Salva il modello che stai creando, per esempio in C:\temp\modello1.mdl; ricordati di salvare ogni tanto!

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1 ESERCITAZIONE MATLAB USO DI SIMULINK» simulink Strumento di simulazione per sistemi complessi aggregati di sistemi u 1 3 y 4 I singoli blocchi possono essere: - lineari e non lineari - a tempo continuo, discreto - definiti in modi differenti: p.e. per quelli lineari, in variabili di stato, modello ingresso-uscita, funzione di trasferimento,... vedremo esempi semplici ma il sfw si presta anche per applicazioni molto complesse» demos (simulink simple models simple pendulum simulation, spring-mass system simulation) oppure (complex models inverted pendulum animation, double spring mass system simulation) Dato il sistema a tempo continuo del secondo ordine x (t) = A x(t) + b u (t) y (t) = c x(t) + d u(t) dove A = b = 10 1 c = [ 1 1] d = 0 studiarne la stabilità e tracciare l andamento nel tempo delle variabili di stato e di uscita corrispondenti a ingresso costante u = 1. Doppio click su Simulink Trascina State-Space sul modello Doppio click sul sistema per modifcarne le matrici A, b, c e d. A [-1-10;10-1] b [1 ] c [1-1] d 0 Fissa la condizione iniziale a [1 1] Salva il modello che stai creando, per esempio in C:\temp\modello1.mdl; ricordati di salvare ogni tanto! Trascina Clock sul modello (sarà il tempo) Trascina Constant sul modello (sarà l ingresso del sistema) Doppio click sulla costante per modificarne il valore 1 Connetti l uscita della costante all ingresso del sistema (trascinando la freccia uscente dalla costante) Doppio click su Sinks Trascina XY Graph sul modello (creerà la serie temporale dell uscita y) Connetti l uscita dell orologio (con trascinamento) all ingresso superiore del blocco grafico Connetti l uscita del sistema (con trascinamento) all ingresso inferiore del blocco grafico Doppio click sul grafico e fissa gli estremi degli assi ai seguenti valori: minimo ascissa 0 massimo ascissa 10 minimo ordinata - 3 massimo ordinata Ripeti le operazioni fatte finora (oppure seleziona il modello appena costruito, copialo, incollalo e poi trascinalo) modificando però il vettore c del sistema c [1 0]; ora l uscita di questo nuovo sistema coincide con la prima variabile di stato e il grafico mostrerà il suo andamento temporale. Doppio click sul nuovo grafico e fissa gli estremi degli assi ai seguenti valori: minimo ascissa 0 massimo ascissa 10 minimo ordinata - massimo ordinata Ripeti nuovamente e modifica così il vettore c: c [0 1]; l uscita del sistema coincide con la seconda variabile di stato e il nuovo grafico mostrerà il suo andamento temporale. Come sopra per gli assi del nuovo grafico. 5

2 Elimina i due blocchi di ingresso collegando semplicemente quest ultimo ai due ultimi sistemi introddotti. Nel menu Solver fissa Stop time a 10 e Relative Tolerance a 1e-6 STABILITA E GRAFICI movimento libero tendente a 0 fissiamo u = 0. Simuliamo il sistema: Simulation Start L uscita e le variabili di stato tendono verso un valore di equilibrio (circa e [ ], rispettivamente) Ripetendo la prova per diverse condizioni iniziali (attenzione: sono da cambiare in tutti i sistemi!) si osserva che il sistema tende verso lo stesso equilibrio deducendo con quasi certezza la asintotica stabilità del sistema. Il transitorio che porta al valore di regime è di tipo smorzato, il che evidenzia la presenza di autovalori complessi coniugati nella matrice A. Dalla command window di Matlab, definisci la matrice A e calcolane gli autovalori ( i, 1 10 i ) ; il sistema è asintoticamente stabile, presenta oscillazioni smorzate (a causa degli autovalori complessi coniugati), la parte reale dell autovalore dominante è pari a 1; il tempo per andare a regime è dunque pari a 5. Definendo inoltre il vettore b e l ingresso u, puoi ricavare il valore di equilibrio del sistema dato x = inv(a)*b*u y = c*x+d*u e confrontare che questi valori coincidono con quelli forniti dai grafici. Prova a tracciare la traiettoria nel piano di stato e osserva l avvicinamento a spirale verso lo stato di equilibrio! OSSERVAZIONE: il sistema dinamico poteva essere definito anziché in variabili di stato con funzione di traferimento» help sstf il commando sstf consente di convertire la definizione di un sitema da variabili di stato (A, b, c, d) a funzione di trasferimento G(s). Nel nostro caso si ha:» A=[-1-10;10-1]; b=[1 ]'; c=[1-1]; d=0;» [NUM,DEN] = sstf(a,b,c,d) NUM = DEN = s + 31 cioè G() s = (questa è la funziona di trasferimento da u a y!) s + s Si può allora pensare di definire i sistemi precedentemente disegnati mediante le loro funzioni di trasferimento (da u a y, da u a x 1 e da u a x ). Prova a farlo e a ripetere l esercizio! Il sistema definito mediante la sua funzione di trasferimento si trova in Continuous Transfer Fcn Dato il sistema a tempo discreto y(t) = G(z) u(t) dove G() z = z 3 3z + 0.7z 0.1z z 0.09

