COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE

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1 COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA DI BASE (Laurea triennale in Fisica) Prova scritta del 7 Febbraio 5 Considerata la successione di funzioni {f n } da [,+ [ in R a) mostrare che esiste il e calcolare f(); f n () := n ep( n), lim f n() := f() n + b) verificare che la convergenza di {f n } ad f non è uniforme su [,+ [, mentre lo è su [,+ [; c) determinare se vale o no l uguaglianza + lim n + f n ()d = + f()d. Sia Ω un sottoinsieme di R non vuoto, misurabile (secondo Lebesgue) e di misura finita. Mostrare che, per ogni funzione f sommabile in Ω e per ogni λ R, a) la funzione g λ () := (f() λ) /3 è sommabile in Ω; b) lim g λ ()dm = + ; g λ ()dm =. λ Ω lim λ + Ω 3 Calcolare l integrale curvilineo γ ω, dove: ω := (e y + y e + y)d + (e y + e y)dy e γ è l ellisse di equazione + 9y = 4, percorsa una volta in senso orario. [Suggerimento: si determini una forma differenziale ω che ha un espressione molto più semplice di quella di ω, ma tale che γ ω = γ ω ]. a) Si ha f n () = n N, quindi f() =. Per ogni > fissato, è evidente che n f n () = tende a per n + (ep(n) ha ordine di infinito maggiore di ep(n) r r R). Quindi f è la funzione identicamente nulla su [, + [. b) Per dimostrare che la convergenza di f n ad f non è uniforme su [,+ [, si osservi che f n è, f n () =, e lim + f n () = ; quindi f n (che non è identicamente nulla) ha massimo positivo in ],+ [. Dato che ( ) f n() = n n ep( n) si annulla se e solo se = /(n), tale punto è di massimo per f n, ed il valore del massimo è f n (/(n)) = n3/ e /. Quindi non solo non è vero che per n + si

2 ha sup f n (), ma anzi sup f n () +. Invece, per la funzione f n è decrescente, quindi sup f n () = f n () = n e n tende a per n +, dunque la convergenza è uniforme. c) L uguaglianza è falsa: più precisamente, il limite a primo membro vale +. Infatti, dato che e n è decrescente, si ha che + f n ()d > n /n / e n d > n e /n / d = 3e n/. a) La funzione g λ è misurabile in Ω, perché è la composizione della funzione misurabile f e della funzione continua t (t λ) /3. Inoltre, per ogni t R si ha t /3 < + t (se t < si ha t /3 < + t, e se t si ha t /3 t < + t ). Di conseguenza, risulta g λ () = f() λ /3 < + f() λ < + λ + f(), funzione sommabile in Ω (che ha misura finita). Dunque g λ è sommabile, quindi lo è anche g λ. b) Per ogni Ω, la funzione λ g λ () è decrescente, così come la funzione λ G(λ) := Ω g λ()dm; quindi esistono i limiti G := lim G(λ) R {+ } e G + := lim G(λ) R] { }. λ λ + Se, per assurdo, fosse ad esempio G + R, la successione decrescente di funzioni sommabili {g n } avrebbe la corrispondente successione {G(n)} degli integrali limitata. Ma allora, per il Teorema di Beppo Levi, {g n } dovrebbe convergere q. o. in Ω ad una funzione sommabile, impossibile perché g n () tende a quando n +. 3 È chiaro che ω non è chiusa, perché y (ey + y e + y) = e y + e +, mentre (ey + e y) = e y + e, ma che lo è ω := (e y + y e )d + (e y + e y)dy. Dato che ω è chiusa in tutto R, è anche esatta, quindi, posto ω := ω ω, si ha ω = ω = y d = y d; γ γ γ utilizzando ad esempio per γ la rappresentazione parametrica (t) = cos t, y(t) = 3 sin t ( t π), si ottiene che π ω = 3 sin t( sin t)dt = 8 π sin t dt = π. γ γ Data la successione di funzioni Prova scritta del 4 Febbraio 5 f n () := (sin )n + n(sin) n, i) calcolare (quando esiste) il limite puntuale di {f n } su [,π]. ii) Mostrare che la serie + n= ( ) n f n () converge puntualmente in [,π]. La convergenza è uniforme su [,π]?

3 Per ogni λ R, si ponga: f λ (,y) := 3 + y 3 y + λ; γ λ := {(,y) R f λ (,y) = }. i) Stabilire per quali valori di λ l insieme γ λ è sicuramente, nell intorno di ogni suo punto, il sostegno di una curva regolare semplice. ii) Studiare la curva di sostegno γ := {(,y), y, e f (,y) = }. In particolare, determinare i punti di γ che hanno ascissa massima, e quelli che hanno ordinata massima. [Suggerimento: una rappresentazione parametrica di γ si può ottenere determinando le intersezioni di γ con le semirette del primo quadrante che iniziano dall origine]. i) Nell intervallo [,π] si ha f n () = n n(sin ) n + n(sin) n n n N, quindi {f n } tende (uniformemente) alla funzione f identicamente nulla. ii) Dato che f n (), e la successione {f n ()} è infinitesima per ogni [.π], è possibile applicare il criterio di Leibniz per dedurre la convergenza della serie se mostriamo che ],π[ la successione è decrescente. Per ],π[, la condizione f n+ () < f n () equivale a sin( + n(sin ) n ) < + (n + )(sin ) n+, cioé a sin < + (sin ) n+, che è ovvia. Di conseguenza, la serie converge per ogni [,π] ad un valore s() R. Indicata con s n () la ridotta n-esima della serie nel punto di ],π[, è noto che risulta s() s n () f n+ () [,π]. Poiché, come si è visto, f n+ () /(n+) n N, ne segue che sup s() s n () π n +, dunque la serie converge uniformemente nell intervallo [,π]. i) Per il teorema del Dini, l insieme γ λ è sicuramente, nell intorno di ogni suo punto, sostegno di una curva semplice se f λ (,y) (,y) γ λ. Le sole soluzioni del sistema { D f λ (,y) = 3 y = D y f λ (,y) = 3y = sono (,) e ( 3, 3 ). Ma (,) γ λ λ =, mentre ( 3, 3 ) γ λ λ = 7. Dunque se λ è diverso da e da 7 l insieme degli zeri di f λ (che non è mai vuoto né ridotto ad un punto, dato che (, 3 λ) e ( 3 λ,) appartengono a γ λ ) è localmente il sostegno di una curva regolare semplice. ii) È evidente che γ è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo quadrante, e che (,) γ. Fissato t >, le intersezioni tra γ e la semiretta {(,t) } sono le soluzioni del sistema { y = t 3 + y 3 y = cioè { y = t ( + t 3 ) 3 t = (t ). 3

