Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie

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1 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie Francesco Caravenna caravenna@math.unipd.it Università degli Studi di Padova XVIII Congresso dell U.M.I. Bari, 26 settembre 2007 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

2 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Programma 1. Introduzione Che cos è un polimero? Polimeri e probabilità 2. Modelli periodici Definizione La transizione di fase Il comportamento delle traiettorie 3. Modelli disordinati Definizione La transizione di fase Risultati e tecniche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

3 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Programma 1. Introduzione Che cos è un polimero? Polimeri e probabilità 2. Modelli periodici Definizione La transizione di fase Il comportamento delle traiettorie 3. Modelli disordinati Definizione La transizione di fase Risultati e tecniche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

4 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Che cos è un polimero? Che cos è un polimero? Un polimero è una grossa molecola costituita da un gran numero di molecole più piccole, dette monomeri, unite a formare una catena. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

5 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Che cos è un polimero? Che cos è un polimero? Un polimero è una grossa molecola costituita da un gran numero di molecole più piccole, dette monomeri, unite a formare una catena. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

6 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Che cos è un polimero? Che cos è un polimero? Un polimero è una grossa molecola costituita da un gran numero di molecole più piccole, dette monomeri, unite a formare una catena. Esempi tipici: DNA, RNA Proteine Materie plastiche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

7 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Che cos è un polimero? Che cos è un polimero? Un polimero è una grossa molecola costituita da un gran numero di molecole più piccole, dette monomeri, unite a formare una catena. Esempi tipici: DNA, RNA Proteine Materie plastiche Argomento di ricerca in chimica, fisica, biologia,... Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

8 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari Passeggiata aleatoria semplice {S n } n su Z d S 0 = 0 S n = Incrementi {X i } i indipendenti, P(X i = ±e k ) = 1 2d, k = 1,..., d n i=1 X i Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

9 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari Passeggiata aleatoria semplice {S n } n su Z d S 0 = 0 S n = Incrementi {X i } i indipendenti, P(X i = ±e k ) = 1 2d, k = 1,..., d n i=1 X i Passeggiata aleatoria auto-evitante su Z d Condizionata a non visitare alcun sito più di una volta Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

10 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari Passeggiata aleatoria semplice {S n } n su Z d S 0 = 0 S n = Incrementi {X i } i indipendenti, P(X i = ±e k ) = 1 2d, k = 1,..., d n i=1 X i Passeggiata aleatoria auto-evitante su Z d Condizionata a non visitare alcun sito più di una volta Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

11 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari In che senso questi processi sono legate ai polimeri? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

12 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari In che senso questi processi sono legate ai polimeri? Esempi di polimeri astratti: incrementi monomeri Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

13 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari In che senso questi processi sono legate ai polimeri? Esempi di polimeri astratti: Ma soprattutto: incrementi monomeri Modelli per una descrizione statistica di polimeri in interazione con l ambiente (Meccanica Statistica) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

14 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Probabilità: due processi basilari In che senso questi processi sono legate ai polimeri? Esempi di polimeri astratti: Ma soprattutto: incrementi monomeri Modelli per una descrizione statistica di polimeri in interazione con l ambiente (Meccanica Statistica) Traiettorie del processo Configurazioni del polimero Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

15 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Qualitative introduction Il problema del copolimero Copolymer (= inhomogeneous polymer) near a selective interface Esempio: copolimero (= polimero disomogeneo) Monomers: () hydrophobic ( ) hydrophilic vicino a un interfaccia selettiva Olio!!!!!!!!!!!!! Acqua!! _! Interfaccia Monomeri: () idrofobo ( ) idrofilo Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 14 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

16 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Qualitative introduction Il problema del copolimero Copolymer (= inhomogeneous polymer) near a selective interface Esempio: copolimero (= polimero disomogeneo) Monomers: () hydrophobic ( ) hydrophilic vicino a un interfaccia selettiva Olio!!!!!!!!!!!!! Acqua!! _! Interfaccia Monomeri: () idrofobo ( ) idrofilo Transizione di fase: Localizzazione all interfaccia vs Delocalizzazione in un solvente Comptetizione tra energia e entropia Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 14 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