3 tracciare l andamento nel tempo della variabile di uscita corrispondente a ingresso costante u = 1. Doppio click su Simulink Doppio click su Discrete Trascina Discrete Transfer Fcn sul modello Doppio click sul sistema per modificare numeratore e denominatore della funzione di trasferimento. Numerator [ ] Denominator [ ] La condizione iniziale non va fissata, viene supposta nulla. Salva il modello che stai creando, per esempio in C:\temp\modello.mdl; ricordati di salvare ogni tanto! Trascina Clock sul modello (sarà il tempo) Trascina Constant sul modello (sarà l ingresso del sistema) Doppio click sulla costante per modificarne il valore 1 Connetti l uscita della costante all ingresso del sistema (trascinando la freccia uscente dalla costante) Doppio click su Sinks Trascina XY Graph sul modello (creerà la serie temporale dell uscita y) Connetti l uscita dell orologio (con trascinamento) all ingresso superiore del blocco grafico Connetti l uscita del sistema (con trascinamento) all ingresso inferiore del blocco grafico Doppio click sul grafico e fissa gli estremi degli assi ai seguenti valori: minimo ascissa 0 massimo ascissa 0 minimo ordinata massimo ordinata 4 Nel menu Solver fissa Stop time a 0 GRAFICI: Simuliamo il sistema: Simulation Start L uscita tende verso un valore di equilibrio. Il transitorio che porta al valore di regime è di tipo smorzato, il che evidenzia la presenza di poli (e quindi autovalori) o complessi coniugati o reali negativi nella matrice A. Dalla command window di Matlab, definisci il denominatore della funzione di trasferimento del sistema» DEN=[ ]; determina quindi i poli del sistema mediante il comando» poli=roots(den) poli = i i Poiché ci sono poli (e quindi autovalori) complessi coniugati e di modulo inferiore a 1 (» abs(poli) ), è lecito aspettarsi oscillazioni smorzate nel transitorio. Alimentazione di un impianto chimico (già visto a lezione) elettrovalvola 1 u Circuito di comando 3 y

4 u + v K( y u) 1 3 y k y u + Avevi visto che per k sufficientemente elevati (k>8) si aveva instabilità del sistema; verifichiamolo con simulink. Per ogni serbatoio con portata di ingresso u, portata di uscita y, volume d invaso x, e costante di deflusso a valgono i seguenti modelli x = ax + u In variabile di stato y = ax a Con funzione di trasferimento G() s = s + a Rappresentiamo ogni serbatoio mediante la sua funzione di trasferimento, supponendo inizialmente a = 1, k = 4, u=1. Doppio click su Simulink Trascina Transfer Fcn sul modello Doppio click sul sistema per modifcare il numeratore e il denominatore della funzione di trasferimento. Numerator [0 1] Denominator [1 1] Ripeti per altre due volte. Salva il modello che stai creando, per esempio in C:\temp\modello3.mdl; ricordati di salvare ogni tanto! Connetti l uscita del primo modello all ingresso del secondo modello e l uscita del secondo modello all ingresso del terzo. Trascina Constant sul modello (sarà l ingresso del sistema e il valore desiderato per l uscita y) Doppio click sulla costante per modificarne il valore 1 Doppio click su Math Trascina Sum sul modello Doppio click su Sum per modificare la lista dei segni: List of signs + Connetti l uscita del terzo serbatoio al segno + e la costante al segno. L uscita di tale blocco sarà il segnale y u. Trascina Gain sul modello Doppio click sul blocco per fissare il guadagno (k) a 4. Connetti l uscita di Sum all ingresso di Gain la cui uscita sarà quindi k (y u). Trascina Sum sul modello Doppio click su Sum per modificare la lista dei segni: List of signs + Connetti la costante al segno + e l uscita di Gain al segno. L uscita di questo nuovo nodo sommatore sarà u k (y u) e andrà connessa all ingresso del primo serbatoio. Trascina Clock sul modello (sarà il tempo) Doppio click su Sinks Trascina XY Graph sul modello (creerà la serie temporale dell uscita y) Connetti l uscita dell orologio (con trascinamento) all ingresso superiore del blocco grafico Connetti l uscita del sistema (con trascinamento) all ingresso inferiore del blocco grafico Doppio click sul grafico e fissa gli estremi degli assi ai seguenti valori: minimo ascissa 0 massimo ascissa 50 minimo ordinata 0 massimo ordinata.5