4 Un intersezione ( ) è (,); per ogni t > c è una ed una sola altra intersezione, nel punto t + t 3, t + t 3. Una rappresentazione parametrica di γ è quindi data da γ (t) = ((t),y(t)), con (t) = t t + t3, y(t) = + t 3 (t ). Si noti che lim t + γ (t) = (,). Poiché (t) = t3 t 3 ( + t 3 ), y (t) = t ( + t 3 ), la semitangente nell origine per t + è orizzontale (per simmetria, quella per t + è verticale). La massima ascissa dei punti di γ si determina facilmente. Poiché () = lim t + (t) =, (t) deve avere massimo positivo in ],+ [; dato che (t) = t = / 3, il massimo vale (/ 3 ) = Per simmetria, questo è anche il massimo valore delle ordinate di punti γ, ed è assunto per t = 3. Nel punto ( 3 3 4, 3 3 ) la tangente a γ è verticale, in ( 3 3, 3 3 4) è orizzontale. Le proprietà di convessità della funzione y = y() che localmente tranne i punti (,) e ( 3 3 4, 3 3 ) rappresenta la curva γ si ricavano facilmente osservando che (posto per semplicità f := f ) y () = [ f (f y ) f y f f y + f yy (f ) ] (f y ) 3. Dato che, come si è visto, f = 3 y, f y = 3y, da cui f = 6, f y =, f yy = 6y, si calcola facilmente che su γ, dove 3 + y 3 = y, l espressione tra parentesi quadra vale y, quantità sempre positiva su γ \ (,). Di conseguenza, su γ privato dei punti (,) e ( 3 3 4, 3 3 ) y () ha segno opposto a quello di f y (,y()) = 3y t () = ( + t 3 ) (t3 ), ed è pertanto positiva se < t < / 3, negativa se t > / 3. Il grafico di γ è il seguente:

5 Prova scritta del 6 Giugno 5 Data la serie di funzioni n= ( + ) n, i) determinare l insieme A R in cui la serie converge. ii) Calcolare, A, la somma della serie. iii) Determinare un sottoinsieme con interno non vuoto di A in cui la serie converge uniformemente. Sia ϕ una funzione integrabile secondo Lebesgue nell insieme misurabile A R. Posto f n () := ϕ() n, si calcoli il lim n + A f n()d. 3 Si consideri la forma differenziale ω := αy ( ) d + dy. i) Determinare il dominio Ω di ω e disegnarlo nel piano. Determinare α in modo che ω sia chiusa in Ω. ii) Stabilire se, per il valore (o i valori) di α di cui al punto precedente, la forma è esatta in Ω; in caso affermativo, scriverne un potenziale. iii) Calcolare, sempre per il valore (o i valori) di α di cui al punto i), gli integrali γ ω e eγ ω, dove γ è il segmento di estremi (,) e (,), e γ è la circonferenza di centro (,) e raggio. i) Per definizione, n= ( + ) n = lim n + n k= ( + ) k = lim n + s n(), dove s n () è la ridotta n-esima della serie geometrica di ragione /( + ); in particolare, per = si ha s n () = per ogni n, quindi A. Per, si osservi che la serie geometrica di ragione /( + ) converge se e solo se + >, cioè se e solo se > oppure < ; ne risulta che A =], [ [,+ [. ii) Si è già visto che per = la somma della serie è uguale a zero. Per A \ {}, la somma della serie è uguale a = + = +. + iii) Fissati N > ε >, per [ε,n] si ha < ( + ) n N ( + ε) n, e l ultima quantità scritta è il termine generale di una serie numerica a termini postivi convergente; per il criterio di Weierstrass, la serie data converge uniformemente (ed assolutamente) in [ε,n]. In modo analogo si controlla che la serie converge uniformemente in [ N, ε]. 5

6 Conviene introdurre gli insiemi A := { A ϕ() < }; A := { A ϕ() = }; A + := { A ϕ() > }, che sono misurabili, disgiunti, e la cui unione dà A; l integrale di f n su A può quindi essere scritto come somma degli integrali su A, su A e su A +. In A, si ha f n () =, quindi l integrale su A vale m(a ) ed è indipendente da n. In A, si ha f n () = f n () < ϕ(), quindi, per il Teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata, ( ) lim n + A f n ()d = A lim f n() n + d =. Infine, in A + la successione {f n } è crescente; quindi anche la successione degli integrali su A + delle f n è non decrescente, e tende ad un limite, finito o = +. Se tale limite è finito, per il Teorema di Beppo Levi la successione {f n ()} deve tendere quasi ovunque in A + ad una funzione integrabile; dato che in A + si ha f n () +, ciò è possibile se e solo se m(a + ) =. In conclusione, il limite cercato vale: { + se m({ A ϕ() > }) >, m({ A ϕ() = }) R {+ } se m({ A ϕ() > }) =. 3 i) Il dominio Ω di ω è il complementare dell insieme dei punti di R tali che =, cioè Ω è l intero piano privato delle rette verticali =. Poiché y αy ( ) = α ( ) ; = ( ), la forma differenziale è chiusa se e solo se α =. ii) Si noti che Ω non è connesso, ma è unione dei tre aperti connessi e disgiunti Ω :=], [ R; Ω :=],[ R; Ω + :=],+ [ R. È immediato verificare che la forma differenziale ω è esatta (lo è in ciascuno dei tre aperti descritti più sopra, che sono semplicemente connessi); ogni sua primitiva ha la forma (il calcolo è immediato) y + c in Ω, y f(,y) = + c in Ω, y + c + in Ω +, dove c, c, c + sono costanti arbitrarie. iii) In entrambi i casi proposti, il cammino d integrazione è tutto contenuto in Ω. Il primo integrale proposto vale quindi f(,) f(,) = 4 3, mentre il secondo, calcolato su una linea chiusa, vale evidentemente zero. Prova scritta dell Luglio 5 Mostrare che se f è una qualsiasi funzione integrabile sull intervallo [a,b), si ha b lim f() sin(λ)d =. λ a [Suggerimento: si esamini dapprima il caso di una funzione f a scala ]. 6