17 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Il problema del copolimero Obiettivo: rendere conto di tali fenomeni mediante modelli probabilistici basati su passeggiate aleatorie Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

18 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Il problema del copolimero Obiettivo: rendere conto di tali fenomeni mediante modelli probabilistici basati su passeggiate aleatorie Passeggiata auto-evitante: modello più realistico ma molto più difficile! [Madras e Slade, Birkhäuser 93] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

19 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Il problema del copolimero Obiettivo: rendere conto di tali fenomeni mediante modelli probabilistici basati su passeggiate aleatorie Passeggiata auto-evitante: modello più realistico ma molto più difficile! [Madras e Slade, Birkhäuser 93] Modelli trattabili: basati su passeggiate aleatorie ordinarie (o passeggiate dirette) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

20 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Il problema del copolimero Obiettivo: rendere conto di tali fenomeni mediante modelli probabilistici basati su passeggiate aleatorie Passeggiata auto-evitante: modello più realistico ma molto più difficile! [Madras e Slade, Birkhäuser 93] Modelli trattabili: basati su passeggiate aleatorie ordinarie (o passeggiate dirette) Secondo il tipo di disomogeneità ω =,,,... distinguiamo: 1. Modelli periodici: ω è periodica rilevanti per i polimeri sintetici e come approssimazione di modelli disordinati Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

21 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Polimeri e probabilità Il problema del copolimero Obiettivo: rendere conto di tali fenomeni mediante modelli probabilistici basati su passeggiate aleatorie Passeggiata auto-evitante: modello più realistico ma molto più difficile! [Madras e Slade, Birkhäuser 93] Modelli trattabili: basati su passeggiate aleatorie ordinarie (o passeggiate dirette) Secondo il tipo di disomogeneità ω =,,,... distinguiamo: 1. Modelli periodici: ω è periodica rilevanti per i polimeri sintetici e come approssimazione di modelli disordinati 2. Modelli disordinati: ω è la realizzazione di un processo aleatorio rilevanti per le applicazioni biologiche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

22 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Programma 1. Introduzione Che cos è un polimero? Polimeri e probabilità 2. Modelli periodici Definizione La transizione di fase Il comportamento delle traiettorie 3. Modelli disordinati Definizione La transizione di fase Risultati e tecniche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

23 Qualitative introduction Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Copolymer (= inhomogeneous polymer) near a selective interface Monomers: Ricordiamo il problema: () hydrophobic ( ) hydrophilic Olio!!!!!!!!!!!!! Acqua!! _! Interfaccia Definire un modello probabilistico P λ,h per questa situazione. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 14 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

24 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Ingredienti del modello: successione ω {1, 1} N periodica dei monomeri Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

25 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Ingredienti del modello: successione ω {1, 1} N periodica dei monomeri lunghezza N N del polimero Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

26 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Ingredienti del modello: successione ω {1, 1} N periodica dei monomeri lunghezza N N del polimero parametri di interazione λ, h 0 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

27 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Ingredienti del modello: successione ω {1, 1} N periodica dei monomeri lunghezza N N del polimero parametri di interazione λ, h 0 passeggiata aleatoria semplice ( {S n }, P ) su Z Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

28 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello Ingredienti del modello: successione ω {1, 1} N periodica dei monomeri lunghezza N N del polimero parametri di interazione λ, h 0 passeggiata aleatoria semplice ( {S n }, P ) su Z Definizione del modello P λ,h [Bolthausen e den Hollander, AP 97] dp λ,h dp Energia: 1 ( ) (S) := Z λ,h exp H λ,h (S) N H λ,h (S) := λ (ω n h) sign(s n ) n=1 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

29 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il modello Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione A sample path Una traiettoria illustrativa S n 2 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 N Energy: Energia: (ω n h) sign(s n ) = λ ( 6 6h ) (ω n h) sign(s n ) = λ ( 6 6h ) N H λ,h (S) := N H λ,h (S) := λ n=1 ( n=1 if Sn = 0 sign(s n ) := sign(s n 1 ) ) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 14 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