5 Nel menu Solver fissa Stop time a 50 e Relative Tolerance a 1e-6 GRAFICI Simuliamo il sistema: Simulation Start L uscita tende verso un valore di equilibrio (pari alla costante di ingresso) con oscillazioni smorzate che evidenziano la presenza di poli, e quindi autovalori, per il sistema complessivo complessi coniugati (vedi lezione). Per questo valore del guadagno il sistema è asintoticamente stabile. Il transitorio si esaurisce dopo 0 unità di tempo. Cambiamo il guadagno k, per esempio diminuendone il valore da 4 a (modificarne il valore nel blocco Gain). Il sistema è ancora asintoticamente stabile con autovalori complessi coniugati (infinite oscillazioni) ma ora il tempo per andare a regime è diminuito (circa 15). Aumentando invece k a 6 si osservano ancora oscillazioni smorzate che si esauriscono dopo circa 50 unità di tempo. Portando infine k a 8.5 si osserva la divergenza a infinito dell uscita y a causa della raggiunta instabilità del sistema retroazionato. Simulazione di un sistema non lineare Modello di competizione preda-predatore di Rosenzweig-McArthur 1971 x = numedo di prede y = numero di predatori x crescita logistica r x 1 dove r = tasso intrinseco di crescita (natalità mortalità naturali) e k = capacità portante k (risorse limitate per le prede) a x predazione (per unità di predatore) con risposta funzionale di Holling di tipo II b + x natalità del predatore proporzionale (secondo l efficienza di conversione e) alla quantità di prede predate il predatore muore per mortalità naturale m x a x x = r x 1 y k b + x a x y = e y m y b + x Costruiamo il modello con Simulink, assumendo r = 1, k = 10, a = 6, b =, e = 0.5, m = 1. Doppio click su Functions & Tables Trascina Fcn sul modello. Questo primo blocco riceve in ingresso il vettore delle variabili di stato (chiamate in questo caso u(1) e u() ) e presenta come uscita la derivata della prima variabile di stato. Doppio click sul blocco per modificare l equazione 1*u(1)*(1-u(1)/10)-6*u(1)*u()/(+u(1)) Trascina Integrator sul modello Fissa la condizione iniziale di integrazione per la variabile u(1) a 4 Collega l uscita del blocco Fcn all ingresso del blocco Integrator, la cui uscita sarà dunque la variabile u(1) cioè x. Ripeti per la seconda equazione di stato. Doppio click su Functions & Tables Trascina Fcn sul modello... Doppio click sul blocco per modificare l equazione 0.5*6*u(1)*u()/(+u(1))-1*u() Trascina Integrator sul modello Fissa la condizione iniziale di integrazione per la variabile u() a

6 Collega l uscita del blocco Fcn all ingresso del blocco Integrator, la cui uscita sarà dunque la variabile u() cioè y. Salva il modello che stai creando, per esempio in C:\temp\modello4.mdl; ricordati di salvare ogni tanto! Doppio click su Signals & Systems Trascina Mux sul modello (crea vettori) Seleziona il blocco Mux e scegli Format Flip block Collega gli ingressi di Mux alle uscite dei due integratori per creare il vettore [u(1) u()] che sarà l ingresso delle due funzioni Fcn (collega l uscita del Mux all ingresso dei due blocchi Fcn) Per i grafici... Serie temporale di x e y: Sinks XY Graph, Sources Clock, collega l orologio al primo ingresso del grafico, collega l uscita del primo integratore (u(1) = x) al secondo ingresso del grafico. Doppio click sul grafico e fissa gli estremi degli assi ai seguenti valori: minimo ascissa 0 massimo ascissa 100 minimo ordinata 0 massimo ordinata 1 Ripeti per il grafico t-y. Gli assi vanno fissati a minimo ascissa 0 massimo ascissa 100 minimo ordinata 0 massimo ordinata 4 Traiettorie nel piano di stato: Sinks XY Graph, collega l uscita del primo (secondo) integratore al primo (secondo) ingresso del grafico. Gli assi vanno fissati a minimo ascissa 0 massimo ascissa 1 minimo ordinata 0 massimo ordinata 4 Nel menu Solver fissa Stop time a 100 e Relative Tolerance a 1e-6 GRAFICI Simuliamo il sistema: Simulation Start Prede e predatori tendono verso un comportamento oscillatorio (periodico) con periodo pari a 0 unità di tempo. Cambiamo l efficienza e dei predatori, per esempio diminuendola a 0.3 (modificare il valore di e nell equazione del secondo blocco Fcn). Simuliamo nuovamente: il regime è ancora periodico ma con periodo leggermente inferiore al caso precedente; la densità di predatori sul ciclo è diminuita e il ciclo è diventato più regolare. Diminuiamo ancora e fino a 0.3. Prede e predatori diventano stazionari. Per vaori di e ancora più bassi (0.), il predatore si estingue (tende a 0) mentre le prede tendono a capacità portante k (10). Quindi, predatori sempre meno efficienti provocano un passaggio da coesistenza periodica a coesistenza stazionaria a estinzione del predatore stesso. Fissa nuovamente e al valore iniziale 0.5. Cosa succede diminuendo k? (si osserva il passaggio da regime periodico a regime stazionario di coesistenza a regime stazionario di estinzione dei predatori)