7 Fissato, determinare la serie di Taylor di centro delle funzioni specificandone gli insiemi di onvergenza. g () := ; g () :=, 3 Data la forma differenziale ω := y + y d + + y dy, determinarne il dominio Ω; mostrare che in Ω la forma ω è chiusa, ma non è esatta, mentre è esatta in R \ {(,) }. Generalizzare quest ultimo risultato. Supponiamo dapprima che f sia una funzione a scala: f() = c k per a k < a k (k =,...,N), dove a = a < a <... < a N = b; risulta allora b a f() sin(λ)d = λ N k= c k [ cos(λ)] a k a k, b e di conseguenza lim λ a f() sin(λ)d =. Se ora f è una generica funzione integrabile, fissato ad arbitrio ε > esiste una funzione a scala s() su [a,b) tale che b a f() s() d < ε; per quanto appena visto, esiste λ ε > tale che se λ verifica λ > λ ε si ha b a s() sin(λ)d < ε. In definitiva, si ha quindi che, per ogni λ con λ > λ ε, b a cioè la tesi. Si ha intanto che b f() sin(λ) d f() s() d + g () = a b = +, a s() sin(λ)d < ε, quindi per < la funzione g () si presenta come somma di una serie geometrica: g () = + n= ( ) n ( ) n n = n= ( ) n n+ ( ) n, che coincide con la serie di Taylor della funzione. Lo sviluppo è valido all interno del cerchio di centro e raggio (in campo complesso; quindi, in campo reale, nell intervallo (, ) se >, oppure (,) se < ). 7

8 Per la seconda funzione, basta osservare che g () = g (); di conseguenza, per noti risultati sulle serie di potenze, si ha che g () = n= ( ) n n+ n ( ) n = n= ( ) n n + n+ ( ) n, con lo stesso insieme di convergenza di g. 3 Il dominio Ω è ovviamente R \ {(,)}. Poiché in Ω la forma è di classe C, ed inoltre (calcolo immediato) si ha y ( ) y + y = y ( + y ) = ( ) + y, ne viene che in Ω la forma è chiusa. Dato che il dominio non è semplicemente connesso, non se ne può dedurre che la forma sia esatta; in effetti, non lo è, come si vede ad esempio calcolando l integrale di ω lungo la circonferenza unitaria Γ (percorsa in senso antiorario, quindi con rappresentazione parametrica data da = cos ϕ, y = sin ϕ, ϕ < π). Si ha infatti π ω = ( cos ϕ( cos ϕ) + sin ϕ sin ϕ) dϕ = π. Γ La forma è invece esatta in R \ {(,) }; più in generale, ω è esatta in ogni sottoinsieme semplicemente connesso di R che non contenga l origine. Prova scritta del Settembre 5 Sia f : [ π,π] R una funzione misurabile, dispari (cioè tale che f( ) = f() [ π,π]), e tale che la funzione f() sin sia integrabile secondo Lebesgue su [ π,π]. i) Mostrare (per induzione) che n N esistono finiti gli integrali π π f() sin(n) d. ii) Si può dedurre che anche f è integrabile secondo Lebesgue su [ π,π]? Si consideri la serie n= n ) log ( +. n n i) Determinare l insieme di convergenza in R della serie. [Suggerimento: può essere utile dimostrare e usare le disuguaglianze log( + t) t e t t log( + t) ( t )]. ii) Determinare su quali intervalli la serie converge uniformemente. 8

9 3 Data la funzione g integrabile secondo Lebesgue su [,+ [, si ponga i) Calcolare il limite puntuale di g n (). ii) Calcolare, se esiste, il g n () := g() ep( n cos ). + lim g n ()d. n + i) Posto F n () := f() sin(n), per ipotesi F è integrabile; se lo è F n, dato che F n+ () = f() sin(n + ) = (f() sin(n)) cos + (f() sin ) cos(n) = = F n () cos + F () cos(n), lo è anche F n+. ii) Evidentemente no, come mostra la funzione { f() := sin se ( π,π) \ {}, se =, = π. i) Per dimostrare le disuguaglianze, basta considerare le funzioni ϕ() := t log( + t); ψ(t) := log( + t) t + t, che sono in C ([,+ [), e verificano ϕ() = ψ() =, ϕ (t) = +t, ψ (t) = t t. Detto f n il termine generale della serie, dalla prima disuguaglianza si ha che risulta +t f n () n+ n n+, quindi, per il Teorema del confronto, la serie converge per ogni con <. Per = si ha, grazie alla seconda disuguaglianza, f n ( ) = ( log + ) ( ) n n n n n n, e di conseguenza la serie diverge. Infine, se > si ha f n () > f n (), e ancora la serie diverge. ii) Per ogni ε (,) si ha, ancora dalla prima disuguaglianza, sup f n () ( ε) n+, ε quindi, per il Teorema di Weierstrass, la serie converge uniformemente; più in generale, si vede che c è convergenza uniforme su ogni intervallo [ + ε, ε ] (ε,ε (,)). 3 i) Se cos =, cioè se = ( n ) π (n N), si ha gn () = g(), quindi lim n g n () = g(); se invece ( n ) π, risulta limn g n () =. In particolare, la successione {g n } tende a zero quasi ovunque in [,+ ). 9

10 ii) Per ogni, poiché cos ne viene che g n () g() su [,+ ). Dato che anche g è integrabile secondo Lebesgue, per il Teorema sulla convergenza dominata ne risulta che + lim g n ()d =. nto+ Prova scritta del Febbraio 6 Studiare, in campo reale, la serie di potenze n= (n + ) n, determinandone raggio di convergenza e somma in (, ). Qual è il comportamento della serie per =? Per ogni α >, determinare la più generale funzione b α (,y) tale che la forma differenziale ω α (,y) := ( + y ) α d + b α(,y)dy sia di classe C e chiusa in Ω := R \ {(,)}; è anche esatta in Ω? 3 Data la funzione F(t) := + ( )) ep ( + t d (t R), i): mostrare che F C (,+ ), e che per t > si ha F (t) = F(t). [Suggerimento: utilizzare, dopo averla verificata, la disuguaglianza t ep( t) /e, valida t >. Può anche essere utile il cambiamento di variabile y := t/]. ii): Sapendo che + ep( )d = π, trovare l espressione esplicita di F. Poiché per = la serie diverge positivamente, deve essere. Indichiamo con f() (per (, )) la somma della serie. Dato che (n + ) n = d d n + n, dai risultati noti sulla serie geometrica si ha che, per ogni in (, ), la serie converge, e la sua somma è data da f() = d d n + n = d d n= n= = ( ) d d = ( ) ( ). n= n + n= n = + = ( ) + = Ne segue che = ; è poi immediato che per = la serie diverge negativamente.