30 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il modello Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione A sample path Una traiettoria illustrativa S n 2 ( ) 2 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 0 N Energy: Energia: (ω n h) sign(s n ) = λ ( 6 6h ) (ω n h) sign(s n ) = λ ( 6 6h ) N H λ,h (S) := N H λ,h (S) := λ n=1 ( n=1 if Sn = 0 sign(s n ) := sign(s n 1 ) ) λ 0 modula la forza dell interazione (temperatura 1 ) h descrive l asimmetria olio-acqua ( 0 per conv.) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 14 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

31 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

32 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Interessati alle proprietà per N (limite termodinamico). A priori due possibili scenari per le traiettorie di P λ,h : Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

33 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Interessati alle proprietà per N (limite termodinamico). A priori due possibili scenari per le traiettorie di P λ,h : Localizzazione: le traiettorie restano vicine all interfaccia, per massimizzare l energia H λ,h Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

34 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Interessati alle proprietà per N (limite termodinamico). A priori due possibili scenari per le traiettorie di P λ,h : Localizzazione: le traiettorie restano vicine all interfaccia, per massimizzare l energia H λ,h Delocalizzazione: le traiettorie preferiscono fluttuare nell olio, per massimizzare l entropia di P Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

35 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Interessati alle proprietà per N (limite termodinamico). A priori due possibili scenari per le traiettorie di P λ,h : Localizzazione: le traiettorie restano vicine all interfaccia, per massimizzare l energia H λ,h Delocalizzazione: le traiettorie preferiscono fluttuare nell olio, per massimizzare l entropia di P Qual è lo scenario corretto? La risposta dipende da λ, h? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

36 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Qualche domanda La misura P λ,h descrive la distribuzione statistica delle configurazioni del polimero, assegnate le condizioni esterne Interessati alle proprietà per N (limite termodinamico). A priori due possibili scenari per le traiettorie di P λ,h : Localizzazione: le traiettorie restano vicine all interfaccia, per massimizzare l energia H λ,h Delocalizzazione: le traiettorie preferiscono fluttuare nell olio, per massimizzare l entropia di P Qual è lo scenario corretto? La risposta dipende da λ, h? Come definire precisamente L e D? vedremo dopo Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

37 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Qualche risposta Teorema [Bolthausen e Giacomin, AAP 05] C è una transizione di fase non banale tra un regime Localizzato e un regime Delocalizzato Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

38 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Qualche risposta Teorema [Bolthausen e Giacomin, AAP 05] C è una transizione di fase non banale tra un regime Localizzato e un regime Delocalizzato Nel piano (λ, h) le regioni L e D sono separate da una rogramma curva critica crescente λ h c (λ) ( formula esplicita ) h D h c (λ) L 0 λ Figure: Write caption. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

39 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Qualche risposta Teorema [Bolthausen e Giacomin, AAP 05] C è una transizione di fase non banale tra un regime Localizzato e un regime Delocalizzato Nel piano (λ, h) le regioni L e D sono separate da una rogramma curva critica crescente λ h c (λ) ( formula esplicita ) h D h c (λ) Asintotica: L h c (λ) λ 3 per λ 0 0 λ Figure: Write caption. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

40 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

41 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Riscalamento diffusivo di P λ,h : X N(t) := S Nt N, t [0, 1] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

42 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Riscalamento diffusivo di P λ,h : X N(t) := S Nt N, t [0, 1] Teorema [C., Giacomin e Zambotti, AAP 07] Il risc. diffusivo di P λ,h converge deb. in C([0, 1]) per N : in L verso il processo banale X (t) 0 (infatti S N = O(log N)) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

43 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Riscalamento diffusivo di P λ,h : X N(t) := S Nt N, t [0, 1] Teorema [C., Giacomin e Zambotti, AAP 07] Il risc. diffusivo di P λ,h converge deb. in C([0, 1]) per N : in L verso il processo banale X (t) 0 (infatti S N = O(log N)) in D verso il meandro browniano X (t) = B t {B s 0 : s 1} Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

