la ricomprende in sé, allorquando alla variabile complessa indipendente X si assegnano valori reali. Vedremo in seguito come rappresentare al meglio la parte reale, oltre che quella complessa. Quindi: Y 2 + X 2 = R 2, ovvero Y = R 2 X 2 dove X = Xr + Xi j, Y = Yr + Yi j ed R = r è il raggio se assume valori reali. Nel caso si voglia, coerentemente, considerare il caso generale in cui il raggio è una costante complessa, allora la funzione cerchio complesso non avr à una corrispondente funzione reale i cui punti siano un sottoinsieme dei punti della funzione complessa. In tal caso avremo R = Rr + Ri j od anche R = Rx + Ry j. Anzitutto possiamo cercare gli zeri della funzione complessa cerchio, sia nel caso del raggio reale che in quello del raggio complesso, scrivendo le relative funzioni ovoidali: il cerchio complesso si dimostra essere una funzione meromorfa che si può scrivere nella forma F(X) = Fr( Xr, Xi ) + Fi( Xr, Xi ). Infatti, scrivendo in questo ca so X = x + y j, si ha X 2 = (x + y j) 2 = x 2 y xy j Y = Kr + Ki j = R 2 X 2 = R 2 x 2 + y 2 2 xy j = = [ (R 2 x 2 + y 2 ) x 2 y 2 + R 2 x 2 + y 2 ] / 2 [ (R 2 x 2 + y 2 ) x 2 y 2 (R 2 x 2 + y 2 ) ] / 2 j e, dopo le opportune semplificazioni, Ov(x,y) = z = (R 2 x 2 + y 2 ) x 2 y 2. Ne scaturiscono i graf ici qui di seguito, da cui si vede subito che la funzione cerchio ha solo due punti complessi nulli, in ( - r, 0) ed in (+ r, 0), e sono quelli della sua parte reale. 2

3 Inoltre la funzione cerchio trasforma la seguente famiglia di ovali di Cassini: 3

Nel caso generale del raggio complesso si ha: Y = Kr + Ki j = R 2 X 2 = Rx 2 Ry 2 x 2 + y 2 + 2 RxRy j 2 xy j e, dopo i relativi sviluppi, Ov(x,y) = z = (Rx 2 + y 2 Ry 2 x 2 ) 2 + 4 (RxRy x y) 2.

4 Nel caso generale del raggio complesso si ha: Y = Kr + Ki j = R 2 X 2 = Rx 2 Ry 2 x 2 + y RxRy j 2 xy j e, dopo i relativi sviluppi, Ov(x,y) = z = (Rx 2 + y 2 Ry 2 x 2 ) (RxRy x y) 2. Da cui la rappresentazione Da cui si vede che anche per la funzione cerchio con raggio complesso abbiamo solo due punti complessi che la annullano, e sono quelli coincidenti con il valore del raggio complesso e con il valore opposto. In questo caso con R ( 2, j) e con + R (+2, j). 4

5 Infine, viene trasformata la seguente famiglia di ovali obliqui 5

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