11 ω α è di classe C e chiusa in Ω se e solo se b α è in C (Ω), e verifica b α (,y) = y ( + y ) α = αy ( + y ) α+ in Ω, quindi se e solo se b α (,y) = y ( + y ) α + c α (y), dove c α è un arbitraria funzione in C (R). Dato che Ω non è semplicemente connesso, non se ne può dedurre che ω α sia esatta in Ω (ma neppure che non lo sia); occorre esaminare se ω α ammette una primitiva f α. Distinguiamo due casi: i): α = : se f è una primitiva di ω, deve essere f (,y) = ed inoltre f y (,y) = +y = ln( + y ), y +y + c (y); il che si verifica ad esempio (con c (y) = ) se f (,y) := ln + y ; questa è dunque una primitiva in Ω di ω (con b (,y) = y/( +y )), che quindi è esatta. ii): α (,+ ) \ {}: in modo analogo, si verifica che la funzione f α (,y) := ( α)( + y ) α è una primitiva in Ω di ω α (con b α (,y) = y/( + y ) α ), che quindi è esatta anche in questo caso. 3 i) Per verificare la disuguaglianza proposta, basta osservare che la funzione g(t) := t ep( t) (che è, in particolare, in C ([,+ ))), è sempre, si annulla per t =, ha limite = per t +. Dunque ha massimo, assunto in un punto t >. La derivata g (t) = ( t)ep( t) si annulla solo per t =, quindi t = e, t, g(t) g() = /e. Mostriamo che F C (ε,+ ) ε >, quindi F C (,+ ). Indichiamo per comodità con ϕ(, t) la funzione integranda, che è positiva e maggiorata per ogni t dalla funzione ep( ), integrabile su (,+ ); poiché per t si ha ϕ(, t) t = ( ) t t ep( ) ep( t / ), dalla disuguaglianza dimostrata all inizio dell esercizio si ha inoltre che in (ε,+ ) risulta ϕ(,t) ep( )/ε, funzione integrabile (in ) su (,+ ). Per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, si ha allora che F (t) = + t ep ( ( + t )) d, funzione continua in (ε,+ ), dunque, per l arbitrarietà di ε, in (,+ ). Con la sostituzione suggerita, si calcola immediatamente che ( F (t) = y t ) ( ( t )) t y ep y + y dy = F(t). + F ii) Poiché la funzione (positiva) F verifica, per ogni t >, (t) F(t) = d dt ln F(t) =, ne viene che, sempre per t >, F(t) = C ep( t), dove C = F() = + ep( )d = π /. Dato che F è pari (F( t) = F(t)), si ha pertanto F(t) = π ep( t ). Prova scritta del Febbraio 6 i) Calcolare l integrale curvilineo I della forma differenziale

12 ( y + y 3 )d (y y + 3 )dy lungo il perimetro del quadrato di vertici (, ), orientato nel verso orario. ii) Determinare (se è possibile) α C (R), non identicamente nulla, tale che la forma differenziale ( y + y 3 )α(y)d (y y + 3 )α(y)dy sia esatta in R ; per tale α, scrivere una primitiva della forma. Si consideri la serie + n= f n(), dove f n () := ( ) n. i) Determinare l insieme I dei punti R in cui la serie converge, e la somma della serie in I. Caratterizzare i sottoinsiemi di I nei quali la serie converge uniformemente. ii) Calcolare + 5 n= f n ()d. 3 Sia A ( π,π) un sottoinsieme misurabile secondo Lebesgue, e sia { n } una successione reale. Calcolare sin (nt + n )dt. lim n + A i) Direttamente dalla definizione, si ha I = + + ( + )d (y + y )dy = [y y + y3 3 ] = 6 3. (y y + )dy [ ] ( + )d+ [y y3 3 + y ] [ ] + ii) Poiché il dominio della forma differenziale è tutto R, la forma è esatta se e solo se è chiusa, cioé se e solo se, (,y) R, ( + 3y )α(y)+( 3 y + y 3 )α (y) = (y 3 )α(y) (y y y)α (y). Si deve quindi avere ( + y )[α(y) + α (y)] = in R, cioé α(t) + α (t) = t R, da cui α(t) = c ep( t) (c R); una corrispondente forma differenziale esatta (con c = ) è allora [ y( y )]ep( y)d + [ y ( y )]ep( y)dy. Scritta una primitiva F(,y) nella forma F(,y) = f(,y) ep( y), si deve avere f(,y) yf(,y) = y( y ) e f(,y) y f(,y) = y ( y ), relazioni verificate ad esempio da f(,y) = y, da cui F(,y) = ( y )ep( y).