44 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Riscalamento diffusivo di P λ,h : X N(t) := S Nt N, t [0, 1] Teorema [C., Giacomin e Zambotti, AAP 07] Il risc. diffusivo di P λ,h converge deb. in C([0, 1]) per N : in L verso il processo banale X (t) 0 (infatti S N = O(log N)) in D verso il meandro browniano X (t) = B t {B s 0 : s 1} sulla curva critica verso il moto browniano riflesso X (t) = B t. Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

45 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Il comportamento delle traiettorie Risultati traiettoriali In che senso nella regione L (risp. D) le traiettorie del modello P λ,h sono localizzate (risp. delocalizzate)? Riscalamento diffusivo di P λ,h : X N(t) := S Nt N, t [0, 1] Teorema [C., Giacomin e Zambotti, AAP 07] Il risc. diffusivo di P λ,h converge deb. in C([0, 1]) per N : in L verso il processo banale X (t) 0 (infatti S N = O(log N)) in D verso il meandro browniano X (t) = B t {B s 0 : s 1} sulla curva critica verso il moto browniano riflesso X (t) = B t. Tecniche: Grandi Deviazioni [BG], Teoria di Rinnovo [CGZ] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

46 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Programma 1. Introduzione Che cos è un polimero? Polimeri e probabilità 2. Modelli periodici Definizione La transizione di fase Il comportamento delle traiettorie 3. Modelli disordinati Definizione La transizione di fase Risultati e tecniche Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

47 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello disordinato Il modello è formalmente lo stesso del caso periodico: dp λ,h dp Energia: 1 ( ) (S) := Z λ,h exp H λ,h (S) N H λ,h (S) := λ (ω n h) sign(s n ) n=1 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

48 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello disordinato Il modello è formalmente lo stesso del caso periodico: dp λ,h dp Energia: 1 ( ) (S) := Z λ,h exp H λ,h (S) N H λ,h (S) := λ (ω n h) sign(s n ) n=1 Cambia la disomogeneità ω =,,..., non più deterministica: ω {1, 1} N è la realizzazione di un processo aleatorio {ω n } n N i.i.d. con P(ω 1 = 1) = P(ω 1 = 1) = 1 2 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

49 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Definizione Definizione del modello disordinato Il modello è formalmente lo stesso del caso periodico: dp λ,h dp Energia: 1 ( ) (S) := Z λ,h exp H λ,h (S) N H λ,h (S) := λ (ω n h) sign(s n ) n=1 Cambia la disomogeneità ω =,,..., non più deterministica: ω {1, 1} N è la realizzazione di un processo aleatorio {ω n } n N i.i.d. con P(ω 1 = 1) = P(ω 1 = 1) = 1 2 Due diversi tipi di alea nel sistema (P quenched randomness ) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

50 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

51 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Funzione di partizione: Z λ,h := E( exp(h λ,h )) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

52 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Funzione di partizione: Z λ,h := E( exp(h λ,h )) Energia libera: tasso di crescita esponenziale di Z N : f ω (λ, h) := lim N 1 N log Z λ,h Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

53 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Funzione di partizione: Z λ,h := E( exp(h λ,h )) Energia libera: tasso di crescita esponenziale di Z N : f ω (λ, h) := lim N 1 N log Z λ,h [Il limite esiste P-q.c. e in L 1 (P) e non dipende da ω: f ω (λ, h) = f (λ, h)] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

54 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Funzione di partizione: Z λ,h := E( exp(h λ,h )) Energia libera: tasso di crescita esponenziale di Z N : f ω (λ, h) := lim N 1 N log Z λ,h [Il limite esiste P-q.c. e in L 1 (P) e non dipende da ω: f ω (λ, h) = f (λ, h)] Traiettorie S n 0 che fluttuano nell olio f (λ, h) λh Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