13 i) La serie converge evidentemente per = (f n () = n). Poiché, per, n n ( ) k f k () = = + ( )n ( ) n ( n N), k= k= si ha inoltre che la serie data converge se >, cioé se < oppure >. Insieme di convergenza puntuale I e somma f() della serie in I sono quindi I = (, ) {} ( { se =,,+ ); f() = se >. Posto, per ogni ε >, I ε := (, ε) {} ( +ε,+ ), c è convergenza uniforme nel sottoinsieme I se e solo se esiste ε > in modo che I I ε, come si vede facilmente osservando che sup I f() n k= f k () = sup I\{} [ ( ) n = inf I\{} ( ) (dato che la funzione g() := ( ) n è pari, continua e decrescente per > ), e l ultima quantità scritta è infinitesima per n + se e solo se > + ε I \ {} per un opportuno ε >. ii) In particolare, nell intervallo [, 5] la serie converge uniformemente, ed è quindi lecito integrare per serie; si ha allora 5 ( 5 + ) 5 [ f n ()d = f n () d = ( 3 ] 5 )d = 3 = 36. n= n= ] n 3 Si ha sin (nt+ n ) = [ cos (nt + n)] = cos nt cos n + sin nt sin n; la funzione caratteristica χ A di A per ipotesi è integrabile, dunque sin (nt + n )dt = m(a) (cos n) cos nt dt + (sin n) sin nt dt = A = m(a) (cos n) + (sin n) π π A π π χ A (t) sin nt dt. χ A (t) cos nt dt+ Per il Lemma di Riemann-Lebesgue, gli ultimi due integrali scritti tendono a zero per n + ; poiché sin n, cos n, il limite proposto vale m(a). A Prova scritta dell 8 Giugno 6 Costruire una successione reale {a n } tale che, posto n N b n := a a n n, c n := b b n, n una ed una sola delle successioni {a n }, {b n }, {c n } abbia limite finito. Per ogni α > fissato, si consideri la successione di funzioni {f α,n } n N da R in R, dove f α,n () := n α e n. 3

14 i) Mostrare che, R, {f α,n ()} tende ad un limite finito f α (). ii) Mostrare che quando α la convergenza di {f α,n ()} ad f α è uniforme nell intervallo [a,b] (a < b)) se e solo se a > oppure b <. iii) Determinare per quali α > è vero che lim f α,n ()d = f α ()d. n + 3 Calcolare l insieme di convergenza puntuale e la somma delle serie n= n + ( ) n ; n= n n!( ) n. L unica delle tre successioni che può avere limite senza che lo abbia almeno una delle altre due è evidentemente {c n }. Ad esempio (si vedano gli appunti sulle serie di Fourier) ciò accade se b n = ( ) n n N. Il problema allora è risolto se si trova una successione a n di cui {b n } è successione delle medie aritmetiche. Per questo, occorre e basta che sia a n = nb n (n )b n = ( ) n n ( ) n (n ) = ( ) n (n ), dunque un esempio è dato da a n := ( ) n (n ) (da cui b n = ( ) n, c n = { + ( ) n }/(n)). i) È ovvio che f α() = ; anche per, dato che f α,n () = n α /e n si ricava subito (confronto di infiniti) che f α () =. ii) Se a >, nell intervallo [a,b] si ha ma f α,n () n α b /e na, e l ultima quantità è infinitesima per n + ; il caso b < è analogo, dato che allora si ha ma f α,n () n α a /e nb. Se invece a e b, dato che a < b deve essere a < oppure b > (o entrambi). Se, ad esempio, a e b >, la successione {/ n} è definitivamente in [a,b], quindi ( ) ma f α,n () f α,n n = nα e e, dunque la convergenza non è uniforme in [a,b]; il caso a < e b si riconduce al precedente (le funzioni f α,n sono pari). iii) Integrando dapprima per parti, poi per sostituzione (y := n), si ha f α,n ()d = n α (e n )d = = n α ( [ n e n ] = n α e n + n α = n α e n + n α 3 n + e n d n e y n dy = e y dy. ) = 4

15 Per n +, nell ultima quantità scritta il primo addendo tende a zero qualunque sia α, mentre l integrale nel secondo addendo tende a + e y dy = π/. In conclusione, si ha che ( ) ( lim f α,n ()d = f α ()d = α < 3 ). n + 3 I termini della prima serie sono definiti solo se. Sotto questa ipotesi, posto y := /( ) il termine generale della serie si scrive y n : si tratta quindi di una serie geometrica (privata del primo termine), che converge (a y = y y ) se e solo se y <, cioé < ( ), disequazione soddisfatta se (,(3 5)/) ((3 + 5)/,+ ). Dato che (3 5) < < (3 + 5), si ha n= n ( ) n = ( ) ( per ( ) = 3 + ), 3 5 ( 3 + ) 5,+. Il termine generale della seconda serie è definito solo se ; in questa ipotesi, posto z := /( ), si scrive nella forma z n /n!. Si tratta quindi di una serie esponenziale (privata del primo termine), che converge (ad e y ) per ogni y. Di conseguenza, n= n n!( = ep per. ) n ( ) Prova scritta del Luglio 6 Posto, per ogni ( R, n N), f n () := min{; ( ) n }, verificare che in R la successione {f n } converge, ma non uniformemente. Per quali α, β, γ, δ R (con α β γ δ) si ha convergenza uniforme della successione in (,α] [β,γ] [δ,+ )? Data la serie di funzioni n= n ( + ) n, i) se ne determini l insieme I di convergenza; ii) si calcoli la somma della serie in I. Osservato che l espressione analitica di tale somma definisce una funzione g il cui campo di esistenza contiene strettamente I, si stabilisca per quali R la funzione g è sviluppabile in serie di Taylor di centro : g() = n= a n ( )( ) n, 5

16 determinando esplicitamente i coefficienti a n ( ) ed il raggio di convergenza ( ) della serie. 3 Sia Γ la circonferenza con centro nel generico punto (,y ) R e raggio >, orientata positivamente e percorsa una volta. Si calcoli l integrale su Γ della forma differenziale ω = (3 y 4 )d (8y 3 )dy. [Suggerimento: si osservi che ω si può scrivere come somma di due forme differenziali, di ciascuna delle quali il calcolo dell integrale su Γ è immediato]. La parabola di equazione y = passa per i punti (,), (,), ha il vertice in (, 4 ), e le sue intersezioni con la retta y = sono nei punti di ascissa = ( 5)/, = ( + 5)/. Dunque { ( f n () = ) n se < <, se oppure. Poiché per (, ) si ha 4 < <, per ogni R la successione data converge, ed il suo limite è f() = χ (, )(). Dato che la funzione limite non è continua, la convergenza non può essere uniforme in R. In (,α] [δ,+ ), sempre per le discontinuità di f nei punti,, la successione è uniformemente convergente se e solo se α e δ (nel qual caso è addirittura costante). Ancora, ci può essere convergenza uniforme in [β,γ] solo se γ o β (casi però banali, perché anche in questo caso la successione è costante), oppure se si ha < β γ <. In quest ultimo caso, in effetti, risulta β β < e γ γ <, quindi ma f n() = ma β γ { 4 n ; β β n ; γ γ n } per n +. Perché i termini della serie siano definiti, occorre che ; in questa ipotesi, si tratta di una serie geometrica di ragione /( + ), privata del primo termine. Si ha dunque convergenza se e solo se < + ; si vede immediatamente che questa condizione equivale a I := (, ) ( /3,+ ). Quando I, la somma della serie è = = +, espressione analitica che definisce una funzione g da R\{ } I in R. Fissato ad arbitrio, si osservi che + = ( ) + ( ) + ( + ) = ( ) + ( ). /( Se < +, la quantità ragione ; se ne deduce che in tal caso si ha g() = ( ) + + = n= n= ( ) n ( + ( + ) + + ) è la somma della serie geometrica di ) n ( ( ) n + ) n+ + ( ) n 6 n= ( ) n ( + ) n+

17 = = n= ( ) n ( ) n + ( ) n + n= n= ( ) n ( + ) n+ ( ) n, ( ) n ( + ) n+ che coincide con lo sviluppo di Taylor di g: si ha quindi (per ogni ) ( ) = + ; a ( ) = + ; a n( ) = ( )n ( + ) n+ ( n N). 3 È evidente che la forma differenziale ω (di dominio tutto R ) non è esatta, dato che non è chiusa: infatti, y (3 y 4 ) = 8y 3 ; ( 8y3 + ) = 8y 3 +. Si può però scrivere ω = ω + ω, dove ω = (3 y 4 )d 8y 3 dy, ω = dy. La prima forma è chiusa in R, quindi esatta, dunque Γ ω =. Il calcolo dell integrale su Γ di ω è immediato: scelta ad esempio come rappresentazione parametrica di Γ la seguente: (t) = + cos t, Γ : ( t < π) y(t) = y + sin t, si ha che π π dy = ( + cos t) cos t dt = ( + cos t)dt = π. Γ In conclusione, Γ ω = Γ ω + ω = π. Γ Prova scritta del 4 Settembre 6 Data la successione di funzioni {f n } definite per da f n () := n ( n ), i) determinare l insieme I in cui la successione ha limite finito; ii) calcolarne il limite f() I; iii) caratterizzare i sottoinsiemi di I in cui la convergenza è uniforme. Stabilire per quali R la funzione definita dall espressione ϕ() := , è sviluppabile in serie di Taylor di centro ; per tali, calcolare il raggio di convergenza ( ) ed i coefficienti a n ( ) della serie di Taylor. 7

18 [Suggerimento: può essere utile riscrivere l espressione analitica di ϕ in modo da utilizzare sviluppi in serie ben noti.] 3 Si consideri la forma differenziale lineare ω := + y + yd + + y dy; i): dire, motivando la risposta, se la forma ω è esatta; ii): calcolare l integrale di ω lungo la circonferenza Γ R di centro l origine e raggio R >, percorsa una volta in senso antiorario; iii): calcolare l integrale di ω lungo il bordo C a del quadrato con vertici in ( a,a), (a, a), (a, a), ( a, a) (a > ), percorso una volta in senso orario. i), ii): è ovvio che I, mentre I (si ha f n () = n e f n () = ). Per ogni fissato >, si ha, per n +, n ( n ) ( ) ( ) = n e (ln )/n = ln + ln n + o ln. n Di conseguenza, I = (,+ ) e f() = ln. iii): condizione sufficiente perchè nell insieme A (,+ ) si abbia convergenza uniforme è che risulti ( ) In tal caso si ha infatti ( n ) ln = ln n + o α := inf A > e β := supa < +. quindi sup A n ( n ) per n +. ( ) n n ma{ln α;ln β} + o Le ( ) sono anche necessarie per la convergenza uniforme in A. Infatti, se α =, allora, n N, a n A : < a n e n, da cui sup f n () ln f n (a n ) ln a n = n A e + ; se β = +, sempre n N, b n A : b n e n ; ma allora sup f n () ln f n (b n ) ln b n = n(e ) +. A ( ), n Osservato che = (3 )( + ), conviene scrivere la funzione ϕ come segue: 5 (3 ) ( + ) ϕ() = = = (3 )( + ) (3 )( + ) Dato che lim ϕ() = lim /3 ϕ() = +, certamente ϕ non è sviluppabile in serie di Taylor di centro se = oppure = /3. Per, /3 si ha ϕ() = ( + ) + ( ) + ( 3 ) 3( ) = =

19 Il secondo fattore del primo addendo è la somma della serie geometrica di ragione ( )/( + ), convergente se < + ; il secondo fattore del secondo addendo è la somma della serie geometrica di ragione 3( )/( 3 ), convergente se < 3. Di conseguenza, lo sviluppo cercato, per, /3, è dato da ϕ() = ϕ( ) + c n ( )( ) n ( ) n, c n ( ) = ( + n= ) n+ + 3 n ( 3 ) n+; il raggio di convergenza dello sviluppo è ( ) = min { + ; 3 }. 3 i): è evidente che la forma differenziale ω (di dominio Ω := R \ {(,)}) non è esatta, dato che non è chiusa: infatti, in Ω si ha y + y = 4y ( + y ) ; + y + y = y 4y ( + y ). ii): scelta ad esempio come rappresentazione parametrica di Γ R quella abituale ( = R cos t, y = R sin t, con t < π), si ha subito che π ( ) cos t (cos t + sin t) ω = ( sin t) + cos t dt = Γ R π π = cos + cos t t dt = dt = π. da cui iii): si ha C a ω = C a ω = a + a a a a ω y=a d + ω =a dy + ω y= a d + ω = a dy, a a a a a a a a + a d + a y a a + y dy = a a + y a + y dy + a a a a dy + ( y) dy = a + a d+ dτ + τ = π. Data (in R \ {}) la serie di funzioni Prova scritta del 5 Febbraio 7 n= a n n, dove a n := ( ) n, n i): determinare l insieme di convergenza puntuale della serie; ii): dare una caratterizzazione completa dei sottoinsiemi di R in cui c e convergenza totale. Considerata la successione di funzioni da R in R f n () := n n n sinh χ [ /n,/n] (), stabilire se esiste una funzione g sommabile in R tale che f n () g() per ogni n N, q.o. in R. 9