55 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Localizzazione e Delocalizzazione: l energia libera Come definire precisamente le regioni L e D? Funzione di partizione: Z λ,h := E( exp(h λ,h )) Energia libera: tasso di crescita esponenziale di Z N : f ω (λ, h) := lim N 1 N log Z λ,h [Il limite esiste P-q.c. e in L 1 (P) e non dipende da ω: f ω (λ, h) = f (λ, h)] Traiettorie S n 0 che fluttuano nell olio f (λ, h) λh Definizione: L = { (λ, h) : f (λ, h) > λ h } D = { (λ, h) : f (λ, h) = λ h } Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

56 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase La curva critica Teorema [Bolthausen e den Hollander, AP 97] C è una transizione di fase non banale tra un regime Localizzato e un regime Delocalizzato Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

57 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Introduction Numerical investigation Theoretical analysis The phase diagram La The curva critical critica line Teorema Theorem [Bolthausen ([BdH 97]) e den Hollander, AP 97] There C èexists una atransizione continuous, di increasing fase noncurve banale h c tra : [0, un ) regime [0, ), withlocalizzato h c (0) = 0 and e un0 regime < h Delocalizzato c (0) <, such that Nel piano (λ, h) le regioni L e D sono separate da una L curva = { (λ, critica h) : crescente h < h c (λ) } λ h D c (λ) = { ( (λ, no h) formula : h h c esplicita) (λ) } h c (λ) D L Slope at the origin: Brownian scaling Universality 0 λ Francesco Caravenna Random copolymers at selective interfaces June 22, / 32 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

58 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Introduction Numerical investigation Theoretical analysis The phase diagram La The curva critical critica line Teorema Theorem [Bolthausen ([BdH 97]) e den Hollander, AP 97] There C èexists una atransizione continuous, di increasing fase noncurve banale h c tra : [0, un ) regime [0, ), withlocalizzato h c (0) = 0 and e un0 regime < h Delocalizzato c (0) <, such that Nel piano (λ, h) le regioni L e D sono separate da una L curva = { (λ, critica h) : crescente h < h c (λ) } λ h D c (λ) = { ( (λ, no h) formula : h h c esplicita) (λ) } h c (λ) D L Asintotica per λ 0: Slope at the origin: h c (λ) mλ, m > 0 Brownian scaling Universality 0 λ Francesco Caravenna Random copolymers at selective interfaces June 22, / 32 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

59 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati La transizione di fase Introduction Numerical investigation Theoretical analysis The phase diagram La The curva critical critica line Teorema Theorem [Bolthausen ([BdH 97]) e den Hollander, AP 97] There C èexists una atransizione continuous, di increasing fase noncurve banale h c tra : [0, un ) regime [0, ), withlocalizzato h c (0) = 0 and e un0 regime < h Delocalizzato c (0) <, such that Nel piano (λ, h) le regioni L e D sono separate da una L curva = { (λ, critica h) : crescente h < h c (λ) } λ h D c (λ) = { ( (λ, no h) formula : h h c esplicita) (λ) } 0 h c (λ) D L λ Asintotica per λ 0: Slope at the origin: h c (λ) mλ, m > 0 Brownian scaling Universality Riscal. browniano Universalità Francesco Caravenna Random copolymers at selective interfaces June 22, / 32 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

60 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Individuare la curva critica Famiglia di curve indicizzata da q > 0: h (q) (λ) := log cosh(2qλ) 2qλ Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

61 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Individuare la curva critica Famiglia di curve indicizzata da q > 0: h (q) (λ) := log cosh(2qλ) 2qλ Congetture fisiche: h c ( ) = h (1) ( ) [Garel et al. 89; Maritan et al. 99] h c ( ) = h (2/3) ( ) [Monthus 00; Stepanov et al. 98] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

62 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Individuare la curva critica Famiglia di curve indicizzata da q > 0: h (q) (λ) := log cosh(2qλ) 2qλ Congetture fisiche: h c ( ) = h (1) ( ) [Garel et al. 89; Maritan et al. 99] h c ( ) = h (2/3) ( ) [Monthus 00; Stepanov et al. 98] Teorema [BdH, AP 97], [Bodineau e Giacomin, JSP 04] h (2/3) ( ) h c ( ) h (1) ( ) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