20 [N.B.: sinh è il seno iperbolico; χ A è la funzione caratteristica di A]. 3 Determinare i coefficienti della serie di Fourier a + + n= (a n cos n+b n sin n) della funzione sin. Dedurne la somma delle serie numeriche n= ( ) n+ 4n ; + n= ( ) n+ 6n. Posto y := e c n := a n, si è ricondotti a studiare il comportamento della serie di potenze + n= c n y n (y ); di conseguenza, i) dato che c n+ ((n + )!) = c n (n + )! (n)! (n!) = n + (n + ) 4 per n +, il raggio di convergenza della serie di potenze è uguale a 4. Per y = 4 la serie non può convergere: si ha infatti 4 n+ c n+ = (4 n (n + ) c n ) n + > 4n c n 4c =, quindi per y = 4 il termine generale della serie non è infinitesimo. ( In conclusione, ( l insieme di convergenza puntuale per la serie di funzioni assegnata è, 4) 4,+ ). ii) Per ogni ε > fissato, la serie di potenze converge totalmente se y 4 +4ε ; ne viene che condizione sufficiente affinché la serie di funzioni assegnata converga totalmente nell insieme A è che esista ε > in modo che risulti A I ε := (, 4 ε] [ 4 + ε,+ ). Mostriamo che tale condizione è anche necessaria. È chiaro che se in A la serie di funzioni converge totalmente, deve essere intanto A (, 4) ( 4,+ ) ; resta da mostrare che, per un opportuno ε >, si ha inoltre che A I ε. Per assurdo, supponiamo che per ogni k N fissato esista un k A tale che 4 < k < 4 + k. Per definizione di convergenza totale, esiste una serie convergente a termini positivi + n= α n tale che, almeno definitivamente, c n n α n A; in particolare, si deve avere, definitivamente, c n k n α n k N, quindi anche sup k N c n k n = c n inf k N k n = 4n c n α n, assurdo perchè, come si è visto nella dimostrazione di i), la successione {4 n c n } non è infinitesima. Si noti anzitutto che f n () = n N; per ogni fissato, si ha poi f n () = per ogni n > (/ ). Di conseguenza, lim n + f n () = R. Se esistesse una funzione sommabile g tale che per ogni n N f n () g() q.o. in R, grazie al Teorema di Lebesgue si dovrebbe avere lim n + R ( f n ()d = lim f n ()d = n + lim f n() n + ) d =,

21 (dove si è osservato che f n () = (n N, > )), mentre la disuguaglianza sinh, valida R, implica che R f n ()d = n n /n n sinh /n d n n /n n /n = n n n + n ( ) +(/n) = n n n +, /n d = assurdo. Quindi non esiste alcuna g sommabile che maggiori le funzioni della successione. 3 La funzione sin è (in particolare) continua e pari, quindi la serie di Fourier associata è ben definita, di soli coseni (b n = n N), ed i coefficienti a n sono dati da a = π π π sin d = π π sin d = π [cos ]π = 4 π ; per n si ha a = π π sin cos d = π [cos ]π = ; a n = π = π π sin cos nd = π [ n + π cos(n + ) + n (sin(n + ) sin(n ))d = cos(n ) ] π = ( )n+ π n. Ne viene che, n N, a n = 4 π(4n ), mentre a n =. Poiché sin è anche regolare a tratti, quindi sviluppabile in serie di Fourier su tutto R, si ha sin = π 4 π n= cos n 4n, ( R). In particolare, per = π si ottiene = π + 4 π n= ( ) n+ 4n, da cui n= ( ) n+ 4n = π 4, mentre, per = π 4, = π 4 π n= poiché cos nπ cos nπ 4n ; = se n è dispari, mentre cos nπ = ( ) n, ne viene che n= ( ) n+ 6n = π 8.

22 Prova scritta del Febbraio 7 Data la forma differenziale ω α, dipendente dal parametro α R, ( ) ω α := y d + y y + α dy, i) determinarne il dominio Ω α, e stabilire per quali α la forma ω α è chiusa in Ω α ; ii) per gli α tali che ω α è chiusa, determinare se è anche esatta in Ω α ; in questo caso, calcolarne le primitive; iii) α R, calcolare γ ω α e γ ω α, dove: γ è la circonferenza di centro l origine e raggio, percorsa una volta nel verso antiorario; γ è il perimetro del quadrato di vertici (, ), percorso una volta nel verso antiorario. Data la serie di funzioni n= n 3 sin n ( R), i) determinare l insieme A R di convergenza della serie; calcolare la somma della serie A; ii) se in B A la serie converge uniformemente, si può concludere che B è limitato? 3 Si considerino i seguenti tre tipi di serie trigonometriche: n= b n sin n; n= a n cos n; n= (a n cos n + b n sin n). Dire, motivando adeguatamente le risposte, se, comunque si fissi uno dei tre tipi di serie, è possibile scegliere le successioni {a n }, {b n } ed il punto R in modo tale che i) la serie del tipo fissato converge in, le altre due no; oppure in modo che ii) la serie del tipo fissato non converge in, dove invece convergono le altre due. i) Per ogni α R, si ha Ω α = Ω = Ω Ω, dove Ω := {(,y) R + y < }, Ω := {(,y) R + y > }. Si verifica immediatamente che, in particolare, ω α C (Ω), e che in Ω risulta y y = y ( y ) ; ( ) y y + α = di conseguenza, ω α è chiusa in Ω se e solo se α =. y ( y ) + α;

23 ii): ω è certamente esatta in Ω, che è semplicemente connesso; non è detto invece che lo sia in Ω, che non è semplicemente connesso. Vediamo allora se è possibile determinare una primitiva di ω in Ω. Cerchiamo cioè f C (Ω ) tale che, (,y) Ω, f (,y) = f y ; y (,y) = y y. Dalla prima equazione si ricava che f(,y) = ln( + y ) + g(y) in Ω ; dalla seconda equazione risulta però che g (y) =, quindi g è costante in Ω ; ed è evidente che per ogni c R la funzione ln( + y ) + c è una primitiva di ω in Ω. Analogamente si procede per cercare le primitive in Ω. In conclusione, ω è esatta in Ω, e le sue primitive, che dipendono dai due parametri arbitrari c,c R, sono date da f c,c (,y) = { ln( y ) + c in Ω, ln( + y ) + c in Ω. iii): dato che ω α = ω + αdy e ω è esatta, si ha intanto che ω α = α dy (k =,); γ k γ k con l usuale rappresentazione parametrica di γ ((t) = cos t, y(t) = sin t, t < π), π π ω α = α (cos t)(cos t)dt = 4α cos t dt = 4πα. γ È poi evidente che γ ω α = α dt + α ( )( dt) = 6α. i) Ricordando che per t < si ha n= nt n = d dt n= t n = d dt t = ( t), si vede subito che la serie data converge se e solo se sin, quindi si ha { π } A = R \ + kπ k Z, e in A la somma della serie è 3 sin n= n sin n = 3 sin ( sin). ii) No: basta osservare che, ad esempio, in B := {kπ k Z} tutti i termini della serie sono nulli. 3 i) È possibile: ad esempio, se b n =, a n = n N, la prima serie converge per ogni, le altre due (che coincidono) non convergono per nessun ; se a n =, b n = n N, e kπ (k Z), prima e terza serie (che coincidono) non convergono, la seconda converge; infine, se a n = b n = quando 4 (n + ) N, mentre a n = b n = altrimenti, e = 4π, le prime due serie non convergono, mentre la terza ha tutti i termini nulli. ii) Non è possibile: dette {s n }, {s n }, {S n} le successioni delle ridotte delle tre serie, queste sono linearmente dipendenti (s n + s n S n = ), quindi se due sono convergenti lo è anche la terza. 3

24 Prova scritta del 8 Giugno 7 Determinare l insieme I di convergenza della serie di funzioni n= ( ( ) n log + ). n Data la forma differenziale lineare i) determinarne il dominio Ω; ω := 3 ϕ()y d + y ( y ) dy, (ϕ C (R)), ii) dire se esistono ϕ C (R) tali che ω sia chiusa in Ω. In caso affermativo, determinarle; stabilire poi se per tali ϕ la forma ω è anche esatta in Ω, ed in questo caso calcolarne tutte le primitive. 3 Per ogni α >, si indichi con f α la funzione π-periodica su R che nell intervallo [ π,π) vale f α () = α ; dire, motivando adeguatamente la risposta, per quali R si ha f α () = s(f α ;). Cosa si può dire quando α <? Posto y :=, la serie data si scrive nella forma + n= c n y n, con c n := log ( + ) n (serie di potenze nella variabile y). Ricordando che, per t >, si ha t t log(+t) t, ne viene che n(n + ) (n + ) c n+ n c n (n + )(n ) ; di conseguenza, lim n + c n+ /c n =, e la serie di potenze in y ha raggio di convergenza. Inoltre, per y = la serie non converge, perchè il suo termine generale è maggiore di n, termine generale di una serie a termini positivi divergente. Invece, per y = n la serie si scrive + n= ( )n log ( + n), ed è convergente grazie al criterio di Leibniz (la successione { log ( + )} n è decrescente ed infinitesima). n N In conclusione, I se e solo se <, quindi l insieme I di convergenza della serie è I = [,] \ {}. i) Dominio di ω è l insieme Ω := {(,y) R y }; quindi si ha Ω = Ω Ω Ω 3, dove Ω := {(,y) R y < }; Ω := {(,y) R < y < }; Ω 3 := {(,y) R y > }. 4

25 ii) Si ha ω C (Ω); inoltre, in Ω risulta 3 y y = 6 y ( y ) ; ϕ()y ( y ) = ϕ ()y ( y ), quindi ω è chiusa in Ω i se e solo se ϕ () = 3, cioè ϕ() = 3 + c i (c i R, i =,,3), dunque se ω = 3 y d + 3 y + c i y ( y ) dy in Ω i. Ogni (eventuale) primitiva in Ω della forma differenziale ora scritta deve quindi essere una funzione f C (Ω) tale che f 3 f (,y) = y ; y (,y) = 3 y + c i ( y ) in Ω i, (i =,,3). Dalla prima equazione si ricava che in Ω i deve essere f(,y) = 3 y +α i (y) con α i C (R); per la seconda, si deve avere c iy f y (,y) = 3 y ( y ) + α (y) = 3 y + c i y ( y ), cioè α (y) = ( y ), dunque α i (y) = c i ( y ) + d i (d i R, i =,,3). Di conseguenza, ω è esatta in Ω, e le sue primitive sono date da f(,y) = 3 y + c i ( y ) + d i in Ω i, (i =,,3), dove c,c,c 3,d,d,d 3 sono costanti reali arbitrarie. 3 Se α, la funzione f α è continua e regolare a tratti su tutto R (presenta solo punti angolosi: per = kπ, k Z quando α =, per = (k + )π, k Z per α > ), quindi è sviluppabile in serie di Fourier per ogni R. Quando < α <, f α è ancora continua in R, ma non regolare a tratti: per = kπ (k Z), i rapporti incrementali sinistro e destro tendono rispettivamente a ed a +. Tuttavia, f α () è certamente sviluppabile in serie di Fourier in tutti i punti kπ (k Z): in tali punti, esistono infatti finite le derivate sinistra e destra, e ciò implica che è verificata la condizione generalizzata del Dini con S = f( ). Basta allora esaminare la sviluppabilità in serie di Fourier di f α ( ) per = ; ma anche in questo caso la condizione del Dini è verificata (con S = f α () = ), dato che, per ogni δ (,π), δ f α (y) + f α ( y) y δ dy = y α dy = δα α < +. In conclusione, per ogni α > la funzione f α è sviluppabile in serie di Fourier su tutto R. Per α <, la funzione non è definita per = kπ, k Z; poniamo allora f α (kπ) := d, dove d è un qualunque numero reale fissato. Comunque si sia scelto d, quando α, la funzione f α non è integrabile secondo Lebesgue su ( π,π), quindi non si può parlare di serie di Fourier di f α. Infine, per < α <, con lo stesso ragionamento svolto più sopra si conclude che f α () è sviluppabile in serie di Fourier R \ {kπ k Z}. Si osservi che per α = l unica scelta che rende f () sviluppabile in serie di Fourier R è d =, cioè quando f è costante su R. 5