63 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Francesco Caravenna Modelli di PolimeriTheorem e Passeggiate([BdH Aleatorie97], [Bodineau and Giacomin 26 settembre 04]) / 21 Individuare la curva critica Famiglia di curve indicizzata da q > 0: h (q) (λ) := log cosh(2qλ) 2qλ Congetture fisiche: h c ( ) = h (1) ( ) [Garel et al. 89; Maritan et al. 99] h c ( ) = h (2/3) Introduction Numerical investigation ( ) [Monthus Theoretical analysis 00; Stepanov The phase diagram et al. 98] Upper and Lower Bound on the critical line Teorema [BdH, AP 97], [Bodineau e Giacomin, JSP 04] h (2/3) ( ) h c ( ) h (1) ( ) h h c (0) [ 2 3, 1] D L h (1) (λ) h c(λ) h ( 2 3 ) (λ) 0 λ

64 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

65 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

66 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

67 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

68 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Uso del computer solo per simulare le variabili ω n Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

69 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Uso del computer solo per simulare le variabili ω n Il p-value del test è < 10 5! Forti evidenze che h c (λ) > h (2/3) (λ) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

70 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Uso del computer solo per simulare le variabili ω n Il p-value del test è < 10 5! Forti evidenze che h c (λ) > h (2/3) (λ) Forse h c ( ) = h (1) ( )? Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

71 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Uso del computer solo per simulare le variabili ω n Il p-value del test è < 10 5! Forti evidenze che h c (λ) > h (2/3) (λ) Forse h c ( ) = h (1) ( )? NO(?): evidenze numeriche [CGG, JSP 06] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

72 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Migliorare le stime sulla curva critica Forse h c ( ) = h (2/3) ( )? NO(?) [C., Giacomin e Gubinelli, JSP 06] Test statistico per l ipotesi H 0 : h c (λ) = h (2/3) (λ) Super-additività Disuguaglianze di concentrazione: stima rigorosa della probabilità di errore Uso del computer solo per simulare le variabili ω n Il p-value del test è < 10 5! Forti evidenze che h c (λ) > h (2/3) (λ) Forse h c ( ) = h (1) ( )? NO(?): evidenze numeriche [CGG, JSP 06] Dimostrazione per λ grande [Toninelli 07] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

73 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

74 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Punti da chiarire: Individuare la curva critica (o almeno la tangente in zero) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

75 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Punti da chiarire: Individuare la curva critica (o almeno la tangente in zero) Regolarità della transizione (almeno secondo ordine, [Giacomin e Toninelli, CMP 06]) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

76 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Punti da chiarire: Individuare la curva critica (o almeno la tangente in zero) Regolarità della transizione (almeno secondo ordine, [Giacomin e Toninelli, CMP 06]) Risultati traiettoriali: Risultati forti in L (Sinai, Biskup, den Hollander, Giacomin, Toninelli) Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

77 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Punti da chiarire: Individuare la curva critica (o almeno la tangente in zero) Regolarità della transizione (almeno secondo ordine, [Giacomin e Toninelli, CMP 06]) Risultati traiettoriali: Risultati forti in L (Sinai, Biskup, den Hollander, Giacomin, Toninelli) Molte domande aperte in D [Giacomin e Toninelli, PTRF 05] Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21

78 Introduzione Modelli periodici Modelli disordinati Risultati e tecniche Conclusioni Energia libera e curva critica: Buona comprensione generale Punti da chiarire: Individuare la curva critica (o almeno la tangente in zero) Regolarità della transizione (almeno secondo ordine, [Giacomin e Toninelli, CMP 06]) Risultati traiettoriali: Risultati forti in L (Sinai, Biskup, den Hollander, Giacomin, Toninelli) Molte domande aperte in D [Giacomin e Toninelli, PTRF 05] G. Giacomin, Random Polymer Models, Imperial College Press 07 Francesco Caravenna Modelli di Polimeri e Passeggiate Aleatorie 26 settembre / 21